Analiza matematyczna II.1
Transkrypt
Analiza matematyczna II.1
Analiza matematyczna II.1 Zadania – część 12 1. Wykazać następujący fakt, który jest częścią lematu Borela-Cantelliego (przydatnego w teorii prawdopodobieństwa). Niech (X, F , µ) będzie przestrzenią z miarą spełniającą µ(X) = 1; dla dowolnego ciągu F -mierzalnych zbiorów (An )∞ n=1 definiujemy zbiory ∞ [ ∞ \ lim sup An = An , lim inf An = m=1 n=m Wówczas, jeżeli P∞ n=1 ∞ \ ∞ [ An . m=1 n=m µ(An ) < ∞, to µ(lim sup An ) = 0. 2. Sprawdzić, czy funkcja µ∗ : 2R → {0, 1} określona wzorem ( ∗ µ (A) = 0 1 jeżeli A jest przeliczalny, jeżeli A jest nieprzeliczalny jest miarą zewnętrzną. Jeśli tak, to wyznaczyć rodzinę zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego. 3. Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną na pewnej przestrzeni metrycznej. Wykazać, że jeżeli każdy zbiór borelowski jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego, to µ∗ jest metryczną miarą zewnętrzną. 4. Wykazać następujące dwa zdania dotyczące mocy ciał/σ-ciał: (a) Liczba elementów każdego skończonego ciała zbiorów jest potęgą dwójki. (b)∗ Każde nieskończone σ-ciało ma moc przynajmniej c. 5. Niech (fn )∞ n=1 będzie ciągiem funkcji ciągłych odwzorowujących R w R. Pokazać, że następujące zbiory są borelowskie: (a) {x ∈ R : limn→∞ fn (x) = ∞}, (b) {x ∈ R : ciąg (fn (x))∞ n=1 ma granicę, która jest liczbą niewymierną}. 6. Niech (X, F , µ) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że istnieje tzw. uzupełnienie miary µ, tzn. taka miara µ0 , określona na pewnym σ-ciele G zawierającym F , że µ0 (A) = µ(A) dla każdego A ∈ F oraz każdy podzbiór zbioru miary µ0 zero należy do G (tj. µ0 jest zupełna). 7. Dla danego ciągu (δn )∞ n=1 , który jest zbieżny do zera i ma wszystkie wyrazy nieujemne, zdefiniujmy miarę µ : 2N → [0, ∞] wzorem µ(A) = X δn dla A ⊂ N. n∈A Znaleźć warunek na (δn )∞ n=1 , który jest konieczny i wystarczający na to, aby obrazem miary µ był przedział [0, µ(N)]. 8. Niech X = {0, 1}∞ będzie zbiorem wszystkich ciągów zero-jedynkowych. Udowodnić, że nie istnieje żadna (σ-addytywna) miara określona na σ-ciele wszystkich podzbiorów X, która przyjmuje jedynie wartości 0 i 1 oraz znika na wszystkich singletonach. 9. Niech f : R → R będzie dowolną funkcją ciągłą. Pokazać, że jej wykres Gr(f ) ⊂ R2 jest zbiorem miary Lebesgue’a zero. 10. Wykazać, że brzeg dowolnego ograniczonego zbioru wypukłego w Rk ma k-wymiarową miarę Lebesgue’a równą zeru. Wywnioskować stąd, że wypukłe podzbiory Rk są zawsze mierzalne w sensie Lebesgue’a. 11. Dla każdej liczby 0 ¬ t < 1 skonstruować nigdziegęsty, zwarty pozbiór odcinka [0, 1], którego miara Lebesgue’a wynosi t. 12∗ . Niech µ będzie miarą skończoną określoną na pewnym σ-ciele F . Zbiór A ∈ F nazywamy atomem miary µ, jeżeli µ(A) > 0 oraz dla każdego B ⊂ A, B ∈ F , mamy µ(B) ∈ {0, µ(A)}. Załóżmy, że dana miara µ jest bezatomowa, tzn. że nie istnieje żaden atom tej miary. Wykazać, że prawdziwa jest następująca własność Darboux: dla każdego zbioru A ∈ F i dowolnej liczby t ∈ (0, µ(A)) istnieje taki zbiór B ⊂ A, B ∈ F , że µ(B) = t. 13∗ . Niech {Bn : n = 1, 2, . . .} będzie rodziną parami rozłącznych kul otwartych zawartych w kuli jednostkowej B0 (o środku w zerze) przestrzeni Rk , przy czym, dla każdego n ∈ N, kula Bn ma promień rn . Załóżmy, że λk B0 \ ∞ [ Bn = 0 n=1 (λk to k-wymiarowa miara Lebesgue’a). Wykazać, że ∞ X rnk−1 = ∞. n=1 2