Metody Numeryczne Laboratorium 3 Iteracje numeryczne

Metody Numeryczne
Laboratorium 3
Iteracje numeryczne
Zadanie 1
Proszȩ wykonać rȩcznie w formacie long OCTAVE dziesiȩć iteracji funkcji
f (x) = sin(x) + 1, startuja̧c od punktu x0 = 1.0.Jaka jest dokładność obliczeń?
Zadanie 2
Proszȩ napisać skrypt w OCTAVE z pȩtla̧ for, który ułatwi proces obliczeń zadania
1.
Zadanie 3
Proszȩ napisać programy w OCTAVE iteruja̧ce funkcje f (x) = 2.5x(1 − x),
g(x) = 3.5x(1 − x) sto razy od punktu pocza̧tkowego x0 = 0.5. Co można zauważyć ?
Zadanie 4
Co siȩ stanie, jeśli ziterujemy funkcjȩ f (x) = 3x(1−x) milion razy od punktu pocza̧tkowego
x0 = 0.5.
Zadanie 5
. Startuja̧c od punktu
Proszȩ wykonać dziesiȩć iteracji funkcji f (x) = x − sin(x)+0.5
cos(x)
pocza̧tkowego x0 = 0.5 i x0 = 1.5. Czy oba cia̧gi iteracji sa̧ zbieżne do tej samej wartości?
Zadanie 6
, startuja̧c od punktu x0 = 0.5
Proszȩ wykonać dwadzieścia iteracji funkcji f (x) = sin(x)+1.5
cos(x)
i x0 = 0.5 + 0.5i. Czy oba cia̧gi iteracji sa̧ zbieżne?
Zadanie 7
Które iteracje sa̧ zbieżne szybciej -iteracje funkcji f (x) = sin(x), czy iteracje funkcji
g(x) = cos(x). Odpowiedź proszȩ uzasadnić.
Zadanie 8
Starożytni Grecy wiedzieli, że wykonuja̧c iteracje funkcji f (x) =
1
(x2 +2)
,
2x
otrzymujemy
pewna̧ liczbȩ. Co to za liczba? Czy cia̧g iteracji da̧ży tylko do tej liczby?
Zadanie 9
n
Liczba̧ e nazywamy granicȩ limn→∞ 1 + n1 . Proszȩ wygenerować wartości tej liczby
dla n = 10,n = 100,n = 1000, n = 10000,n = 100000.
Co można powiedzieć o dokładności przybliżeń tej liczby jeśli przyjmiemy e ≈ 2.718281828459?
Liczba̧ ta̧ zajmował siȩ intensywnie jako pierwszy Leonard Euler(1707-1783)- matematyk
szwajcarski.
Zadanie 10
Model populacji par królików pochodza̧cych od pary pocza̧tkowej opisuje równanie Fibonacciego
√ !n
√ !n
1
1+ 5
1
1− 5
Fn = √
−√
2
2
5
5
Proszȩ obliczyć liczbȩ par królików urodzonych w kolejnych miesia̧cach n = 1, . . . , 20.
Fibonacci nazywany Leonardem z Pizzy (1170 - 1228)- matematyk włoski.
2