Lab1. Równania różniczkowe rzędu 1 Procedura ode45 do

Lab1. Równania różniczkowe rzędu 1
Procedura ode45 do rozwiązywania równań różniczkowych w Matlabie:
ode45(‘nazwa_funkcji’, [t0 tk], [x0])
Przykładowa funkcja rozwiązująca równanie: y’+y^2=t
Skrypt fun.m
function yprim=fun(t,y)
yprim=t-y*y;
W oknie Matlaba:
tp=[0 2]; x0=1;
[t,y]=ode45(‘fun’, tp, x0);
plot(t,y);
Zadania do wykonania:
1. Wykorzystując procedurę ode45 przeanalizować równania nieograniczonego wzrostu
x’(t)= x(t), x(0)=x0,
- dla >0 model wzrostu populacji,
- dla <0 model rozpadu radioaktywnego,
- dla =0 model systemu bez zmian.
Sprawdzić zachowanie systemu dla różnych  Wykonać wykresy. Porównać
rozwiązanie z procedury ode z rozwiązaniem analitycznym: x(t)=x0exp(t).
2. Równanie ograniczonego wzrostu
x’(t)= x(t)(M-x(t))/M.
gdzie: M – maksymalna populacja, która może przeżyć w danym środowisku.
Sprawdzić zachowanie systemu dla różnych x0, M (x0>M, x0=M, x0<M).Wykonać
wykresy. Porównać z rozwiązaniem analitycznym: x(t)=x0M/(x0+(M-x0)exp(-t)).
3. Rozwiązać zadania z listy zadań.
Zadania
1. Populacja
pewnego kraju w 1990r. liczyła P milionów. Współczynnik wzrostu wynosi
. Jaka była liczebność kraju w roku 2000 a jaka obecnie? Znaleźć czas podwojenia, czyli
za ile lat populacja się podwoi? Czy jest on zależny od wartości początkowej x0? Kiedy
populacja osiągnie wielkość 80 milionów? Dane P i α na tablicy.
2. Rozpad węgla C-14 (datowanie kości zwierząt i szczątków organicznych). Popularną
metodą datowania skamieniałych szczątków organicznych (zwięrzat i roslin) jest
porównanie w nich zawartości węgla C-14 w stosunku do węgla C-12. Kości żyjących
zwierząt (części roślin) zawierają równą ilość obu izotopów węgla. Z chwilą, gdy roślina,
zwierzę, człowiek przestaje żyć, ubywa izotopu C-14 a ilość C-12 pozostaje bez zmian.
Znaleźć czas połowicznego rozpadu C-14 wiedząc, że wartość współczynnika rozpadu
-0.0001209.
3. Zbadano, że znalezione w wykopalisku kości mają x% oryginalnej ilości węgla C-14.
Ile lat mają te szczątki? Dana x na tablicy.
4. Współczynnik wzrostu dla populacji USA wynosi =0.027. Przyjmując, że
maksymalna populacja USA wynosi M=360.6 mil oszacuj jaka była liczebność populacji
USA w kolejnych latach. Porównaj dane z modelem nieograniczonego wzrostu. Dane na
tablicy.
5. *. Dla węgla C-14 opracować procentową tabelę pozostałości w latach.
6. *. Model Verhulst'a
Na podstawie danych demograficznych populacji USA w latach 1790-1840 (tabela) oraz
danych Verhulst'a: M=197.3 miliona, =0.0001589, narysuj krzywą wzrostu w latach
1790-2010. Określ liczebność populacji USA w roku 1940. Jaka byłaby wielkość populacji
USA dzisiaj wg. tego modelu?
1790
1800
1810
1820
1830
1840
3.929
5.308
7.240
9.638
12.866
17.07