szkoda euro

0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
w = 10 1DUD*RQ\ MHVW RQ QD
VWUDW
X R UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P ] SDUDPHWUDPL µ , σ = (2, 6 ). (Strata jest tutaj
WHUPLQHP XPRZQ\P SRQLHZD* ] SHZQ\P SUDZGRSRGRELHVWZHP E
G]LH XMHPQD D
ZL
F GH IDFWR Z\VWSL ]\VN).
3HZLHQ GHF\GHQW SRVLDGD Z\M FLRZ\ PDM WHN Z NZRFLH
(
: VZRLFK GHF\]MDFK NLHUXMH VL
PDNV\PDOL]DFM
 1 
u (x ) = − exp − ⋅ x 
 5 
'HF\GHQW GRNRQXMH Z\ERUX ZVSyáF]\QQLND
SR]RVWDQLH VWUDWD Z Z\VRNR FL
(1 − β )⋅ X
β⋅X
(A)
0
(B)
1
3
(C)
1
2
(D)
2
3
(E)
1
)
*
IXQNFML X \WHF]QR FL R SRVWDFL
β ∈ [0, 1] , w efekcie czego na jego udziale
F]
ü VWUDW\ Z Z\VRNRFL
QDWRPLDVW SR]RVWDá
UyZQ
SRNU\MH LQQ\ SRGPLRW ]D FHQ
'HF\GHQW Z\ELHU]H ZVSyáF]\QQLN
2
β równy:
1
6
⋅ (1 − β )⋅ µ .
5
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
*H Z SLHUZV]\P URNX G]LDáDOQRFL X]\VND VNáDGN
Z Z\VRNRFL POQ HXUR 5R]NáDG áF]QHM ZDUWRFL V]NyG GOD ZDUWRFL
SU]\EOL*DP\
UR]NáDGHP QRUPDOQ\P R UHGQLHM RGSRZLDGDMFHM ZVSyáF]\QQLNRZL
V]NRGRZR
*
G]LH
8EH]SLHF]\FLHO PDM WNRZ\ SODQXMH
]DURELRQ
FL UyZQHPX L RGFK\OHQLX VWDQGDUGRZ\P POQ HXUR =DNáDGD VL H
ZDUWR FL ]DLVWQLDá\FK V]NyG ]RVWDQLH Z\SáDFRQH D QD SR]RVWDáH E
utworzona rezerwa
V]NRGRZD
8WZRU]RQD
]RVWDQLH
SRQDGWR
UH]HUZD
VNáDGNL
Z
Z\VRNRFL POQ HXUR
8EH]SLHF]\FLHO FKFH ]DZU]Hü XPRZ
UHDVHNXUDF\MQ
W\SX TXRWD VKDUH NWyUD ]DSHZQL
*H ] SUDZGRSRGRELHVWZHP ZDUWRü PDUJLQHVX Z\SáDFDOQRFL QLH SU]HNURF]\ mln euro. Ile powLQLHQ Z\QLHü XG]LDá UHDVHNXUDWRUD"
(A)
17%
(B)
19%
(C)
21%
(D)
23%
(E)
25%
2
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Y1 , Y2 , , Yn ,
V QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R UR]NáDG]LH MHGQRVWDMQ\P QD
[0, 1].
przedziale
N MHVW ]PLHQQ
ORVRZ
R
UR]NáDG]LH
Poissona z parametrem
λ QLH]DOH*Q RG ]PLHQQ\FK Yi . Niech:
max {Y1 , Y2 , , YN } gdy N > 0
M =
0
gdy N = 0

F] VWRWOLZR FL
:DUXQNRZD ZDUWRü RF]HNLZDQD E (N M ) wynosi:
(A)
λ⋅M
(B)
1+ λ ⋅ M
(C)
1 + λ ⋅ M

 0
(D)
e λ ⋅M
(E)
e λ ⋅M

 0
gdy M > 0
gdy M = 0
gdy M > 0
gdy M = 0
Uwaga (dopisana po egzaminie WR ]DGDQLH PD FLHNDZ RJyOQLHMV] ZHUVM
JG\ R
zmiennych Y1 , Y2 , , Yn ,
]DNáDGDP\ L* SRFKRG] ] GRZROQHJR UR]NáDGX
RNUHORQHJR QD SyáRVL GRGDWQLHM - wtedy jednak w odpowiedzi w miejsce M SRMDZL VL
FY (M ) .
3
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
8EH]SLHF]\FLHO PDMWNRZ\ RVLJQá Z SLHUZV]\P URNX VSU]HGD*\ XEH]SLHF]H Z
SHZQHM JUXSLH QDVW
SXMFH Z\QLNL
,ORü XPyZ
Przypis
Koszty akwizycji
5H]HUZD VNáDGNL
Odszkodowania
Rezerwa szkodowa
200
]á
]á
]á
]á
]á
%\á\ WR URF]QH XPRZ\ ]H VNáDGN MHGQRUD]RZ
=DNáDGDP\
•
•
•
*H
UyZQR Z F]DVLH QLH MHVW VH]RQRZH
U\]\NR UR]NáDGD VL
inflacja jest pomijalna,
QLH E\áR UHDsekuracji.
:\VRNRü UH]HUZ\ QD SRNU\FLH U\]\ND QLHZ\JDVáHJR SRQDG ]Z\Ná UH]HUZ
VNáDGNL
QDOH*\ QD NRQLHF URNX XWZRU]\ü Z Z\VRNRFL
(A)
]á
(B)
]á
(C)
]á
(D)
]á
(E)
]á
4
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H
PDMWNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
5R]ZD*DP\ NODV\F]Q\ SURFHV QDGZ\*NL ubezpieczyciela postaci:
U (t ) = u + c ⋅ t − S (t ) ,
gdzie:
N (t )
S (t ) = ∑ Yi ,
•
V ZDUWR
i =1
•
Y1 , Y2 ,
FLDPL NROHMQ\FK V]NyG QLH]DOH*Q\PL R LGHQW\F]Q\FK
UR]NáDGDFK GDQ\FK G\VWU\EXDQW FY (⋅),
1 (W )
•
jest procHVHP 3RLVVRQD ] SDUDPHWUHP F]
VWRWOLZRFL λ .
Oznaczmy przez Ψ SUDZGRSRGRELHVWZR UXLQ\
Ψ = Pr(T < ∞ ) , gdzie T R]QDF]D PRPHQW ]DMFLD UXLQ\ T = inf {t : t ≥ 0, U (t ) < 0}.
*
* PDP\ GRGDWQL QDU]XW EH]SLHF]HVWZD D ZL
F L* ]DFKRG]L
=Dáy P\ L
θ=
c
−1 > 0
λ ⋅ E (Y )
:LDGRPR
*H SU]\ W\P ]DáR*HQLX SUDZGRSRGRELHVWZR UXLQ\ Ψ (u ) jako funkcja
*
QDGZ\ NL SRF] WNRZHM
u UyZQH MHVW RJRQRZL G\VWU\EXDQW\ PDNV\PDOQHM FDáNRZLWHM
straty L:
Ψ (u ) = 1 − FL (u )
$SURNV\PDFMD
IXQNFML
SUDZGRSRGRELH VWZD
%RZHUVD Z\PDJD DE\ PL G]\ G\VWU\EXDQWDPL
]ZL ]HN
RUD]
DE\
UR]NáDG
]PLHQQHM
L
UXLQ\
FY (⋅) oraz FL (⋅)
SRVLDGDá
VNR F]RQH
PHWRG
%HHNPDQQD
–
]DFKRG]Lá RNUH ORQ\
PRPHQW\
SLHUZV]\FK
GZyFK U] GyZ
Na to, aby wymagania metody Beekmanna –
%RZHUVD
E\á\ VSHáQLRQH SRWU]HED L
*
Z\VWDUF]D DE\ GRGDWNRZR ]DáR \ü
(A)
L* UR]NáDG ]PLHQQHM Y SRVLDGD IXQNFM
JHQHUXMF PRPHQW\ R ZDUWRFLDFK
F]RQ\FK Z SHZQ\P RWRF]Hniu zera
VNR
(B)
L* UR]NáDG ]PLHQQHM Y SRVLDGD PRPHQW\ ZV]\VWNLFK U]
GyZ VNRF]RQH
(C)
L* UR]NáDG ]PLHQQHM
Y SRVLDGD VNRF]RQH PRPHQW\ U]
GX L (D)
L* UR]NáDG ]PLHQQHM
Y SRVLDGD VNRF]RQH PRPHQW\ U]
GX L (E)
L* UR]NáDG ]PLHQQHM
Y posLDGD VNRF]RQH PRPHQW\ U]
GX L 5
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
*HQLHP SRZLHG]P\ U]
GX
3URFHV ]JáDV]DQLD V]NyG MHVW SRLVVRQRZVNL ]H VWDá\P Z F]DVLH QDW
ZLHOX W\VL
F\ URF]QLH 'OD ND*GHM ]JáDV]DQHM V]NRG\ F]DV MDNL XSá\ZD RG PRPHQWX MHM
]JáRV]HQLD GR PRPHQWX OLNZLGDFML PD UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ ] ZDUWRFL RF]HNLZDQ UyZQ Syá
roku.
Wybieramy pewien moment czasu t. Ze zbioru wszystkich szkód, które w tym momencie
RF]HNXM QD OLNZLGDFM
Z\ELHUDP\ ORVRZR MHGQ V]NRG
2]QDF]P\ SU]H] T1 moment jej
]JáRV]HQLD ]D SU]H]
T2
PRPHQW MHM OLNZLGDFML 2F]\ZLFLH ]DFKRG]L
T1 < t < T2
3U]\MPXMHP\ L* ]PLHQQH
T1 i T2 V GREU]H RNUHORQH SRPLMDP\ MDNR SUDNW\F]QLH
nieprawdopodobne zdarzenie L* Z GDQ\P PRPHQFLH ]ELyU V]NyG RF]HNXMF\FK QD OLNZLGDFM
jest pusty).
E (T2 − T1 ) wynosi:
(A)
1
roku
2
(B)
4
roku
6
(C)
3
roku
4
(D)
5
roku
6
(E)
1 rok
6
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDMWNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
: SHZQ\P URG]DMX XEH]SLHF]HQLD ND
*GH U\]\NR JHQHUXMH V]NRG
FR QDMZ\*HM MHGQ ]
WDNLP VDP\P SUDZGRSRGRELHVWZHP 3RSXODFMD U\]\N FKDUDNWHU\]XMH VL
MHGQDN
GX*\P ]Uy*QLFRZDQLHP UHSUH]HQWRZDQ\P SU]H] ]PLHQQ ORVRZ B, której realizacja
β GOD GDQHJR U\]\ND MHVW SDUDPHWUHP UR]NáDGX ZDUWRFL V]NRG\ Z\NáDGQLF]HJR
f Y B=β (y ) = β ⋅ e − β ⋅ y ,
-HOL
* SDUDPHWU B PD Z SRSXODFML U\]\N UR]NáDG MHGQRVWDMQ\ QD SU]HG]LDOH
SU]\MPLHP\ L
(0, 1),
WR UR]NáDG ORVRZR Z\EUDQHM V]NRG\ ] WHJR SRUWIHOD SU]\ ]DáR*HQLX L* SRUWIHO
Z\JHQHURZDá SU]\QDMPQLHM MHGQ V]NRG
PD J
VWRü
(
(A)
f Y (y ) =
1
⋅ 1 − e−y − y ⋅ e−y
2
y
(B)
f Y (y ) =
1
⋅ 1 − e− y − y ⋅ e−y
y
(C)
f Y (y ) =
1
⋅ 1 − e− y
y
(D)
f Y (y ) =
1
⋅ 1 − e−y
y2
(E)
f Y (y ) =
1
⋅ 1− y ⋅ e−y
2
y
(
(
(
(
)
)
)
)
)
7
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
NiHFK SU]\ GDQHM ZDUWRFL SDUDPHWUX θ áF]QD ZDUWRü V]NyG Z SRUWIHOX OLF]F\P n
ryzyk:
S (n ) = Y1 + + YN (n ) ,
PD ]áR*RQ\ UR]NáDG 3RLVVRQD R F]
VWRWOLZRFL UyZQHM n ⋅ λ
L UR]NáDG]LH SRMHG\QF]HJR
ch:
VNáDGQLND R SDUDPHWUD
E (Y Θ = θ ) = µ (θ )
VAR(Y Θ = θ ) = (µ (θ )) .
2
Parametr θ
ZLHP\
UR]NáDGX ]PLHQQHM
Y
SRFKRG]L ] UR]NáDGX ]PLHQQHM ORVRZHM
*H
E (µ (Θ )) = µ
VAR(µ (Θ )) = a 2
.ZDGUDW ZVSyáF]\QQLND ]PLHQQRFL ]PLHQQHM
VAR(S (n ))
,
[E (S (n ))]2
wynosi:
a2 +
(A)
(
2
⋅ µ 2 + a2
n⋅λ
µ2
(B)
3⋅ a2 + 2 ⋅ µ 2
µ2 ⋅n⋅λ
(C)
a2 + 2 ⋅ µ 2
µ2 ⋅n⋅λ
a2 +
(D)
(E)
Θ , o którym
(
1
⋅ µ 2 + a2
n⋅λ
µ2
S (n ), to znaczy iloraz:
)
)
3⋅ a2 + 2 ⋅ µ 2
µ 2 ⋅ n 2 ⋅ λ2
Wskazówka: zZUyü XZDJ
L* SDUDPHWU U\]\ND Θ UHDOL]XMH VL
QD W\P VDP\P SR]LRPLH
GOD FDáHJR SRUWIHOD WR PR*H E\ü QS SR]LRP FHQ NWyU\ VWDUDP\ VL
SU]HZLG]LHü – i
wtedy µ oraz a 2 LQWHUSUHWRZDü PR*HP\ RGSRZLHGQLR MDNR QLHREFL*RQ SURJQR]
SXQNWRZ L MHM ZDULDQFM
8
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
1LHFK SU]\ GDQHM ZDUWRFL SDUDPHWUX λ áF]QD ZDUWRü V]NyG Z SRUWIHOX OLF]F\P n
ryzyk:
S (n ) = Y1 +
+Y
N (n )
,
PD ]áR*RQ\ UR]NáDG 3RLVVRQD R F]
VWRWOLZRFL Uównej n ⋅ λ
L UR]NáDG]LH SRMHG\QF]HJR
VNáDGQLND R SDUDPHWUDFK
E (Y ) = µ
VAR(Y ) = µ 2 .
Parametr λ UR]NáDGX LORFL V]NyG N (n )
NWyU\P ZLHP\
E (Λ ) = L
VAR(Λ ) = A 2
SRFKRG]L ] UR]NáDGX ]PLHQQHM ORVRZHM
Λ, o
*H
.ZDGUDW ZVSyáF]\QQLND ]PLHQQRFL ]PLHQQHM S (n), to znaczy iloraz:
VAR(S (n ))
,
[E (S (n ))]2
wynosi:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2 ⋅ L + A2
n ⋅ L2
2
⋅ L + A2
n
L2
2
⋅ L + 2 ⋅ A2
n
L2
L + A2
n ⋅ L2
1
⋅ L + A2
n
L2
:VND]yZND ]ZUyü XZDJ
L* SRGREQLH MDN Z SRSU]HGQLP ]DGDQLX SDUDPHWU U\]\ND
Λ
UHDOL]XMH VL
QD W\P VDP\P SR]LRPLH GOD FDáHJR SRUWIHOD FR PR*H PLHü SRGREQ
LQWHUSUHWDFM
Z NDWHJRULDFK SURJQR]\ REDUF]RQHM Eá
GHP
9
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
àF]QD ZDUWRü V]NyG Z SRUWIHOX OLF]F\P n ryzyk:
S (n ) = Y1 +
+Y
N (n )
,
PD ]áR*RQ\ UR]NáDG 3RLVVRQD R F]
VWRWOLZRFL UyZQHM 0.1 ⋅ n
L UR]NáDG]LH
pojedynczego VNáDGQLND R G\VWU\EXDQFLH
FY ( y ) = 1 − e −0.01 y .
Niech teraz zmienna R(n ) R]QDF]D áF]Q ZDUWRü QDGZ\*HN ND*GHM ]H V]NyG SRQDG
ZDUWRü SRNU\ZDQ SU]H] UHDVHNXUDWRUD
R(n ) = max {(Y1 − 100 ), 0}+
+ max{(Y
N (n )
− 100 ), 0}
.ZDGUDW ZVSyáF]\QQLND ]PLHQQRFL ]PLHnnej R(n), to znaczy iloraz:
VAR(R(n ))
,
[E (R(n ))]2
wynosi:
(A)
(B)
(C)
e −1
20 ⋅
n
e −1
2⋅
n
e −1
10 ⋅
n
(D)
10 ⋅
e
n
(E)
20 ⋅
e
n
10
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDM WNRZ\FK
17.06.2000 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2000 r.
0DWHPDW\ND XEH]SLHF]H PDMWNRZ\FK
Arkusz odpowiedzi*
................................. K L U C Z O D P O W I E D Z I .....................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
2FHQLDQH V
2GSRZLHG(
Punktacja♦
B
D
C
C
D
E
A
A
B
E
Z\á F]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD
11
Arkuszu odpowiedzi.