1 σ-ciała

1
σ-ciała
Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki:
1o ∅ ∈ M;
2o jeśli A ∈ M, to X \ A ∈ M;
3o jeśli An ∈ M dla każdego n ∈ N, to
S
n∈N
An ∈ M.
Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w
zbiorze X.
Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M:
• X∈M
• jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz Aj ∈ M dla każdego j ∈ J, to:
a)
S
b)
T
j∈J
Aj ∈ M;
j∈J
Aj ∈ M
tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała
M, należą do M;
• jeśli A, B ∈ M, to A \ B ∈ M.
Definicja 1.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze X, to parę (X, M) nazywamy przestrzenią
mierzalną.
Przykłady:
1. Rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X jest σ-ciałem w X.
2. Rodzina M = {∅, X} jest σ-ciałem w zbiorze X.
3. Jeśli E jest ustalonym podzbiorem zbioru X, to rodzina M = {∅, X, E, X \ E} jest σciałem w zbiorze X.
4. Niech (X, ) będzie przestrzenią mierzalną oraz niech dane będzie odwzorowanie f : X 7−→
Y , gdzie Y - dowolny zbiór. Wówczas rodzina N = {B ⊂ Y : f −1 (B) ∈ M} jest σ-ciałem
w Y.
Stwierdzenie 1.1 Część wspólna rodziny σ-ciał w X jest σ- ciałem w X.
Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia:
Definicja 1.3 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni X. σ-ciałem generowanym
przez R w X nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w X zawierających R i oznaczamy
σ(R). σ(R) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę R.
1
Uwaga: istnienie σ(R) wynika z Przykładu 1.
Definicja 1.4 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni metrycznej X nazywamy zbiory należące do σ-ciała w X generowanego przez rodzinę G(X)
- wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem X
oznaczamy B(X).
2
Miara
Definicja 2.1 Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję
µ : M 7−→ R̄+ (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi A z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę
nieujemną µ(A) skończoną, lub równą +∞) spełniającą dwa warunki:
1o µ(∅) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0);
2o µ ( n∈N An ) = n∈N µ(An ) dla każdego ciągu zbiorów An ∈ M parami rozłącznych (miara
sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar).
S
P
Własność 2o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ .
Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w X, to trójkę (X, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą.
Jeśli A ∈ M i µ(A) = 0 to mówimy, że zbiór A jest miary µ zero.
Jeśli A ∈ M i µ(A) < +∞ to mówimy, że zbiór A jest miary µ skończonej.
Miara µ na σ-ciele M w X nazywa się:
- skończona, jeśli µ(X) < +∞;
- unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ(X) = 1;
- półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń X daje się przedstawić w postaci sumy
przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej;
- zupełna, jeśli z warunku A ⊂ B, B ∈ M, µ(B) = 0 wynika, że A ∈ M (tzn. każdy podzbiór
zbioru miary zero należy do M).
Stwierdzenie 2.1 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas:
(i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {Aj : j ∈ J} - rodziną zbiorów
parami rozłącznych należących do M, to

µ

[
Aj  =
j∈J
X
µ(Aj );
j∈J
(ii) jeśli zbiór A jest miary µ skończonej, A ⊂ B, B ∈ M, to
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A);
(iii) jeśli A ⊂ B (A, B ∈ M), to µ(A) ¬ µ(B) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.)
2
(iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {Aj : j ∈ J} - rodziną zbiorów
należących do M, to


µ
[
Aj  ¬
j∈J
X
µ(Aj );
j∈J
(v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero;
(vi) jeśli An % A, (An M), to µ(An ) % µ(A);
(vii) jeśli An & A, (An M), to µ(An ) & µ(A), przy dodatkowym założeniu, że zbiór A1 jest
miary µ skończonej;
Definicja 2.2 (miara zewnętrzna) Miarą zewnętrzną w zbiorze X nazywamy funkcję zbioru
µ∗ o wartościach w R¯+ , określoną na klasie wszystkich podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy
warunki:
1o µ∗ (∅) = 0;
2o jeśli A ⊂ B ⊂ X, to µ∗ (A) ¬ µ∗ (B) (monotoniczność) ;
3o µ ( n∈N An ) ¬
daddytywność).
S
P
n∈N
µ∗ (An ) dla każdego ciągu An podzbiorów zbioru X (przeliczalna po-
Z własności tych wynika, że µ∗ ( j∈J Aj ) ¬ j∈J µ∗ (Aj ) dla każdej rodziny {Aj : j ∈ J}
podzbiorów zbioru X, gdzie J - co najwyżej przeliczalny zbiór indeksów. W szczególności
S
jeśli µ∗ (Aj ) = 0 dla j ∈ J, to µ∗ ( j∈J Aj ) = 0.
Uwaga: Każda miara jest miarą zewnętrzną. Jeśli miara zewnętrzna jest skończenie addytywna to jest miarą.
S
P
P
Definicja 2.3 Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną w X. Mówimy, że zbiór A ⊂ X spełnia
warunek Caratheodory’ego względem µ∗ , jeśli:
(Car)
µ∗ (W ∪ Z) = µ∗ (W ) + µ∗ (Z)
dla dowolnych zbiorów W, Z takich, że W ⊂ A, Z ⊂ X \ A (zbiór W jest ”wewnętrzny” a Z
”zewnętrzny” w stosunku do A).
Uwaga: wystarczy żądać by zachodziło ”­”.
Twierdzenie 2.1 (Caratheodory’ego) Jeśli µ∗ jest miara zewnętrzną w zbiorze X oraz
M oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X spełniających warunek (Car), to:
a) M jest σ-ciałem w X;
b) jeśli µ∗ (A) = 0, to A ∈ M;
c) miara zewnętrzna µ∗ zawężona do M jest miarą, miara ta jest zupełna.
Dowód:
3
Definicja 2.4 Przedziałem w Rk nazywamy zbiór P ⊂ Rk postaci:
P = P1 × . . . × Pk
gdzie Pi są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazywamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział:
|P | = |P1 | · . . . · |Pk |.
Definicja 2.5 Powiemy, że rodzina przedziałów P j jest pokryciem zbioru A jeśli A ⊂
S
i∈J
P j.
Definicja 2.6 (k - wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a) K wymiarową miarą zewnętrzną Lebesgue’a zbioru A ⊂ Rk określamy:
lk∗ (A) = inf

X
|P n | : P n − przedziały w Rk , A ⊂

n∈N
[
n∈N


Pn .

Twierdzenie 2.2 Powyżej określona k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a jest miarą
zewnętrzną.
Twierdzenie 2.3 Miara zewnętrzna Lebesgue’a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa
się jego objętości.
Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue’a równej zero nazywamy zbiorami miary zero.
Przykłady:
1. Zbiór pusty jest miary zero.
2. Każdy zbiór przeliczalny jest miary zero (bo zbiory jednopunktowe są miary zero).
3. Każdy przedział zdegenerowany w Rk jest zbiorem miary zero, co wynika z definicji objętości przedziału zdegenerowanego i definicji miary Lebesgue’a.
4. Jeśli jeden ze zbiorów A, B ⊂ R jest miary zero to A × B ⊂ R2 jest miary 0.
Przez L(Rk ) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni Rk generowane przez rodzinę wszystkich
k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów Rk miary zero. σ -ciało L(Rk )
nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni Rk mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Zbiory należące do L(Rk ) nazywamy zbiorami mierzalnymi (w sensie Lebesgue’a). Przez lk oznaczamy
zawężenie miary zewnętrznej Lebesgue’a lk∗ do σ-ciała L(Rk ) zbiorów mierzalnych.
Twierdzenie 2.4 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni Rk oraz wszystkie jej podzbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(Rk ));
b) lk jest miarą na σ-ciele L(Rk );
c) miara lk jest zupełna i σ-skończona.
Twierdzenie 2.5 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym.
4
Zadania rozważane na wykładzie:
1. Podaj postać σ-ciała w zbiorze X = {a, b, c, d} generowanego przez rodzinę zbiorów R =
{{a}, {b}}.
2. Twierdzenie 2.6 Niech G ⊂ Rk . Dane jest odwzorowanie f : G → Rn , k < n, f jest
klasy C 1 . Wówczas ln (f (g)) = 0.
Korzystając z tego twierdzenia pokazaliśmy, że l2 (S 1 ) = 0,
gdzie S 1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 = 1} - okrąg jednostkowy. Zastosowaliśmy powyższe
twierdzenie do odwzorowania f (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ).
5