Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych
Transkrypt
Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych
Reguły konstrukcji linii pierwiastkowych 1. Położenie zer układu zamkniętego jest niezależne od wzmocnienia k. Zera UO= zera UZ: G( s) 2. 3. 4. 5. K ( s) L( s ) 1 K ( s ) L( s ) M ( s ) Położenie biegunów układu zamkniętego wynika z warunku fazy oraz amplitudy. Linie pierwiastkowe mają n-gałęzi, odpowiadających n biegunom układu zamkniętego. Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w biegunach układu otwartego (k=0). m gałęzi linii dąży do zer układu otwartego, n m dąży do nieskończoności wzdłuż asymptot ( k ) . 6. Kąty nachylenia asymptot (dla k > 0) wynoszą: l 2i 1 ; nm i 0,1, 2,..., n m 1 Punkt przecięcia asymptot leży na osi liczb rzeczywistych w punkcie o współrzędnej: n q m pi zi 1 1 nm 7. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych. 8. Do linii pierwiastkowej (k > 0) należą te fragmenty osi l. rzeczywistych, na prawo od których leży nieparzysta liczba zer i biegunów (z uwzględnieniem ich krotności) układu otwartego. 9. Punkty dojścia i odejścia od osi l. rzeczywistych spełniają równanie: dk ( s) 0 ds gdzie: k ( s) n m 1 1 lub 0 1 s pi 1 s zj M ( s) L( s) 10. Jeżeli n m 2 suma biegunów układu otwartego równa się sumie biegunów układu zamkniętego (reguła sumowania). 11. Jeżeli układ otwarty ma zero w początku układu współrzędnych (zi=0) iloczyn biegunów układu otwartego równa się iloczynowi biegunów układu zamkniętego (reguła mnożenia). 12. Wzmocnienie k dla danego punktu linii pierwiastkowej si' (biegun układu zamkniętego) można wyznaczyć z warunku modułu: n k | s ' i si | ' i pi | 1 m | s 1 13. Pełne wzmocnienie układu, dla danego k można wyznaczyć ze wzoru: m k0 k | z i | 1 n | p i | 1 14. Współrzędne przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych (utrata stabilności) można wyznaczyć wstawiając do warunku modułu s=j. Dodatkowo można również wyznaczyć wartość wzmocnienia granicznego. Przypadek szczególny kbm < 0 Dla 1 k K s 0 gdzie m K s Gdy k<0 k ,0 i bm>0 zachodzi: bm s zi i 1 n s pi . i 1 4.2. Gałęzie linii pierwiastkowych zaczynają się w zerach układu otwartego (k = 0-) a (n-m) gałęzi przybywa z nieskończoności wzdłuż asymptot. 5.2. n gałęzi linii dąży do biegunów układu otwartego. 6.2. Dla k < 0 kąty nachylenia asymptot wynoszą: l 2i ; nm i 0,1, 2,..., n m 1 8.2. Jeśli całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest parzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla k < 0. n – liczba skończonych biegunów transmitancji układu otwartego. m – liczba skończonych zer transmitancji układu otwartego.