Funkcje elementarne. Wielomiany

Repetytorium matematyki elementarnej
kierunek: Informatyka, specjalno±¢: ISI
I rok SI◦ in»., grupy: 1, 2, rok akademicki 2016/2017
Funkcje elementarne. Wielomiany
1. Dana jest funkcja f (x) = x − |x|. Podaj wzór funkcji g i naszkicuj jej wykres:
(a) g(x) = f (x + 1),
(c) g(x) = −f (x) + 2 ,
(e) g(x) = |f (x)| ,
(b) g(x) = f (−x) ,
(d) g(x) = −f (−x) ,
(f) g(x) = f (|x|) .
2. Naszkicuj wykres nast¦puj¡cych funkcji, przeksztaªcaj¡c wykres funkcji f (x) = x2 :
(a) f (x) = (x + 3)2 − 1 ,
(c) f (x) = (x + 1)2 + 3 ,
(b) f (x) = (x − 3)2 + 1 ,
(d) f (x) = (x − 1)2 − 3 .
3. Funkcja f , okre±lona na przedziale [−6, 6], dana jest wzorem


4
dla x ∈ [−6, −3]
1 − x dla x ∈ (−3, 3) .

x − 5 dla x ∈ [3, 6]
(a) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = |f (x + 2) − 1|. Okre±l jej dziedzin¦ i zbiór warto±ci.
(b) Naszkicuj wykres funkcji h(x) = f (1 − x) i okre±l jej dziedzin¦.
4. Podaj wzór funkcji liniowej, która dla ka»dej liczby rzeczywistej x speªnia warunek:
(a) f (x + 1) = 2x − 3,
(b) f (−x + 3) = x + 5 .
5. Naszkicuj wykresy funkcji f oraz g(x) = f (2 − x).
(a) f (x) =
|x|
,
x
(c) f (x) = ||x| − 2| ,
p
(d) f (x) = | (x − 1)2 − 3| .
√
(b) f (x) = x − 2 x2 ,
6. Wyznaczy¢ miejsca zerowe funkcji f :
(a) f (x) = x2 − 5x − 6,
(e) f (x) = x2 + 7,
(b) f (x) = 2(x − 2)(x + 5),
(f) f (x) = 3x2 − 48,
(c) f (x) = x(x + 3) + 1 − 3(x + x2 ),
(g) f (x) = x2 + x + 1,
(d) f (x) = (3x + 2)2 − 4(1 − 7x),
(h) f (x) = 2(x − 1)(x + 1) + 3(x − 2) + 3.
7. Wyznaczy¢ wierzchoªek, miejsca przeci¦cia z osi¡ OX (o ile istniej¡) i naszkicowa¢ parabol¦ dan¡
równaniem
(a) y = x2 − 6x + 7,
(e) y = 3x2 + 2x + 1,
(b) y = −4x2 + 6x − 3,
(f) f (x) = x2 − 4x − 5,
(c) y = x2 − 2x + 5,
(g) f (x) = −2x2 − 4x − 1,
(d) y = −x2 + 3x − 2,
(h) f (x) = x2 + 4x − 7.
8. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce nierówno±ci:
1
(a) x2 − 6x + 7 > 0,
(e) x2 − 36 < 0,
(b) 4x2 + 6x − 3 ≥ 0,
(f) 2x(x + 1) − x < 1,
(c) x2 − 2x + 5 < 0,
(g) 5x(x + 1) + 3 > x(2x + 5).
(d) −x2 + 3x − 2 ≤ 0,
9. Dana jest funkcja f (x) = x2 + bx. Dla jakiej warto±ci parametru b
(a) do wykresu funkcji f nale»y punkt (−1, 3),
(b) miejscem zerowym jest liczba 4,
(c) funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe?
10. Dana jest funkcja f (x) = ax2 + 3. Dla jakiej warto±ci parametru a
(a) do wykresu funkcji f nale»y punkt (−2, −1),
(b) do wykresu funkcji f nale»y punkt (1, 3),
(c) funkcja ma miejsca zerowe 2, −2?
11. Dana jest funkcja f (x) = x2 + 3x + c. Dla jakiej warto±ci parametru c
(a) do wykresu funkcji f nale»y punkt (−1, 3),
(b) wykres jest styczny do osi OX ,
(c) funkcja ma miejsce zerowe 1?
12. Podaj wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przeksztaªcenia paraboli o równaniu
y = x2 + 4x − 5 przez symetri¦ wzgl¦dem:
(a) osi OX ,
(b) osi OY ,
(c) punktu (0, 0).
13. Wykres funkcji f przesuni¦to o wektor ~u. Naszkicuj wykres otrzymanej funkcji i podaj jej wzór:
(a) f (x) = x2 − 2x + 1, ~u = [1, 3],
(b) f (x) = −2x2 + 4x + 1, ~u = [−1, −2].
14. O jaki wektor nale»y przesun¡¢ wykres funkcji f (x) = 2x2 , aby otrzyma¢ wykres funkcji g ?
(a) g(x) = 2x2 − 2x + 4,
(b) g(x) = 2x2 + 2x,
(c) g(x) = 2x2 + 4x − 2.
15. Dla jakich warto±ci parametru m równanie:
(a) (2 − m)x2 + (3 − m)x + 1 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki ujemne,
(b) mx2 + (2m + 1)x + m − 1 = 0 ma dwa ró»ne pierwiastki dodatnie ?
16. Dla jakich warto±ci parametru m, dwa ró»ne pierwiastki x1 , x2 równania
(4 − m)x2 + (m − 4)x + 2 = 0 speªniaj¡ nierówno±¢ x11 + x12 > 1?
17. Wyznaczy¢ warto±ci parametru m, dla których kwadrat sumy dwóch ró»nych pierwiastków równania (4 − m)x2 + mx − m = 0 jest wi¦kszy od 1.
18. Wyznaczy¢ warto±ci parametru m, dla których suma kwadratów dwóch ró»nych pierwiastków
równania x2 + (m + 2)x + 3m − 2 = 0 jest wi¦ksza od 7.
19. Wyznaczy¢ warto±ci parametru m, dla których suma odwrotno±ci kwadratów dwóch ró»nych pierwiastków równania x2 + 2mx − x − 1 = 0 jest równa 3.
20. Dla jakich warto±ci parametru m, suma kwadratów pierwiastków równania
x2 + (m − 3)x + m − 5 = 0 jest najmniejsza ?
21. Rozwi¡za¢ nierówno±¢:
2
(a) x2 − 3|x + 6| > 0
(b) x2 − |x − 3| ≥ 2x + 3
(c)
√
4 − x2 > x + 2 .
22. Okre±l stopie« wielomianu
(a) f (x) = x3 − 8x9 − x4 +
√
3x ,
(b) f (x) = 3x − 7x + 3x − 2x4 + 6x2 − x4 + 10 .
4
3
23. Sprawd¹, czy wielomiany f i g s¡ równe
(a) f (x) = (2x − 1)2 (x + 3) ,
g(x) = 4x3 + 12x2 + x + 3
(b) f (x) = (4x − 3)(x2 + 1)(4x + 3) ,
g(x) = 16x4 + 7x2 − 9 .
24. Wyznaczy¢ parametr m, dla którego wielomiany f (x) = 9x3 − (m − 6)x2 + 2 i g(x) = 9x3 + 7x2 +
3(m + 1)x + 2 s¡ równe.
25. Wyznaczy¢ sum¦ wspóªczynników wielomianu
(a) f (x) = 5x7 − 9x3 − 4x + 17 ,
(b) f (x) = (2x10 − 3x22 )30 ,
(c) f (x) = (x3 − x + 1)50 + (2x2 − 2x + 1)30 .
26. Rozªo»y¢ na czynniki nast¦puj¡ce wielomiany:
(a) f (x) = x3 + 5x2 + 3x − 9
(b) f (x) = x4 + 4 .
27. Rozwi¡za¢ równania wielomianowe.
(a) 2x2 (x2 − 3)(x2 − 4x + 4) = 0
(h) 8x3 − 11x2 − 8x + 11 = 0
(b) x(x3 − 1)(3x + 9)(2x3 + 5) = 0
(i) x6 − 27 = 0
(c) 4x5 − 4x4 + x3 = 0
(j) x5 + 2x4 + 2x3 + 4x2 − 3x − 6 = 0
(d) 3x8 − 2x4 − 1 = 0
(k) x7 + 2x5 + x3 = 0
(e) 6x3 − 3x2 + 12x = 0
(l) x8 − 4x6 + 4x4 = 0
(f) x8 − 16 = 0
(m) x3 − 10x + 3 = 0 ,
(g) x4 − 5x3 + x − 5 = 0
(n) x3 − 15x − 4 = 0.
28. Rozwi¡za¢ nierówno±ci wielomianowe.
(a) (x − 4)(x − 5)(x − 1)(2x + 1) < 0
(d) (x − 1)(2 − x − x2 ) < 0
(b) (x − 1)(x + 4)4 (2x + 6)5 ≥ 0
(e) (x2 − 25)(x3 − 1)(x2 + 5x + 4) ≤ 0
(c) x9 (4 − x)3 (x + 1)4 (x − 10)3 > 0
(f) x8 + 4x6 − 2x5 − 8x3 + x2 + 4 < 0.
29. Wyznaczy¢ parametry a, b tak, aby wielomian f byª podzielny przez x2 − 1.
(a) f (x) = x4 − 3x3 + 6x2 + ax + b
(b) f (x) = x9 + ax + b .
30. Przy dzieleniu wielomianu f stopnia n ≥ 2 przez x − 1 otrzymamy reszt¦ 2, za± przy dzieleniu f
przez x − 2 reszt¦ 1. Ile wynosi reszta z dzielenia f przez (x − 1)(x − 2) ?
31. Reszta z dzielenia wielomianu f stopnia n ≥ 2 przez x − 3 wynosi 14, za± reszta z dzielenia f
przez x + 2 wynosi 4. Ile wynosi reszta z dzielenia f przez x2 − x − 6 ?
3
32. Reszta z dzielenia wielomianu f stopnia n ≥ 3 przez x − 1 wynosi 3, reszta z dzielenia f przez
x + 2 wynosi 6, za± reszta z dzielenia f przez x − 3 wynosi 21. Ile wynosi reszta z dzielenia f
przez x3 − 2x2 − 5x + 6 ?
33. Wyznacz warto±¢ parametru m tak, aby reszta z dzielenia wielomianu f przez dwumian g byªa
równa r.
(a) f (x) = x4 + m2 x3 + mx2 − x + 3 ,
g(x) = x − 1 , r = 5
(b) f (x) = |m|x3 + x2 + |m − 1|x + 3 ,
g(x) = x + 1 , r = 1
34. Wykonaj dzielenie wielomianu f przez wielomian g , a nast¦pnie zapisz f w postaci f (x) =
h(x)g(x) + r(x), gdzie r jest reszt¡ z tego dzielenia.
(a) f (x) = 2x3 − 3x2 + 5 ,
g(x) = 2x − 1 ,
(b) f (x) = 3x4 + x3 + 4x2 − 2x − 1 ,
g(x) = x2 − 1 ,
(c) f (x) = 4x4 + 2x3 − 6x2 − 2x − 4 ,
(d) f (x) = x3 + 4x2 + x − 6 ,
g(x) = 2x2 + 2 ,
g(x) = x + 2 ,
(e) f (x) = x5 − 2x4 + 7x3 − 5x2 + 3x + 658 ,
g(x) = x + 3 .
35. Reszta z dzielenia wielomianu f (x) = x3 + mx2 − x + 2 przez x − 3 jest równa 8. Wyznacz warto±¢
m oraz wszystkie pierwiastki wielomianu f .
36. Liczba 2 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu f trzeciego stopnia, a reszta z dzielenia f
przez x − 1 jest równa 3. Poda¢ wzór na f .
37. Liczba 4 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu f trzeciego stopnia, a reszta z dzielenia f
przez x − 5 jest równa 7. Poda¢ wzór na f .
38. Liczba 4 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu f trzeciego stopnia, a reszta z dzielenia f
przez x − 5 jest równa 7. Poda¢ wzór na f .
39. Dla jakich warto±ci wspóªczynników a i b, wielomian f (x) = ax3 − x2 + bx + 4 jest podzielny przez
x2 − 4 .
40. Liczby −1 i 3 s¡ pierwiastkami wielomianu f (x) = x3 + mx2 − 7x + n . Wyznaczy¢ m i n oraz
trzeci pierwiastek wielomianu.
41. Stosuj¡c schemat Hornera, wykonaj dzielenie wielomianu f przez dwumian g .
(a) f (x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 + 9x − 1 ,
(b) f (x) = −3x4 + 2x2 + 40 ,
g(x) = x − 2 ,
(c) f (x) = −5x3 + 4x2 + 6x − 7 ,
(d) f (x) = −x5 + 2x3 + 4x + 6 ,
(e) f (x) = x3 + 4x2 + x − 6 ,
g(x) = x + 1 ,
g(x) = x + 2 ,
g(x) = x − 1 ,
g(x) = x + 2 ,
(f) f (x) = x5 − 2x4 + 7x3 − 5x2 + 3x + 658 ,
g(x) = x + 3 .
42. Wyznacz pierwiastki wielomianu f (x) = x3 + 2x2 − 7x + 4 , wiedz¡c, »e wielomian f jest podzielny
przez dwumian (x + 2).
4