Mechanika klasyczna.

Mechanika klasyczna.
Jacek Dziarmaga
Pokój: D-2-55
E-mail: [email protected]
1. Rozwia‘zac równanie oscylatora harmonicznego
mẍ = −mω 2 x
(1)
dla dowolnego pocza‘tkowego pólożenia x(0) = x0 i
pre‘dkości pocza‘tkowej ẋ(0) = p0 /m. Prosze‘ znaleźć
zależność od czasu polożenia x(t) oraz pe‘du p(t) =
mẋ(t) oraz narysować możliwe trajektorie [x(t), p(t)] na
plaszczyźnie x − p, czyli w przestrzeni fazowej.
2. Podobnie jak w zadaniu 1, rozwia‘zać równanie
odwróconego oscylatora harmonicznego
mẍ = +mλ2 x
(2)
i naszkicować możliwe trajektorie [x(t), p(t)] w
przestrzeni fazowej. Jak charakter trajektorii zalezy od
wartosci energii E = 12 mẋ2 − 12 mλ2 x2 ?
3. Podobnie jak w zadaniach 1 i 2, rozwia‘zać równanie
mẍ = −mg
(3)
i narysować trajektorie w przestrzeni fazowej.
4. Korzystaja‘c z zasady zachowania energii E, gdzie
−U0 < E < 0, prosze‘ znaleźć rozwia‘zanie równań
ruchu dla cza‘stki o masie m w potencjale U (x) =
− coshU20 αx . Najwygodniej znaleźć rozwia‘zanie w postaci
t(x), gdzie t to czas, a x to polożenie. Korzystaja‘c z
uzyskanego rozwia‘zania, prosze‘ wyznaczyć okres drgań
w tym potencjale w funkcji energii E. Dodatkowo prosze‘
naszkicować możliwe trajektorie w przestrzeni fazowej
uwzgle‘dniaja‘c przypadki zarówno E < 0 jak i E > 0.
5. Podobnie jak w zadaniu 4, ale dla potencjalu
U (x) = U0 tan2 αx i energii E > 0.
6. Wahadlo matematyczne, w postaci malego cie‘żarka
o masie m na końcu nieważkiego sztywnego pre‘ta o
dlugości l, może sie‘ obracać w plaszczyźnie pionowej
w polu grawitacyjnym o przyśpieszeniu g. Niech θ ∈
[−π, π) oznacza ka‘t wychylenia wahadla z polożenia
równowagi.
Prosze‘ pokazać, że energia kinetyczna
1
wynosi T = 2 ml2 θ̇2 , a potencjalna V = −mgl cos θ.
a) Korzystaja‘c z zachowania energii E = T + V , prosze‘
naszkicować trajektorie w przestrzeni fazowej θ−pθ , gdzie
pθ = ml2 θ̇ to ,,pe‘d uogólniony kanonicznie sprze‘żony do
wspólrze‘dnej uogólnionej θ”. Prosze zwrócić uwage‘ jak
charakter trajektorii zależy od tego czy E > mgl lub
−mgl < E < mgl.
b) Korzystaja‘c z zachowania energii, prosze‘ wyznaczyć
okres wahadla.
7.
Prosze‘ wyrazić energie‘ kinetyczna‘ T =
1
2
2
µ
ẋ
+
ẏ
+ ż 2 przez wspólrze‘dne sferyczne r, θ, φ oraz
2
ich pochodne po czasie ṙ, θ̇, φ̇, gdzie x = r sin θ cos φ, y =
r sin θ sin φ, z = r cos θ. Podobnie, prosze‘ wyrazić z-owa‘
~ = ~x × p~ przez wspólrzedne sferyczne.
skladowa‘ kre‘tu L
‘
8. Zagadnienie Keplera I. Rozważmy cza‘stke‘ o masie
µ w polu sily centralnej o potencjale V (r) = − αr , gdzie
p
r = x2 + y 2 + z 2 to odleglość od centrum sily. Prosze‘
~ = ~x × p~ jest zachowany
sprawdzić, że wektor kre‘tu L
i uzasadnić, że ruch cza‘stki odbywa sie‘ w plaszczyźnie
~ Nastepnie prosze przyjać, bez zmprostopadlej do L.
‘
‘
‘
niejszenia ogólności, że skladowa Lz > 0 i Lx = Ly = 0,
a ruch odbywa sie‘ w plaszczyznie x − y. Korzystaja‘c
z wyników zadania 7, prosze‘ napisać wyrażenie na
zachowana‘ energie‘ E = T + V w takim ruchu we
wspólrze‘dnych sferycznych. Korzystaja‘c z wyrażenia na
zachowana‘ skla‘dowa Lz we wspólrze‘dnych sferycznych,
prosze‘ we wzorze na E zasta‘pić φ̇2 przez odpowiednie
wyrażenie zawieraja‘ce stala‘ Lz . Prosze‘ znaleźć tor ruchu
r(φ) i przeanalizować rozwia‘zanie osobno dla E < 0 oraz
E > 0 (odpowiednio elipsa i hiperbola).
9. Korzystaja‘c z wyniku zadania 8, wyznaczyć tor
ϕ(r) cza‘stki w polu sily centralnej V (r) = − αr + rβ2 .
10. Energia potencjalna sily centralnej V (r) = − αr +
γ
Po sprowadzeniu problemu do zagadnienia jedr3 .
nowymiarowego we wspólrze‘dnej r, zbadaj male drgania
wokól orbity kolowej.
11. Znaleźć równanie różniczkowe opisuja‘ce ksztalt
krzywej y(x) spelniaja‘cej warunki brzegowe y(0) = h > 0
oraz y(l) = 0 takiej, żeby klocek zsuwaja‘cy sie‘ wzdluż
tej krzywej bez tarcia i bez pre‘dkości pocza‘tkowej z
pocza‘tkowego punktu x = 0, y = h w jak najkrótszym
czasie dotarl do punktu końcowego x = l, y = 0.
12. Wiotka‘ line‘ o dlugości L zawieszono pomie‘dzy
slupami odleglymi o l < L. Stosuja‘c zasade‘ wariacyjna‘
znajdź ksztalt liny minimalizuja‘cy energie‘ potencjalna‘.
Uwzgle‘dnij zalożona‘ dlugość liny przy pomocy mnożnika
Lagranża.
13. Koralik o masie m porusza sie‘ bez tarcia i bez
przeszkód po okre‘gu o promieniu a w polu grawitacyjnym
g. Plaszczyzna okre‘gu jest pionowa. Polożenie koralika
jest opisywane ka‘tem θ wzgle‘dem najwyższego punktu
okre‘gu.
a) Drut obraca sie‘ z cze‘stościa‘ Ω wokól pionowej osi tak,
że polożenie koralika opisuje wektor
~r(t) = a [sin θ cos Ωt, sin θ sin Ωt, cos θ] .
(4)
Prosze‘ znale zć lagranżjan i energie‘, wyprowadzić
równania Eulera-Lagranża, znale zć nietrywialna‘ calke‘
2
ruchu i sprowadzić równanie ruchu do równania
różniczkowego pierwszego rzedu dla θ. Czy energia
jest zachowana? Znajd z polożenia równowagi dla tego
ukladu i zbadaj ich stabilność.
b) Okra‘g może sie‘ swobodnie obracać wokól pionowej osi
tak, że polożenie koralika opisuje wektor
~r(t) = a [sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ] .
(5)
Wyraź energie‘ kinetyczna‘ T oraz potencjalna‘ V koralika
we wspólrze‘dnych uogólnionych θ, φ. Zapisz lagranżjan,
energie‘ oraz równania Eulera-Lagranża. Znajdź dwie
calki ruchu i sprowadź równania ruchu do równań pierwszego rze‘du.
14. Do poruszaja‘cego sie‘ poziomo wzdluż osi x
wózka o masie M podwieszono wahadlo matematyczne
o dlugości l i masie m. Rozważamy ruch wahadla w
plaszczyżnie pionowej zawieraja‘cej os x. Odchylenie wahadla od pionu w opisuje ka‘t θ. Znajdź lagranżjan
we wspólrze‘dnych x, θ. Znajdź pierwsze calki ruchu.
Znajdź cze‘stość malych drgań ukladu wokól polożenia
równowagi.
15. Punkt materialny porusza sie‘ po powierzchni
stożka o ka‘cie wierzcholkowym 2α znajduja‘cego sie‘ w
polu sily cieżkości. Stożek jest skierowany wierzcholkiem
w dól, a jego oś jest pionowa‘. Zredukuj problem
do zagadnienia jednowymiarowego we wspólrze‘dnej r,
be‘da‘cej odleglościa‘ punktu materialnego od wierzcholka
stożka. Zbadaj male drgania wokól orbity kolowej r(t) =
r0 =const.
16. Regulator Watta sklada sie‘ z 2 cieżarków o masie
m1 oraz jednego cie‘żarka o masie m2 na osi obrotu o
polożeniach odpowiednio:
~r1 = a [+ sin θ cos Ωt, + sin θ sin Ωt, − cos θ] ,
r~0 1 = a [− sin θ cos Ωt, − sin θ sin Ωt, − cos θ] ,
~r2 = a [0, 0, −2 cos θ] .
(6)
Znajdź wyrażenie na lagranżjan we wspólrze‘dnej θ. Czy
energia jest zachowanaŻnajdź calke‘ ruchu wynikaja‘ca‘ z
niezależności lagranżjanu od czasu. Znajdź polożenie
równowagi oraz cze‘stość malych drgań. Napisz ogólne
wyrażenie na okres drgań.
17. Zagadnienie Keplera II. Pokazać, że dla potencjalu
centralnego V (r) = − αr istnieje dodatkowa calka ruchu
~
r
~ = ~r˙ ×L−α
~
~~
C
r spelniaja‘ca warunek C L = 0. Korzystaja‘c
z tej informacji prosze‘ wyznaczyć tor ruchu r(φ).
Male drgania i mody normalne:
18.
Dwa identyczne (plaskie) wahadla matematyczne o dlugosci l i masie m zawieszono w odeleglości L i pola‘czono spre‘żyna‘ o dlugości spoczynkowej
L.
Polożenia wahadel można opisać przy pomocy
ka‘tów wychylenia φ1 i φ2 . Znajdź mody normalne.
Znajdź rozwia‘zanie równań ruchu w sytuacji, gdy male
pocza‘tkowe wychylenia wynosza‘ φ1 (0) = −φ2 (0) = φ0 , a
pre‘dkości pocza‘tkowe sa‘ zero.
19.
Rozważmy dwa wahadla matematyczne o
dlugościach l1 , l2 oraz masach odpowiednio m1 , m2 . Wahadlo 2 jest zawieszone na końcu wahadla 1. Zakladamy,
że obydwa wahadla poruszaja‘ sie w jednej pionowej
plaszczyźnie. Wychylenie wahadla 1, 2 od osi pionowej
mierzymy ka‘tami odpowiednio θ1 , θ2 . Wyraź energie‘
kinetyczna‘ T oraz potencjalna‘ V tego ukladu przez
wspólrze‘dne uogólnione θ1 , θ2 , zapisz lagranżjan. Znajdź
polożenia równowagi i mody normalne dla malych oscylacji wokól polożeń równowagi.
20. Mase‘ m zawieszono u sufitu na spreżynie o stalej
spreżystości k i zerowej dlugości spoczynkowej. Do tej
masy podwieszono druga‘ mase‘ m na drugiej spre‘żynie
o stalej k. Rozważamy jedynie ruch w pionie wzdluż
osi z. Prosze‘ znaleźć mody normalne. Naste‘pnie prosze‘
uogólnić ten problem zakladaja‘c, że sufit oscyluje w pionie jak zs (t) = A sin(Ωt). Prosze‘ znaleźć rozwia‘zanie
równań ruchu, jeśli w chwili t = 0 masy spoczywaly w
swoich polożeniach równowagi.
21. Wzdluż poziomej linii poruszaja‘ sie bez tarcia
trzy masy m, M, m pola‘czone nieważkimi spre‘żynkami
o zerowej dlugości spoczynkowej i stalej spreżystości k,
tworza‘c uklad: m−k−M −k−m. Znajdź mody normalne
wokól polożeń równowagi. Znajdź rozwia‘zanie równań
ruchu jeśli pocza‘tkowo wszystkie masy znajdowaly sie‘ w
tym samym punkcie, bez pre‘dkości pocza‘tkowej.
22. Cztery masy m znajduja‘ sie‘ na okre‘gu i sa‘
pola‘czone czterema identycznymi spre‘żynkami wzdluż
tego okregu. Znajdź mody normalne dla drgań wokól
polożenia równowagi. Znajdź rozwia‘zanie równań ruchu,
gdy pocza‘tkowo jedynie pierwsza masa byla wychylona z
polożenia równowagi, a wszystkie masy spoczywaly.
23. N mas m znajduje sie‘ na okre‘gu jest pola‘czona N
identycznymi spre‘żynkami wzdluż tego okregu. Znajdź
mody normalne dla drgań wokól polożenia równowagi.
Znajdź rozwia‘zanie równań ruchu, gdy pocza‘tkowo
jedynie pierwsza masa byla wychylona z polożenia
równowagi, a wszystkie masy spoczywaly.
24. Wzdluż poziomej linii moga‘ poruszać sie‘ bez
tarcia trzy masy m. Masy sa‘ pola‘czone pomie‘dzy
soba‘ oraz z dwoma ograniczaja‘cymi ścianami nieważkimi
spre‘żynkami o stalej spre‘żystości k, tworza‘c uklad ścianak − m − k − m − k-ściana. Znajdź polożenia równowagi
i mody normalne.
25. Uogólnijmy poprzednie zadanie do ukladu N mas
i N + 1 spre‘żynek. Jak można znaleźć mody normalne w
tej sytuacji?
26. Zadanie 6.13 ze zbioru Kotkina i Serbo. Prosze‘
wykorzystać symetrie‘ zagadnienia.
Transformacja Legendre’a, nawiasy Poissona:
27. Znaleźć funkcje‘ Hamiltona dla punktu materialnego we wspólrze‘dnych
a) kartezjańskich x, y, z;
3
b) cylindrycznych ρ, ϕ, z;
c) sferycznych r, θ, ϕ;
d) parabolicznych ξ, η, ϕ, gdzie z = 21 (ξ − η) oraz ρ =
√
ξη, a ρ to wspólrze‘dna cylindryczna;
e) eliptycznych ξ, η, ϕ zdefiniowanych za pomoca‘ wzorów
p
ρ = σ (ξ 2 − 1)(1 − η 2 ) oraz z = σξη, gdzie σ to staly
parametr, ξ ∈ (1, ∞), a η ∈ (−1, 1).
28.
Wyznaczyć nawiasy Poissona kartezjańskich
~ = ~r × p~ (skladowe
skladowych pe‘du p~ i momentu pe‘du M
P ikl k l
i
M = kl ε r p ).
29.
Wyznaczyć nawiasy Poissona utworzone ze
~.
skladowych kre‘tu M
Równanie Hamiltona-Jacobiego:
30. Metoda‘ separacji zmiennych znajdź calke‘ zupelna‘
równania Hamiltona-Jacobiego dla trójwymiarowego oscylatora harmonicznego
H=
p2x + p2y + p2z
1
+ mω 2 (x2 + y 2 + z 2 ) .
2m
2
Korzystaja‘c ze znalezionego rozwia‘zania znajdź ogólne
rozwia‘zanie równań ruchu.
31. Rozwia‘ż poprzednie zadanie we wspólrze‘dnych
sferycznych, zakladajac ruch w plaszczyznie x − y, gdzie
θ = π/2 i Hamiltonian ma postac
!
p2ϕ
1
1
2
H=
pr + 2 + mω 2 r2 .
2m
r
2
32. Metoda‘ separacji zmiennych znajdź calke‘ zupelna‘
równania Hamiltona-Jacobiego dla zagadnienia Keplera
!
p2ϕ
1
α
2
H=
pr + 2 − .
2m
r
r
Korzystaja‘c ze znalezionego rozwia‘zania znajdź tor
cza‘stki.
33. Metoda‘ separacji zmiennych znajdź calke‘ zupelna‘
równania Hamiltona-Jacobiego dla ruchu cza‘stki w polu
U=
q
− F z.
r
Jest to kombinacja pola kulombowskiego i jednorodnego
pola elektrycznego F wzdluż osi z. Zastosuj wspólrze‘dne
paraboliczne.
34. Udowodnij, że w potencjale z poprzedniego
zadania zachowana jest naste‘puja‘ca przypadkowa calka
ruchu:
z
~ + qz + 1 F x2 + y 2 .
C = ~r˙ × L
r
2
Jest to uogólniona z-owa skladowa wektora RungegoLenza znanego z problemu Keplera, gdzie bylo F = 0.
35. Metoda‘ separacji zmiennych znajdź calke‘ zupelna‘
równania Hamiltona-Jacobiego dla ruchu cza‘stki w polu
U=
q1
q2
+ .
r1
r2
Jest to pole kulombowskie dwu nieruchomych ladunków
umieszczonych na osi z w punktach z = −σ i z = +σ.
r1 i r2 to odleglości danego punktu od tych ladunków.
Zastosuj wspólrze‘dne eliptyczne.
Przeksztalcenia kanoniczne:
36. Pokaż, że naste‘puja‘ce transformacje sa‘ kanoniczne:
a) P = 21 (p2 + q 2 ), Q = arctan(q/p);
b) P = 1/q, Q = pq 2 ;
Dodatkowo znajdź dla każdego z tych przeksztalceń
funckje‘ tworza‘ca‘.
37. Pokaż, że przeksztalcenie
x = X cos φ + PY sin φ,
y = Y cos φ + PX sin φ,
py = −X sin φ + PY cos φ,
px = −Y sin φ + PX cos φ,
jest kanoniczne. Wiedza‘c, że H = 21 (p2x +p2y )+ 12 (x2 +y 2 )
wyznacz H 0 (X, Y, PX , PY ). Opisz ruch oscylatora harmonicznego gdy Y = PY = 0.
38. Oscylator harmoniczny ma zależna‘ od czasu
cze‘stość:
L=
1 2 1
mq̇ − mω 2 (t)q 2 .
2
2
Wyznaczyć przeksztalcenie kanoniczne dane funkcja‘
tworza‘ca‘
F (q, Q, t) =
1
mω(t)q 2 ctgQ.
2
Zapisać za pomoca‘ zmiennych Q i P równania ruchu dla
tego oscylatora.
39. Rozważmy funckje‘ tworza‘ca‘ Φ(q, P, t). W jaki
sposób, przez jakie równania, określa ona przeksztalcenie
kanoniczne?Podobnie dla funkcji tworza‘cych G(p, P, t) i
Ψ(Q, p, t).
2
40.
Hamiltonian ma postać H(q, p) = p2 −
q. Rozważmy tranformacje‘ do nowych wspólrze‘dnych
(Q, P ) postaci:
1
p = P + t, q = Q + P t + t2 .
2
Prosze pokazać, że to jest transformacja kanoniczna, a
naste‘pnie znaleźć jej funkcje‘ tworza‘ca‘ F (q, Q, t), nowy
Hamiltonian H 0 (Q, P, t) oraz rozwia‘zać równania Hamiltona dla Q i P .
4
rozwia‘zać równania Hamiltona w nowych zmiennych Q i
P , a naste‘pnie wyznaczyć q(t).
Niezmienniki adiabatyczne:
m
x3
x2
x1
2m
bm
42. Jak zmienia sie‘ energia cza‘stki w potencjale
a) U (x) = − coshU20 αx ,
b) U (x) = U0 tan2 αx,
przy powolnej zmianie parametrów potencjalu.
43. Uklad dwóch sprze‘żonych oscylatorów jest opisywany funkcja‘ Lagranża
FIG. 1. Ilustracja do zadania 45.
L=
41. Funkcja Hamiltona oscylatora anharmonicznego
ma postać
H=
p2
ω2 q2
+
+ αq 3 + βqp2 .
2
2
Zakladajac funkcje‘ tworza‘ca‘ postaci
Φ(q, P ) = qP + aq 2 P + bP 3 ,
dobrać parametry a i b w taki sposób, aby nowa funkcja
Hamiltona H 0 nie zawierala wyrazow anharmonicznych
z dokladnościa‘ do wyrazów trzeciego rze‘du w Q, P .
Pomijaja‘c w H 0 wyrazy anharmoniczne czwartego rze‘du,
m 2
ẋ + ẏ 2 − ωx2 x2 − ωy2 y 2 − 2αxy .
2
Jak zmienia sie‘ energia tego ukladu przy powolnych zmianach parametrów ukladu?
44.
Jak zmienia sie‘ energia cza‘stki w ruchu
skończonym w polu
U (r) = −
γ
,
r
przy powolnej zmianie wspólczynnika γ.
Twierdzenie Noether:
45. Trzy bloczki o masach m, bm, 2m zawieszono
przy pomocy nieważkiej i nierozcia‘gliwej nici na dwóch
nieważkich bloczkach, zob. FIG.1. Nierozcia‘gliwość
wprowadza wie‘z x1 + x2 + x3 = 0. Znajdź calki ruchu
wynikaja‘ce z twierdzenia Noether.