Wielomiany i funkcje wymierne

Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach do mojego wykªadu
i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª Algebry z geometri¡ analityczn¡.
Inne listy zada« znajd¡ Pa«stwo na stronie internetowej Instytutu Matematyki i Informatyki PWr
pod adresem http://prac.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/listy-zadan.html.
Paulina Frej
Wielomiany i funkcje wymierne
1. Obliczy¢ iloraz i reszt¦ z dzielenia wielomianu
P
przez wielomian
(a)
P (x) = 2x5 + x3 + 2x − 2,
Q(x) = 2x3 + 1
(b)
P (x) = 2x4 − 3x3 + x + 1,
Q(x) = x2 + 2,
4
3
2
(c)
P (x) = x − x − x ,
Q(x) = (x + 1)(x2 + 1),
(d)
P (x) = x4 + 3x3 + x + 1,
Q(x) = x2 + 2,
(e)
P (x) = x5 + 4x3 + 2x − 1,
Q(x) = x3 + 1,
2. Nie wykonuj¡c dzielenia, znale¹¢ reszt¦ z dzielenia wielomianu
P
przez wielomian
(a)
P (z) = x16 − x5 + 3,
Q(z) = x2 + 1
(b)
P (x) = x7 − x5 + x4 + x3 + x + 3,
Q(x) = x3 − x,
7
(c)
P (x) = x − 33x + 11,
Q(x) = x2 − x − 2,
(d)
P (x) = x4 − x3 − x2 ,
Q(x) = x3 + x2 + x + 1,
(e)
P (x) = x4 − 3x3 + 5x + 2,
Q(x) = x2 − x − 2,
(f )
P (x) = x4 − 2x2 + 4x,
Q(x) = x2 + x − 2,
(g)
P (x) = x10 + x2 − 2,
Q(x) = x3 − 4x,
(h)
P (x) = x4 − 2x3 + 2x2 + 3,
Q(x) = (x − 1)(x2 + 1).
3. Znale¹¢ wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu
(a)
P (x) = 8x4 − 2x3 − 9x2 + 2x + 1,
(b)
P (x) = 3x4 − 5x3 + x2 − 5x − 2,
(c)
P (x) = 6x3 − 13x2 + 9x − 2,
(d)
P (x) = 16x4 − 17x2 + 1,
(e)
P (x) = −2x4 − 5x3 + 9x2 − x − 1,
(f )
P (x) = 4x5 − 7x3 + x2 + 3x − 1.
4. Wielomian
Q
W
P.
rozªo»y¢ na nierozkªadalne czynniki rzeczywiste.
(a)
W (x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12,
(b)
W (x) = x4 + 3x2 + 2,
Q.
(c)
W (x) = −x4 + 2x3 − 2x2 + 7x − 6,
(d)
W (x) = x6 − x5 + 3x4 + 2x3 − 9x2 − x + 5,
(e)
W (x) = x5 + x4 − 4x3 − 4x2 + 3x + 3.
5. Rozªo»y¢ na rzeczywiste uªamki proste funkcj¦ wymiern¡
(a)
(d)
x3
2x2 + x − 1
,
− 3x2 + x − 3
3x2 + x + 3
,
x3 + x + 10
(b)
(e)
(x2
3x2 + 3x + 2
,
+ 2x + 5)(x − 1)
2x2 + 5x + 4
,
(x + 1)2 (x + 2)
(c)
(f )
3x2 + 5x + 3
,
+ 2x2 + x + 2
x3
x3
12x + 6
.
+ 2x2 − 5x − 6