O czym byl ten wyklad?

Zadania do wykładu: ”O poszukiwaniu jedności w fizyce”
październik 2007
Szczególna teoria względności (STW) nie jest prosta fizycznie, bo podważa nasze intuicje oraz wzory,
którymi fizycy posługiwali się przez setki lat. Zmienia nasze rozumienie czasu i przestrzeni, łączy pojęcia
masy i energii. Tym niemniej matematycznie jest na tyle elementarna, że jest możliwa do zrozumienia przez
licealistów (wiem, bo sam nauczyłem się jej chodząc właśnie do wałbrzyskiego liceum). Współczesna fizyka
jest bez niej nie do pomyślenia. Pokażę, jak STW łączy dwa działy fizyki - elektrostatykę i magnetyzm.
Opowiem też o fizyce cząstek elementarnych i o kolejnych krokach fizyki współczesnej w kierunku marzenia
Einsteina - Jednolitej Teorii Pola (tzw. teorii wszystkiego). Wykład przeznaczony jest do licealistów,
zarówno dla tych zainteresowanych fizyką, jak i tych lubiących bardziej matematykę.
Zrobienie choćby kilku z poniższych zadań powinno bardzo ułatwić zrozumienie wykładu. Polecam
literaturę popularnonaukową umieszczoną na końcu pliku. Materiały, m.in. do nauki STW, będą również
umieszczone na stronie http://www.mimuw.edu.pl/~palka/fizyka/index.html.
CZĘŚĆ A (Elektrostatyka i magnetyzm)
Na lewym rysunku widać umieszczony w próżni powiększony przewód z prądem oraz próbny ładunek
q umieszczony w odległości y od osi przewodu. vu jest wypadkową prędkością elektronów (tzw. ”prędkość
→
−
unoszenia”), I to natężenie prądu, a V to prędkość ładunku próbnego q. Zakładamy, że V jest równoległe
do osi przewodnika oraz że przewodnik albo jest obojętny, albo naładowany jednorodnie.
Na prawym rysunku widać ten sam przewód otoczony wyimaginowaną powierzchnią walcową o promieniu y i długości L.
1. Znaleźć w tablicach przybliżone wartości i jednostki dwóch podstawowych stałych: przenikalności
magnetycznej próżni µ0 oraz przenikalności dielektrycznej próżni 0 . Znaleźć w podręczniku fizyki
→
−
wzór na siłę działającą na ładunek q, który ma prędkość V i znajduje się jednocześnie w polu
→
−
→
−
elektrostatycznym E i polu magnetycznym B .
2. Zdefiniujmy gęstość liniową ładunku λ jako ładunek przypadający na jednostkę długości przewodnika. Można napisać λ = λ+ + λ− , gdzie λ+ i λ− to gęstości liniowe ładunków dodatnich i ujemnych.
Oczywiście jeśli przewodnik jest obojętny, to λ = 0.
(i) Używając definicji I uzasadnić związek I = −λ− vu .
(ii) Stosując do rysunku 2 prawo Gaussa znaleźć wzór na natężenie pola elektrostatycznego w punkcie,
w którym umieszczony jest ładunek q.
3. Narysować linie pola magnetycznego B w otoczeniu przewodnika z rysunku 1. Jaki ma zwrot i
→
−
kierunek pole B działającego na q? Jaka jest wartość i kierunek siły działającej na q jeśli λ = 0 ?
Jaki wzór na B wynika z prawa Ampere’a ?
1
4. Rozważmy drut miedziany o przekroju S = 2 mm2 .
(i) Policzyć gęstość atomów miedzi N , tzn. ilość atomów miedzi na m3 (przyda się tu znajomość
liczby Avogadra A0 , masy mola miedzi M oraz gęstości miedzi ρ).
(ii) Załóżmy, że na jeden atom miedzi przypada jeden elektron przewodnictwa oraz że I = 1A.
Uzasadnić związek λ = N S, policzyć λ i vu (wynik najlepiej przedstawić w mm/s).
(iii) Wiadomo, że typowa prędkość elektronu w drucie miedzi jak wyżej to ve w 1, 3 · 106 m/s. Czy
wyliczona wartość vu temu nie przeczy?
CZĘŚĆ B (Szczególna teoria względności)
1. Od 1905 roku wiemy, że gdy obserwujemy obiekty o dużych prędkościach różne znane wcześniej wzory
zawodzą, trzeba stosować wzory wynikające z STW. Duże prędkości często wyraża sie jako ułamek
prędkości światła c tzn. używa się parametru β(v) = vc . Innym często pojawiającym się parametrem
jest γ(v) = √ 1 2 . Znaleźć β(v) i γ(v) dla v = prędkość Ziemi w ruchu orbitalnym dookoła Słońca
1−β
oraz dla v = ve (patrz zad 4(iii)).
2. Rozważmy obserwatora A idącego w pociągu z prędkością vA w kierunku jazdy. Niech V będzie
0
obserwatora A, którą widzi
prędkością pociągu. W zgodzie z kinematyką klasyczną prędkość vA
0
nieruchomy obserwator B stojący na zewnątrz pociągu to vA = vA + V . (tzw. ”wzór” na składanie
0
prędkości). Znaleźć w podręczniku analogiczny wzór na vA
wynikający z STW.
(i) Co wynika z tych wzorów, jeśli obserwator A to foton (tzn. vA = c)?
0
jeśli vA = 0, 2 c i V = 0, 8 c.
(ii) Porównać liczoną klasycznie i zgodnie z STW prędkość vA
0
< c.
(iii) Pokazać, że jeśli vA < c i V < c to vA
3. Rozważmy rakietę o prędkości V względem (płaskiej) Ziemi. Na środku rakiety stoi lampka, a na
jej przodzie i końcu obserwatorzy P i K mający superprecyzyjne, zsynchronizowane z sobą zegarki.
W pewnym momencie lampka się zapala, a P i K mierzą czas, w jakim światło do nich dotarło.
Oczywiście te czasy są równe (przecież rakieta spoczywa względem P i K, a lampka stoi na środku),
czyli P i K stwierdzają, że światło dotarło do nich równocześnie. Załóżmy, że wiemy już, że prędkość światła c ma tę przedziwną właściwość, że jej wartość nie zależy od tego, jak szybko porusza
się względem promienia świetlnego obserwator. Rozważmy trzeciego obserwatora O, stojącego na
Ziemi. Uzasadnij, że obserwator O zauważy, że sygnał świetlny nie dotrze do K i P w tym samym
momencie(!). Do którego dotrze najpierw?
Wniosek: Oznacza to, że to, co dzieje się ”w tej samej chwili” w układzie rakiety, nie dzieje się już
”w tej samej chwili” w układzie Ziemi. Względność pojęcia równoczesności jest fundamentem STW.
4. Rozważmy pręt o długości L poruszający się względem obserwatora O. Z STW wynika, że przedmioty
w ruchu doznają tzw. ”skrócenia Lorentza”, tzn. ich długość L mierzona w ich układnie spoczynkowym jest według obserwatora względem którego się poruszająpmniejsza. Niech l będzie długością
L
= 1 − β(v)2 L. Jaką długość według
mierzoną przez O, wówczas zgodnie z STW mamy: l = γ(v)
zawiadowcy stacji ma relatywistyczny pociąg o długości L = 1 km jeśli jego prędkość v = 0.6 c?
5. Na wysokości ok 60 km nad poziomem morza powstają w atmosferze w wyniku zderzeń cząstek gazu
i promieniowania kosmicznego cząstki nazywane mezonami µ. Niech τ będzie czasem połowicznego
rozpadu mierzonym w ich układzie spoczynkowym (tzn. czasem, w którym połowa z nich samorzutnie
2
rozpadnie się na inne cząstki). Z doświadczeń wiadomo, że τ = 1, 5·10−6 s oraz że mezony µ poruszają
się pionowo w dół z prędkością v bardzo bliską prędkości światła c = 3 · 108 m/s.
(i) W jakim czasie T 0 według obserwatora na Ziemi mezony µ dolatują do Ziemi?
(ii) Oznaczmy czas lotu mierzony przez obserwatora nieruchomego względem mezonów jako T (jest
to czas, który ”odczuwają” mezony). Jeśli zjawisko wydłużenia czasu przewidywane przez STW nie
występowałoby, to mielibyśmy T = T 0 , czyli w czasie lotu mezonów do Ziemi byłoby x = T /τ = T 0 /τ
czasów połowicznego rozpadu, a w związku z tym ułamek cząstek dolatujących do Ziemi wynosiłby
p = ( 21 )x . Policzyć p.
(iii) Z doświadczeń wiadomo, że p ' 18 . Ile w związku z tym wynosi prawdziwe x i prawdziwe T ?
(iv) W STW wzór na wydłużenie czasu ∆t0 = γ(v)∆t mówi, że jeśli obserwator nieruchomy względem
cząstek mierzy przedział czasu ∆t, to obserwator względem którego cząstki się poruszają z prędkością
v zmierzy czas ∆t0 . Znając T i T 0 z poprzednich punktów policzyć dokładnie β(v) dla mezonów µ.
CZĘŚĆ C (Cząstki elementarne)
Poniższe pytania mają zachęcić do zdobycia informacji o mikroświecie. Przydatne będą odnośniki
umieszczone w literaturze.
1. Dowiedzieć się ile jest kwarków i jak się nazywają, jaki mają ładunek? Jaki skład kwarkowy mają
neutron i proton?
2. Co to są mezony, bariony, leptony? Do której grupy należą proton, neutron, elektron? Obejrzeć
tablice z odnośnika nr 7 w literaturze.
3. Poszukać informacji o bozonach W + , W − i Z 0 oraz o gluonach. W jakim sensie są one podobne do
fotonu? Co to jest bozon Higgsa?
4. Czym się różnią oddziaływania słabe i silne? Co to jest potencjał Yukawy i co opisuje?
5. Co to jest antycząstka? Co to jest pozyton? Co się dzieje gdy pozyton zderzy się z elektronem?
LITERATURA:
1. Idealna dla licealistów:
A.Szymacha, J.P.Lasota: Teoria względności. Seria: Biblioteczka Delty. WSiP 1980(?)
2. Skrypt Andrzeja Dragana do nauki STW:
http://www.fuw.edu.pl/~dragan/Fizyka/Nstw.pdf
3. Interesujące wyprowadzenie STW (+ wzoru E = mc2 ) bez zakładania stałości prędkości światła:
http://oldwww.fuw.edu.pl/festiwal/2005/Szymacha/100latPozniej.pdf
4. Historia powstania STW: http://postepy.fuw.edu.pl/gratisy/PF303AKre.pdf
5. Wikipedia: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szczeg%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci
6. Nie ma to jak uczyć się od mistrza (prawie bez wzorów!):
A.Einstein : Teoria względności i inne eseje. Prószyński i S-ka, 1997
3
7. Świetna książka - od podstaw do STW i mechaniki kwantowej:
A.Einstein, L.Infeld: Ewolucja fizyki. Prószyński i S-ka, 1998
8. Zbiór znakomitych esejów Einsteina na temat nauki, filozofii, religii i człowieka:
A.Einstein: Pisma filozoficzne. Wydawnictwo IFiS PAN, 1999
9. Informacje o cząstkach i kolorowa tablica cząstek elementarnych (należy powiększyć):
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Model
10. Wikipedia: Lista cząstek i wiele przydatnych odnośników:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_particles
11. Tablice fizyczno-astronomiczne, Wydawnictwo Adamantan, 2002
Książki popularnonaukowe, polecam je wszystkie!
1. B.Greene: Piękno wszechświata. Superstruny, ukryte wymiary. Prószyński i S-ka, 2006
2. B.Greene: Struktura kosmosu. Przestrzeń, czas i struktura rzeczywistości. Prószyński i S-ka, 2005
3. S.Hawking: Krótka historia czasu. Prószyński i S-ka, 1996
4. S.Hawking: Teoria wszystkiego. Prószyński i S-ka, 2003
5. S.Hawking: Wszechświat w skorupce orzecha. Prószyński i S-ka, 2004
6. L.Lederman, D.Teresi: Boska cząstka. Prószyński i S-ka, 2005
Karol Palka
Instytut Matematyki UW
[email protected]
4