O warunkowej bliskości sigma-ciał i zbieżności warunkowych

O warunkowej bliskości sigma-ciał i zbieżności warunkowych

Piotr Sielski
O warunkowej bliskości sigma-ciał
i zbieżności warunkowych wartości oczekiwanych
1
Spis treści
1 Wstęp
2
2 Podstawowe fakty i definicje
2.1 σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Warunkowa wartość oczekiwana . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
6
3 Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał
3.1 Twierdzenie o otulaniu σ-ciał . . . . . . . .
3.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał .
3.4 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał . . . . . .
3.6 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
9
9
10
11
17
17
17
4 Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
4.1 Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o. . . . . . . . . . . .
4.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów . . . . . . . . .
19
19
23
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce d˜
5.1 Metryka d˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność
σ-ciał w metryce d˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Literatura
26
26
27
30
33
1
1
Wstęp
Celem pracy jest przedstawienie oraz rozwinięcie rezultatów dotyczących przybliżania i otulania σ-ciał. Pojęcia te zostały wprowadzone w pracy
R. Jajtego i A. Paszkiewicza (patrz [3]). Zdefiniowane są one przy pomocy
następujących wielkości:
ρ(B, A) = sup inf P (A4B)
B∈B A∈A
ρ(B, A) = sup inf
B∈B A∈AA⊃B
P (A\B)
Powyższe definicje, jak również fakty z nimi związane zawarte są w rozdziale
drugim. Dalsza część pracy opiera się w znacznej mierze na twierdzeniach
udowodnionych w pracach [3] i [4]. Udowodniono w nich, że jeśli ρ(B, A) < (F ,P)
to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki, że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A
\Z,
gdzie A, B ⊂ F. Podobne twierdzenie udowodniono również dla funkcji ρ.
Rozdział trzeci zawiera te twierdzenia oraz przykłady ilustrujące istotność
poczynionych założeń. Ponadto znajduje się w nim uogólnienie twierdzenia
dotyczącego otulania σ-ciał. Podobnymi metodami do użytych w pracach [3]
i [4] dowodzimy wersji warunkowej twierdzenia o otulanu σ-ciał. Rezultaty
te posłużyły w dalszej części pracy do zbadania odległości operatorów warunkowej wartości oczekiwanej, w zależności od wielkości ρ i ρ. W rozdziale
czwartym dowodzimy, że jeśli EA , EB : L∞ → L1 , to:
||EA − EB ||∞,1 ¬ 264 max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
Powyższe twierdzenie, ze zmienioną stałą, zachodzi również dla funkcji ρ. W
tym samym paragrafie zawarte są również oszacowania dla norm L∞,p .
W rozdziale piątym w rodzinie pod- σ-ciał F wprowadzona została, wedle
pomysłu dr Krzysztofa Kaniowskiego, następująca metryka:
˜ B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
d(A,
Dowodzimy, że dla X ∈ L∞ (Ω, F, P ) zbieżność ciągu σ-ciał An ⊂ F w tej
metryce implikuje zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych E(X|An )
w przestrzeni Lp . Okazuje się, że pewne wzmocnienie założeń daje nam znacznie więcej, zbieżność prawie pewną ciągu E(X|An ). W tym samym rozdziale
dowodzimy również twierdzenia o zbieżności ciągu E(X|An ) w przestrzeni L1
dla X ∈ L1 (Ω, F, P ). Na zakończenie podajemy kilka przykładów ilustrujących niezbędność poczynionych założeń.
2
Podstawowe fakty i definicje
W rozdziale tym zamieścimy definicje oraz twierdzenia wykorzystywane
w dalszej części pracy.
2.1
σ-ciała, uzupełnienia, funkcje ρ, ρ
Definicja 2.1.1 (σ-ciało) Rodzinę A podzbiorów Ω nazywamy σ-ciałem jeżeli spełnia następujące trzy warunki:
1.
∅ ∈ A;
2.
Jeśli A ∈ A to Ac ∈ A;
S
3.
Jeśli Ai ∈ A dla i = 1, 2, . . . , to ∞
i=1 Ai ∈ A
Definicja 2.1.2 (Miara probabilistyczna) Miarą probabilistyczną będziemy
nazywać dowolną funkcję P , określoną na σ-ciele zdarzeń A ⊂ 2Ω , spełniającą warunki:
1.
P : A → R+ ∪ {0};
2.
P (Ω) = 1;
3.
Jeśli Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . oraz Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to
P(
∞
[
Ai ) =
i=1
∞
X
P (Ai ).
i=1
W dalszej części pracy P będzie zawsze oznaczało miarę probabilistyczną.
Definicja 2.1.3 (Przestrzeń probabilistyczna) Przestrzenią probabilistyczną
nazywamy trójkę (Ω, A, P ), gdzie A jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, zaś
P dowolną miarą probabilistyczną na A.
Definicja 2.1.4 Uzupełnieniem σ-ciała A względem miary P nazywamy rodzinę podzbiorów Ω, dla których istnieją zbiory A1 , A2 ∈ A takie, że A1 ⊂
P
A ⊂ A2 oraz P (A2 \A1 ) = 0. Rodzinę tę będziemy oznaczać A lub, gdy nie
ma wątpliwości o jaką miarę chodzi, po prostu A.
Fakt 2.1.5 Rodzina A jest σ-ciałem.
Dowód :
Oczywiście ∅ ∈ A.
Jeśli A ∈ A to istnieją zbiory A1 , A2 ∈ A takie, że A1 ⊂ A ⊂ A2 oraz
P (A2 \A1 ) = 0. Zatem Ac2 ⊂ Ac ⊂ Ac1 oraz P (Ac1 \Ac2 ) = 0, czyli Ac ∈ A.
Jeśli A1 , A2 , . . . ∈ A to dla dowolnego k ∈ N istnieją zbiory Ak1 , Ak2 ∈ A takie,
S
S
S
że Ak1 ⊂ Ak ⊂ Ak2 oraz P (Ak2 \Ak1 ) = 0. Stąd k∈N Ak1 ⊂ k∈N Ak ⊂ k∈N Ak2
S
oraz P (
k∈N
Ak2 \
S
k∈N
Ak1 ) = 0, czyli
S
k∈N
Ak ∈ A.
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zauważmy, że miarę
P można w naturalny sposób rozszerzyć na σ-ciało F. Zgodnie z definicją
2.1.4 jeśli F ∈ F, to istnieją zbiory F1 ⊂ F ⊂ F2 takie, że P (F2 \F1 ) = 0.
Kładąc P (F ) = P (F1 ) = P (F2 ) otrzymujemy rozszerzenie miary P na F.
Definicja 2.1.6 Uzupełnieniem σ-ciała A ⊂ F względem miary P i σ-ciała
F nazywamy następującą rodzinę zbiorów:
A
(F ,P )
n
= A∈F :
∃A1 ∈A
o
P (A4A1 ) = 0 .
Zdefiniowana powyżej rodzina jest σ-ciałem.
Dowód :
(F ,P )
Oczywiście ∅ ∈ A
.
(F ,P )
Jeśli A ∈ A
to istnieje zbiór A1 ∈ A taki, że P (A4A1 ) = 0. Oczywiście
(F ,P )
c
.
A1 ∈ A oraz P (Ac 4Ac1 ) = 0, czyli Ac ∈ A
Korzystając z definicji różnicy symetrycznej, oraz z faktu, że
S∞
S∞
S
( ∞
n=1 An \ n=1 Bn ) ⊂ n=1 (An \Bn ) otrzymujemy, że przeliczalna suma zbio(F ,P )
(F ,P )
rów należących do A
również należy do A
.
Niech A, B będą σ-ciałami. Wprowadźmy dwie niesymetryczne funkcje ρ(B, A)
oraz ρ̄(B, A) w następujący sposób:
Definicja 2.1.7
1.
ρ(B, A) = supB∈B inf A∈A P (A4B)
ρ(B, A) = supB∈B inf A∈AA⊃B P (A\B)
2.
Jeśli zachodzi ρ(B, A) = to mówimy, że σ-ciało A -przybliża σ-ciało B.
Jeśli zachodzi ρ(B, A) = to mówimy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.
Wprost z definicji kresu oraz określenia funkcji ρ otrzymujemy:
Fakt 2.1.8
Następujące warunki są równoważne:
1.
ρ(B, A) ¬ d
2.
∀>0,B∈B ∃A∈A P (B4A) < d + Wykorzystując fakt 2.1.8 udowodnimy następujące twierdzenie:
4
Twierdzenie 2.1.9 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Zachodzi równość:
ρ(A, B) = ρ(A
(F ,P )
,B
(F ,P )
).
Dowód :
Wystarczy udowodnić, że dla każdego d ­ 0 następujące dwa warunki są
równoważne:
1.
ρ(A, B) ¬ d
(F ,P )
(F ,P )
,B
) ¬ d.
2.
ρ(A
(F ,P )
Załóżmy, że zachodzi 2. Niech A ∈ A. Oczywiście A ∈ A
, więc zgod(F ,P )
nie z faktem 2.1.8 dla dowolnego > 0 istnieje zbiór B1 ∈ B
taki, że
P (A4B1 ) < d + . Jednocześnie według definicji 2.1.6 istnieje zbiór B ∈ B
taki, że P (B4B1 ) = 0. Zatem:
P (B4A) ¬ P (B4B1 ) + P (B1 4A) < d + .
Stąd i z faktu 2.1.8 otrzymujemy ρ(A, B) ¬ d.
W analogiczny sposób dowodzimy implikacji w drugą stronę.
W dalszej części pracy będziemy rozpatrywali również wersję warunkową definicji 2.1.7 p. 2:
Definicja 2.1.10
ρ 0 ((B, A)|C) = sup
inf
B∈B A∈A,A⊃B
ess sup(P ((A\B)|C))(ω))
ω∈Ω
Niech A będzie σ-ciałem, zaś Z pewnym zbiorem. Przez A\Z będziemy oznaczać następującą rodzinę zbiorów:
A\Z = {A\Z :
5
A ∈ A}.
2.2
Warunkowa wartość oczekiwana
Na początku tego paragrafu podamy twierdzenie Radona-Nikodyma,
którego dowód można znaleźć w pozycjach [1] [2]. Twierdzenie to w znacznym
stopniu upraszcza dowód istnienia warunkowej wartości oczekiwanej.
Definicja 2.2.1 Niech µ i ν będą miarami na (Ω, A). Mówimy, że miara ν
jest absolutnie ciągła względem miary µ (w skrócie ν µ), jeśli dla każdego
A ∈ A z warunku µ(A) = 0 wynika równość ν(A) = 0.
Twierdzenie 2.2.2 (Twierdzenie Radona-Nikodyma)
Jeżeli µ i ν są takimi miarami skończonymi na (Ω, F), że ν jest absolutnie
ciągła względem µ (νR µ), to istnieje taka nieujemna funkcja f, nazywana
gęstością, że ν(A) = A f dµ dla każdego A ∈ F. Dla dwóch takich gęstości f
i g mamy µ({f 6= g}) = 0.
Przejdźmy do zdefiniowania warunkowej wartości oczekiwanej.
Definicja 2.2.3 Niech X ∈ L1 (Ω, F, P ). Warunkową wartością oczekiwaną
(w skrócie w.w.o.), zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała A, nazywamy
dowolną funkcję E(X|A) spełniającą następujące warunki:
∀A∈A
Z
XdP =
A
Z
A
E(X|A)dP
E(X|A) jest A mierzalna.
(1)
(2)
Funkcja ta jest wyznaczona jednoznacznie, z dokładnością do zbioru miary 0.
Należy przeprowadzić dowód istnienia i jednoznaczności w.w.o.
Dowód :
Najpierw udowodnimy jednoznaczność.
Przypuśćmy, że funkcje E1 (X|A) i E2 (X|A) spełniają warunki (1) i (2) definicji 2.2.3. Z warunku (2) wynika, że obie funkcje są A - mierzalne, zatem
zbiory A1 = {E2 (X|A) > E1 (X|A)} oraz A2 = {E2 (X|A) < E1 (X|A)} należą do σ-ciała A. Stąd i z pierwszego warunku definicji w.w.o. otrzymujemy:
Z
A1
Zatem:
E2 (X|A)dP =
Z
A1
Z
XdP =
A1
Z
A1
E1 (X|A)dP.
(E2 (X|A) − E1 (X|A))dP = 0,
czyli P (A1 ) = 0. W analogiczny sposób dowodzimy, że P (A2 ) = 0. Reasumując P (E1 (X|A) 6= E2 (X|A)) = P (A1 ∪ A2 ) = 0, co dowodzi jednoznaczności.
6
Przedstawimy teraz dowód istnienia w.w.o.
Przypuśćmy na początku, że X ­ 0 p.p. Rozważmy skończoną miarę ν, na
σ -ciele A, określoną następującym wzorem:
Z
ν(A) =
XdP.
A
Jeśli P (A) = 0 to również ν(A) = 0, zatem ν jest absolutnie ciągła względem P .
Stąd z twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje A -mierzalna gęstość g taka,
że dla A ∈ A:
Z
Z
gdP = ν(A) = XdP.
A
A
Wystarczy przyjąć E(X|A) = g. Przejdźmy do przypadku ogólnego, gdy
X ∈ L1 (Ω, F, P ). Rozkładając X na części nieujemną i niedodatnią X =
X + − X − mamy 0 ¬ X + , X − . Warunkową wartość oczekiwaną definujemy w
następujący sposób: E(X|A) = E(X + |A) − E(X − |A). Nietrudno sprawdzić,
że jest to wersja warunkowej wartości oczekiwanej.
Podamy teraz podstawowe własności w.w.o., wykorzystywane w dalszej części
pracy.
Własność 2.2.4 Niech X, Y ∈ L1 (Ω, F, P ) oraz A ⊂ F będzie σ-ciałem.
Zachodzą następujące własności:
X ­ 0 p.p.,
Jeli
to E(X|A) ­ 0 p.p.
E(αX + βY |A) = αE(X|A) + βE(Y |A) p.p.
Jeli
X¬Y
p.p.
dla
(3)
α, β ∈ R,
to E(X|A) ¬ E(Y |A) p.p.
|E(X|A)| ¬ E(|X||A) p.p.
Dowód :
(3) Niech X ­ 0 p.p. Mamy:
0¬
Z
E(X|A)<0
XdP =
Z
E(X|A)dP ¬ 0.
E(X|A)<0
7
(4)
(5)
(6)
Zatem E(X|A) ­ 0 p.p.
(4) Oczywiście funkcja αE(X|A) + βE(Y |A) jest A -mierzalna. Dla A ∈ A
mamy:
Z
Z
Z
(αX + βY )dP = α XdP + β Y dP =
A
=α
Z
A
A
E(X|A)dP + β
Z
A
E(Y |A)dP =
A
Z
(αE(X|A) + βE(Y |A)).
A
Zatem funkcja αE(X|A)+βE(Y |A) jest wersją w.w.o. zmiennej losowej αX +
βY .
(5) Niech X ¬ Y p.p. Korzystając z punktów (3) i (4) otrzymujemy:
0 ¬ E(Y −X|A) = E(Y |A)−E(X|A) p.p.,
czyli E(X|A) ¬ E(Y |A) p.p.
(6) Oczywiście X ¬ |X| oraz −X ¬ |X|. Wykorzystując własności (4) i (5)
otrzymujemy:
E(X|A) ¬ E(|X||A) i
− E(X|A) = E(−X|A) ¬ E(|X||A).
Zatem reasumując:
|E(X|A)| ¬ E(|X||A)
Na zakończenie tego paragrafu zdefiniujemy pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego względem σ-ciała.
Definicja 2.2.5 Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru B pod warunkiem σ-ciała A nazywamy wersję warunkowej wartości oczekiwanej
P (B|A) = E(1B |A).
8
3
3.1
Twierdzenia o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał
Twierdzenie o otulaniu σ-ciał
Przypomnijmy zamieszczoną w rozdziale drugim definicję -otulania (2.1.7).
Jeśli:
P (A\B) = ,
ρ(B, A) = sup inf
B∈B A∈AA⊃B
to powiemy, że σ-ciało A -otula σ-ciało B.
Twierdzenie 3.1.1 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A taki, że
P (Z) ¬ 4ρ(B, A) oraz B\Z ⊂ A\Z.
Twierdzenie to wynika z lematu o macierzach oraz serii lematów, które przybliżają nas do ostatecznego dowodu. Tutaj podamy jedynie treść oraz dowód
lematu o macierzach (wedle pozycji [4]). W następnym paragrafie w podobny
sposób, wykorzystując analogiczne lematy i metody dowodowe udowodnimy
ogólniejsze twierdzenie o σ-otulaniu warunkowym.
Lemat 3.1.2 (Lemat o macierzach) Niech [ai,j ]ni,j=1 będzie macierzą o wyrazach rzeczywistych taką, że ai,i = 0 dla i = 1, . . . , n. Istnieje zbiór J ⊂
{1, 2, . . . , n} taki, że
X
X
ai,j +
ai,j ­
i6∈J,j∈J
i∈J,j6∈J
n
1 X
ai,j .
2 i,j=1
Dowód :
Niech F : 2{1,...,n} → R będzie funkcją zdefiniowaną w następujący sposób:
F (I) =
P
i∈I,j6∈I
ai,j +
P
i6∈I,j∈I
ai,j , dla I ⊂ {1, . . . , n}
Wybierzmy zbiór J ⊂ {1, 2, . . . , n}, który realizuje maksimum funkcji F,
to znaczy taki, że F (J) = max{F (I) : I ⊂ {1, 2, . . . n}}. Należy pokazać, że
P
F (J) ­ 21 ni,j=1 ai,j .
Dla k ∈ J mamy:
X
j6∈J
ak,j +
X
i6∈J
ai,k ­
X
j∈J
ak,j +
X
i∈J
ai,k .
(7)
W przeciwnym razie, wykorzystując fakt, że ak,k = 0 mielibyśmy:
X
F (J) =
ai,j +
i∈J,j6∈J
X
<
X
ai,j +
i6∈J,j∈J\{k}
X
ai,j =
i6∈J,j∈J
X
ai,j +
i∈J\{k},j6∈J
X
i∈J\{k},j6∈J
ai,j +
ak,j +
X
X
X
ak,j +
j6∈J
ai,j +
i∈J\{k},j6∈J
ai,j +
i∈J\{k},j6∈J\{k}
j∈J\{k}
X
ai,k =
i∈J
X
ak,j =
ai,j +
i6∈J,j∈J\{k}
X
j∈J
i6∈J,j∈J\{k}
X
X
X
ai,j +
ai,k
i6∈J
X
ai,k +
i∈J\{k}
ai,j = F (J\{k})
i6∈J\{k}j6∈J\{k}
Czyli F (J) < F (J\{k}), co jest sprzeczne z wyborem zbioru J.
Sumując teraz (7) po k ∈ J otrzymujemy:
X
F (J) ­ 2
ai,j .
(8)
i,j∈J
Analogicznie dla k 6∈ J mamy:
X
j∈J
ak,j +
X
ai,k ­
X
ak,j +
ai,k
(9)
i6∈J
j6∈J
i∈J
X
Podobnie, sumując (9) po k 6∈ J otrzymujemy:
F (J) ­ 2
X
ai,j
(10)
i,j6∈J
Korzystając z nierówności (8) i (10) dostajemy:
n
X
1 X
1 X
1 1
1
ai,j = (
ai,j +
ai,j )+F (J)) ¬ ( F (J)+ F (J)+F (J)) = F (J),
2 i,j=1
2 i,j6∈J
2 2
2
i,j∈J
co kończy dowód.
3.2
Przykłady
Przykład 3.2.1 W twierdzeniu 3.1.1 uzupełnienie σ-ciała A względem miary
P jest konieczne. Istnieje przestrzeń (Ω, F, P ) oraz σ-ciała A, B ⊂ F takie,
że:
ρ(B, A) = 0,
zaś jedynym zbiorem Z ∈ A, dla którego zachodzi:
B\Z ⊂ A\Z,
10
jest cała przestrzeń Ω.
Rzeczywiście, niech:
Ω = [0, 1] × [0, 1],
F = Borel([0, 1] × [0, 1]),
P = λ2 .
Wystarczy przyjąć:
A = {C × [0, 1];
C
lub
([0, 1]\C) przeliczalny},
B = {C ⊂ [0, 1] × [0, 1];
C
lub
([0, 1] × [0, 1]\C) przeliczalny}.
Wtedy ρ(B, A) = 0. Rzeczywiście, jeśli zbiór B ∈ B jest przeliczalny, to
ma miarę 0, zatem za A wystarczy wziąć sumę odcinków {xk } × [0, 1], gdzie
xk , k ∈ N są rzutami punktów zbioru B na oś OX. Suma taka również ma
miarę 0 i zawiera zbiór A. Jeśli B ∈ B jest nieprzeliczalny to za A wystarczy
wziąć całą przestrzeń Ω. Jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że B\Z ⊂ A\Z,
jest Z = [0, 1] × [0, 1]. Oczywiście B ⊂ A.
3.3
Twierdzenie o warunkowym otulaniu σ-ciał
W paragrafie tym, wykorzystując podobne metody jak w dowodzie twierdzenia 3.1.1, w pracy [4] udowodnimy ogólniejsze twierdzenie 3.3.3. Zgodnie
z definicją 2.1.10 mamy:
ρ 0 ((B, A)|C) = sup inf
B∈B A∈AA⊃B
ess sup(P ((A\B)|C))(ω))
ω∈Ω
Lemat 3.3.1 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych parami rozłącznych zbiorów
S
B1 , B2 , . . . , Bn ∈ B takich, że ni=1 Bi = Ω istnieją takie zbiory A1 , A2 , . . . , An ∈
A, że Bi ⊂ Ai , dla i = 1, . . . , n oraz
P ((
n
[
(Ai \Bi ))|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
i=1
Dowód :
Dla dowolnego zbioru B ∈ B niech B ∈ A oznacza dowolny ustalony element
σ-ciała A taki, że B ⊂ B oraz P ((B\B)|C) ¬ ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
Połóżmy:
[
\
Ai =
Bj .
I⊂{1,2,...,n},i∈I j∈I
Oczywiście Ai ∈ A oraz Bi ⊂ Ai dla i = 1, 2, . . . , n. Zachodzi również
S
S
S
i∈I Bi ⊂
i∈I Ai ⊂
i∈I Bi dla dowolnego I ⊂ {1, 2, . . . , n}. Stąd wynika,
11
że P (( i∈I Ai \ i∈I Bi )|C) ¬ P (( i∈I Bi \ i∈I Bi )|C) ¬ ρ 0 ((B, A)|C) p.p. dla
I ⊂ {1, 2, . . . , n}.
S
Należy pokazać, że P (( ni=1 (Ai \Bi ))|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
S
Z założenia, że ni=1 Bi = Ω oraz Bi ∩ Bj = ∅ dla j 6= i wynika, że:
S
S
S
n
[
(Ai \Bi ) =
i=1
n
[
(Ai ∩
i=1
S
[
n [
[
Bi ) =
(Ai ∩ Bj ).
i=1 j6=i
j6=i
Połóżmy:
(
Cji
=
∅
dla i=j,
S
Bj ∩ (Ai \ k<i,k6=j Ak ) dla i 6= j.
Zbiory Cji są parami rozłączne, Cji ⊂ Bj ∩ Ai oraz ni=1 Cji = Bj ∩ i6=j Ai .
Przyjmując taką wersję prawdopodobieństwa warunkowego, dla której P (∅|C)(ω) =
0 dla ω ∈ Ω oraz stosując lemat 3.1.2 do macierzy [P (Cji |C)(ω)]ni,j=1 dla dowolnego ω ∈ Ω uzyskujemy zbiór Jω ⊂ {1, 2, . . . , n} taki, że:
S
S
P (Cji |C)(ω)
X
2
+2
i∈Jω ,j6∈Jω
P (Cji |C)(ω)
X
­
i6∈Jω ,j∈Jω
n
X
P (Cji |C)(ω)
(11)
i,j=1
Dla dowolnego zbioru I ⊂ {1, 2, . . . , n} przyjmijmy:
n
P (Cji |C)(ω) + 2
X
FI = ω : 2
P (Cji |C)(ω) ­
X
i6∈I,j∈I
i∈I,j6∈I
n
X
o
P (Cji |C)(ω)
i,j=1
Z (11) wnioskujemy, że I⊂{1,2,...,n} FI = Ω. Dla ustalonego zbioru J ⊂
{1, 2, . . . , n} oraz dla prawie każdego ω ∈ FJ mamy:
S
P ((
n
[
(Ai \Bi ))|C)(ω) = P ((
n
[
Cji )|C)(ω) ¬ 2P ((
+2P ((
n
[
Cji )|C)(ω)
¬ 2P ((
i6∈J,j∈J
2P ((
n
[
[
i6∈J
Ai \
n
[
(Ai ∩ Bj ))|C)(ω)+
i∈J,j6∈J
(Ai ∩ Bj ))|C)(ω) = 2P ((
i6∈J,j∈J
+2P ((
[
i∈J
[
Cji )|C)(ω)+
i∈J,j6∈J
i,j=1
i=1
n
[
Ai \
[
Bj )|C)(ω)+
j∈J
Bj )|C)(ω) ¬ 2ρ 0 ((B, A)|C) + 2ρ 0 ((B, A)|C) =
j6∈J
= 4ρ 0 ((B, A)|C)
12
S
Ponieważ J⊂{1,2,...,n} FJ = Ω oraz istnieje jedynie skończona ilość podzbiorów J, więc:
P ((
n
[
(Ai \Bi ))|C)(ω) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
i=1
Co było do okazania.
Lemat 3.3.2 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, oraz
A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Dla dowolnych zbiorów B1 , B2 , . . . ∈ B istnieje
zbiór Z ∈ A taki, że P (Z|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p. oraz Bi ∪ Z ∈ A dla
dowolnego i ∈ N.
Dowód :
Niech k ∈ N oraz B1k , B2k , . . . , Bnkk będą wszystkimi atomami σ-ciała σ(B1 , B2 , . . . , Bk ).
Zgodnie z lematem 3.3.1 istnieją zbiory Ak1 , Ak2 , . . . , Aknk ∈ A takie, że
Bik ⊂ Aki
dla k ∈ N,
1 ¬ i ¬ nk
oraz
P ((
nk
[
(Aki \Bik ))|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p. dla k ∈ N.
(12)
i=1
Mamy:
(Aki ∩ Akj ) =
[
i6=j, 1¬i,j¬nk
(((Aki \Bik ) ∪ Bik ) ∩ ((Akj \Bjk ) ∪ Bjk ))) =
[
i6=j, 1¬i,j¬nk
(((Aki \Bik )∩(Akj \Bjk ))∪((Aki \Bik )∩Bjk )∪((Akj \Bjk )∩Bik )∪(Bjk ∩Bik )) ⊂
[
i6=j, 1¬i,j¬nk
((Aki \Bik )
[
∪
(Aki
∩
Bjk )
∪
(Akj
∩
Bik ))
=
nk
[
(Aki \Bik )
i=1
i6=j, 1¬i,j¬nk
Oczywiście zawieranie w drugą stronę również zachodzi, zatem reasumując:
nk
[
(Aki \Bik ) =
i=1
[
(Aki ∩ Akj ).
i6=j, 1¬i,j¬nk
Niech
Dnk =
[
i:Bik ⊂Bn
Aki ∩
[
j:Bjk ∩Bn =∅
13
Akj ,
dla n ¬ k.
(13)
Oczywiście Dnk ∈ A. Z (13) wynika, że
Dnk
nk
[
⊂
(Aki \Bik ).
(14)
i=1
Mamy:
Bik ⊂
[
Bn =
Aki
[
(15)
i:Bik ⊂Bn
i:Bik ⊂Bn
oraz
Akj ⊃ Bn ∪
[
Bn ∪
j:Bjk ∩Bn =∅
Bjk = Bn ∪ Bnc = Ω.
[
(16)
j:Bjk ∩Bn =∅
Wykorzystując (15) i (16) otrzymujemy:
Bn ∪ Dnk = Bn ∪ (
Aki ∩
[
j:Bjk ∩Bn =∅
i:Bik ⊂Bn
Aki ) ∩ (Bn ∪
[
= (Bn ∪
Aki ∩ Ω =
[
Akj ) =
[
j:Bjk ∩Bn =∅
i:Bik ⊂Bn
=
Akj ) =
[
[
Aki ∈ A
(17)
i:Bik ⊂Bn
i:Bik ⊂Bn
Połóżmy:
[ \
Z=
Dnk ∈ A.
n∈N k­n
Z faktu, że Z = Z ∪
T
k­n
Dnk oraz z (17) otrzymujemy:
Bn ∪ Z = Z ∪
\
(Bn ∪ Dnk ) ∈ A,
dla n ∈ N.
k­n
Pozostało pokazać, że P (Z|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C).
Istotnie, wykorzystując (12) i (14) otrzymujemy:
P (Z|C) = P ((
[ \
Dnk )|C) = lim P ((
N →∞
n∈N k­n
¬ lim inf P ((
N →∞
n
N
[
N \
[
n=1 k­n
Dnk )|C) ¬ lim inf P ((
N →∞
0
N
(AN
n \Bn ))|C) ¬ 4ρ ((B, A)|C) p.p.
n=1
14
N
[
n=1
DnN )|C)
Przejdźmy teraz do dowodu następującego twierdzenia będącego uogólnieniem twierdzenia 3.1.1:
Twierdzenie 3.3.3 Niech A, B, C ⊂ F będą σ-ciałami. Istnieje zbiór Z ∈ A
taki, że:
P (Z|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
B\Z ⊂ A\Z
oraz
Dowód :
Niech B = {Bα : α ∈ I}, dla pewnego zbioru indeksów I.
Niech α =inf{P (D) : D ∈ A, Bα ∪ D ∈ A}. Dla dowolnego α ∈ I i k ∈ N
rozważmy zbiory Dα,k takie, że Dα,k , Bα ∪ Dα,k ∈ A oraz P (Dα,k ) < α + k1 .
T
Przyjmijmy teraz Dα = k­1 Dα,k . Ponieważ Bα ∪ Dα ∈ A, więc:
P (Dα ) = α ,
Dα , Bα ∪ Dα ∈ A.
Niech relacja ≺ ustanawia dobry porządek w zbiorze I. Za pomocą zasady
indukcji pozaskończonej zdefiniujemy rodzinę (Gj , j ∈ I) ⊂ A spełniającą
następujące warunki:
P (Gj ) = j ,
Gj ∈ A, Bj ∪ Gj ∈ A,
(18)
Gk ∈ A,
(19)
[
k≺j
Gj \
[
Gk = ∅
[
P (Gj \
lub
k≺j
Gk ) > 0.
(20)
k≺j
Niech α0 będzie piewszym elementem dobrze uporządkowanego zbioru I.
Przyjmijmy Gα0 = Dα0 , jeśli P (Dα0 ) > 0 oraz Gα0 = ∅, jeśli P (Dα0 ) = 0. Nietrudno zauważyć, zbiór Gα0 spełnia warunki (18)-(20). Załóżmy, że warunki
(18)-(20) są spełnione dla zbiorów Gj przy j ≺ i dla pewnego i ∈ I. Istnieje
S
co najwyżej przeliczalna liczba indeksów i takich, że P (Gi \ k≺i Gk ) > 0.
Połóżmy:
Gi = Di ,
P (Di \
jeśli
[
Gk ) > 0,
(21)
k≺i
G i = Di ∩
[
Gk ,
jeśli
k≺i
P (Di \
[
k≺i
15
Gk ) = 0.
(22)
Powyższa definicja jest poprawna, gdyż:
[
Gj =
j≺i
[
(Gj \
j≺i
[
[
Gk ) =
(Gj \
j≺i
k≺j
P (Gj \
S
k≺j
[
Gk ) ∈ A.
(23)
k≺j
Gk )>0
Oczywiście:
Bi ∪ Di ∈ A oraz Bi ∪ (Di ∩
[
Gk ) = (Bi ∪ Di )\((Di \
k≺i
[
Gk )\Bi ) ∈ A
k≺i
Zatem z powyższego oraz z definicji zbioru Gi wynika, że warunek (18) jest
spełniony również dla liczby porządkowej i. Warunek (19) wynika wprost z
(23), zaś (20) z definicji zbioru Gi . Zbiór Z definujemy w następujący sposób:
Z=
[
[
Gj =
j∈I
Gj .
(24)
j∈I
Gj \
S
k≺j
Gk 6=∅
Z określenia rodziny (Gj , j ∈ I) wnioskujemy, że istnieje co najwyżej przeliS
czalna ilość indeksów j ∈ I spełniających warunek Gj \ k≺j Gk 6= ∅, zatem
Z ∈ A.
Wprost z określenia zbioru Z i rodziny (Gj , j ∈ I) otrzymujemy, że B\Z ⊂
A\Z. Pozostaje pokazać, że P (Z|C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C).
Zgodnie z lematem 3.3.2 istnieje zbiór Z0 ∈ A taki, że Bj ∪ Z0 ∈ A,
S
P (Z0 |C) ¬ 4ρ 0 ((B, A)|C), dla j takich, że Gj \ k≺j Gk 6= ∅.
S
Niech j ∈ {j : Gj \ k≺j Gk 6= ∅}. Z określenia Dj , jako zbiorów o minimalnym prawdopodobieństwie spełniających warunek Dj , Bj ∪ Dj ∈ A, mamy
P (Dj ) = P (Dj ∩ Z0 ). Z (21) i (22) wnioskujemy, że P (Gj ) = P (Gj ∩ Z0 ).
Ostatecznie otrzymujemy:
[
P (Z|C) = P (
Gj \
= E(1S
j∈I,Gj \
Sj∈I
S
k≺j
k≺j
Gk
Gj |C) = E(1S
j∈I,Gj \
S
k≺j
Gk 6=∅
Gj |C)
=
Gk 6=∅
G ∩Z0 |C)
6 ∅ j
=
[
= P(
Gj ∩ Z0 |C) ¬
j∈I
Gj \
S
k≺j
Gk 6=∅
¬ 4ρ 0 ((B, A)|C) p.p.
Zauważmy, że twierdzenie 3.1.1 otrzymujemy z 3.3.3 podstawiając C = {∅, Ω}.
16
3.4
Przykłady
Przykład 3.4.1 W tezie twierdzenia 3.3.3 uzupełnienie σ-ciała A względem
miary P jest konieczne. Rzeczywiście, przyjmując Ω, A, B, F oraz miarę P
tak jak w przykładzie 3.2.1, oraz σ-ciało C = {∅, Ω} otrzymujemy:
ρ 0 ((B, A)|C) = 0 p.p.,
zaś jedynym zbiorem Z ∈ A takim, że:
B\Z ⊂ A\Z,
jest cała przestrzeń Ω.
3.5
Twierdzenie o przybliżaniu σ-ciał
W paragrafie tym ograniczymy się do przedstawienia twierdzenia udowodnionego w pracy [4]. Będzie nam ono potrzebne w następnych paragrafach
do udowodnienia pewnych zależności pomiędzy σ -przybliżaniem, a odległością operatorów w Lp . Zgodnie z definicją 2.1.7 mamy:
ρ(B, A) = sup inf P (A4B)
B∈B A∈A
Twierdzenie 3.5.1 Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną,
A, B ⊂ F σ-ciałami. Jeżeli ρ(B, A) < , to istnieje zbiór Z ∈ σ(A, B) taki,
(F ,P)
\Z.
że P (Z) < 22, oraz B\Z ⊂ A
3.6
Przykłady
Przykład 3.6.1 W twierdzeniu 3.5.1 nie wystarczy uzupełnić σ-ciała A względem miary P . Istnieje przestrzeń (Ω, F, P ) oraz takie σ-ciała A, B, że:
ρ(B, A) = 0,
zaś dla każdego zbioru Z ∈ σ(A, B) takim, że:
B\Z ⊂ A\Z,
zachodzi P (Z) = 1.
Rzeczywiście, niech:
Ω = [0, 1],
F = Borel([0, 1]).
17
(25)
Wystarczy przyjąć:
A = {∅, Ω},
B = {B :
B
przeliczalny
(F ,P )
lub
Bc
przeliczalny}.
Oczywiście ρ(B, A) = 0, A = A, B ⊂ A
. Jednak B\Z ⊂ A\Z jedynie
dla Z = Ω lub Z = Ω\{ω} dla pewnego ω ∈ Ω.
18
4
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
4.1
Twierdzenie o odległości operatorów w.w.o.
W paragrafie tym podamy wnioski dla odległości operatorów w.w.o. wynikające z twierdzeń o otulaniu i przybliżaniu σ-ciał. Dowody głównych twierdzeń poprzedzimy serią lematów.
Lemat
4.1.1 RJeśli X ∈ L∞ (Ω, F, P ), |X| ¬ 1 p.p. dla pewnych A, B ∈ F,
R
to | A XdP − B XdP | ¬ P (A 4 B).
Dowód :
|
Z
XdP −
A
Z
B
XdP | = |
Z
A\B
XdP −
Z
B\A
XdP | ¬
Z
|X|dP ¬ P (A 4 B).
A4B
Lemat 4.1.2 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami, Z ⊂ Ω. Jeśli A\Z = B\Z,
to σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.
Dowód :
Oznaczmy:
M = {(A\Z) ∪ C : A ∈ A, C ⊂ Z}.
M jest σ-ciałem. Rzeczywiście:
1.
∅ ∈ M (Za A i C wystarczy wziąć ∅)
2.
Niech D ∈ M, czyli D = (A\Z) ∪ C, dla pewnych A ∈ A, C ⊂ Z.
Wtedy Dc = (Ac ∪ Z) ∩ C c = (Ac \C) ∪ (Z\C) = (Ac \Z) ∪ (Z\C) ∈ M
3.
Niech D1 , D2 , . . . ∈ M, czyli Di = (Ai \Z) ∪ Ci , Ci ⊂ Z i ∈ N.
S
S
S
Mamy i∈N Di = ( i∈N Ai \Z) ∪ i∈N Ci ∈ M.
Oczywiście A ⊂ M. (Dla dowolnego zbioru D ∈ A przyjmujemy A = D, C =
Z ∩ A).
Niech B ∈ B, wtedy istnieje D ∈ A takie, że D\Z = B\Z.
Stąd przyjmując A = D, C = B ∩ Z otrzymujemy, że B ⊂ M. Reasumując A, B ⊂ M, a ponieważ M jest σ-ciałem, więc σ(A, B) ⊂ M. Zatem
σ(A, B)\Z ⊂ M\Z = A\Z = B\Z. Z faktu, że A, B ⊂ σ(A, B) wynika, że
A\Z, B\Z ⊂ σ(A, B)\Z. Ostatecznie σ(A, B)\Z = A\Z = B\Z.
Lemat 4.1.3 Niech X, Y, V ∈ L∞ (Ω, F, P ), oraz |X|, |Y |, |V | ¬ 1 p.p. Jeśli
A, B ⊂ F, oraz spełnione są warunki:
1.
A\Z = B\Z, dla pewnego Z ∈ F
R
2.
Dla
dowolnych
zbiorów
B
∈
B,
A
∈
A
zachodzą
równości
B XdP =
R
R
R
V
dP
i
Y
dP
=
V
dP
,
to:
B
A
A
|
Z
XdP −
Z
D
Y dP | ¬ 3P (Z),
dla dowolnego D ∈ σ(A, B).
D
Dowód :
Niech D ∈ σ(A, B). Zgodnie z lematem 4.1.2 istnieją zbiory B ∈ B oraz
A ∈ A takie, że D\Z = B\Z = A\Z. Korzystając z lematu 4.1.1 otrzymujemy:
|
Z
XdP −
Z
D
=|
Y dP | = |
Z
D
Z
XdP −
B\Z
Z
XdP −
¬|
Z
Z
Y dP +
A
V dP −
B
Z
V dP | + |
Z
A∩Z
XdP −
Y dP +
Z
Z
Z
XdP −
Y dP | =
D∩Z
XdP −
D∩Z
Z
Z
D∩Z
B∩Z
Y dP −
Z
A∩Z
A
+|
Y dP +
A\Z
Z
B∩Z
B
Z
XdP −
Z
Y dP | ¬
D∩Z
XdP |+
D∩Z
Y dP | ¬ 3P (Z)
D∩Z
Lemat 4.1.4 Niech A, B ⊂ F będą σ-ciałami. Jeśli istnieją zbiory
Z1 ∈ σ(A, B), Z2 ∈ σ(B, A) takie, że P (Z1 ), P (Z2 ) ¬ oraz
(F ,P )
(F ,P )
(F ,P )
(F ,P )
B\Z1 ⊂ A
\Z1 , A\Z2 ⊂ B
\Z2 , to istnieje zbiór Z ∈ σ(B
,A
)
(F ,P )
(F ,P )
taki, że P (Z) ¬ 2 oraz B
\Z = A
\Z.
Dowód :
(F ,P )
(F ,P )
Niech Z = Z1 ∪ Z2 . Oczywiście Z ∈ σ(B
,A
) oraz P (Z) ¬ 2.
Pozostaje pokazać, że:
(F ,P )
(F ,P )
B
\Z = A
\Z.
Ponieważ B\Z1 ⊂ A
(F ,P )
\Z1 oraz Z1 ⊂ Z, więc:
B\Z ⊂ A
Niech C ∈ B
(F ,P )
(F ,P )
\Z.
, czyli istnieje taki zbiór C1 ∈ B, że:
P (C1 4 C) = 0.
20
(26)
(F ,P )
Z (26) wynika, że C1 \Z ∈ A
\Z. Zatem istnieje taki zbiór A ∈ F, że
C1 \Z = A\Z oraz A1 ∈ A taki, że P (A4A1 ) = 0. Ponieważ dla dowolnego
zbioru D ∈ F mamy:
P (A1 4A) + P (A4D) ­ P (A1 4D),
więc wystarczy teraz znaleźć D ∈ F taki, że P (D4A) = 0 oraz D\Z = C\Z.
Połóżmy:
D = ((C ∩ A) ∪ (C\C1 ))\Z ∪ (A ∩ Z) ∈ F.
Korzystając z faktu, że C1 \Z = A\Z, mamy:
D\Z = ((C ∩ A) ∪ (C\C1 ))\Z = (C ∩ A)\Z ∪ (C\C1 )\Z =
= C ∩ (A\Z) ∪ (C\C1 )\Z = C ∩ (C1 \Z) ∪ (C\C1 )\Z =
= (C ∩ C1 ∪ C\C1 )\Z = C\Z.
(27)
Dalej:
D 4 A = (((C ∩ A) ∪ (C\C1 ))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 A =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C1 ))\Z ∪ (A ∩ Z)) 4 (A\Z ∪ A ∩ Z) =
= ((C ∩ A) ∪ (C\C1 ))\Z 4 (A\Z) =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C1 )) 4 A)\Z =
= (((C ∩ A) ∪ (C\C1 ) ∪ A)\(((C ∩ A) ∪ (C\C1 )) ∩ A))\Z =
= ((A∪(C\C1 ))\((A∩C)∪(A∩(C\C1 ))))\Z = ((A∪(C\C1 ))\(A∩C))\Z =
= ((A\C) ∪ (Ac ∩ (C\C1 )))\Z =
= (Ac ∩ (C\C1 ))\Z ∪ (A\C)\Z =
= (Ac ∩ (C\C1 ))\Z ∪ (C1 \C)\Z.
Oczywiście ze względu na P (C1 4 C) = 0 mamy P (C1 \C) = 0
oraz P (C\C1 ) = 0, stąd:
P (A 4 D) ¬ P ((Ac ∩ (C\C1 ))\Z) + P ((C1 \C)\Z) ¬
¬ 2P (C\C1 ) + P (C\C1 ) = 0.
Reasumując P (A1 4 D) = 0. Stąd wynika, że D ∈ A
daje:
(F ,P )
C\Z ∈ A
\Z.
21
(F ,P )
, co wobec (27)
Pokazaliśmy więc, że
(F ,P )
B
\Z ⊂ A
(F ,P )
\Z.
Analogicznie pokazujemy zawieranie w drugą stronę, otrzymując ostatecznie
tezę lematu:
(F ,P )
(F ,P )
B
\Z = A
\Z.
Twierdzenie 4.1.5 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) < oraz EA , EB : L∞ → L1 ,
to:
||EA − EB ||∞,1 ¬ 264.
Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.5.1 istnieją zbiory Z1 ∈ σ(A, B), Z2 ∈ σ(B, A)
takie, że:
B\Z1 ⊂ A
P (Z1 ), P (Z2 ) ¬ 22,
(F ,P )
\Z1 , A\Z2 ⊂ B
(F ,P )
Korzystając teraz z lematu 4.1.3 otrzymujemy zbiór Z ∈ σ(B
taki, że:
(F ,P )
(F ,P )
B
\Z = A
\Z.
P (Z) ¬ 44,
\Z2 .
(F ,P )
,A
(F ,P )
)
Weźmy teraz dowolne X ∈ L∞ (Ω, F, P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z
własnością 2.2.4
|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,
R
R
|E(X|B)| ¬ 1 p.p.
R
R
Oczywiście B E(X|B)dP = B XdP , A E(X|A)dP = A XdP , dla dowolnych B ∈ B, A ∈ A. Z definicji uzupełnienia wynika, że jest to również
(F ,P )
(F ,P )
prawda dla zbiorów B ∈ B
iA∈A
.
Zauważmy jeszcze, że zbiory:
D1 = {ω ∈ Ω :
E(X|A)(ω) ¬ E(X|B)(ω)}
D2 = {ω ∈ Ω :
E(X|A)(ω) > E(X|B)(ω)}
należą do sigma ciała σ(A, B).
Mamy:
Z
Ω
|E(X|B)−E(X|A)|dP =
Z
Z
(E(X|B)−E(X|A))dP +
D1
D2
22
(E(X|A)−E(X|B))dP.
Stosując teraz lemat 4.1.3 dla zbiorów D1 , D2 , zmiennych losowych E(X|A),
(F ,P )
(F ,P )
iA
otrzymujemy:
E(X|B), X oraz σ-ciał B
Z
D1
oraz
Z
D2
(E(X|B) − E(X|A))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132
(E(X|A) − E(X|B))dP ¬ 3P (Z) ¬ 132.
Sumując nierówności stronami, z dowolności X dostajemy tezę twierdzenia,
czyli:
||EA − EB ||∞,1 ¬ 264
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika następujący wniosek:
Wniosek 4.1.6 Jeśli EA , EB : L∞ → L1 , to:
||EA − EB ||∞,1 ¬ 264 max(ρ(B, A), ρ(A, B)).
4.2
Przykłady
Przykład 4.2.1 Twierdzenie 4.1.5 nie jest prawdziwe, jeśli będziemy rozpatrywać normę || · ||1,1 . Więcej, dla dowolnego 0 < < 21 istnieje przestrzeń
(Ω, F, P ) oraz σ-ciała A, B ∈ F takie, że ρ(A, B) ¬ oraz ρ(B, A) ¬ , a
jednocześnie:
||EA − EB ||1,1 > 1.
Przyjmijmy:
Ω = [0, 1],
P = λ1 ,
F = B([0, 1])
oraz
1
1
1 1
A = {∅, [0, ], ( , 1], Ω} B = {∅, [0, + ], ( + , 1], Ω}.
2 2
2
2
Oczywiście ρ(A, B) = oraz ρ(B, A) = . Niech Z = [ 21 , 12 + ], A = [ 21 , 1],
B = [0, 12 + ]. Określmy X ∈ L1 (Ω, F, P ) następującym wzorem:
1
X = 1Z .
Wprost z określenia E|X| =
R
Z
XdP = 1. Jednocześnie:
1 Z
1 Z
|E X − E X|dP = |1A
XdP − 1B
XdP |dP =
P (A) A
P (B) B
Ω
Ω
Z
A
B
Z
23
= 1 − 2 +
1
4
42 + 1
+
= 1 − 2 +
> 1.
1 + 2
1 + 2
2 + 1
Przykład 4.2.2 Przyjmijmy Ω = [0, 1], P = λ1 ,
0 < n < 21 oraz n < δ będą liczbami rzeczywistymi.
1 1
A = {∅, [0, ], ( , 1], Ω}
2 2
An = {∅, [0,
F = B([0, 1]). Niech
1
1
+ n ], ( + n , 1], Ω}.
2
2
Oczywiście ρ(A, An ) ¬ n oraz ρ(An , A) ¬ n . Niech Z = [ 21 , 12 + δ], A =
[ 21 , 1], An = [0, 12 + n ]. Określmy X ∈ L1 (Ω, F, P ) następującym wzorem:
M ∈ R+ .
X = M 1Z ,
Zauważmy, że założenia są podobne do założeń w przykładzie 4.2.1, jednak
zamiast σ-ciała B mamy σ-ciało An . Nietrudno obliczyć, że
EA X = 2δM 1A ,
EAn X = M
2n
2(δ − n )
1An + M
1Acn .
1 + 2n
1 − 2n
Jeśli teraz n → 0 to EAn X → EA X p.p. W paragrafie 4 udowodnimy ogólną
zależność pomiędzy zbieżnością σ-ciał, a prawie pewną zbieżnością w.w.o.
4.3
Wnioski z twierdzenia o odległości operatorów
Wniosek 4.3.1 Jeśli ρ(A, B) < , ρ(B, A) < , oraz EA , EB : L∞ → Lp , dla
p ­ 1, to:
1
1
||EA − EB ||∞,p ¬ 21− p (264) p
Dowód :
Weźmy dowolne X ∈ L∞ (Ω, F, P ) takie, że |X| ¬ 1 p.p. Zgodnie z własnością
2.2.4
|E(X|A)| ¬ 1 p.p.,
|E(X|B)| ¬ 1 p.p.
Stąd i z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:
Z
Ω
A
B
p
|E X − E X|
1
p
dP = 2
!1
Z A
|E X − EB X| p p
Ω
24
2
dP ¬
¬2
Z
Ω
|EA X − EB X|
2
!1
p
1
1
dP ¬ 21− p (264) p
Wniosek 4.3.2 Jeśli ρ(A, B) ¬ , ρ(B, A) ¬ oraz EA , EB : L∞ → Lp , to:
1
1
||EA − EB ||∞,p ¬ 21− p (48) p
W szczególności, gdy p = 1:
||EA − EB ||∞,1 ¬ 48
Dowód :
Zgodnie z twierdzeniem 3.1.1 istnieją zbiory Z1 ∈ A, Z2 ∈ B takie, że:
P (Z1 ), P (Z2 ) ¬ 4,
B\Z1 ⊂ A\Z1 , A\Z2 ⊂ B\Z2 .
Postępując analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy tezę.
25
5
5.1
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a zbieżność σ-ciał w metryce d˜
Metryka d˜
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś F rodziną wszystkich pod-σ-ciał F. W rodzinie F wprowadzamy następującą relację r:
ArB
⇔
A
(F ,P )
=B
(F ,P )
,
A, B ∈ F.
Relacja r jest relacją równoważności w zbiorze F, dzieli go zatem na klasy
abstrakcji. W dalszym ciągu pisząc "σ-ciało" będziemy mieli na myśli dowolnego reprezentanta klasy abstrakcji wyznaczonej przez to σ-ciało oraz relację
r. Niech F0 = {[F] : F ∈ F}. Zgodnie z przyjętą konwencją elementy F0 będę
nazywał σ-ciałami. Rozważmy następującą funkcję d˜ : F0 × F0 → R+ ∪ {0}:
˜ B) = max(ρ(A, B), ρ(B, A)).
d(A,
(F ,P )
(F ,P )
Oczywiście ρ(A, B) = ρ(A
,B
), zatem funkcja ρ jest poprawnie zdefiniowana.
Funkcja d˜ jest metryką w F. Oczywiście:
∀A,B∈F0
˜ B) ­ 0.
d(A,
˜ B) =
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy A = B. Rzeczywiście, jeśli d(A,
0 to z lematu 4.1.4 oraz twierdzenia 3.5.1 wynika, że A = B. Oczywiście implikacja w drugą stronę również zachodzi. Wprost z definicji wynika, że:
∀A,B∈F0
˜ B) = d(B,
˜ A).
d(A,
Pozostaje pokazać, że d˜ spełnia warunek trójkąta. Weźmy dowolne sigma
ciała A, B, C ∈ F0 , oraz > 0. Mamy:
∀>0,A∈A ∃C∈C
˜ C) + P (A4C) < d(A,
2
(28)
Teraz dla dobranego uprzednio oraz znalezionego zbioru C istnieje zbiór
B ∈ B taki, że:
˜ C) + P (B4C) < d(B,
2
(29)
Dodając nierówności (28) i (29) stronami otrzymujemy:
˜ C) + d(C,
˜ B) + .
P (A4C) + P (C4B) < d(A,
(30)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy:
(A4C) ∪ (C4B) = (A ∪ B)\C ∪ C\(A ∩ B) ⊃
⊃ (A ∪ B)\(A ∩ B) = A4B
Stąd i z (30) otrzymujemy:
∀>0,A∈A ∃B∈B
˜ C) + d(C,
˜ B) + P (A4B) < d(A,
(31)
Postępując analogicznie otrzymujemy:
∀>0,B∈B ∃A∈A
˜ C) + d(C,
˜ A) + P (A4B) < d(B,
(32)
Warunki (31) i (32) mówią nam odpowiednio, że:
˜ C) + d(C,
˜ B)
ρ(A, B) ¬ d(A,
oraz
˜ C) + d(C,
˜ A)
ρ(B, A) ¬ d(B,
Reasumując:
˜ B) ¬ d(A,
˜ C) + d(C,
˜ B)
d(A,
Zatem d˜ jest metryką.
Zbadamy teraz zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych względem σ˜
ciał zbieżnych w metryce d.
5.2
Zbieżność warunkowych wartości oczekiwanych, a
zbieżność σ-ciał w metryce d˜
Twierdzenie 5.2.1 Niech X ∈ L∞ (Ω, F, P ), A, An ∈ F0 , dla n ∈ N. Jeśli
˜ An ) = 0 to:
limn→∞ d(A,
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A)
w Lp ,
dla dowolnego p ­ 1.
Dowód :
˜ An ) =
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Jeśli limn→∞ d(A,
0 to istnieje ciąg n zbieżny do zera taki, że:
ρ(An , A) < n
ρ(A, An ) < n
Korzystając z wniosku (4.3.1) otrzymujemy nierówność:
1
1
||EAn − EA ||∞,p ¬ 21− p (264n ) p
27
Zatem z założenia |X| ¬ 1 p.p. wynika, że
1
1
||E(X|An ) − E(X|A)||p ¬ 21− p (264n ) p
Stąd i ze zbieżności n do zera otrzymujemy tezę.
Z podanego twierdzenia wynika zbieżność w.w.o. według prawdopodobieństwa. Powstaje pytanie, czy ciąg jest również zbieżny prawie pewnie? Okazuje
się, że pewne wzmocnienie założeń daje zbieżność prawie pewną.
˜ An ),
Twierdzenie 5.2.2 Niech X ∈ L∞ (Ω, F, P ), A, An ∈ F0 , dn = d(A,
P∞
dla n ∈ N. Jeśli n=1 dn < ∞, to:
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A)
p.p.
Dowód :
Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że |X| ¬ 1 p.p. Weźmy dowolny
> 0. Mamy:
P (|E(X|An ) − E(X|A)| ­ ) =
¬
Z
{|E(X|An )−E(X|A)|­)}
Z
dP ¬
{|E(X|An )−E(X|A)|­)}
|E(X|An ) − E(X|A)|dP ¬ ||EA − EAn ||∞,1 .
Korzystając teraz z twierdzenia 4.1.5 otrzymujemy:
264dn
.
(33)
P
Ponieważ z założenia mamy ∞
n=1 dn < ∞, więc korzystając z (33) i z lematu
Borela-Cantelliego mamy dla dowolnego > 0:
P |E(X|An ) − E(X|A)| ­ ¬
P lim sup{|E(X|An ) − E(X|A)| ­ } = 0,
n∈N
co jest równoważne:
P lim inf {|E(X|An ) − E(X|A)| < } = 1.
n∈N
Czyli:
P lim sup |E(X|An ) − E(X|A)| ¬ = 1.
n∈N
Zatem z dowolności :
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A) p.p.
Na koniec podamy uogólnienie twierdzenia 5.2.1.
28
Twierdzenie 5.2.3 Niech X ∈ L1 (Ω, F, P ), A, An ∈ F0 , dla n ∈ N. Jeśli
˜ An ) = 0 to:
limn→∞ d(A,
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A)
w L1 .
Dowód :
Niech X ∈ L1 (Ω, F, P ). Rozważmy następujące ciągi zmiennych losowych:
Xk0 = X1X¬k
oraz Xk = X1X>k
Dla dowolnego k ∈ N zachodzi: Xk + Xk0 = X, Xk ∈ L1 (Ω, F, P ) oraz
Xk0 ∈ L∞ (Ω, F, P ). Stąd i z określenia Xk mamy:
∀>0 ∃k0 ­1 ∀k­k0
Z
Ω
|Xk |dP ¬ .
(34)
Korzystając z twierdzenia 5.2.1 dla p=1 i zmiennej losowej Xk0 otrzymujemy:
Z
∀>0,k∈N ∃n0 ­1 ∀n­n0
Ω
|E(Xk0 |An ) − E(Xk0 |A)|dP ¬ .
(35)
Weźmy dowolny > 0. Zgodnie z (34) dla 41 istnieje takie k0 , że:
1
|Xk0 |dP ¬ ,
4
Ω
Z
(36)
zaś zgodnie z (35) dla 21 istnieje takie n0 , że dla n ­ n0 :
1
|E(Xk0 0 |An ) − E(Xk0 0 |A)|dP ¬ .
2
Ω
Z
(37)
Wykorzystując (36) i (37) otrzymujemy, dla n ­ n0 :
Z
Ω
|E(X|An ) − E(X|A)|dP ¬
Z
Ω
|E(Xk0 0 |An ) − E(Xk0 0 |A)|dP +
Z
1
+ |E(Xk0 |An ) − E(Xk0 |A)|dP ¬ + 2 |Xk0 |dP ¬ .
2
Ω
Ω
Czyli reasumując:
Z
∀>0 ∃n0 ­1 ∀n­n0
Z
Ω
|E(X|An ) − E(X|A)|dP ¬ .
Wykorzystując podobą metodę dowodową można udowodnić następujące twierdzenie:
29
Twierdzenie 5.2.4 Niech X ∈ L1 (Ω, F, P ), A, An ∈ F0 , dla n ∈ N. Jeśli
˜ An ) = 0 to:
limn→∞ d(A,
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A) w Lp ,
dla p ­ 1.
Dowód :
Analogiczny do dowodu twierdzenia 5.2.3, należy jedynie w końcowych szacowaniach, skorzystać z nierówności Minkowskiego.
5.3
Przykłady
Przykład 5.3.1 Rozpatrzmy przykład analogiczny do 4.2.2.
Niech Ω = [0, 1], P = λ1 oraz
1 1
A = {∅, [0, ], ( , 1], Ω}
2 2
An = {∅, [0,
1
1
+ dn ], ( + dn , 1], Ω}.
2
2
Oczywiście ρ(A, An ) ¬ dn oraz ρ(An , A) ¬ dn . Niech Z = [ 21 , 21 + δ], A =
[ 21 , 1], An = [0, 12 + dn ]. Określmy X ∈ L1 (Ω, F, P ) następującym wzorem:
M ∈ R+ .
X = M 1Z ,
Jak udowodniliśmy w przykładzie 4.2.2
n→∞
E(X|An ) −→ E(X|A)
p.p.
Nie muszą być jednak spełnione założenia twierdzenia 5.2.2. Wystarczy przyjąć dn = n1 .
Przykład 5.3.2
P∞
P
˜
W twierdzeniu 5.2.2 założenie ∞
n=1 d(A, An ) =
n=1 dn < ∞ jest istotne,
nie wystarczy by limn→∞ dn = 0.
Rozpatrzmy następujący ciąg przedziałów:
n
X 1
1 X
1 1 n+1
Bn = [ +
, +
),
2 k=1 k 2 k=1 k
dla
n = 3, . . . , N1 − 1,
gdzie N1 jest indeksem takim, że:
N1
1 X
1
+
< 1 oraz
2 k=1 k
30
1 +1
1
1 NX
+
>1
2
k=1 k
Zbiór BN1 definiujemy następująco:
BN1
N1
1 X
1
=[ +
, 1).
2 k=1 k
Konstrukcję zbiorów Bn kontynuujemy następująco:
n
n+1
X
X 1
1
1 1
Bn = [ +
, +
),
2 k=N1 +1 k 2 k=N1 +1 k
dla
N1 + 1, . . . , N2 − 1,
gdzie N2 jest indeksem takim, że:
N2
X
1
1
+
< 1 oraz
2 k=N1 +1 k
NX
2 +1
1
1
+
>1
2 k=N1 +1 k
Tak jak poprzednio określamy zbiór BN2 :
N2
X
1
1
BN2 = [ +
, 1).
2 k=N1 +1 k
W analogiczny sposób określamy zbiory Bn dla Nk ¬ n ¬ Nk+1 . Ponieważ
P
1
szereg ∞
n=3 n jest rozbieżny, więc istnieje nieskończony ciąg indeksów Nk .
Niech teraz (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, gdzie:
Ω = [0, 1],
F = Borel([0, 1]),
P = λ1 .
Niech A = [0, 12 ) oraz A = {∅, Ω, A, Ac }. Określmy następujący ciąg σ-ciał:
An = {∅, Ω, A ∪ Bn , Ac \Bn }
Wprost z określenia mamy:
˜ An ) ¬ lim
0 ¬ n→∞
lim d(A,
n→∞
1
= 0.
n+1
Czyli limn→∞ dn = 0.
Określimy teraz zmienną losową X w następujący sposób:
X(ω) = 1( 1 , 3 ) (ω).
2 4
Nietrudno zauważyć, że:
1
1
E(X|A) = 1Ac = 1[ 1 ,1] .
2
2 2
31
(38)
Z rozbieżności szeregu ∞
n=3 dn wnioskujemy, że dla dowolnego N > 3, N ∈ N
istnieją indeksy k0 , n0 ∈ N, k0 , n0 > N takie, że:
P
n0
[
9 10
3
( , )⊂
Bn ⊂ ( , 1).
12 12
4
n=k0
(39)
Teraz dla n ∈ [k0 , n0 ] mamy:
E(X|An ) =
n+1
1Ac \Bn .
2n − 2
Czyli:
E(X|An )(ω) = 0 dla
ω ∈ Bn .
Stąd wykorzystując (38) i (39) mamy:
P E(X|An ) → E(X|A) ¬
Czyli nie zachodzi prawie pewna zbieżność w.w.o.
32
11
,
12
6
Literatura
[1] P. Billingsley, "Prawdopodobieństwo i miara", PWN, Warszawa 1987
[2] J. Jakubowski, R. Sztencel, "Wstęp do teorii prawdopodobieństwa", SCRIPT,
Warszawa 2001
[3] R. Jajte, A. Paszkiewicz, "Pseudo-martingales", Probability and Mathematical Statistics Vol. 19, Fasc. 1(1999), pp. 181-201
[4] A. Komisarski, A. Paszkiewicz, "On aproximation of σ-fields", W przygotowaniu do druku
[5] D. Revuz, M. Yor, "Continuous martingales and Brownian motion", 3ed.,
Springer, 1999