Metody optymalizacji – Paweł Zieliński 1 Lista nr 3 – ćwiczenia 1

1
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
Lista nr 3 – ćwiczenia
1. Sprowadzić do problemów programowana liniowego (LP) następujące problemy:
(a)
max c Tk x → min
min c Tk x → max
k=1,...,s
przy warunkach
k=1,...,s
przy warunkach
Ax = b ,
x ­ 0,
Co będzie jeśli funkcja celu będzie postaci:
Ax = b ,
x ­ 0.
min c Tk x → min przy powyższych
k=1,...,s
warunkach?
(b)
x||1 =
||x
n
X
n
X
|xj | → min
j=1
j=1
przy warunkach Ax = b ,
wj |ccTj x − rj | → min
przy warunkach Ax = b
x ­ 0,
gdzie wj > 0, rj , j = 1, . . . , n są znanymi liczbami.
(c)
T
X
t=1
max
(
cIt
t
X
xk −
k=1
t
X
dk
k=1
!
, cB
t
t
X
dk −
xk
k=1
k=1
przy warunkach lt ¬ xt ¬ ut , t = 1, . . . , T,
t
X
gdzie cIt , cB
t , lt , ut , dt ­ 0, t = 1, . . . , T , są danymi liczbami.
2. Poniżej podana jest tablica simpleksowa dla następującego zadania LP:
przy warunkach
−30x1 −
2x1 +
3x1 +
3
2 x1
x1 ,
20x2
x2
3x2
-30
-20
0
0
0
x1
0
0
1
-30
0
x2
1
0
0
-20
0
s1
-1
-3/2
1
-10
10
s2
2/3
1/2
-1/3
-10/3
10/3
s3
0
1
0
0
0
cj
-20
0
-30
zmienne
bazowe
x2
s3
x1
zj
cj − zj
wartości
zm. bazowych
600
300
200
-18000
(a) Podaj aktualne rozwiązanie bazowe.
→ min
¬ 1000,
¬ 2400,
¬ 600,
x2 ­ 0.
!)
→ min
2
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
(b) Czy rozwiązanie w tablicy jest optymalne? Jeżeli nie jest to wykonaj odpowiednią
ilość kroków algorytmem sympleks w celu otrzymania rozwiązania optymalnego. W
przeciwnym przypadku (jeżeli jest) odpowiedź uzasadnij.
(c) Podaj rozwiązanie optymalne.
(d) Czy rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne?
(e) Podaj optymalne rozwiązanie zadania dualnego.
(f) Jaka jest wartość funkcji celu zadania dualnego dla rozwiązania optymalnego?
(g) (Analiza wrażliwości ) W jakich granicach może się zmieniać współczynnik funkcji
celu przy x1 , aby rozwiązanie pozostawało optymalne?
3. (Sysło 1999) Dany jest układ równań liniowych
n
X
aij xj = bi , i = 1, . . . , n.
j=1
Wyjaśnić dlaczego jego rozwiązanie można otrzymać rozwiązując następujące zadanie
LP:
y → min
P
Pn
n
przy warunkach
j=1 aij zj −
j=1 aij y = bi i = 1, . . . , n,
zj ­ 0, y ­ 0,
obliczając następnie xj jako xj = zj − y, j = 1, . . . , n.
4. (Sysło 1999) Dane jest następujące zadanie LP:
przy warunkach
10x1 + x2
→ min
x1
¬ 1,
20x1 + x2
¬ 100,
x1 , x2 ­ 0.
Ile iteracji wykona algorytm sympleks rozwiązując to zadanie?
5. (Murty 1976) Pokazać, że zagadnieniem dualnym do zagadnienia prymalnego
przy warunkach
x1 +x2
−x2
x1
−x1 +x2
x1 , x2 , x3
+x3 → min
+x3 ­ −1,
−x3 ­ −1,
­ −1,
­ 0,
jest ono samo.
6. (Sysło 1999) Dane jest następujące zadanie programowania liniowego:
x1 + 2x2 + 3x3 + · · · + nxn → max
przy warunkach x1 + x2 + x3 + · · · + xn ¬ 1,
x2 + x3 + · · · + xn ¬ 1,
···
xn ¬ 1,
xi ­ 0 dla wszystkich i.
3
Metody optymalizacji – Paweł Zieliński
Rozpatrzyć zadanie do niego dualne i wyznaczyć jego rozwiązanie optymalne bez wykonywania jakichkolwiek obliczeń numerycznych.
7. (Sysło 1999) Dane jest zadanie programowania liniowego
c T x − bT π
→ min
przy warunkach
Ax ­ b ,
AT π ­ −cc,
−A
x ­ 0, π ­ 0,
gdzie A , b , c są macierzami odpowiednio rozmiaru m × n, m × 1, n × 1. Udowodnić, że
zadanie to albo nie ma rozwiązania dopuszczalnego, albo jego rozwiązaniem jest wektor
x T , π T ), taki że c T x − b T π = 0.
(x
8. (Sysło 1999) Dane jest następujące zadanie programowania LP
x1 +4x2 +3x4 +x5 +x6
→ min
przy warunkach −x1 +2x2 +x3 −x4 +x5
= −3,
2x1 +x2 −4x3 −x4
+x6 = −2,
xi ­ 0, i = 1, . . . , 4.
Pokazać, że rozwiązanie dualne π odpowiadające rozwiązaniu x5 = −3, x6 = −2, zadania
prymalnego, jest dopuszczalne.