n ∈ N, p

PODSTAWOWE ROZKŁADY DYSKRETNE
Rozkład Bernoulliego, B(n,p), n ∈ N, p ∈ (0, 1)
P(X=k)=
n
k
pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, 1, 2, . . . , n},
EX = np, V arX = np(1 − p)
k0 najbardziej prawdopodobna wartość zmiennej losowej X
[(n + 1)p], gdy (n + 1)p ∈
/N
k0 =
(n + 1)p, (n + 1)p − 1, gdy (n + 1)p ∈ N
Rozkład Poissona z parametrem λ, λ > 0
k
P(X=k)=e−λ λk! , k ∈ {0, 1, 2, . . .},
EX = λ, V arX = λ,
[λ], gdy λ ∈
/N
k0 =
λ, λ − 1, gdy λ ∈ N
Rozkład geometryczny z parametrem p, p ∈ (0, 1)
P(X=k)=(1 − p)k−1 p,
EX = p1 , V arX =
k ∈ {1, 2, 3, . . .}
1−p
p2
PODSTAWOWE ROZKŁADY TYPU CIĄGŁEGO
f (x) jest funkcją gęstości, F (x) jest dystrybuantą
Z
P (a < X < b) = F (b) − F (a) =
b
f (x)dx
a
Rozkład jednostajny na przedziale [a,b]
1
, gdy a ≤ x ≤ b
b−a
f (x) =
0, gdy x ∈
/ [a, b]

 0, gdy x < a
x−a
, gdy a ≤ x ≤ b
F (x) =
 b−a
1, gdy x > b
EX =
a+b
,
2
V arX =
(b−a)2
.
12
Rozkład wykładniczy z parametrem α, α > 0
0, gdy x < 0
f (x) =
αe−xα , gdy x ≥ 0
1
2
F (x) =
0, gdy x < 0
1 − e , gdy x ≥ 0
−xα
EX = α1 , V arX =
1
.
α2
Rozkład gamma z parametrem skali α > 0 i kształtu p > 0
0, gdy x < 0
R ∞ p−1 −x
f (x) =
αp p−1 −xα
x
e
,
gdy
x
≥
0,
gdzie
Γ(p)
=
x e dx
Γ(p)
0
EX = αp , V arX = αp2 .
Dla p=1 rozkład gamma jest rozkładem wykładniczym.
Dla α = 21 , p = n2 , n ∈ N rozkład gamma nazywamy
rozkładem chi kwadrat z n stopniami swobody.
Rozkład Cauchyego z parametrami m ∈ R, c > 0
f (x) =
c
1
,
π 1+c2 (x−m)2
EX, V arX nie istnieją
Rozkład normalny z parametrami m ∈ R, σ > 0, N (m, σ)
(x−m)2
1
f (x) = √ e− 2σ2 ,
σ 2π
EX = m, V arX = σ 2
Jeśli X ma rozkład N (m, σ) to
X−m
σ
ma rozkład N (0, 1),
Jeśli zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn są niezależne i każda ma rozkład
N (mk , σk ) to p
zmienna losowa X1 +X2 +. . .+Xn ma rozkład prawdopodobieństwa
Pn
Pn
2
N ( k=1 mk ,
k=1 σk ).
Centralne twierdzenie graniczne
Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych i
istnieją EXk , V arXk , k = 1, 2, . . . to dla każdego x ∈ R zachodzi
Pn
k=1 Xk −
pPn
Pn
k=1 EXk
lim P
<x
n→∞
k=1 V arXk
gdzie Φ(x) jest dystrybuantą rozkładu N (0, 1).
!
= Φ(x),