docZastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze
download 
Reklamacja Transkrypt
Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze
Adam Waszkowski* Adam Waszkowski Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Wstêp Na warszawskiej Gie³dzie Papierów Wartoœciowych notowanych jest 439 spó³ek [www.gpw.pl, dostêp dnia 18.02.2013]. Dywersyfikacja ryzyka wymaga, aby w portfelu inwestycyjnym znalaz³o siê ich 5–10 [Tarczyñski, £uniewska, 2004]. Dlatego te¿ tak istotne z punktu widzenia inwestora jest pos³ugiwanie siê w³aœciwymi metodami ich selekcji. Najczêœciej wykorzystuje siê techniki bazuj¹ce na analizie cen akcji, ich stóp zwrotu oraz analizie ryzyka. Optymalizacja portfela dokonuje siê wówczas przez rozwi¹zanie zadania programowania matematycznego, w wersji liniowej lub wypuk³ej [Kisieliñska, Skórnik-Pokarowska, 2006]. Gdy dobór spó³ek dokonany jest na podstawie wskaŸników finansowych, do ich selekcji wykorzystuje siê metody wielowymiarowej analizy porównawczej. W pracy przedstawiono przyk³ady jej zastosowania w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego. Wskazano na wykorzystanie techniki porz¹dkowania liniowego metod¹ sum, nieliniowego (analizê skupieñ) oraz analizê dyskryminacyjn¹. 1. Wybór zmiennych oraz ich normalizacja Do próby zastosowania metod porz¹dkowania wykorzystano zbiór 27 spó³ek spoza sektora bankowego, notowanych na warszawskiej GPW. Analizie poddano wskaŸniki finansowe tych jednostek za 2009 r., publikowane przez serwis Notoria oraz obliczone zgodnie z literatur¹ przedmiotu. Ich wykaz przedstawia tablica 1. Tablica 1. WskaŸniki finansowe wykorzystane w analizie oznaczenie A1 * grupa wskaŸników zyskownoœci nazwa mar¿a zysku brutto ze sprzeda¿y Mgr, Zak³ad Metod Iloœciowych, Wydzia³ Nauk Ekonomicznych, Szko³a G³ówna Gospodarstwa Wiejskiego, [email protected], ul. Nowoursynowska 166, 02-787 Warszawa, tel. 22 59 34 102 466 oznaczenie Adam Waszkowski grupa wskaŸników nazwa A2 zyskownoœci mar¿a zysku operacyjnego A3 zyskownoœci mar¿a zysku brutto A4 zyskownoœci mar¿a zysku netto A5 zyskownoœci stopa zwrotu z kapita³u w³asnego A6 zyskownoœci stopa zwrotu z aktywów B1 p³ynnoœci wskaŸnik p³ynnoœci bie¿¹cej B2 p³ynnoœci wskaŸnik p³ynnoœci szybkiej B3 p³ynnoœci wskaŸnik podwy¿szonej p³ynnoœci C1 aktywnoœci rotacja nale¿noœci C2 aktywnoœci rotacja zapasów C3 aktywnoœci cykl operacyjny C4 aktywnoœci rotacja zobowi¹zañ C5 aktywnoœci cykl konwersji gotówki C6 aktywnoœci rotacja aktywów obrotowych C7 aktywnoœci rotacja aktywów D1 zad³u¿enia wskaŸnik pokrycia maj¹tku D2 zad³u¿enia stopa zad³u¿enia D3 zad³u¿enia wskaŸnik obs³ugi zad³u¿enia D4 zad³u¿enia d³ug/EBITDA E1 struktura aktywa trwa³e/aktywa ogó³em E2 struktura aktywa rzeczowe/aktywa ogó³em E3 struktura aktywa niematerialne/aktywa ogó³em E4 struktura aktywa obrotowe/aktywa ogó³em E5 struktura zapasy/aktywa ogó³em E6 struktura nale¿noœci/aktywa ogó³em F1 struktura wyposa¿enie w kapita³ w³asny G1 struktura maj¹tek trwa³y/kapita³ w³asny G2 struktura maj¹tek trwa³y/kapita³ sta³y G3 struktura maj¹tek obrotowy/kapita³ krótkoterminowy G4 struktura kapita³ obrotowy/maj¹tek ogó³em Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... oznaczenie grupa wskaŸników 467 nazwa G5 struktura kapita³ obrotowy/maj¹tek obrotowy I1 struktura produkcyjnoœæ aktywów I2 struktura produkcyjnoœæ maj¹tku trwa³ego I3 struktura produkcyjnoœæ maj¹tku obrotowego I4 struktura zaanga¿owanie kapita³u pracuj¹cego I5 struktura zaanga¿owanie zobowi¹zañ ogó³em ród³o: Opracowanie w³asne. Przedstawione w tabeli 1. zmienne podlega³y dalszej weryfikacji, która odbywa siê z zastosowaniem procedur statystycznych. Podstawowym kryterium by³a zdolnoœæ dyskryminacyjna wskaŸnika finansowego, czyli jego zmiennoœæ wzglêdem badanego obiektu. W tym celu wykorzystano klasyczny wspó³czynnik zmiennoœci, obliczany wg formu³y: V (x j ) = S(x j ) x (1) która stanowi iloraz odchylenia standardowego j-tej zmiennej i œredniej arytmetycznej. Ze zbioru dopuszczalnych zmiennych diagnostycznych eliminuje siê te, których wartoœæ wspó³czynnika zmiennoœci nie jest wiêksza od arbitralnie przyjêtej wartoœci ustalanej najczêœciej w literaturze na poziomie 10% [Kisieliñska, 2012]. Do dalszej analizy wybrano zmienne, wykorzystuj¹c parametryczn¹ analizê potencja³u informacyjnego, grupuj¹c¹ zmienne na centralne, satelitarne oraz izolowane. Punktem wyjœcia w tej metodzie jest zbudowanie symetrycznej macierzy korelacji miêdzy potencjalnymi wskaŸnikami. Wartoœæ progow¹ wspó³czynnika korelacji Pearsona ustalono na poziomie 0,5. Opis procedury oraz algorytm postêpowania mo¿na znaleŸæ m.in. w pracy Panka [2009]. W tabeli 2. przedstawiono wyniki wyboru zmiennych diagnostycznych uzyskanych za pomoc¹ procedury parametrycznej. Do dalszej analizy wesz³y zmienne centralne: G4, I3, B2, E6, A5, A1 oraz zmienne izolowane: D3, E2, E3, G5, I4, które nie znalaz³y siê w ¿adnym z otrzymanych skupieñ. 468 Adam Waszkowski Tablica 2. Wyniki procedury parametrycznej zmienna centralna zmienne satelitarne G4 A2, A3, A4, A6, B1, C1, C4, C5, D1, D2, F1, F2, F3, F4, G2, G3, G4 I3 C3, C6, I1 B2 B3, I5 E6 C2, E1, E4, E5 A5 D4 A1 C7 D3 – E2 – E3 – G5 – I4 – ród³o: Opracowanie w³asne. W celu zapewnienia porównywalnoœci zmiennych diagnostycznych przeprowadzono ich normalizacjê. Koniecznoœæ transformacji wskaŸników finansowych by³a podyktowana ujednoliceniem jednostek ich pomiaru. W praktyce wielowymiarowej analizy porównawczej wyró¿nia siê trzy typy przekszta³ceñ: standaryzacjê, unitaryzacjê oraz przekszta³cenie ilorazowe [Panek, 2009]. W niniejszej pracy wykorzystano procedurê standaryzacji, otrzymuj¹c w ten sposób zmienne o odchyleniu standardowym równym jednoœci oraz œredniej równej zero. 2. Porz¹dkowanie liniowe spó³ek gie³dowych metod¹ sum Metody porz¹dkowania liniowego pozwalaj¹ na ustaleniu hierarchii obiektów ze wzglêdu na okreœlone kryteria. W ujêciu geometrycznym polega to na rzutowaniu punktów reprezentuj¹cych obiekty umieszczone w wielowymiarowej przestrzeni na prost¹. Porz¹dkowanie liniowe charakteryzuje siê nastêpuj¹cymi w³aœciwoœciami [Panek, 2009]: – ka¿dy obiekt ma przynajmniej jednego s¹siada i nie wiêcej ni¿ dwóch s¹siadów, – je¿eli s¹siadem i-tego obiektu jest j-ty obiekt, to jednoczeœnie s¹siadem j-tego obiektu jest i-ty obiekt, – dok³adnie dwa obiekty maj¹ tylko jednego s¹siada. Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... 469 Wœród grup metod porz¹dkowania liniowego wyró¿nia siê [Panek, 2009]: – metody diagramowe, w których stosuje siê graficzn¹ prezentacjê macierzy odleg³oœci, – procedury oparte na zmiennej syntetycznej (np. metoda rang, metoda sum, metoda Walesiaka), – metody iteracyjne oparte na funkcji kryterium dobroci grupowania (np. metoda Spatha–Szczotki, metody gradientowe). W niniejszej pracy wykorzystano porz¹dkowanie liniowe obiektów metod¹ sum. W pierwszym etapie tej metody dokonano stymulacji zmiennych oraz obliczono wartoœci zmiennej syntetycznej dla ka¿dego obiektu, stosuj¹c formu³ê œredniej arytmetycznej postaci (2) i przyjmuj¹c jednakowe wagi dla zmiennych: si = 1 m S z ij w j , i = 1 , 2 ,..., n m j =1 (2) gdzie: s i – wartoœæ zmiennej syntetycznej w i-tym obiekcie. W kolejnym kroku eliminacji podlega³y wartoœci ujemne zmiennej syntetycznej poprzez przesuniêcie jej skali do punktu zerowego za pomoc¹ przekszta³cenia (3): (3) s¢ i = s i - min{s i }, i = 1 , 2 ,..., n i Ostatecznie postaæ zmiennej syntetycznej otrzymano, przeprowadzaj¹c jej normalizacjê wed³ug formu³y (4): s¢¢ i = s¢ i , i = 1 , 2 ,..., n max{s¢ i } (4) i Powy¿sze przekszta³cenia (2)–(4) powoduj¹ unormowanie miary syntetycznej w przedziale [0, 1]. Wyniki przedstawiono w tablicy 3. Tablica 3. Wyniki porz¹dkowania spó³ek metod¹ sum obiekt DGA œrednia s’ s’’ ranking 0,69872 1,371373 0,371373 1 KGHM Polska MiedŸ 0,636896 1,309549 0,354631 2 Centrozap 0,449906 1,122559 0,303993 3 Elektromonta¿ 0,361892 1,034545 0,280159 4 470 Adam Waszkowski obiekt œrednia s’ s’’ ranking Zak³ady Azotowe Pu³awy 0,219665 0,892318 0,241643 5 Monnari Trade 0,211731 0,884384 0,239494 6 Budimex 0,184848 0,857501 0,232215 7 Krakowska Fabryka Armatur 0,168961 0,841614 0,227912 8 Drewex 0,161363 0,834016 0,225855 9 0,14859 0,821243 0,222396 10 Optimus 0,145739 0,818392 0,221624 11 Naftobudowa 0,056791 0,729444 0,197536 12 Odlewnie Polskie –0,00202 0,67063 0,181609 13 Amica Wronki –0,00426 0,668391 0,181003 14 Pronox Technology –0,06301 0,609646 0,165094 15 Techmex –0,06598 0,606677 0,16429 16 Próchnik –0,06829 0,60436 0,163663 17 Zak³ady Chemiczne Police –0,07533 0,597321 0,161757 18 Huta Szk³a Irena –0,08187 0,590779 0,159985 19 Ceramika Nowa Gala –0,12098 0,55167 0,149394 20 Izolacja Jarocin –0,15882 0,513829 0,139147 21 Wojas –0,19079 0,481865 0,130491 22 Alumast –0,20931 0,463347 0,125476 23 Optopol –0,21557 0,457085 0,12378 24 Ciech –0,25505 0,417603 0,113088 25 Pfleiderer Grajewo –0,29672 0,375934 0,101804 26 Zak³ady Naprawcze Taboru £apy –0,38942 0,283238 0,076702 27 Relpo –0,45405 0,218608 0,0592 28 Centrum Leasingu i Finansów –0,67265 0 29 Mostostal P³ock 0 ród³o: Opracowanie w³asne. Przedstawiony ranking wskazuje na atrakcyjnoœæ inwestycyjn¹ spó³ek wystêpuj¹cych w próbie badawczej. 471 Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... 3. Dobór spó³ek z wykorzystaniem liniowej analizy dyskryminacyjnej Celem budowy funkcji dyskryminacyjnej jest otrzymanie narzêdzia pozwalaj¹cego zaklasyfikowaæ rozwa¿an¹ spó³kê do jednej z dwóch grup: atrakcyjnej lub nieatrakcyjnej z punktu widzenia inwestora. Model dyskryminacyjny (LFD) stanowi liniow¹ kombinacjê cech i mo¿e byæ zapisany jako: LFD = l 0 + lT × x (5) gdzie: x jest wektorem cech, zaœ l 0 i l s¹ wspó³czynnikami funkcji dyskryminacyjnej. Budowa modelu polega na oszacowaniu wspó³czynników l 0 i l tak, aby wartoœci LFD dla wybranego obiektu pozwala³y okreœlaæ klasê, do której nale¿y. Wektor cech obejmuje zwykle zestawy wskaŸników finansowych. Formu³y pozwalaj¹ce wyliczyæ oszacowanie wspó³czynników LFD mo¿na znaleŸæ w literaturze [Madalla, 2004]. Skutecznoœæ modeli dyskryminacyjnych ocenia siê na podstawie przeprowadzonej za ich pomoc¹ klasyfikacji zbioru jednostek o liczebnoœci równej badanej próbie oraz zestawia w macierzy klasyfikacji. Próba budowy modelu zosta³a przeprowadzona na podstawie dokonanego podzia³u spó³ek na te, w przypadku których [Kisieliñska, Skórnik-Pokarowska, 2006] stopa zwrotu jest wy¿sza od mediany (atrakcyjne), oraz pozosta³e (stopa zwrotu ni¿sza od mediany, spó³ki nieatrakcyjne). Do analizy wybrano te same spó³ki, dla których dokonano porz¹dkowania liniowego metod¹ sum. Zmienne zale¿ne to wybrane w parametrycznej metodzie wskaŸniki finansowe. Otrzymana liniowa funkcja dyskryminacyjna da³a dobre rezultaty. W 90% spó³ek gie³dowych da³a poprawn¹ klasyfikacjê. Wspó³czynniki funkcji dyskryminacyjnej przedstawiono w tablicy 4. Tablica 4. Wartoœci funkcji dyskryminacyjnej zmienna Y = 0 1 sta³a –16,6586 –20,9624 G4 –0,44774 0,7942 I3 5,01978 5,58111 B2 1,78229 2,25819 E6 24,96003 28,13465 A5 1,4684 4,41118 472 Adam Waszkowski zmienna Y = 0 1 A1 28,92276 33,74556 D3 –0,0642 –0,034 E2 24,39145 24,96232 E3 122,0607 135,5876 G5 1,02631 1,44137 I4 –0,35084 –0,58188 ród³o: Opracowanie w³asne. Macierz klasyfikacji dla otrzymanej funkcji dyskryminacyjnej przedstawiono w tablicy 5. Tablica 5. Macierz klasyfikacji wyszczególnienie klasa 0 z modelu klasa 1 z modelu odsetek poprawnych klasyfikacji klasa 0 faktyczna 14 2 93,33% klasa 1 faktyczna 1 13 86,67% 15 15 90,00% ³¹cznie ród³o: Opracowanie w³asne. Wzór (5) oraz przedstawione w tablicy 4. oszacowania parametrów funkcji dyskryminacyjnej mo¿na wykorzystaæ do klasyfikacji dowolnej grupy spó³ek. Jeœli wartoœci funkcji s¹ wiêksze od 0, wówczas nale¿y je klasyfikowaæ do grupy potencjalnie atrakcyjnych dla inwestora. 4. Dobór spó³ek z wykorzystaniem metody g³ównych sk³adowych oraz analizy skupieñ W celu zidentyfikowania wskaŸników finansowych wp³ywaj¹cych w znacznym stopniu na podzia³ spó³ek na grupy walorów podobnych do siebie wykorzystano metodê g³ównych sk³adowych. Opis metody mo¿na znaleŸæ m.in. w pracach Skórnik-Pokarowskiej [2006], Fr¹tczak i innych [2008] czy Tarczyñskiego i £uniewskiej [2006]. Wyró¿niono 2 sk³adowe g³ówne odpowiadaj¹ce wiêkszym od jednoœci wartoœciom w³asnym i wyjaœniaj¹ce ³¹cznie 72% wariancji wyjœciowych zmiennych. W tablicy 6 przedstawiono wartoœci wspó³czynników korelacji miêdzy wyjœciowymi zmiennymi a dwiema wyró¿nionymi g³ównymi sk³adowymi. Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... 473 Tablica 6. Macierz sk³adowych g³ównych wskaŸnik finansowy sk³adowa 1 sk³adowa 2 G4 0,232135 0,402061 I3 –0,3671 0,227231 B2 0,481334 0,085968 E6 0,247304 –0,52551 A5 0,403324 –0,06958 A1 0,317745 0,403692 D3 0,29608 0,275699 E2 –0,33018 0,308131 E3 –0,15579 –0,20619 G5 0,165318 –0,0322 I4 –0,08121 0,347635 2,859 1,682 procent wyjaœnionej wariancji 41,56% 30,54% skumulowany procent wyjaœnienia wariancji 41,56% 72,01% wartoœæ w³asna ród³o: Opracowanie w³asne. Z pierwsz¹ sk³adow¹ g³ówn¹ najsilniej s¹ skorelowane wskaŸniki B2 (wskaŸnik p³ynnoœci szybkiej) oraz A5 (stopa zwrotu z kapita³u w³asnego). WskaŸniki te najbardziej ró¿nicuj¹ badane spó³ki odnoœnie dwóch pierwszych sk³adowych. Analiza skupieñ prowadzi do utworzenia drzewa po³¹czeñ (dendrogramu), bêd¹cego graficzn¹ ilustracj¹ sposobu i hierarchii tworzenia wi¹zañ. Hierarchia po³¹czeñ pozwala na okreœlenie wzajemnego po³o¿enia wzglêdem siebie obiektów oraz grup obiektów powstaj¹cych na kolejnych etapach tworzenia drzewka. Grupy podobnych do siebie obiektów tworz¹ na tym hierarchicznym drzewku oddzielne ga³êzie. W wykorzystanej w niniejszej pracy metodzie Warda miar¹ zró¿nicowania grupy obiektów jest kryterium ESS (ang. Error Sum of Squares) o postaci: nr ¢¢ ESS = S d i2¢¢i ¢¢c i ¢¢= 1 (6) gdzie: d i ¢¢i ¢¢c – odleg³oœæ i¢¢-tego obiektu nale¿¹cego do nowo powsta³ej r¢¢-tej grupy od œrodka ciê¿koœci tej grupy. 474 Adam Waszkowski Obliczenia przeprowadzono z wykorzystaniem pakietu SAS Enterprise Guide, a przebieg aglomeracji przedstawia rysunek 1. Tablica 6. Œrednie wartoœci wskaŸników w poszczególnych skupieniach wskaŸnik skupienie 1 skupienie 2 B2 = wskaŸnik p³ynnoœci szybkiej 1,60754 0,0214 A5 = stopa zwrotu z kapita³u w³asnego 0,13685 0,0013 ród³o: Opracowanie w³asne. Rysunek 1. Dendrogram otrzymany metod¹ Warda ród³o: Opracowanie w³asne. Pionow¹ lini¹ oddzielono dwa skupienia spó³ek gie³dowych podobnych do siebie z punktu widzenia analizy fundamentalnej. Do pierwszego skupienia zaliczone zosta³y nastêpuj¹ce spó³ki: Techmex, Huta Szk³a Irena, DGA, Centrozap, KGHM Polska MiedŸ, Drewex, Wojas, Ceramika Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... 475 Nowa Gala. W drugim skupieniu znalaz³y siê: Odlewnie Polskie, Zak³ady Naprawcze Taboru Kolejowego £apy, Ciech, Monnari Trade, Zak³ady Chemiczne Police, Próchnik, Zak³ady Azotowe Pu³awy, Amica Wronki, Alumast, Naftobudowa, Izolacja-Jarocin, Pronox Technology oraz Optimus. Obliczono œrednie wartoœci wskaŸników charakteryzuj¹cych siê du¿¹ zdolnoœci¹ dyskryminacyjn¹ dla poszczególnych skupieñ. Zauwa¿my, ¿e œrednie wartoœci wskaŸników (zob. tab. 6) B2 oraz A5 s¹ znacznie wy¿sze dla skupienia 1 ni¿ dla skupienia 2. Oznacza to, ¿e spó³ki, które znajduj¹ siê w skupieniu 1, s¹ atrakcyjne dla inwestora i mog¹ byæ wziête pod uwagê w konstrukcji portfela inwestycyjnego. Dodatkowo otrzymany wynik jest spójny z przeprowadzon¹ analiz¹ dyskryminacyjn¹. Spó³ki nale¿¹ce do skupienia 1 zosta³y bowiem równie¿ zaklasyfikowane do pierwszej grupy (atrakcyjnej inwestycyjnie). Zakoñczenie Metody wielowymiarowej analizy porównawczej mog¹ byæ narzêdziem pomocnym w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego. Zarówno metody porz¹dkowania liniowego, jak i nieliniowa metoda Warda czy analiza dyskryminacyjna pozwalaj¹ na ustalenie rankingu spó³ek atrakcyjnych z punktu widzenia analizy fundamentalnej. Dodatkowo zastosowanie metody g³ównych sk³adowych i analizy skupieñ pozwala na dok³adniejsze zbadanie ró¿norodnoœci spó³ek gie³dowych i wybranie konkretnych, które mog¹ znaleŸæ siê w portfelu. Literatura 1. Fr¹tczak E., Go³ota E., Klimanek T., Ptak-Chmielewska A., Pêczkowski M. (2009), Wielowymiarowa analiza statystyczna. Teoria i przyk³ady zastosowañ z systemem SAS, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa. 2. Kisieliñska J., Skórnik-Pokarowska U. (2006), Wykorzystanie liniowej funkcji dyskryminacyjnej oraz metod g³ównych sk³adowych w procesie doboru spó³ek do portfela inwestycyjnego, „Zeszyty Naukowe SGGW w Warszawie. Ekonomika i Organizacja Gospodarki ¯ywnoœciowej”, nr 60, s. 159-167. 3. Kisieliñska J. (2012), Podstawy ekonometrii w Excelu, Wydawnictwo SGGW w Warszawie. 4. Maddala G. S. (2004) Limited-dependent and qualitative variables in econometrics, Cambridge University Press, Cambridge. 476 Adam Waszkowski 5. Panek T. (2009), Statystyczne metody wielowymiarowej analizy porównawczej, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa. 6. Skórnik-Pokarowska U. (2006), Konstrukcja portfela skoncentrowanego jako efektywnego portfela inwestycyjnego, MPaR’06, Katowice, s. 191-201. 7. Tarczyñski W., £uniewska M. (2004), Dywersyfikacja ryzyka na polskim rynku kapita³owym, Placet, Warszawa. 8. Tarczyñski W., £uniewska M. (2006), Metody wielowymiarowej analizy porównawczej na rynku kapita³owym, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Streszczenie W pracy przedstawiono wielowymiarowe metody analizy porównawczej, które mog¹ byæ pomocne w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego. W tym celu wykorzystano porz¹dkowanie liniowe metod¹ sum, tworz¹c ranking spó³ek atrakcyjnych inwestycyjnie. Wykorzystano równie¿ liniow¹ funkcjê dyskryminacyjn¹ (klasyfikacja na podstawie stopy zwrotu wy¿szej od mediany dla analizowanych spó³ek), w której zmienne niezale¿ne zosta³y dobrane na postawie selekcji parametrycznej. W celu zidentyfikowania wskaŸników finansowych wp³ywaj¹cych w znacznym stopniu na podzia³ spó³ek na grupy walorów podobnych do siebie wykorzystano metodê g³ównych sk³adowych. Grupy podobnych do siebie spó³ek zobrazowano równie¿ za pomoc¹ hierarchicznego dendrogramu uzyskanego metod¹ Warda. S³owa kluczowe portfel inwestycyjny, analiza dyskryminacyjna Multidimensional comparative analysis in the selection of the companies in the investment portfolio (Summary) The paper presents a comparative analysis of multivariate methods that can be helpful in selecting companies for investment portfolio. The ranking of attractive investment companies was based on linear sum method. It used also linear discriminant function (classification based on the rate of return higher than the median for the analyzed companies) in which the independent variables were selected on the assumption of parametric method. In order to identify the financial ratios affecting to a large extent on the division in groups similar to each other was used principal component analysis. The group of similar companies is also illustrated by the hierarchical dendrogram obtained by Ward’s method. Keywords finance portfolio, discriminant analysis
