Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki

Wykłady z matematyki
Macierze i wyznaczniki
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2016/17
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Macierze
Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporządkowanie
każdej uporządkowanej parze liczb (i, j), gdzie 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n
dokładnie jednej liczby aij .
⎡a
⎤
⎢ 11 ⋯ a1n ⎥
⎢
⎥
⋱
⋮ ⎥ lub [aij ]m⋉n , lub [aij ]
Macierz zapisujemy zwykle ⎢ ⋮
⎢
⎥
⎢am1 ⋯ amn ⎥
⎣
⎦
Gdy m=n to macierz jest kwadratowa a liczba n to stopień macierzy.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Działania na macierzach
Dodawanie macierzy
Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się
następująco:
1 2 3
0 3 1
1+0 2+3 3+1
1 5 4
[
]+[
]=[
]=[
]
4 5 6
−3 7 8
4−3 5+7 6+8
1 12 14
Mnożenie macierzy przez liczbę
Jeśli mnożymy macierz przez liczbę, to każdy jej wyraz mnożymy przez tę
liczbę:
1 2
2 4
2⋅[
]=[
]
3 4
6 8
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Działania na macierzach
Mnożenie dwóch macierzy
Mnożenie macierzy jest trochę bardziej skomplikowane. Można je
wykonać tylko wtedy gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn ile
druga wierszy (w szczególności więc widać, że mnożenie macierzy nie jest
przemienne, bo iloczyn w odwrotnej kolejności może w ogóle nie istnieć).
Obliczając iloczyn dwóch macierzy mnożymy skalarnie każdy wiersz
pierwszej macierzy przez każdą kolumnę drugiej macierzy:
⎡1 2 3⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5 6⎥
⎢
⎥
⎢7 8 9⎥
⎣
⎦
1 2 3
↓
[
] [
]
4 5 6
→ ●
W miejscu kropki znajduje się iloczyn wiersza przy strzałce poziomej i
kolumny przy strzałce pionowej, czyli:
4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 + 6 ⋅ 8 = 81
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Ćwiczenia
Wykonaj działania:
⎡2
1 0 −1 ⎢⎢
a) [
] ⋅ ⎢0
4 2 1 ⎢⎢
⎣1
◇
2
0
−1
1⎤⎥
⎥
2⎥,
⎥
3⎥⎦
Andrzej Musielak
b) ([
2 1
1
]+[
−1 2
3
1
2 1
]) ⋅ [
−2
−1 0
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
−1
]
1
Operacje elementarne
W każdej macierzy możemy na jej wierszach i kolumnach wykonywać
pewne działania zwane operacjami elementarnymi. Nie jest to sztuka dla
sztuki - operacje takie nie zmieniają pewnych własności macierzy,
możemy więc w ten sposób przekształcać macierze do wygodniejszej
postaci, z której łatwiej odczytać daną własność.
Operacje elementarne wykorzystuje się przy:
liczeniu wyznacznika macierzy kwadratowej
liczeniu rzędu macierzy
rozwiązywaniu układów równań liniowych
odwracaniu macierzy (w jednej z metod odwracania)
Wyróżniamy trzy operacje elementarne.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Operacje elementarne
Dodanie wielokrotności wiersza (kolumny) do innego wiersza
(kolumny). Przykładowo w macierzy:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢4 5
8 −3⎥⎦
⎣
możemy dodać drugi wiersz dwa razy do pierwszego, otrzymując w
wyniku:
⎡3 + 2 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ (−1) −4 + 2 ⋅ 0 1 + 2 ⋅ 1⎤ ⎡7 0 −4 3 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−1
0
1 ⎥ = ⎢2 −1 0
1⎥
⎢ 2
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ 4
5
8
−3 ⎥⎦ ⎢⎣4 5
8 −3⎥⎦
⎣
Zapisujemy to symbolicznie:
⎡
⎤
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎢
⎥ w +2w ⎢7 0 −4 3 ⎥
⎢
⎥ 1 2 ⎢
⎥
1 ⎥ ÐÐÐÐ→ ⎢2 −1 0
1⎥
⎢2 −1 0
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢4 5
⎢4 5
8 −3⎥⎦
8 −3⎥⎦
⎣
⎣
Dokładnie tak samo moglibyśmy działać na kolumnach:
⎡
⎤
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎢
⎥ k +k ⎢3 2 −4 3⎥
⎢
⎥ 4 2 ⎢
⎥
1 ⎥ ÐÐÐ→ ⎢2 −1 0 0⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5
⎢4 5
8 2⎥⎦
8 −3⎥⎦
⎣
⎣
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Operacje elementarne
Mnożenie wiersza lub kolumny przez niezerową liczbę
Przykładowo w macierzy:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢4 5
8 −3⎥⎦
⎣
możemy pomnożyć pierwszy wiersz przez 2, otrzymując:
⎡3 ⋅ 2 2 ⋅ 2 −4 ⋅ 2 1 ⋅ 2⎤ ⎡6 4 −8 2 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−1
0
1 ⎥ = ⎢2 −1 0
1⎥
⎢ 2
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ 4
5
8
−3 ⎥⎦ ⎢⎣4 5
8 −3⎥⎦
⎣
Zapisujemy to symbolicznie:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ 2w ⎢6 4 −8 2 ⎥
⎢
⎥ 1 ⎢
⎥
1 ⎥ ÐÐ→ ⎢2 −1 0
1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5
⎢4 5
8 −3⎥⎦
8 −3⎥⎦
⎣
⎣
Dokładnie tak samo moglibyśmy podzielić pierwszą kolumnę przez 2
(czyli pomnożyć przez 12 ):
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎡3
⎤
⎢
⎥ 2k ⎢ 2 2 −4 1 ⎥
⎢
⎥ 1 ⎢
⎥
1 ⎥ Ð→ ⎢ 1 −1 0
⎢2 −1 0
1⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5
⎢2 5
8 −3⎥⎦
8 −3⎥⎦
⎣
⎣
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Operacje elementarne
Zamiana miejscami wierszy lub kolumn
Przykładowo w macierzy:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢4 5
8 −3⎥⎦
⎣
możemy zamienić miejscami wiersze pierwszy z trzecim, co
zapisujemy:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎡
8 −3⎤⎥
⎢
⎥ w ↔w ⎢4 5
⎢
⎥ 1 3 ⎢
⎥
1 ⎥ ÐÐÐÐ→ ⎢2 −1 0
1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5
⎢3 2 −4 1 ⎥
8 −3⎥⎦
⎣
⎣
⎦
lub zamienić miejscami kolumny drugą i czwartą:
⎡3 2 −4 1 ⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ k ↔k ⎢3 1 −4 2 ⎥
⎢
⎥ 2 4 ⎢
⎥
1 ⎥ ÐÐÐ→ ⎢2 1
0 −1⎥
⎢2 −1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢4 5
⎢4 −3 8
8 −3⎥⎦
5 ⎥⎦
⎣
⎣
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Operacje elementarne
Kiedy używać których operacji elementarnych?
Liczenie rzędu macierzy
Rzędu macierzy nie zmieniają żadne operacje elementarne, zarówno
na wierszach, jak i na kolumnach. W tym wypadku mamy więc
całkowitą swobodę działania.
Liczenie wyznacznika macierzy kwadratowej
W przypadku wyznacznika sprawa jest bardziej skomplikowana.
Wartości wyznacznika nie zmienia wyłącznie dodanie wielokrotności
jednego wiersza do innego lub jednej kolumny do innej. Natomiast
pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę a powoduje, że
wyznacznik zwiększa się a razy. Jeszcze trudniej kontrolować
zachowanie wyznacznika przy zamianie miejscami wierszy (lub
kolumn) - wówczas może (ale nie musi) zmienić znak wyznacznika,
co zależy od parzystości stosownej permutacji.
Z uwagi na powyższe, w przypadku liczenia wyznacznika najlepiej
jest ograniczać się do pierwszej z wymienionych operacji.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Operacje elementarne
Rozwiązywanie układów równań liniowych
W przypadku rozwiązywania układów równań metodą macierzową
możemy działać wyłącznie na wierszach - działanie na kolumnach
oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych (czego nigdy
nie chcemy robić).
Znajdowanie macierzy odwrotnej
Gdy odwracamy macierz przy użyciu dopisanej macierzy
jednostkowej, możemy działać cały czas na wierszach lub też cały
czas na kolumnach - nie wolno nigdy mieszać operacji wierszowych z
kolumnowymi.
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Wyznacznik
Wyznaczniki można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych, tzn. o
wymiarach n × n. Formalna definicja wyznacznika jest rekurencyjna:
det A = ∑ni=1 (−1)i+1 a1i ⋅ det A1i gdzie A1i to macierz powstała przez
wykreślenie z macierzy A pierwszego wiersza i i-tej kolumny.
Dla małych macierzy są wygodne sposoby obliczania wyznaczników:
a b
Dla macierzy 2 × 2: ∣
∣ = ad − bc
c d
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Wyznacznik
Dla macierzy 3 × 3 używamy tzw. metody Sarrusa: dopisujemy do
macierzy z prawej strony dwie pierwsze kolumny (lub z dołu dwa pierwsze
wiersze) i następnie iloczyny wzdłuż trzech przekątnych dodajemy, a
wzdłuż trzech odejmujemy:
RRR1 2 3RRR 1 2
RRR
R
RRR4 5 6RRRRR 4 5 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 − 9 ⋅ 4 ⋅ 2
RRR7 8 9RRR 7 8
R
R
Równość z definicji to szczególny przypadek tzw. rozwinięia Laplace’a. W
definicji mamy rozwinięcie względem pierwszego wiersza, ale rozwijać
można również według dowolnego wiersza:
det A = ∑ni=1 (−1)i+j aji ⋅ det Aji
lub kolumny:
det A = ∑nj=1 (−1)i+j aji ⋅ det Aji
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Wyznacznik
Widać, że powyższe wzory pozwalają nam sprowadzić liczenie
wyznacznika macierzy n × n do liczenia n wyznaczników macierzy
n − 1 × n − 1. Pamiętamy jednak, że pierwsza operacja elementarna na
wierszach macierzy nie zmienia wartości wyznacznika, dlatego
najwygodniej jest doprowadzić macierz do postaci w której w jednej
kolumnie (lub wierszu) będzie n-1 zer i następnie rozwinąć względem tej
kolumny (wiersza). Wówczas po rozwinięciu względem tej kolumny
(wiersza) pozostaje do policzenia tylko jeden wyznacznik macierzy o
wymiarze mniejszym o jeden.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Wyznacznik
Przykład:
⎡2
⎡ 2 1 −3 0⎤
1 −3 0⎤⎥
⎢
⎢
⎥
⎢1
⎥
⎢−1 0 5 1⎥
1
2 1⎥
⎢
⎢
⎥
⎥ w − w1 = det ⎢
⎥=
det ⎢
⎢ 2 −3 2 5⎥ 2
⎢ 8 0 −7 5⎥
⎢
⎥ w3 + 3w1
⎢
⎥
⎢−1 0
⎢−1 0 3 1⎥
3 1⎥⎦
⎣
⎣
⎦
⎡−1 5 1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= − det ⎢ 8 −7 5⎥
⎢
⎥
⎢−1 3 1⎥
⎣
⎦
Teraz moglibyśmy użyć już metody Sarrusa, ale ponieważ na oko
wychodzą duże liczby, więc wygodniej będzie raz jeszcze użyć operacji
elementarnych:
⎡−1 5 1⎤
⎡−1
5
1⎤⎥
⎢
⎥
⎢
13 −32
⎢
⎥
⎢
⎥
− det ⎢ 8 −7 5⎥ w2 − 5w1 = − det ⎢ 13 −32 0⎥ = − det [
]=
⎢
⎥
⎢
⎥
0
−2
⎢−1 3 1⎥ w3 − w1
⎢0
⎥
−2
0
⎣
⎦
⎣
⎦
= 26
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Ćwiczenia
Oblicz wyznaczniki:
2
a) ∣
−1
◇
5
∣
−2
RRR 2 2 1RRR
R
R
b)RRRRR 3 1 5RRRRR
RRR−1 3 0RRR
R
R
RRR 4 1 2
RRR
R−5 1 1
c) RRRR
RRR 3 2 5
RRR−4 2 0
R
Andrzej Musielak
3 RRRR
R
−2RRRR
0 RRRR
R
2 RRRR
RRR 3 4 2
RRR
RRR−3 6 1
d) RRRRR 3 1 8
RRR 3 1 5
RRR
RRR−2 8 0
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
1
3
−2
0
4
−1RRRR
R
0 RRRR
−3RRRR
R
2 RRRR
R
2 RRRR
Rząd macierzy
Podstawowa definicja rzędu macierzy wiąże się z liniową niezależnością
wierszy, co intuicyjnie można rozumieć w ten sposób, że rząd macierzy to
maksymalna liczba wierszy, których nie da się wyzerować operacjami
elementarnymi. Ponieważ jednak potrzebne jest nam bardziej precyzyjne
określenie, więc równoważnie definiujemy, że rząd macierzy to wymiar
największej podmacierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku.
I ta definicja ma jednak pewne wady, ponieważ jeśli chcielibyśmy znaleźć
rząd macierzy o wymiarze 5 × 8 licząc po kolei wszystkie minory (czyli
właśnie wyznaczniki podmacierzy kwadratowych), a rząd powinien wyjść
3, to najpierw musielibyśmy policzyć 56 minorów 5 × 5 (wszystkie równe
zero), następnie 350 minorów 4 × 4 (też wszystkie równe zero), a dopiero
potem znaleźć niezerowy minor 3 × 3.
Na szczęście można sobie przyśpieszyć rachunki, używając metody
podobnej do liczenia wyznacznika przy użyciu rozwinięcia Laplace’a.
Mianowicie: doprowadzamy do tego by w pewnej kolumnie (wierszu) były
prawie same zera z wyjątkiem jednego miejsca; następnie wykreślamy tę
kolumnę (wiersz) oraz wiersz (kolumnę) w której znajdował się niezerowy
wyraz i dodajemy do rzędu jedynkę. Proces kończymy w momencie gdy
macierz ”zniknie” lub też pojawi się macierz złożona z samych zer.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Rząd macierzy
Prześledźmy to na przykładzie:
⎡1 2
⎡1 2
3 5 1 3⎤⎥
3
5
1
3 ⎤⎥
⎢
⎢
⎢0 1
⎥
⎢
2 1 −1 2⎥
2
1 −1 2 ⎥⎥
⎢
⎢0 1
⎢
⎥
⎢
⎥
2 3 0 1⎥ w3 − w1 = rz ⎢0 −2 −1 −2 −1 −2⎥=
rz ⎢1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢0 1 −1 1 2 0⎥
⎢0 1 −1 1
2
0 ⎥⎥
⎢
⎥
⎢
⎢2 −1 2 5 1 0⎥ w5 − 2w1
⎢0 −5 −4 −5 −1 −6⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡1
⎤
2
1 −1 2 ⎥
⎢
⎢−2 −1 −2 −1 −2⎥ w − w
⎢
⎥ 2
1
⎥
= 1 + rz ⎢
=
⎢ 1 −1 1
⎥ w3 + 2w1
2
0
⎢
⎥
⎢−5 −4 −5 −1 −6⎥ w4 − w1
⎣
⎦
⎡1
2
1 −1 2 ⎤⎥
⎢
⎡−3 −3 −3 −4⎤
⎢−3 −3 −3 0 −4⎥
⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
3
3
4 ⎥ w2 + w1 =
⎥ = 2 + rz ⎢ 3
= 1 + rz ⎢
⎥
⎢3
⎥
⎢
3
3
0
4
⎢
⎥
⎢−6 −6 −6 −8⎥ w3 − 2w1
⎣
⎦
⎢−6 −6 −6 0 −8⎥
⎣
⎦
⎡−3 −3 −3 −4⎤
⎢
⎥
0 0 0
⎢
⎥
0
0
0 ⎥ = 3 + rz [
= 2 + rz ⎢ 0
]=3+0=3
⎢
⎥
0 0 0
⎢0
⎥
0
0
0
⎣
⎦
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki
Ćwiczenia
Znajdź rząd macierzy:
⎡0
⎢
⎢
a) ⎢3
⎢
⎢1
⎣
−1
2
0
2 0 1⎤⎥
⎥
5 3 4⎥
⎥
3 1 2⎥⎦
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎢
b) ⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎢1
⎣
2
1
3
2
0
Andrzej Musielak
3
2
0
−1
−1
0
1
1
2
−2
1
0
−3
−4
1
−1
1
2
4
−3
2 ⎤⎥
−2⎥⎥
⎥
2⎥ ◇◇
⎥
−2⎥⎥
6 ⎥⎦
Wykłady z matematyki Macierze i wyznaczniki