Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F

Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora.
Definicja 1. Rozkładem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkład o gęstości
f (x) =
λα α−1 −λx
x e ,
Γ(α)
gdzie
Z∞
Γ(α) =
x > 0,
tα−1 e−t dt.
0
α
α
EX = , V arX = 2 .
λ
λ
Definicja 2. Rozkładem chi-kwadrat o n stopniach swobody χ2 (n) nazywamy rozkład
zmiennej losowej
n
X
Y =
Xi2 ,
i=1
gdzie X1 , . . . , Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Gęstość
i momenty tego rozkładu dane są wzorami:
f (x) =
1 k/2
2
xk/2−1 e−x/2 ,
Γ k2
EX = n,
V arX = 2n.
Definicja 3. Rozkładem t-Studenta o n stopniach swobody t(n) nazywamy rozkład zmiennej losowej
X
,
T =p
Y /n
gdzie X ∼ N (0, 1), zaś Y ∼ χ2 (n). Gęstość tego rozkładu dana jest wzorem:
− n+1
2
Γ n+1
x2
2
f (x) = √
1
+
.
n
nπΓ n2
Gdy n > 1, to EX = 0 (dla n = 1 nie istnieje), zaś gdy n > 2, to V arX =
n = 1, 2 nie istnieje).
n
n−2
(dla
Definicja 4. Rozkładem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody
nazywamy rozkład zmiennej losowej
Z=
X/m
,
Y /n
gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z odpowiednio
m i n stopniami swobody.
1
FAKT
(1) E(λ) = Gamma(1, λ),
(2) χ2 (n) = Gamma
n 1
,
2 2
.
(3) Jeżeli X1 , . . . , Xn są niezależne o tym samym rozkładzie Gamma(α, λ), to
n
P
i=1
ma rozkład Gamma(nα, λ).
iid
Twierdzenie 1. Niech X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ). Wówczas
n
X̄n =
1X
Xi ,
n i=1
n
S
2
1 X
=
(Xi − X̄n )2
n − 1 i=1
są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz
X̄n ∼ N
σ2
µ,
n
n−1 2
S ∼ χ2 (n − 1),
2
σ
√ X̄n − µ
n
∼ t(n − 1).
S
Wynika stąd, że ES 2 = σ 2 , V arS 2 =
2σ 4
.
(n − 1)
2
,
Xi