Linie pierwiastkowe - Akademia Morska w Gdyni
Transkrypt
Linie pierwiastkowe - Akademia Morska w Gdyni
Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE Przy rozważaniu odpowiedzi przejściowej i uchybu w stanie ustalonym, zademonstrowana została ważność położeń zer i biegunów transmitancji liniowego układu zamkniętego na zachowanie się układu. Pierwiastki równania charakterystycznego, które są biegunami transmitancji układu zamkniętego, określają bezwzględną i względną stabilność liniowych układów z pojedynczym wejściem i wyjściem SISO (Single Input Single Output). Pamiętać należy, że własności przejściowe układu również zależą od zer i biegunów transmitancji układu zamkniętego. Ważnymi rozważaniami w liniowych układach sterujących jest badanie trajektorii pierwiastków równania charakterystycznego - nazywanych liniami pierwiastkowymi - kiedy zmienia się pewien parametr układu. Podstawowe własności i zasady konstrukcji linii pierwiastkowych podane zostały w 1948 przez Evansa [2]. Przedstawionych zostanie kilka prostych reguł dotyczących zasad konstruowania tych linii. W celu wykreślenia dokładnych linii pierwiastkowych zawsze można użyć programów komputerowych. Dla przykładu, w MATLABIE istnieje funkcja rlocus wykreślająca na ekranie linie pierwiastkowe na podstawie transmitancji pętli. Ważne jest jednak aby poznać podstawy linii pierwiastkowych, ich własności, aby umieć dobrze zinterpretować dane dostarczane przez linie pierwiastkowe dla celów analizy i projektowania. Technika linii pierwiastkowych nie ogranicza się do rozważań tylko dla układów sterowania, ale może być również zastosowana do analizy zachowania pierwiastków równania algebraicznego ze zmieniającymi się parametrami. Ogólnie, problem linii pierwiastkowych może być sformułowany w odniesieniu do następującego równania algebraicznego zmiennej zespolonej s: F (s) P(s) KQ(s) 0 (1) 1 (2) gdzie P(s) jest wielomianem n-tego rzędu P( s ) sn an 1s n ... a1 s a 0 i Q(s) jest wielomianem m-tego rzędu; n i m są liczbami dodatnimi. Q( s ) sm bm 1 s m 1 (3) ... b1 s b0 Parametr K w równaniu (1) jest stałą rzeczywistą i może się zmieniać od a 0 , a1 ,..., a n 1 , b1 , b 2 ,..., bm 1 mają ustalone wartościami rzeczywiste. do . Współczynniki 2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI LINII PIERWIASTKOWYCH W tym opracowaniu, głównym zainteresowaniem są układy sterowania, więc rozważona zostanie transmitancja układu zamkniętego Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Y (s) R( s ) G( s) 1 G(s) H (s) (4) Równanie charakterystyczne układu zamkniętego uzyskiwane jest poprzez przyrównanie wielomianu mianownika do zera, stąd pierwiastki równania charakterystycznego muszą spełniać (5) 1 G( s ) H ( s ) 0 Przypuśćmy, że G(s) H (s) zawiera zmienny parametr K będący współczynnikiem mnożącym i funkcja operatorowa może zostać zapisana jako KQ ( s) P( s ) G( s) H ( s) (6) gdzie P(s) oraz H (s) są wielomianami zdefiniowanymi w równaniach (2) i (3). Równanie (5) jest zapisywane KQ ( s ) P( s) KQ ( s) (7) 1 0 P( s ) P( s) Wielomian licznika z równania (7) jest identyczny z równaniem (1). Kiedy zmieniany parametr K nie pojawia się jako współczynnik mnożący transmitancji pętli G(s) H (s) to zawsze można przedstawić funkcję w postaci równania (1). Aby zilustrować ten przypadek, rozważone zostanie następujące równanie charakterystyczne układu sterowania s( s 1)( s s2 2) (3 2 K ) s 5 0 (8) Aby wyrazić równanie (8) w formie równania (7), podzielone zostaną obydwie strony równania przez część nie zawierającą parametru K i otrzymuje się 1 2 Ks s( s 1)( s 2) s 2 0 3s 5 (9) Porównując ostatnie równanie w równaniem (7), otrzymuje się Q( s ) P( s) 2s s 3 4s 2 5s (10) 5 Teraz K jest wydzielony jako współczynnik mnożący do funkcji Q(s) P(s) . Po wyrażeniu G(s) H (s) jako G( s ) H ( s) (11) KG1 (s) H 1 (s) gdzie G1 ( s) H 1 ( s) nie zawiera zmiennego parametru K. Wtedy równanie (5) jest zapisane jako G1 ( s) H 1 ( s) 1 K (12) Aby spełnić równanie (12), poniższe warunki muszą być spełnione jednocześnie: Warunek amplitudy G1 ( s ) H 1 ( s ) 1 K K (13) Warunek kąta G1 ( s) H 1 ( s ) (2i 1) 180 o K 0 = mnożnik nieparzysty G1 ( s) H 1 ( s) 2i 180 o K 0 = mnożnik parzysty Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera (14) (15) 2 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe gdzie i = 0, 1 , 2 , ... W praktyce, warunki zaznaczone w równaniach (13), (14), (15) odgrywają różne role w konstruowaniu linii pierwiastkowych. 1. Warunki dotyczące kąta opisane równaniami (14) lub (15) są używane do określenia trajektorii linii pierwiastkowych na płaszczyźnie s. 2. Kiedy linie pierwiastkowe są wykreślanie, wartości K na linii są określone przez użycie warunku amplitudy opisanej równaniem (13). Konstruowanie linii pierwiastkowych zasadniczo jest problemem graficznym, chociaż pewne własności są wyprowadzane analitycznie. Graficzne konstruowanie linii pierwiastkowych jest oparte na wiedzy o biegunach i zerach funkcji G(s) H (s) . Innymi słowy G(s) H (s) musi być najpierw zapisany jako K ( s z1 )( s z 2 )...( s z m ) G ( s) H ( s) KG1 ( s) H 1 ( s) (16) ( s p1 )( s p 2 )...( s p n ) gdzie zera i bieguny funkcji G(s) H (s) mają wartości rzeczywiste lub są parami zmiennych zespolonych. Stosując warunki zapisane w równaniach (13), (14) oraz (15) w równaniu (16) otrzymuje się m s i 1 n G1 ( s ) H 1 ( s ) zi 1 K s pj (s zi ) j 1 K (17) Dla 0 K m G1 (s) H 1 (s) n i 1 Dla (s p j ) (2i 1) 180 o (18) (s p j ) 2i 180 o (19) j 1 K 0 m G1 (s) H 1 (s) n (s zi ) i 1 j 1 gdzie i = 0, 1 , 2 , ... Na linii pierwiastkowej w pewnym punkcie s1 graficzna interpretacja równania (18), która odpowiada dodatniej wartości K musi spełniać warunek: Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów wykreślonych z biegunów G(s) H (s) do bieguna s1 jest nieparzystym mnożnikiem kąta 180 . Dla ujemnych wartości K, pewien punkt s1 na linii pierwiastkowej musi spełniać warunek: Różnica pomiędzy sumą kątów wektorów wykreślonych z zer, a sumą kątów wektorów wykreślonych z biegunów G(s) H (s) do bieguna s1 jest mnożnikiem parzystym kąta 180 , zawierającym zero stopni. Podczas konstruowania linii pierwiastkowych, wartości K wzdłuż linii pierwiastkowych mogą być wyznaczone przez zapis równania (17) jako n K s pj s zi j 1 (20) m i 1 Wartość K w pewnym punkcie s1 na linii pierwiastkowej jest uzyskiwana z równania (20) przez podstawienie wartości s1 do tego równania. Graficznie, licznik równania (20) reprezentuje iloczyn długości wektorów wykreślonych z biegunów G(s) H (s) do bieguna s1 , natomiast mianownik reprezentuje iloczyn długości wektorów wykreślonych z zer G(s) H (s) do bieguna s1 . Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 3 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Aby zilustrować użycie równań od (18) do (20) dla konstrukcji linii pierwiastkowych, rozważona zostanie funkcja K ( s z1 ) (21) G( s) H ( s) s( s p 2 )( s p3 ) Położenie biegunów i zera transmitancji G(s) H (s) są arbitralnie umieszczone jak to pokazano na rysunku 1. Wybrany zostanie arbitralnie punkt próbny s1 na płaszczyźnie s i wykreślone wektory w kierunku od biegunów do zer transmitancji G(s) H (s) do punktu. Jeśli s1 jest rzeczywiście punktem na linii pierwiastkowej, to musi spełnić równanie (18); tzn. kąty wektorów pokazanych na rysunku 1 muszą spełniać (s1 z1 ) s1 (s1 p 2 ) (s1 p3 ) z1 p1 p2 (2i 1) 180 o p3 (22) gdzie i = 0, 1 , 2 , .... Jak pokazano na rysunku 1, kąty wektorów są mierzone względem dodatniej osi rzeczywistej. Podobnie jeśli s1 jest punktem na linii pierwiastkowej wykreślonej dla ujemnych wartości K, to muszą spełniać równanie (19); tzn. (s1 z1 ) s1 (s1 z1 p2 ) p1 (s1 p2 p3 ) 2i 180 o p3 (23) gdzie i = 0, 1 , 2 , .... Jeśli znaleziony zostanie punkt s1 spełniający równanie (22) lub (23), wówczas równanie (20) używane jest w celu znalezienia amplitudy K w tym punkcie. Jak pokazano na rysunku 1, długości wektorów są reprezentowane przez A, B, C oraz D. Amplituda K jest K s1 s1 p2 s s1 p3 BCD A z1 (24) Dana funkcja G(s) H (s) z K jako współczynnikiem mnożącym oraz ze znanymi biegunami i zerami, konstruowanie linii pierwiastkowych zer 1 G(s) H (s) obejmuje następujące dwa kroki: 1. Poszukiwanie wszystkich punktów s1 na płaszczyźnie s, które spełnia równanie (18) dla dodatniej wartości K. Jeśli linia pierwiastkowa jest wykreślona dla ujemnych wartości K musi być spełnione równanie (19). 2. Użycie równania (20) do znalezienia amplitudy K na linii pierwiastkowej. j p2 p2 C A s1 B p1 z1 z1 D 0 p1 p3 p3 Rys. 1. Konfiguracja zerowo-biegunowa transmitancji G(s) H (s) Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera K (s z1 ) [s(s p 2 )(s p3 )] . 4 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Ustalone zostały podstawowe warunki konstruowania linii pierwiastkowej. Gdyby poszukiwanie na płaszczyźnie s wszystkich punktów spełniających równania (18), (19) lub równanie (20) odbywało się opisaną właśnie metodą prób i błędów byłoby to zadaniem bardzo uciążliwym. Chociaż obecnie dostępne są wydajne programy do rysowania linii pierwiastkowych to w celu właściwego zinterpretowania uzyskiwanych wyników na komputerze wymagana jest znajomość własności linii pierwiastkowych i umiejętność prostego ich szkicowania, kiedy linie te stosowane są do analizy i projektowania układów sterowania. 3. WŁASNOŚCI I KONSTRUKCJA LINII PIERWIASTKOWYCH Poniższe własności są użyteczne przy ręcznym konstruowaniu linii pierwiastkowych i do ich właściwej interpretacji. Własności te opierają się na zależnościach pomiędzy zerami i biegunami transmitancji G(s)H(s) oraz zerami transmitancji 1+G(s)H(s), które są pierwiastkami równania charakterystycznego. 3.1. PUNKTY DLA K = 0 ORAZ K = 1. Punkty na linii pierwiastkowej przy K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s). 2. Punkty na linii pierwiastkowej przy K = są zerami transmitancji G(s)H(s). Bieguny i zera odnoszą się również do tych wartości, które znajdują się w nieskończoności, jeśli takie istnieją. Wnioski te uzyskiwane są z warunku na linie pierwiastkowe dane przez równanie (12). Jeśli wartość K zmierza do zera to wówczas transmitancja G1 ( s) H 1 ( s) osiąga nieskończoność, czyli s musi osiągać wartości równe biegunom transmitancji G1 ( s) H 1 ( s) lub G(s)H(s). Podobnie kiedy wartość K osiąga nieskończoność, wówczas s musi osiągać wartości zer transmitancji G(s)H(s). Przykład 1 Rozważ równanie s( s 2)( s 3) K (s 1) 0 (1.1) Kiedy K = 0, trzy pierwiastki równania (1.1) są równe s = 0, 2 oraz 3. Kiedy natomiast wartość K zmierza do nieskończoności wówczas trzy pierwiastki równania (1.1) są równe s = 1, oraz . Dzieląc obustronnie równanie (1.1) przez składnik nie zawierający K, otrzymuje się K ( s 1) (1.2) 1 G(s) H ( s) 1 0 s ( s 2)( s 3) co daje G( s) H ( s) K ( s 1) s( s 2)(s 3) (1.3) Więc te trzy pierwiastki równania (1.1), kiedy K = 0 mają takie same wartości jak bieguny funkcji G(s)H(s). Trzy pierwiastki równania (1.1) kiedy K = są równe trzem zerom transmitancji G(s)H(s), obejmując również te, które znajdują się w nieskończoności. Te trzy punkty na linii pierwiastkowej przy wartości K = 0 i punkt przy K = są pokazane na rysunku 2. j K=0 K=0 3 2 K= 1 K=0 0 Rys. 2. Punkty na linii pierwiastkowej przy K = 0 oraz K = Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera funkcji s(s 2)(s 3) K (s 1) 0 . 5 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe 3.2. LICZBA GAŁĘZI NA LINII PIERWIASTKOWEJ Gałąź linii pierwiastkowej jest torem pewnego pierwiastka zmieniającego swoje położenie gdy K zmienia swoją wartość pomiędzy i . Stąd własność dla linii pierwiastkowej; liczba gałęzi linii pierwiastkowej musi być równa liczbie pierwiastków równania. Liczba gałęzi linii pierwiastkowej opisanej równaniami (1) oraz (5) jest równa rzędowi wielomianu. Przykład 2 Liczba gałęzi linii pierwiastkowej dla równania s( s 2)(s 3) K (s 1) 0 (2.1) wynosi trzy, gdyż równanie (2.1) jest trzeciego rzędu. Innymi słowy, równanie to (2.1) ma trzy pierwiastki czyli powinny być trzy linie pierwiastkowe. 3.3. SYMETRIA LINII PIERWIASTKOWEJ Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s. Ogólnie linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi symetrii konfiguracji zerowobiegunowej transmitancji G(s)H(s). Własność ta wynika z tego że pierwiastki zespolone są ze sobą sprzężone. Jeśli bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) są symetryczne do dodatkowej osi to oznacza, że ta oś symetrii została uzyskana przez liniową transformację. Przykład 3 Rozważ równanie (3.1) s(s 1)(s 2) K 0 Dzieląc obustronnie równanie (3.1) przez składnik nie zawierający K, otrzymuje się K (3.2) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2) Linia pierwiastkowa (3.1) pokazana jest na rysunku 3 dla K = do K = . Z rysunku tego widać, że konfiguracja zero-biegunowa transmitancji G(s)H(s) jest symetryczna zarówno względem osi liczb rzeczywistych jak i względem osi s = 1. Wykres linii pierwiastkowej jest symetryczny względem obydwu tych osi. Punkty przy K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s), s = 0, 1 oraz 2. Funkcja G(s)H(s) ma trzy zera w s = przy K = . Czytelnik powinien umieć odróżnić trzy oddzielne gałęzie linii pierwiastkowych zaczynając w punktach przy K = poprzez punkty przy K = 0 na tych samych gałęziach i kończąc w s = przy K = . 3.4. KĄTY ASYMPTOT LINII PIERWIASTKOWEJ Jak widać to z rysunku 3, kiedy n rząd wielomianu P(s) nie jest równy rzędowi wielomianu Q(s) oznaczonym jako m, wówczas pewne linie dążą do nieskończoności na płaszczyźnie s. Własności linii pierwiastkowych w pobliżu nieskończoności na płaszczyźnie s są opisane przez asymptoty linii kiedy s . Ogólnie kiedy n m , wówczas będzie 2 n m asymptot, które opisują zachowanie linii pierwiastkowych przy s . Kąty asymptot i ich punkty przecięcia z osią liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s są opisane następująco: Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 6 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe j K K K<0 K K>0 K>0 K=0 K=0 2 1 K=0 K<0 K 0 Oś symetrii K<0 K K>0 Oś symetrii K 0 , przedstawiające własności symetrii. Rys. 3. Linie pierwiastkowe funkcji s(s 1)(s 2) K Dla dużych wartości zmiennej s, linie pierwiastkowe dla K wyznaczanymi następująco 2i 1 n m i 180 o , n 0 są zbieżne do asymptot z kątami m (25) gdzie i = 0, 1, 2, ..., n m 1 ; n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę skończonych zer transmitancji G(s)H(s). Dla K 0 kąty asymptot są wyznaczane z zależności 2i 180 o , n m gdzie i = 0, 1, 2, ..., n m i n m (26) 1. 3.5. PUNKTY PRZECIĘCIA ASYMPTOT Punkt przecięcia 2 n punkcie biegunów m asymptot linii pierwiastkowej występuje na osi liczb rzeczywistych w transmitan cji a G(s) H (s) n zer transmitan cji m G(s) H ( s) (27) gdzie n oznacza liczbę skończonych biegunów, natomiast m liczbę skończonych zer transmitancji G(s)H(s). Punkt przecięcia asymptot a określa środek ciężkości linii pierwiastkowych i zawsze jest liczbą rzeczywistą. Bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) mają zarówno części rzeczywiste jak i urojone, przy czym urojone części licznika równania (27) zawsze upraszczają się. Czyli w równaniu (27) składniki sumowania mogą być zastąpione przez części rzeczywiste biegunów i zer transmitancji G(s)H(s). Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 7 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Przykład 4 Rozważ transmitancję G(s) H (s) s(s K ( s 1) 4)( s 2 2s 2) (4.1) które odpowiada równaniu charakterystycznemu 4)( s 2 s( s 2s 2) K ( s 1) 0 (4.2) Konfiguracja zero-biegunowa pokazana jest na rysunku Linia pierwiastkowa (3.1) pokazana jest na rysunku 4. Korzystając z poznanych w tym rozdziale własności linii pierwiastkowych, kiedy w równaniu (4.2) K zmienia się od do , wówczas: 1. K = 0: Punkty na linii pierwiastkowej w których K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s): s = 0, 4, 1+j oraz 1 j. 2. K = : Punkty na linii pierwiastkowej w których K = są zerami transmitancji G(s)H(s): s = 1, , oraz . 3. Z równań (4.1) oraz (4.2) widać, że będą cztery linie pierwiastkowe, gdyż równania te są czwartego rzędu. 4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych. 5. Ponieważ liczba biegunów transmitancji G(s)H(s) jest większa od liczby zer transmitancji G(s)H(s) i różnica ta wynosi trzy ( n m = 4 1 = 3 ), czyli kiedy K = , wówczas linie pierwiastkowe zmierzają przy s = wzdłuż sześciu asymptot. Kąty asymptot przy K 0 są wyznaczane z równania (25) 180 o i = 0: 60 o 0 3 540 o i = 1: 180 o 0 3 900 o i = 2: 300 o 0 3 Kąty asymptot przy K 0 są wyznaczane z równania (26) i są następujące: 0 o , 120 o oraz 240 o . 6. Kąty przecięcia asymptot wyznaczane są ze wzoru (27): 1 ( 4 1 1) ( 1) 4 1 5 3 (4.3) Asymptoty linii pierwiastkowych pokazane są na rysunku 4. 3.6. LINIE PIERWIASTKOWE NA OSI LICZB RZECZYWISTYCH Cała oś liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s jest zajmowana przez linie pierwiastkowe (albo przez linie dla K 0 albo przez linie dla K 0 . 1. K 0 : Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla K 0 znajduje odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) odcinka jest nieparzysta. 2. K 0 : Na osi liczb rzeczywistych, linia pierwiastkowa dla K 0 znajduje odcinkach osi dla których liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) odcinka jest parzysta. Sprzężone bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) nie linii pierwiastkowej znajdującej się na osi liczb rzeczywistych. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera się tylko na tych z prawej strony się tylko na tych z prawej strony wpływają na typ 8 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe j K K K=0 K=0 K 4 j 60o 60o 1 60o 60o 5 = 3 1 K=0 0 j K=0 K Rys. 4. Asymptoty linii pierwiastkowej równania s( s 4)(s 2 K 2s 2) K ( s 1) 0 Własności te wynikają z następujących obserwacji: 1. W pewnym punkcie s1 znajdującym się na osi liczb rzeczywistych, kąty wektorów wykreślonych z biegunów i zer zespolonych sprzężonych transmitancji G(s)H(s) po zsumowaniu są równe zero. Więc tylko zera i bieguny rzeczywiste transmitancji G(s)H(s) wpływają na kątowe zależności (18) i (19). 2. Tylko rzeczywiste bieguny i zera transmitancji G(s)H(s) które znajdują się z prawej strony punktu s1 wpływają na równania (18) i (19) te bieguny i zera które znajdują się z lewej strony punktu w prowadzają zero stopni do równań (18) i (19). 3. Każdy biegun rzeczywisty transmitancji G(s)H(s) z prawej strony punktu s1 wprowadza 180 o , natomiast każde zero transmitancji G(s)H(s) z prawej strony punktu s1 wprowadza 180 o do równań (18) i (19). Z ostatniej obserwacji wynika, że dla punktu s1 znajdującego się na linii pierwiastkowej dla K 0 musi być nieparzysta liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego punktu. Dla punktu s1 znajdującego się na linii pierwiastkowej dla K 0 musi być parzysta liczba biegunów i zer transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego punktu. Przykład 5 Na rysunku 5 przedstawione zostały linie pierwiastkowe dla pewnej konfiguracji transmitancji G(s)H(s). Zauważ, że cała oś liczb rzeczywistych jest zajęta albo przez linie dla K 0 albo przez linie dla K 0 . j K<0 K>0 K<0 K>0 K<0 K<0 0 Rys. 5. Własności linii pierwiastkowej na osi liczb rzeczywistych. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 9 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe 3.7. KĄTY WYJŚCIA I KĄTY WEJŚCIA LINII PIERWIASTKOWYCH Kąt wyjścia z bieguna lub wejścia do zera transmitancji G(s)H(s) oznacza kąt stycznej tej linii w pobliżu punktu. Kąty wyjścia i wejścia określane są przy użyciu wzoru (18) dla linii wyznaczonej dla K 0 oraz wzoru (19) dla linii wyznaczonej dla K 0 . Przykład 6 Dla linii pierwiastkowej pokazanej na rysunku 6, linia pierwiastkowa w pobliżu bieguna s = 1 + j może być dokładniej naszkicowana gdy znany będzie kąt przy którym linia pierwiastkowa opuszcza biegun. Jak pokazano to na rysunku 6, kąt wyjścia z bieguna s = 1 + j jest opisany przez 2 i wyznaczany względem osi liczb rzeczywistych. Zakładając, że punkt s1 znajduje się na linii pierwiastkowej gdy K 0 i znajduje się bardzo blisko bieguna s = 1 + j. Wówczas s1 musi spełniać równanie (18) G ( s1 ) H ( s1 ) ( 1 2 (2i 1) 180 o 4) 3 (6.1) gdzie i jest pewną liczbą całkowitą. Zakładając, że punkt s1 znajduje się bardzo blisko bieguna s = 1 + j, kąty wektorów wykreślone z pozostałych trzech biegunów i aproksymowane przez przyjęcie, że punkt s1 znajduje się w 1 + j. Na podstawie rysunku 6, równanie (6.1) może być zapisane następująco: (135 o 2 gdzie jedynie nieznany jest kąt 90 o 2. 26.6 o ) (2i 1) 180 o (6.2) W tym przypadku można przyjąć, że i będzie równe 1 i o 71.6 . wówczas kąt 2 Kiedy wyznaczany jest kąt wyjścia lub wejścia na linii, gdy K 0 do prostego bieguna lub zera transmitancji G(s)H(s). Kąt wejścia lub wyjścia na linii pierwiastkowej, gdy K 0 w tym samym punkcie różni się od tego kąta o 180 i wówczas korzysta się z równania (19). K j K K 4 2 26.6 o K 0 s1 K K j1.095 (K=8.16) 0 1 3 K 90o 0 3 K 135o 0 K j1.095 (K=8.16) K K Rys. 6. Linia pierwiastkowa ilustrująca kąty wyjścia i wejścia na przykładzie równania charakterystycznego s( s 3)(s 2 2s 2) K 0 . Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 10 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Z rysunku 6 widać, że kąt wejścia linii, gdy K 0 , do bieguna 1 + j jest równy 108.4 , co wyznaczone zostało z różnicy 180 71.6 . W podobny sposób na linii pierwiastkowej z rysunku 6, można pokazać, że linia pierwiastkowa, gdy K 0 , przybywa do bieguna s = 3 pod kątem 180 , natomiast linia pierwiastkowa, gdy K 0 , opuszcza ten sam biegun pod kątem 0 . Dla bieguna w punkcie s = 0, kąt wejścia linii pierwiastkowej, gdy K 0 , wynosi 0 podczas gdy kąt wyjścia linii pierwiastkowej przy K 0 jest równy 180 . Kąty te są również wyznaczane z wiedzy o typie linii na odcinkach osi liczb rzeczywistych oddzielonych od siebie przez bieguny i zera transmitancji G(s)H(s). Na kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów lub zer znajdujących się na osi liczb rzeczywistych nie mają wpływu bieguny zespolone sprzężone. 3.8. PUNKTY PRZECIĘCIA LINII PIERWIASTKOWYCH Z OSIĄ LICZB UROJONYCH Punkty w których linie pierwiastkowe przecinają oś liczb urojonych na płaszczyźnie s, jeśli takie występują, wyznaczane są przy użyciu kryterium Routha. Dla złożonych przypadków, kiedy linia pierwiastkowa ma wiele punktów przecięcia z osią liczb urojonych, wartości krytyczne K mogą być wyznaczone przy użyciu programów komputerowych. Przykład 7 Linii pierwiastkowa pokazanej na rysunku 6, wykreślona jest dla równania s(s 3)( s 2 2s 2) K 0 (7.1) Z rysunku 6 widać, że linia pierwiastkowa, gdy K 0 przecina oś liczb urojonych w dwóch punktach. Stosując kryterium Routha do równania (7.1) i przez rozwiązanie równania pomocniczego otrzymuje się wartość krytyczną K = 8.16 i odpowiadające punkty przecięcia osi j są w j1.095 . 3.9. PUNKTY ROZGAŁĘZIEŃ NA LINIACH PIERWIASTKOWYCH Punkty rozgałęzień na liniach pierwiastkowych odpowiadają pierwiastkom wielokrotnym równania. Na rysunku 7(a) przedstawiony został przypadek w którym dwie linie pierwiastkowe spotykają się w punkcie rozgałęzienia na osi liczb rzeczywistych i następnie opuszczają tą oś w przeciwnych kierunkach. W tym przypadku punkt rozgałęzienia reprezentuje podwójny pierwiastek równania, kiedy wartość K osiąga wartość odpowiadającą temu punktowi. Na rysunku 7(b) przedstawiona została inna sytuacja w której dwa pierwiastki zespolone sprzężone spotykają się w punkcie rozgałęzienia znajdującego się na osi liczb rzeczywistych i następnie przemieszczają się K K K K Punkt rozgałęzienia Punkt rozgałęzienia (a) (b) Rys.7. Przykłady punktów rozgałęzień na osi liczb rzeczywistych. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 11 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe w przeciwnych kierunkach wzdłuż osi liczb rzeczywistych. W ogólnym przypadku, punkt rozgałęzienia może obejmować więcej niż dwie linie pierwiastkowe. Linia pierwiastkowa może mieć oczywiście więcej niż jeden punkt rozgałęzienia. Poza tym punkty przecięcia nie zawsze będą na osi liczb rzeczywistych. Z powodu sprzężonej symetrii linii pierwiastkowych, punkty rozgałęzień znajdujące się poza osią liczb rzeczywistych muszą być powiązane w zespolone pary sprzężone. Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej 1 KG1 ( s) H 1 (s) 0 muszą spełniać warunek dG1 (s) H 1 (s) ds (28) 0 Ważne jest aby zaznaczyć, że warunek na punkt rozgałęzienia opisany wzorem (28) jest konieczny ale nie wystarczający. Innymi słowy, wszystkie punkty rozgałęzień muszą spełniać równanie (28) lecz nie wszystkie rozwiązania równania (28) są punktami rozgałęzień. Aby być punktem rozgałęzienia, rozwiązanie równania (28) musi również spełniać równanie 1 KG1 ( s) H 1 (s) 0 , czyli musi być również punktem znajdującym się na linii pierwiastkowej dla pewnej wartości K. Ogólnie, poniższe wnioski są uzyskiwane w odniesieniu do rozwiązań równania (28): 1. Wszystkie rzeczywiste rozwiązania równania (28) są punktami na linii pierwiastkowej, gdyż cała oś liczb rzeczywistych płaszczyzny s jest zajęta przez linie pierwiastkowe. 2. Rozwiązania zespolone sprzężone równania (28) są punktami rozgałęzień tylko wówczas gdy spełniają równanie charakterystyczne lub są punktami na linii pierwiastkowej. 3. Z warunku dotyczącego linii pierwiastkowej K 1 G1 ( s ) H 1 ( s ) (29) wyznaczając różniczkę na obu stronach równania względem zmiennej s, otrzymuje się dK ds dG1 ( s) H 1 ( s ) ds (30) [G1 ( s ) H 1 ( s )] 2 Więc warunek dotyczący punktu rozgałęzienia może być również zapisany jako dK ds (31) 0 gdzie K jest wyrażone tak jak w równaniu (29). 3.9.1. Kąty wyjścia i wejścia linii pierwiastkowych w punktach rozgałęzień Kąty przy których linia pierwiastkowa przybywa lub opuszcza punkt rozgałęzień zależy od liczby linii, które obejmują ten punkt. Ogólnie n linii pierwiastkowych osiąga lub opuszcza punkt rozgałęzień pod kątem 180 /n Przykład 8 Rozważ równanie drugiego rzędu s(s 2) K (s 4) 0 (8.1) Korzystając z dotychczas poznanych własności linii pierwiastkowych dla równania (8.1) linie pierwiastkowe naszkicowane zostały na rysunku 8 dla . Można udowodnić, że linia K pierwiastkowa dotyczące pierwiastków zespolonych sprzężonych jest okręgiem. Obydwa punkty rozgałęzień znajdują się na osi liczb rzeczywistych, jeden pomiędzy 0 oraz 2, i drugi pomiędzy 2 i . Z równania (8.1) otrzymuje się Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 12 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe s 4 s( s 2) G1 ( s) H 1 ( s) (8.2) Stosując równanie (28), punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej muszą spełniać zależność dG1 ( s) H 1 ( s) ds s(s 2) 2( s 1)( s s 2 ( s 2) 2 4) (8.3) lub s2 (8.4) 8s 8 0 Rozwiązując równanie (8.4), znajduje się dwa punkty rozgałęzień linii pierwiastkowej s = 1.172 i 6.828. Z rysunku 8 widać, że obydwa te punkty znajdują się na tej części linii pierwiastkowej dotyczącej K 0 . j K>0 K K<0 K K=0 K=0 K<0 K 2 4 6.828 1.172 K>0 Rys.8. Linia pierwiastkowa dla s(s 2) K (s 4) 0. 3.10. OBLICZANIE K Z LINII PIERWIASTKOWYCH Przy konstruowaniu linii pierwiastkowych, wartość K w dowolnym punkcie s1 na linii pierwiastkowej może być wyznaczona przy użyciu równania (20). Wszystkie ważne własności konstruowania linii pierwiastkowych zebrane zostały w tabeli 1. Przykład 9 Ilustracją wyznaczania wartości K z linii pierwiastkowej będzie równanie s(s 2) K (s 4) 0 (9.1) jak pokazano to na rysunku 9. Wartość K w punkcie s1 jest dana przez równanie K Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 A B C M. Tomera (9.2) 13 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe gdzie A oraz B są długościami wektorów wykreślonych z biegunów transmitancji G(s) H (s) K (s 4) s(s 2) do punktu s1 , a C jest długością wektora wykreślonego z zera transmitancji G(s)H(s) do punktu s1 . Wartość wzmocnienia K w punkcie w którym linia pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych może być również wyznaczona w ten sposób. j s1 C K B A K<0 K K>0 K=0 K=0 K<0 K 2 4 K>0 Rys.9. Graficzna metoda znajdowania wartości K z linii pierwiastkowej. Tabela1. Własności linii pierwiastkowych 1 KG1 (s) H1 (s) 0 1. Punkty dla K = 0 Punkty dla K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s), obejmując również takie które znajdują się w s = . 2. Punkty dla K= Punkty dla K= są zerami transmitancji G(s)H(s), zawierając również te które znajdują się w s = . 3. Liczba oddzielnych linii pierwiastkowych Całkowita liczba linii pierwiastkowych jest równa rzędowi równania F(s) = 0. 4. Symetria linii pierwiastkowych Linie pierwiastkowe są symetryczne wzdłuż osi symetrii konfiguracji zero-biegunowej transmitancji G(s)H(s). 5. Asymptoty linii pierwiastkowych gdy s Dla dużych wartości s, linie pierwiastkowe (K > 0) są zbieżne do asymptot, których kąty są wyznaczane z następujących zależności: i 2i 1 n m 180 o Dla linii pierwiastkowych (K < 0), 2i i Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera n m 180 o 14 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe gdzie i = 0, 1, 2, ..., n m 1 ; n = liczba skończonych biegunów transmitancji G(s)H(s). m = liczba skończonych zer transmitancji G(s)H(s). 6. Punkt przecięcia asymptot (a) Punkt przecięcia asymptot występuje tylko na osi liczb rzeczywistych (b) Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest ze wzoru biegunów transmitan cji zer transmitan cji G(s) H (s) a n G(s) H ( s) m 7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych Linia pierwiastkowa (K > 0) występuje w tych odcinkach osi liczb rzeczywistych dla których suma rzeczywistych zer i biegunów transmitancji G(s)H(s) z prawej strony tego odcinka jest nieparzysta. Jeśli całkowita liczba zer i biegunów z prawej strony odcinka jest parzysta, wówczas występuje linia pierwiastkowa dla (K < 0). 8. Kąty wyjścia Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna lub zera lub wyjścia z bieguna transmitancji G(s)H(s) może być wyznaczona przy założeniu punktu, który jest bardzo blisko bieguna lub zera przez zastosowanie równania m G(s1 ) H (s1 ) n ( s1 zk ) k 1 (2i 1) 180 o gdzie i = 0, 1, 2, (s1 pj) j 1 2i 180 3, .... o (K > 0) (K < 0) 9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom K, które mogą być wyznaczone przy użyciu kryterium Routha. 10. Punkty rozgałęzień Punkty rozgałęzień na linii pierwiastkowej są wyznaczane z zależności dK ds 0 , lub dG ( s) H ( s) ds 0 . Są to tylko warunki konieczne. 11. Obliczenie wartości K na podstawie linii pierwiastkowej Wartość bezwzględną K w pewnym punkcie s1 należącym do linii pierwiastkowej, wyznaczane są na podstawie zależności K 1 G1 ( s1 ) H 1 ( s1 ) Poniższe przykłady podsumowują wszystkie własności linii pierwiastkowych zebrane w tabeli 1. Przykład 10 Dla poniższego układu regulacji (rys. 10.1) naszkicuj linie pierwiastkowe. Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ: Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układ ten jest stabilny Wartość wzmocnienia krytycznego K kr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o stałej amplitudzie oraz okres tych oscylacji Tosc . Dla K = 10 wyznacz zapas wzmocnienia Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 15 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe R(s) R(s) 1 3 2 s +5s +9s+5 K Rys. 10.1. Schemat blokowy rozważanego układu regulacji Transmitancja pętli otwartej dla tego układu ma postać G( s) H ( s) K s 3 5s 2 K 9s 5 ( s 1)( s 2 j )( s 2 j) (10.1) Własności linii pierwiastkowej zebrane w tabeli 1, dla tego przypadku wyznaczane są następująco: 1. Punkty w których K = 0 są biegunami transmitancji G(s)H(s): s = 1, 2+ j, 2 j. 2. Punkty w których K = są zerami transmitancji G(s)H(s): s = , , . 3. Są trzy oddzielne gałęzi linii pierwiastkowych. 4. Linie pierwiastkowe są symetryczne względem osi liczb rzeczywistych na płaszczyźnie s. 5. Transmitancja G(s)H(s) ma trzy bieguny i żadnego skończonego zera, czyli trzy gałęzie linii pierwiastkowych osiągają nieskończoność wzdłuż asymptot. Kąty asymptot linii pierwiastkowych wyznaczane są z równania (25) i 2i 1 180 o n m 2i 1 180 o 3 0 0 K (10.2) dla i = 0, 1, 2.Więc trzy linie pierwiastkowe dla K > 0 osiągają nieskończoność wzdłuż asymptot pod kątami: 60 , 180 , 300 . Kąty asymptot linii pierwiastkowych (K < 0) wyznaczane są z równania (26) 2i i n m 2i 180 o 3 0 180 o K 0 (10.3) dla i = 0, 1, 2. Więc kiedy K osiąga , wówczas trzy linie pierwiastkowe osiągają nieskończoność wzdłuż asymptot pod kątami: 0 , 120 , 240 . 6. Punkt przecięcia asymptot wyznaczany jest z równania (27) a 1 2 j 2 3 0 j 1.6667 (10.4) 7. Linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych. Odcinek linii pierwiastkowej (K<0) na osi liczb rzeczywistych znajduje się od do punktu s = 1, natomiast pozostałe część osi liczb rzeczywistych od punktu s = 1 do pokryta jest przez linię pierwiastkową dla K>0. 8. Kąty wyjścia: Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna 2+j jest wyznaczany przy użyciu równania (18). Jeśli s1 jest punktem na linii pierwiastkowej opuszczającej biegun 2+j i znajduje się bardzo blisko tego bieguna to. ( s1 1) ( s1 2 j) ( s1 2 135 o 2 j ) (2i 1) 180 o (10.5) lub 90 o 180 o (10.6) czyli 2 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 45 o M. Tomera (10.7) 16 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe W podobny sposób równanie (19) jest używane do określenia kąta wejścia linii pierwiastkowej (K < 0) do bieguna 2+j. Kąt ten wyznaczany jest w bardzo łatwy sposób, gdyż kąt 2' różni się od kąta 2 o 180 ; więc ' 2 180 2 180 o 45 o 135 o (10.8) 9. Punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią urojoną wyznaczane są przy użyciu kryterium Routha. Dla układu z rysunku 10.1 równanie charakterystyczne ma postać s3 5s 2 9s K (10.9) 5 0 Tablica Routha s3 s2 1 5 K s1 s 9 K 5 40 5 0 K 5 Aby równanie (10.9) nie miało pierwiastków na osi liczb urojonych ani w prawej półpłaszczyźnie, wówczas wszystkie elementy pierwszej kolumny tablicy Routha muszą mieć ten sam znak. Czyli spełnione muszą być następujące zależności K – 40 > 0 lub K < 40 (10.10) K + 5 > 0 lub K > –5 (10.11) Czyli wszystkie pierwiastki równania (10.9) pozostaną w lewej półpłaszczyźnie, jeśli K będzie przyjmowało wartość z zakresu pomiędzy –5 oraz 40 co oznacza, że linia pierwiastkowa będzie przecinać oś liczb urojonych kiedy K = 40. Współrzędne punktów przecięcia na osi liczb urojonych, które odpowiadają wartości parametru K = 40, są wyznaczane z następującego równania pomocniczego p ( s ) 5s 2 K 5 0 (10.12) Równanie (10.12) zostało uzyskane przez użycie współczynników z wiersza znajdującego się bezpośrednio nad wierszem zerowym w s 1 , który powstaje gdy K = 40. Podstawiając K = 40 do równania (10.12), otrzymuje się 5s 2 (10.13) 45 0 Pierwiastkami równania (10.13) są s = j3 oraz j3, które są punktami w których linia pierwiastkowa przecina oś liczb urojonych. 10. Punkty rozgałęzień: Opierając się na informacjach z poprzednich 9 punktów można podjąć próbny szkic linii pierwiastkowych z którego wynika, że nie będzie w tym przypadku żadnego punktu rozgałęzień na całej linii pierwiastkowej. Aby wyznaczyć punkt rozgałęzień należy poddać obustronnej operacji różniczkowania zależność (10.1) względem s i przyrównać to do zera; wówczas uzyskuje się następujące równanie 3s 2 10s 9 0 (10.14) Ponieważ nie jest spodziewany żaden punkt rozgałęzień czyli z uzyskanych z równania (10.14) rozwiązań żadne nie jest poprawne. Pierwiastki uzyskane z rozwiązania równania (10.14) są następujące s = 1.6667 + j0.4714 s = 1.6667 j0.4714 Obydwa rozwiązania nie spełniają równania (10.9) i dlatego też nie są punktami rozgałęzień. Bazując na informacjach uzyskanych w ostatnich dziesięciu krokach, linie pierwiastkowe równania (10.1) są pokazane na rysunku 10.2. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 17 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe j K K j4 j3 (K=40) K<0 K>0 K=0 1.6667 K>0 K -5 -4 j2 j1 K=0 K<0 -3 -2 -1 0 j1 K=0 K<0 K K>0 j2 j3 (K=40) j4 K Rys. 10.2. Linie pierwiastkowe s 3 5s 2 K 9s K 5 0 Zakres stabilności układu 5 < K < 40 (10.15) Układ jest na granicy stabilności gdy K kr = 40 i okres oscylacji Tosc wyznacza się z rozwiązania dla którego dwa pierwiastki sprzężone umiejscowione na osi urojonej w tym j j3 . przypadku w punktach s1, 2 2 Tosc 2 3 2.09 [s] (10.16) Zapas wzmocnienia dla K = 10 wyznacza się z zależności K K max K 40 10 4 (10.17) Zapas wzmocnienia zazwyczaj podawany jest w decybelach GM 20 log K 20 log K 12.0412 [dB] (10.18) ZAGADNIENIA KONTROLNE Poniższe pytania odnoszą się do równania P(s)+KQ(s) = 0, gdzie P(s) i Q(s) są wielomianami w funkcji s ze stałymi współczynnikami. 1. Podaj warunki jakie muszą być spełnione aby można było skonstruować linie pierwiastkowe. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 18 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe 2. Określ punkty na linii pierwiastkowej dla których K = 0, w odniesieniu do zer i biegunów funkcji Q(s)/P(s). 3. Określ punkty na linii pierwiastkowej dla których K = funkcji Q(s)/P(s). , w odniesieniu do zer i biegunów 4. Podaj znaczenie punktów rozgałęzień w odniesieniu do pierwiastków funkcji P(s) + KQ(s) = 0. 5. Podaj równanie określające punkt przecięcia asymptot. 6. Asymptoty linii pierwiastkowych odnoszą się do kątów linii gdy K = (Tak) (Nie) 7. Czy jest tylko jeden punkt przecięcia asymptot na liniach pierwiastkowych ? (Tak) (Nie) 8. Punkt przecięcia asymptot musi zawsze wystąpić na osi liczb rzeczywistych. (Tak) (Nie) . 9. Punkty rozgałęzienia linii pierwiastkowych muszą zawsze wystąpić na osi liczb rzeczywistych. (Tak) (Nie) 10. Określenie punktów przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych może zostać dokonane przez rozwiązanie równania pomocniczego z tablicy Routha. (Tak) (Nie) ĆWICZENIA C1. Znajdź kąty asymptot i punkty ich przecięcia na liniach pierwiastkowych poniższych równań, gdy K zmienia się do do . a) s 4 4s 3 (K b) s 3 2 c) s 2 d) s 3 e) s 5 f) s 4 6s K (s 2s 2 2s 4 6s 4s 2 (K 3 2 5) s 2s 3s 3s 8) s 2 2s K (s 3 25 K K (s 0 0 40) 0 2 K (s K 2 1)( s 3) 0 2s 2) 0 5) 0 C2. Dla poniższych transmitancji pętli, znajdź kąty wejścia lub wyjścia linii pierwiastkowych we wskazanym zerze lub biegunie. Ks ( s 1)( s 2 1) Kąt wejścia (K < 0) i kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = j. Ks b) G ( s) H ( s) ( s 1)( s 2 1) Kąt wejścia (K < 0) i kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = j. a) G ( s) H ( s) K s( s 2)( s 2 2s 2) Kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = 1 + j. c) G ( s) H ( s) K s (s 2s 2) Kąt wyjścia (K > 0) w punkcie s = 1 + j. d) G ( s) H ( s) 2 2 K ( s 2 2s 2) s 2 ( s 2)( s 3) Kąt wejścia (K > 0) w punkcie s = 1 + j. e) G ( s ) H ( s ) Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 19 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe C3. Zaznacz punkty w których K = 0 i K = oraz linie pierwiastkowe na osi liczb rzeczywistych dla (K > 0) i (K < 0) dla konfiguracji zero-biegunowych pokazanych na rysunku C3 j 4 3 2 1 j 0 3 2 1 j 0 1 j (a) (b) j 4 2 1 j j 0 4 3 2 j 1 j 0 j (c) (d) Rys. C3. C4. Znajdź wszystkie punkty rozgałęzień linii pierwiastkowych układu opisanego przez konfiguracje zero-biegunowe pokazane na rysunku C3. C5. Dla każdego z poniższych układów sterowania dla których podane są zera i bieguny transmitancji pętli G(s)H(s) Skonstruuj linie pierwiastkowe wyznaczając: Punkt przecięcia asymptot, Kąty asymptot, dla K > 0 oraz K < 0 Punkty rozgałęzień, Kąty wejścia i wyjścia linii pierwiastkowych do biegunów i zer znajdujących się poza osią liczb rzeczywistych Punkty przecięcia z osią liczb urojonych Na podstawie wykreślonych linii pierwiastkowych i kryterium Routha określ Zakres wartości strojonego parametru K dla którego układy te są stabilne Wartość wzmocnienia krytycznego K kr przy którym w układzie pojawiają się oscylacje o stałej amplitudzie oraz okres tych oscylacji Tosc . Dla K = 1 wyznacz zapas wzmocnienia a) Bieguny: s = 0, 1, 3 brak skończonych zer. b) Bieguny: s = 0, 1, 2; zero: s = 5. c) Bieguny: s = 0, 5, 6; zero: s = 8. d) Bieguny: s = 0, 2, 2; zero: s = 4. e) Bieguny: s = 0, 1 + j, 1 f) Bieguny: s = 1 + j, 1 j; zero: s = 2. j, 4; brak skończonych zer. g) Bieguny: s = 1, 2, 3; zera: 1+j, 1 j h) Bieguny: s = 1, 2+j3, 2 j3; zera: 1+j, 1 j Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 20 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ C1. a) G( s) H ( s) K ( s 1) 2 s ( s 2) 2 Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: i 1 = 1, = 60 , 180 , 300 , dla K > 0; K ( s 1) s( s 1)(s 5) Punkt przecięcia asymptot: 1 = 5, Kąty asymptot: i = 90 , 270 , dla K > 0; i = 0 , 120 , 240 , dla K < 0; i = 1, 2, 3. b) G( s) H ( s) c) G( s) H ( s) K ( s 4)(s 2 i = 0 , 180 , dla K < 0; i = 1, 2. 2s 10) ; s Nie można skonstruować linii pierwiastkowych, gdyż liczba zer jest większa od liczby biegunów. K ( s 2 1)(s 3) d) G ( s) H ( s) s( s 1)(s 2) Nie ma asymptot, gdyż liczba zer jest równa liczbie biegunów. K ( s 5) e) G( s) H ( s) 2 (s 2s 5)(s 2 2s 5) 2 5 , 3 = 60 , 180 , 300 , dla K > 0; Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: i 1 = i = 0 , 120 , 240 , dla K < 0; i = 1, 2, 3. C2. a) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K < 0) do bieguna s = j: ' = 315 . Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = j: = 135 b) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K < 0) do bieguna s = j: ' = 225 . Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = j: = 45 c) Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = 1+ j: = 270 d) Kąt wyjścia linii pierwiastkowej (K > 0) z bieguna s = 1+ j: = 180 e) Kąt wejścia linii pierwiastkowej (K > 0) do zera s = 1+ j: ' = 71.56 C4. a) G( s) H ( s) b) G ( s ) H ( s ) c) G( s) H ( s) K ( s 2)(s 3) s 2 ( s 1)(s 4) ; punkty rozgałęzień: s1 = 2.388, s 2 = 0.727; dla K < 0. K ( s 1)(s 1) 2 s ( s 2)(s 3)(s 2 2 s 2) Ks ( s 2) ( s 1) 2 ( s 2 2s 2)(s 4) ; punkty rozgałęzień: s1 = 2.460, dla K > 0; s 2 = 2.209; dla K < 0. ; punkty rozgałęzień: s1 = 0.475, dla K < 0. K ( s 2)(s 4)(s 2 2s 2) ; Nie można skonstruować linii pierwiastkowych, gdyż liczba zer s( s 1)(s 3) jest większa od liczby biegunów. d) G ( s) H ( s) C5. K s( s 1)(s 3) Punkt przecięcia asymptot: a = 1.3333, Kąty asymptot: dla K > 0, i = 60 , 180 , 300 ; a) KG ( s) H ( s) dla K < 0; i = 0 , 120 , 240 ; i = 0, 1, 2. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 21 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Punkty rozgałęzień: s 3 s 2 5s 3 0 dla K > 0, s1 = 0.5720; dla K < 0, s 2 = 2.5141 Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 j j1.7321 dla K = 12 Stabilny: 0 < K < 12 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 12, Okres oscylacji: Tosc = 3.6276 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 21.5836 [dB] K ( s 5) s( s 1)(s 2) Punkt przecięcia asymptot: a = 1, Kąty asymptot: dla K > 0, i = 90 , 270 ; dla K < 0; i = 0 , 180 , i = 0, 1. b) KG ( s) H ( s) Punkty rozgałęzień: 2s 3 18s 2 30s 10 0 dla K > 0, s1 = 0.4475; dla K < 0, s 2 = 6.9434, s 3 = .6091. Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 j j 2.2361 dla K = 3 Stabilny: 0 < K < 3 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 3, Okres oscylacji: Tosc = 2.8099 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 9.5424 [dB] K ( s 8) s( s 5)(s 6) Punkt przecięcia asymptot: c) KG ( s) H ( s) Kąty asymptot: dla K > 0, a i dla K < 0; = 1.5, = 90 , 270 ; i = 0 , 180 , i = 0, 1. 3 Punkty rozgałęzień: 2s 35s 2 176s 240 0 dla K > 0, s1 = 2.2178; dla K < 0, s 2 = 9.7098, s 3 = 5.5724. Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: brak Stabilny: 0 < K < Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = [dB] d) KG ( s) H ( s) K ( s 4) s( s 2) 2 Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: dla K > 0, a = 90 , 270 ; i dla K < 0; = 0, i = 0 , 180 , i = 0, 1. 3 Punkty rozgałęzień: 2s 16s 2 32s 16 0 dla K > 0, s1 = 0.7639; dla K < 0, s 2 = 5.2361, s 3 = 2. Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: brak Stabilny: 0 < K < Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = [dB] e) KG ( s) H ( s) K ( s 3) s( s 2 2s 2) Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: dla K > 0, dla K < 0; a = 0.5, = 90 , 270 ; i i = 0 , 180 , i = 0, 1. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 22 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe Punkty rozgałęzień: dla K > 0, brak dla K < 0, s 2 = 2s 3 11s 2 12s 6 0 .2558. Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna ( 1+j): Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna ( 1+j): Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 1 = 18.4349 ' 1 = 161.5651 j 2.4495 dla K = 4 j Stabilny: 0 < K < 4 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 4, Okres oscylacji: Tosc = 2.5651 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 12.0412 [dB] K f) KG ( s) H ( s) ( s 4)(s 2 2s 2) Punkt przecięcia asymptot: a = 2, Kąty asymptot: dla K > 0, = 60 , 180 , 300 ; i dla K < 0; i 2 = 0 , 120 , 240 , i = 0, 1, 2. Punkty rozgałęzień: s 3 3s 2s 2 0 dla K > 0, brak dla K < 0, s1 = 3.4142, s 2 = 0.5858. Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna ( 1+j): Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna ( 1+j): Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 1 = 71.5651 ' 1 = 251.5651 j j3.1623 dla K = 52 Stabilny: 8 < K < 52 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 52, Okres oscylacji: Tosc = 1.9869 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 34.3201 [dB] g) KG ( s) H ( s) K ( s 2 2s 2) ( s 1)(s 1)(s 2) Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: dla K > 0, a = 180 ; i dla K < 0; = 8, i = 0 , i = 0. 4 Punkty rozgałęzień: s 4s 3 17s 2 12s 34 0 dla K > 0, s1 = 1.3493 dla K < 0, s 2 = 6.2685, s 3 = 1.5973, s 4 = 2.5166 Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z zera (1+j): 1 = 30.9638 ' 1 = 149.0362 Kąt wejścia linii pierwiastkowej do zera (1+j): Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 j j 0.5357 dla K = 6.2783 s 3,4 j j1.4594 dla K = 4.7783 Stabilny: 3 < K < 4.7783 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 4.7783, Okres oscylacji: Tosc = 4.3054 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 13.5855 [dB] h) KG ( s ) H ( s) K (s 2 2s 2) ( s 1)(s 2 4s 13) Punkt przecięcia asymptot: Kąty asymptot: dla K > 0, dla K < 0; Punkty rozgałęzień: dla K > 0, brak s 4 a = 7, = 180 ; i i = 0 , i = 0. 4s 3 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 21s 2 6s 60 0 M. Tomera 23 Teoria sterowania Linie pierwiastkowe dla K < 0, s1 = 6.9623, s 2 = 1.4421 Kąt wyjścia linii pierwiastkowej z bieguna ( 2+j3): z zera (1+j): 1= Kąt wejścia linii pierwiastkowej do bieguna ( 2+j3): 1= 254.7449 43.9949 ' 1= 74.7449 do zera (1+j): 1' = 136.0051 Punkty przecięcia z osią liczb urojonych: s1,2 j j5.1728 dla K = 4.2783 s 3,4 j j1.4979 dla K = 7.3788 Stabilny: 4.8788 < K < 7.3788 Wzmocnienie krytyczne: K kr = 4.2783, Okres oscylacji: Tosc = 1.2147 [s] K kr = 7.3788, Okres oscylacji: Tosc = 4.1959 [s] Zapas wzmocnienia dla K = 1: GM = 17.3597 [dB] LITERATURA 1. Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems. Addison-Wesley Longman, 1998. 2. Evans W.R. "Graphical Analysis of Control Systems", Transaction of AIEE, Vol. 67, pp. 547-551, 1948. 3. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company, 1986 4. Kuo B. C. Automatic Control of Dynamic Systems, 7th ed, Addison-Wesley & Sons Inc., 1995. 5. Nise N.S. Control Systems Engineering. 3th ed. John Wiley&Sons Inc., 2000. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 24