Wyznaczanie współczynnika Coriolisa

Ćwiczenie
5
Wyznaczanie współczynnika Coriolisa
1. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie strumienia objętościowego,
prędkości średniej oraz współczynnika poprawkowego Coriolisa dla strugi powietrza
przepływającego przez przewód o kołowym przekroju poprzecznym.
Podczas przepływu płynu rzeczywistego przez przewody zamknięte jego lepkość i
związane z nią napręŜenia styczne powodują niejednorodność rozkładu prędkości w
przekrojach poprzecznych. Prędkość maksymalna występuje w pobliŜu środka
przekroju i w sposób ciągły maleje w kierunku ścianek, osiągając na ich powierzchni
wartość równą zeru.
W obliczeniach technicznych wprowadza się zazwyczaj załoŜenie upraszczające,
polegające na przyjęciu jednorodnego rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym,
przy czym charakterystyczna prędkość przyjmowana jest jako równa prędkości
średniej, określonej zaleŜnością:
V&
U śr =
(1)
F
w której:
V& - strumień objętości przepływu,
F - pole przekroju poprzecznego.
ZałoŜenie to pozwala na wykorzystanie w obliczeniach przewodów równania
Bernoulliego w postaci wyprowadzonej dla strugi elementarnej. Odnosząc strumień
energii do strumienia objętości, moŜemy równanie Bernoulliego (ściślej równanie
zachowania energii) dla przekrojów kontrolnych 1 i 2 strugi elementarnej zapisać
następująco:
ρU12
ρU 22
+ p1 + ρ g z1 =
+ p2 + ρ g z 2 + ∆pstr1− 2
(2)
2
2
lub w tradycyjnym ujęciu, związanym z „cięŜarowym” [1] układem jednostek:
U 22 p2
U12 p1
+
+ z1 =
+
+ z 2 + ∆hstr1− 2
(3)
2 g ρg
2 g ρg
Pierwsze wyrazy obydwu stron równań (2) i (3) określają energię kinetyczną w
odpowiednich przekrojach kontrolnych, drugie i trzecie odpowiednio energię ciśnienia
i energię potencjalną wysokości, a wyraz ostatni stratę energii między przekrojami.
ZałoŜenie o jednorodnym rozkładzie prędkości w przekroju poprzecznym przewodu
pociąga jednak za sobą konsekwencje w postaci błędnego obliczenia strumienia
energii kinetycznej przenikającego przez ten przekrój.
Rozpatrzmy niejednorodne, ustalone w czasie pole prędkości w przekroju
poprzecznym przewodu o ścianach cylindrycznych.
Dla płynu nieściśliwego (ρ = const) zakładając, Ŝe wektory prędkości są normalne do
rozpatrywanego przekroju, strumień energii kinetycznej przenikający przez pole
elementarne dF jest równy:
39
Rys. 1. Szkic do wyznaczania rzeczywistego strumienia energii kinetycznej oraz
strumienia objętościowego przepływu
U2
,
2
dE& = ρ U dF
(4)
skąd po scałkowaniu otrzymujemy:
ρ
E& =
2
∫∫ U
3
dF
(5)
F
Strumień energii wyznaczony w oparciu o prędkość średnią, nazywany dalej
pozornym strumieniem energii E& p , wyraŜa się wzorem:
U2
U3
E& p = ρV& śr = ρF śr
(6)
2
2
Wykorzystując dla wyznaczenia prędkości średniej definicyjną zaleŜność (1)
przepisaną w postaci:
V& 1
U śr = = ∫∫ U dF
(7)
F F F
pozorny strumień energii przestawić moŜna jako:

ρ 1 

E& p =
U
dF
∫∫
2
3
(8)

2 F  F

Nietrudno stwierdzić, Ŝe wyraŜenia (8) i (5) nie są jednoznaczne i zawsze spełniony
jest warunek E& > E& p .
Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej E& do strumienia
obliczonego z prędkości średniej E& nazywa się współczynnikiem Coriolisa lub
p
rzadziej współczynnikiem Saint-Venante`a [3]:
ρ
α=
U
2 ∫∫
F
3
ρ & 2
VU śr
2
ρ
U
2 ∫∫
dF
=
3
dF
F

ρ 1 

U
dF
∫∫
2
3
(9)

2 F  F

a wartość jego jest większa od jedności. Energia kinetyczna występująca w równaniu
Bernoulli’ego (2) lub (3), a wyraŜona za pomocą prędkości średniej, winna być
zapisana w postaci:
40
αρ U śr2
lub
αU śr2
2
2g
Rozpatrzmy często spotykany w praktyce przypadek przewodu o kołowym
przekroju poprzecznym, w którym formuje się osiowosymetryczny rozkład prędkości
U = U(r) (rys. 2). Elementarny strumień objętościowy wyniesie:
dV& = 2πr dr U (r )
(10)
a całkowity strumień objętości:
V& = 2π
D/2
∫ U (r ) r dr
(11)
0
Prędkość średnia określona jest wówczas wzorem:
2π
D/2
D/2
∫ r U (r ) dr
U śr =
=
0
πD
8
2
∫ r U (r ) dr
0
(12)
D2
4
Rys. 2. Rozkład prędkości w przewodzie o przekroju kołowym
Korzystając z zaleŜności (5) i (6), moŜemy wyrazić rzeczywisty i pozorny strumień
energii kinetycznej przenikającej przez przekrój kołowy w postaci:
D/2
E& =
∫
0
U 2 (r )
= πρ
2πr dr ρ U (r )
2
D/2
3
∫ r U (r ) dr
(13)
0
3
3
D/2
D/2


64πρ 
&



Ep =
U
(
r
)
2
r
dr
=
rU
(
r
)
dr
π
4  ∫


2  2  2  0∫
D  0


π
D


 4 


Współczynnik Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym będzie równy:
ρ
1
(14)
D/2
E&
D
3
∫ rU (r ) dr
4
0
α= & =
E p 64  D / 2



41

∫ rU (r ) dr 
0

3
(15)
Sprawdźmy obecnie, jaką wartość osiąga współczynnik Coriolisa w przepływie
laminarnym i turbulentnym. Rozkład prędkości uzyskany poprzez rozwiązanie
równania Naviera-Stokesa dla przepływu laminarnego w przewodach kołowych,
wykazujący bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadczeń, ma postać:
  2r  2 
  2r  2 
(16)
U (r ) = U max 1 −    ≈ 2U śr 1 −   
  D  
  D  
Po wprowadzeniu zaleŜności (16) do wzoru (15) stwierdzić moŜna, Ŝe w przepływach
laminarnych, dla których charakterystyczny jest paraboliczny rozkład prędkości,
wartość współczynnika Coriolisa jest stała i równa α = 2.
Dla przepływu turbulentnego w przewodach o przekroju kołowym promieniowy
rozkład prędkości moŜemy wyrazić za pomocą doświadczalnej formuły potęgowej
zaproponowanej przez Prandtla i Karmana [1]:
1/ n
 2r 
U (r ) = U max 1 − 
(17)
 D
słusznej dla Re < 4 · 106, przy czym wartość n jest zaleŜna od liczby Reynoldsa n =
f(Re) i zmienia się w granicach n = 6 ÷ 11. Rozwiązanie całek występujących we
wzorze (15) pozwala uzyskać dla przepływu turbulentnego zaleŜność:
(2n + 1)3 (n + 1)3
α= 4
(18)
4n (n + 3)(2n + 3)
z której wynika, Ŝe w tym typie przepływu współczynnik Coriolisa jest równieŜ
zaleŜny od liczby Reynoldsa.
Przykładowe wartości n i α dla kilku liczb Reynoldsa zestawiono poniŜej:
Re = 4 · 103; n = 6; α = 1,08
Re = 1,1 · 104; n = 7; α = 1,06
Re = 3,2 · 106; n = 10; α = 1,03.
W praktyce podczas obliczania przepływów turbulentnych w przewodach długich
opuszczamy zwykle współczynnik Coriolisa przyjmując, Ŝe jest on równy jedności.
Niedokładności popełnione przy określaniu strat (liniowych i lokalnych) przewyŜszają
na ogół nieścisłości wynikające z załoŜenia α = 1.
2. Stanowisko pomiarowe
Schemat stanowiska pomiarowego pokazano na rys. 3. Wentylator promieniowy 1
o regulowanej prędkości obrotowej tłoczy powietrze do komory uspokajającej 2, w
której dzięki systemowi prostownic i siatek strumień powietrza zostaje
ujednorodniony. Z komory przez odpowiednio ukształtowaną dyszę powietrze
przepływa do przewodu 3 o średnicy D. W wybranym przekroju kontrolnym tego
przewodu jest dokonywany pomiar rozkładu prędkości. Rurka Pitota ciśnienia
całkowitego 4 zamocowana w suporcie 5 umoŜliwiającym jej promieniowy przesuw,
mierzy ciśnienie całkowite, natomiast impuls ciśnienia statycznego jest odbierany z
otworka wykonanego w ściance przewodu. Przewody impulsowe ciśnień całkowitego i
statycznego są połączone z róŜnicowym mikromanometrem pochylnym 6, którego
wskazanie pozwala obliczyć ciśnienie dynamiczne w wybranym punkcie
pomiarowym.
42
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego
3. Metodyka pomiarów i obliczeń
Z rozdziału 1 wynika, Ŝe dla wyznaczenia prędkości średniej i współczynnika
Coriolisa w przepływie osiowosymetrycznym niezbędna jest znajomość rozkładu
prędkości w kierunku promieniowym. Prędkość w danym punkcie określić moŜna
znając wartość ciśnienia dynamicznego, z zaleŜności:
2 pd
U=
, m/s
(19)
ρ
w której ρ – gęstość przepływającego czynnika, kg/m3.
W układzie pomiarowym opisanym powyŜej, ciśnienie dynamiczne wyznacza się ze
wzoru:
pd = ρ m g l i, N/m2
(20)
w którym:
ρm - gęstość cieczy manometrycznej, kg/m3,
g - przyspieszenie ziemskie, m/s2,
l - długość słupa cieczy manometrycznej, m,
i - przełoŜenie mikromanometru.
Znajomość doświadczalnie określonego rozkładu prędkości U(r) pozwala na
wyznaczenie wartości całek oznaczonych, występujących w zaleŜnościach (11), (12) i
(15):
D/2
ℑ1 =
∫ U (r ) r dr
(21)
0
D/2
ℑ2 =
3
∫ U (r ) r dr
(22)
0
przez zastosowanie jednej z metod całkowania przybliŜonego, np. metody prostokątów
zilustrowanej na rys. 4.
Promień przewodu dzielimy na n równych przedziałów o szerokości:
D
∆r =
, m
(23)
2n
43
Rys. 4. Ilustracja metody wyznaczania przybliŜonej wartości całek
a wartość całek
ℑ1 i ℑ2 wyznaczamy ze wzorów:
n
ℑ1 = ∆r ∑ U k rk
(24)
ℑ 2 = ∆r ∑ U k3 rk
(25)
k =1
n
k =1
w których:
k - numer kolejnego przedziału,
rk - promień środka k-tego przedziału, m,
Uk - prędkość w środku k-tego przedziału, m/s.
Wzór (11) określający strumień objętości przepływu przyjmie postać:
V& = 2π ℑ1 , m3/s
Prędkość średnia zgodnie z (12) wyraŜa się jako:
8
U śr = 2 ℑ1 , m/s
D
a współczynnik Coriolisa określony z zaleŜności (15) przyjmie postać:
D 4 ℑ2
α=
64 (ℑ1 )3
Liczbę Reynoldsa charakteryzującą badany przepływ obliczamy z zaleŜności:
U D
Re = śr
ν
(26)
(27)
(28)
(29)
w której ν – kinematyczny współczynnik lepkości, m2/s.
4. Szczegółowy program ćwiczenia
Po uruchomieniu tunelu aerodynamicznego i ustaleniu warunków jego pracy,
naleŜy dokonać sondowania pola prędkości wzdłuŜ promienia przewodu. Dla
uproszczenia późniejszych obliczeń współrzędne promieniowe punktów pomiarowych
naleŜy dobrać tak, aby leŜały one w środkach przedziałów o szerokości ∆r:
r1 = 0,5∆r
44
r2 = (2 - 0,5) ∆r
……………………......
rk = (k - 0,5) ∆r
Wyniki wskazań mikromanometru lk wpisujemy w tablicę pomiarowo-obliczeniową i
dla kaŜdego z punktów pomiarowych obliczamy:
- ciśnienie dynamiczne pdk – wzór (20),
- prędkość przepływu Uk – wzór (19),
- iloczyn rkUk,
- iloczyn rkUk3,
a następnie określamy wartości sum:
n
∑ rk U k ;
k =1
n
∑ rk U k3
k =1
które pomnoŜone przez ∆r pozwalają zgodnie z (24) i (25) obliczyć wartości całek
oraz
ℑ1
ℑ2 . Korzystając z zaleŜności (26), (27), (28), (29) obliczamy kolejno:
- strumień objętości przepływu V& , m3/s
- prędkość średnią Uśr, m/s
- współczynnik Coriolisa α,
- liczbę Reynoldsa Re.
Po wykonaniu pomiarów i obliczeń naleŜy sprawdzić, czy uzyskana wartość
współczynnika Coriolisa zawiera się w zakresie charakterystycznym dla liczby
Reynoldsa badanego przepływu.
Literatura:
1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1959
2. Czetwertyński E., Utrysko B.: Hydraulika i hydromechanika, PWN, Warszawa 1969
3. Walden H., Stasiak J.: Mechanika cieczy i gazów w inŜynierii sanitarnej, Arkady,
Warszawa 1971
45
Tabela pomiarowo-obliczeniowa
D = ……….m; t = ……….oC;
ρ = …….......kg/m3; ρm = …………kg/m3;
ν = ……..m2/s; n = ……..;
∆r = ……….m;
n
n
ℑ1 = ∆r ∑ rk U k = ..........;
ℑ 2 = ∆r ∑ rk U k3 = ..........;
k =1
U śr =
L.p.
8
D
2
ℑ1 = ...........;
rk
m
lk
m
k =1
α=
4
D ℑ2
= .........;
64 ℑ13
pdk
N/m2
Re =
U śr D
Uk
m/s
= .........
rk U k
m2/s
20
∑
k =1
46
ν
V& = 2π ℑ1 = ..........;
rk U k 3
m4/s3