TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU WARSTWY I

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3/4, 20 (1982)
TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU WARSTWY
I PÓŁPRZESTRZEN ISPRĘ Ż YSTE
J
ROM AN M O K R Y K
Lwów
ZBIGNIEW O L E S I A K
Instytut Mechaniki
Uniwersytet W arszawski
1. Wstę p
Dyfuzja jest zjawiskiem zwią zanym z budową molekularną materii i polega n a ruchu
pojedynczych atomów i molekuł lub jonów. Zjawisko to wystę puje czę sto w przyrodzie,
wykorzystywane jest również w wielu procesach technologicznych przede wszystkim
w fizyce materiał ów, a ostatnio w elektronice. Mimo charakteru wybitnie molekularnego
proces dyfuzji daje się opisać z dobrym przybliż eniem metodami teorii oś rodków cią gł ych,
które jak wiadomo, nie uwzglę dniają atomowej struktury materii. Zagadnienia dyfuzji
rozpatruje się czę sto również w ramach mechaniki statystycznej.
Przypuś ć my
, że mamy do czynienia z ciałem stał ym o okreś lonych wł asnoś ciach.
Dla potrzeb technicznych badane są zjawiska dyfundowania do obszaru zajmowanego
przez ciało stał e czą stek otaczają cego je gazu, cieczy, lub innego ciała stał ego w przypadku
ich kontaktu. Intensywność procesu dyfuzji, jego natę ż enie, zależy w pierwszym rzę dzie
od własnoś ci chemicznych substancji biorą cych udział w dyfuzji, ale nie tylko. Waż ne
znaczenie odgrywają czynniki fizyczne jak np. ciś nienie otaczają cego gazu lub cieczy,
siła nacisku przy kontakcie dwóch ciał" temperatura, kierunek i natę ż enie strumienia
ciepła, pole elektromagnetyczne, stał e materiał owe mechaniczne i termiczne, itd.
Łatwo stwierdzić, że modele matematyczne dyfuzji czy też termodyfuzji, gdy rozpatrywane jest jedno ciało z otaczają cą cieczą lub gazem są znacznie prostsze, a odpowiednie
równania łatwiejsze do rozwią zania w porównaniu z przypadkiem równań dyfuzji mię dzy
ciałami stałymi poprzez powierzchnie kontaktu. Znacznie bardziej skomplikowane są
zagadnienia dynamiczne, gdy ciś nienie, strumień ciepł a, powierzchnia kontaktu, pole
elektromagnetyczne są funkcjami czasu. Ostatnio przeprowadzono doś wiadczenia z dyfuzją metali w warunkach nieważ kośi ci próż ni kosmicznej. Wyniki tych doś wiadczeń są
trudno dostę pne dla skonfrontowania z teorią .
Założ ymy tu, żc powierzchnia kontaktu jest płaszczyzną i rozpatrzymy przypadek
226 R. MOKRYK, Z. OLESIAK
termodyfuzji mię dzy warstwą sprę ż ystą i pół przestrzenią (lub mię dzy dwiema pół przestrzeniami), obie izotropowe i jednorodne lecz o róż nych stał ych materiał owych. Przy kontakcie
dwóch ciał proces termodyfuzyjny może odbywać się w ten sposób, że materia przechodzi
od ciał a 1 do ciał a 2, lub na odwrót od ciał a 2 do ciał a 1, może również mieć miejsce porównywalna iloś ciowo dyfuzja dwustronna z przechodzeniem materii w obu kierunkach.
Podstawowe równania termodyfuzji, w oparciu o termodynamikę procesów nieodwracalnych [1], został y podane przez Ja. S. PIDSTRYHACZA [2, 3] i W. NOWACKIEG O [5, 6],
W dziedzinie tej rozwią zano niewiele zagadnień szczegół owych, wymień my tu prace
[3, 4, 7, 8, 9 i 12].
W tej pracy zajmiemy się przypadkiem, gdy termodyfuzja jednego ze skł adników
jest o wiele bardziej istotna i interesować nas bę dzie zmiana koncentracji tego wł aś nie
skł adnika pod wpł ywem pola odkształ cenia i temperatury. Zagadnienie kontaktu pół przestrzeni został o rozwią zane, w ramach przyję tych zał oż eń, dla wszystkich czasów t,
lecz bez uwzglę dnienia sił zewnę trznych. Przy kontakcie warstwy z pół przestrzenią uwzglę dniamy sił y ciś nienia dział ają ce na swobodną powierzchnię warstwy przenoszą ce się przez
powierzchnię kontaktu na pół przestrzeń sprę ż ystą. W.tym przypadku zagadnienie został o
rozwią zane dla duż ych czasów / , co wynika z przybliż oneg
o obliczenia transformat odwrotnych Laplace'a.
W wyprowadzonych równaniach i wzorach uwzglę dniamy peł ne sprzę ż enie pola koncentracji, temperatury i odkształ cenia. Dotyczy to przede wszystkim uogólnionego prawa
F ouriera i F icka (2.4) i (2.5) i wynikają cych z nich równań.
2. Równania i podstawowe zwią zki termodyfuzji ciał sprę ż ystych
Z a pun kt wyjś cia bierzemy ukł ad równań róż niczkowych czą stkowych termodyfuzji
oś rodka sprę ż ysteg
o w nastę pują cej postaci [2, 5]:
(2.1) ,«V2w- )- (A- f- / M)graddivM- l- l'=
2
(k'V - ndt)0 (2.2) = y0di\ u+db,
2
{aV - mdt)c = V2(ycdivu + dc),
(2.3) gdzie (2.1) jest uogólnionym równaniem N aviera, (2.2) uogólnionym równaniem przewodnictwa cieplnego, a (2.3) równaniem bilansu koncentracji skł adnika. We wzorach
tych uwzglę dniliś my uogólnione prawo F ouriera (przewodnictwa cieplnego), F icka (termodyfuzji) i H o o ke'a:
(2.4) T Qq =
(2.5) T orj =
(2.6)
a = 2/ ne+(Xdivu- y@0- yi:c)- l.
We wzorach powyż szych q jest strumieniem ciepł a, c — koncentracją skł adnika, rj —
strumieniem dyfundują cej masy, L qq, L m, L m są fenomenologicznymi współ czynnikami
Onsagera speł niają cymi warunki L m > 0, L m > 0, L mL ą ą - L%ą > 0, yc, ye, y,,, d, m, a, n
są stał ymi, u jest wektorem przemieszczenia, 0 = T—T o róż nicą temperatur wzglę dem
TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU 227
stanu naturalnego, o i e są odpowiednio tensorami naprę ż enia i odkształ cenia, 1 tensorem
jednostkowym, X, (i są stałymi Lamego, ponadto przyję liś my oznaczenia T ok' = k,
mL m — T o.
3. Zagadnienie kwazi- stacjonarne
Celem pracy jest wyprowadzenie zwią zków i zbadanie wpływu niestacjonarnych pól
odkształ cenia i temperatury na rozkł ad koncentracji dyfundują cego skł adnika w warunkach fizycznego kontaktu dwóch ciał sprę ż ystych. Zagadnienie rozwią ż emy przy nastę pują cych zał oż eniach. Rozpatrzymy procesy, w których moż na pominą ć wpływ sił masowych i sił bezwł adnoś ci w równaniu bilansu pę du. Również zaniedbamy wpływ zmiany
odkształ cenia na pole temperatury, uwzglę dniają c jednak wpływ odkształ cenia na pole
koncentracji. Przy tych zał oż eniach równania (2.1)- (2.3) przyjmują postać
(3.1) fi,V2u+ (X+n) graddivM = ye grad @+yc grade,
(3.3) a V c - m — = yc V divw+ dV c.
2
2
2
Równania róż niczkow
e czą stkowe (3.1)- (3.3) przekształ cimy do bardziej dogodnej
postaci. Podział amy operatorem div na równanie (3.1), otrzymują c
2
2
(A.+2fi)V divii = yQ'V 0 + ycV2c.
(3.4) 2
Po uwzglę dnieniu równania (3.4) wyrugujemy V divw z równania (3.3). Wtedy równania
(3.2) i (3.3) sprowadzą się do nastę pują cego ukł adu równań róż niczkowych czą stkowych
drugiego rzę du
V2® (3.6) - = dr
gdzie
2
- d)—y ] nycy0
W ten sposób sprowadziliś my przypadek kwazi- stacjonarny do ukł adu dwóch równań
sprzę ż onych (3.5) i (3.6) oraz równania Naviera (uogólnionego) (3.1). Zagadnienia kwazistacjonarne termodyfuzji oś rodków sprę ż ystych był y już rozpatrywane w pracach [3, 4]
jednak bez uwzglę dnienia wpływu zmian pól odkształ cenia i koncentracji n a temperaturę .
W pracy [7] pominię to wpływ odkształ cenia na pole temperatury i koncentracji.
4. Termodyfuzja przy kontakcie warstwy sprę ż ystej i pół przestrzeni sprę ż ystej
Warstwa sprę ż ysta o gruboś ci h znajduje się w stanie idealnego kontaktu z pół przestrzenią sprę ż ystą. Ukł ad współ rzę dnych dobieramy w ten sposób, że pł aszczyzną kontaktu
228 R. MOKRVK, Z. OLESIAK
jest pł aszczyzna z = 0, a pł aszczyzną swobodną z — +h. Zagadnienie nie zależ *y od współ rzę dnych x, y. W tym ukł adzie równania róż niczkow
e czą stkow
e (3.1), (3.5) i (3.6) sprowadzą się do nastę pują cyc
h równań
(4.D (*+ «.*£ ._».» +,,..*.
2
, . , . 3 c 2
dz i dc „ 5 0
c
k c dt " dt '
2
d © 1 d© „ dc
W dalszym cią ug wartoś ci stał ych i skł adowe rozpatrywanych pól bę dziemy oznaczać
wskaź nikiem „ 1" dla warstwy i wskaź nikiem „ 2" dla pół przestrzeni. Zakł adamy, że w stanie
naturalnym (czyli począ tkowym) jest brak odkształ ceń, a pola koncentracji i temperatury
przyjmują wartoś ci:
dla t - 0
(4.4) 0 1 (z,O) = (9?, (4.5) Cl
(2, 0) = C °, 6> 2(z,O) = 0§ ,
c.2(z,0) = c°.
Zał óż my ponadto, że na swobodnej powierzchni warstwy z = +h dział a temperatura
i ciś nienie
( 4. 6) &1(h,t)
strumień dyfundują cej materii jest natomiast równy zeru:
1
(4.7) Z) ,, - |"i?V 1 g'j; = 0
albo znany jest potencjał chemiczny
1
(4.8) M = - ycsm
W pł aszczyź nie styku warstwy i pół przestrzeni, tzn. dla z = 0, zachodzą warunki
cią gł oś :ci
strumienia ciepł a
strumienia dyfundują cej masy
, (4 0)
„,
V
i|i£
ponadto, w przypadku idealnego kontaktu termicznego, równość temperatury
(4.11) 6>x = 0 2 )
oraz równość wartoś ci potencjał u chemicznego
(4.12) l
1
d @1+a c1 + yle1 = 2
2
2
d 62+a c2+y ce2.
TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU 229
Dla z - * — co przyjmujemy, że
(4.13) 0 2 - + 6> °, c2- >c°2.
We wzorach (4.9) i (4.10) oraz w dalszym cią gu przyję to nastę pują ce oznaczenia
(Ą 14)
ToDqc = aL m, To Air — "• J- jm~L m, T QDqE = Ta- Dyc = uL m, T 0DnT T QDvE =
— dL m — L na, ycL m,
Przy przyję tych zał oż eniach: e = div« = - ^—. Z uogólnionego prawa H ooke'a (2.6),
po wykorzystaniu równania równowagi azz{z, t) = ~a{t), otrzymamy
(4.15) e =
gdzie
= yQ,
oraz
5. Rozwią zanie metodą przekształ cenia całkowego Laplace;a
Transformaty Laplace'a bę dziemy oznaczać wę ż ykiem nad odpowiednią literą . Zastosujmy transformatę Laplace'a do równań (4.2) i (4.3). Otrzymamy wtedy
2
d © 1
Równanie charakterystyczne powyż szeg
o ukł adu równań przyjmie postać
A4- ak s2.2+aćs2 (5.3) = 0
gdzie
1 l
1 " - -
Pierwiastki równania charakterystycznego przyjmują wartoś ci
21 = ]/ sr + ) (5.4) A2 = — ]/ sr+, / l 3 = ] / sr _ , A4 = — ]/«• _,
gdzie r + _ = y (a* ± \ / al- 4aa).
Moż na udowodnić, że wyróż nik okreś lają cy pierwiastki równania charakterystycznegojest dodatnio okreś lony
(5.5) ał
- 4aó = (J-
+
^ - 4 ( ^ -
W r
zgo d n ie z defin icją wielkoś ci <5C i (3T [5]. P o n a d t o
L kckT
^
JL
JL
°C°T~ W
) = ( ^ -
^ H -
^ . > 0
230 R. M OKRYK, Z . OLESIAK
Ponieważ stał e wchodzą ce do powyż szeg
o wzoru są dodatnie, wynika że ad > 0,
a stą d również, że r + _ > 0.
Cał kę ogólną ukł adu równań (5.1) i (5.2) moż na przedstawić w postaci nastę pują cej:
(5.6) c(z,s)= .- ,
OK
(5.7) O(z,s) = ^ ł
- \ / srZz
gdzie a + = k rr+- l, a_ = k T r~— 1
Zamiast rozwią zania (5.6) i (5.7) moż emy przyją ć cał kę ogólną ukł adu (5.1) i (5.2) w postaci
(5.8) c(z,s) =- j^
(5.9) &{z, s) = BlCh]/ 'ś F
W przypadku pół przestrzeni, wykorzystanie warunków w nieskoń czonośi cprowadzi
do nastę pują cych wartoś ci stał ych (dla z - * — co)
(5.10) A2 — AĄ . ^ 0 , B I = Z>2 j - "3 ^ - "4
6. Zagadnienie termodyfuzji w przypadku styku dwóch pół przestrzeni sprę ż ystych
Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy grubość warstwy sprę ż ystej wzrasta nieograniczenie. Warunki począ tkowe zachowują postać poprzednią (4.4) i (4.5), podobnie
warunki brzegowe (4.9) - (4.12). Z warunków w nieskoń czonośi cotrzymujemy obecnie
cl- ^c°
dla z - > + 00 © !- > © ? , oraz dla z —*• — 00 <92 •+ @% c2 - * c°
Warunki te bę dą speł nione, gdy we wzorach (5.6) i (5.7) podstawimy
(6.1) (6.2) ^{ = ^ = 0, A \ - A l - 0, A\ = B\ =- B\ , Aj =Bj = Bl, Ai=*B\ =- Bl
A\ - B\ = Ą
Otrzymujemy nastę pują cy ukł ad równań algebraicznych, z których wyznaczymy pozostał e parametry transformat:
- 0,
lDt_ « 0,
(6.3) B\ + B\ ~B\ - Bl = - i [{61- 01)]
s
231
TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU
gdzie
Oznaczmy wyznacznik podstawowy ukł adu równań
i zł * =
(6.4)
f)l 1 7)2
1 -
1 -
1
Wtedy rozwią zanie ukł adu równań (6.3) moż emy zapisać nastę pują oc
(6.5)
o
2
B\ = -
O
2
o
o
- 01)Alk +{(U0 2+y X 2)- (H0 l+^C?)}Cik .
Współ czynniki Aik oraz Cik zależ ą wył ą cznie od charakterystyk m ateriał owych i wyznacza się je z rozwią zania ukł adu równań (6.3). Odpowiednie wyznaczniki oznaczymy
nastę pują oc
(6.6)
Ol =
Pik
k= 1, 2, i = 1, 3.
Wtedy cał ka ogólna ukł adu równ ań (5.6), (5.7) przyjmie postać
1
,.£?
^
(6.7)
co
c2(z,s) =
00
©2(z,s) =
gdzie
Po odwróceniu transformat Laplace'a okazuje się, że rozwią zani
e da się wyrazić przez
kombinacje współ czynników i funkcji bł ę du:
z > 0
(6.9, e
i
C
M
)
. «
(6.10) C . C . , 0 - CS
z < 0
(6.11) e a (., o- «!
232 R. MOKRYK, Z. OLESIAK
gdzie:
AX1 = al
A31 = al(
A32 = a\ (D2+ Ą }_ - Ą J_ DZ +)+al(D?1+ D2+ - 2> *+ D2+)+a2 (
C 31 - DUDl
c12 = i?4V(A?-
7. Rozwią zanie w przypadku styku warstwy z półprzestrzenią
Rozpatrzmy termodyfuzję poprzez płaszczyznę kontaktu warstwy sprę ż ystej z pół przestrzenią sprę ż ystą z warunkami począ tkowymi (4.4) - (4.7), warunkami brzegowymi
na swobodnej powierzchni warstwy (4.6) i (4.7). Ponadto speł nione są warunki cią głoś ci
odpowiednich strumieni (4.9)- (4.12). Wtedy ukł ad równań algebraicznych, z którego
wyznaczamy parametry B\ przyjmuje postać nastę pują cą
l
a\ B\ Ch(j/ srift)+ o}.5i Sh(|/ < / t) + ai B 3 Oi(/ sf[h) +
= 0,
2
_ = 0,
(7.1) 5{ + 51 - 5 ? - Sf = — ( 0g- 0?) ,
gdzie wprowadziliś my oznaczenia
M*(s) = M 1 ( s) - yl a(s),
Podstawowy wyznacznik ukł adu (7.1) ma nastę pują cą strukturę
(7.2) A(s) = (ai-
gdzie
2
2
2
2
\ _ (D
_ - D
_ - D D
_ - D+ Dl) - (ai+a+) [D\
_ (D_ D++) -) D$_ (D
- D$_ (D_ + )],
+
TERMODYFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU
A t = (a\ - a i
Rozwią zanie ukł adu (7.1) przyjmuje postać
nVk
»*_ i L ;
^• ^
J ( s) gdzie przyję liś my oznaczenia
d l a / c
= • - *- 1 . 2 , 3 , 4 ,
dla fc= 2, i = 1, 3,
" ?***„.
(7.4)
oraz
(7.5)
23 = ( fli- fli) ch + ( Z l 2 5 ch _ - / l 2 6 sh _ ) ,
(p\ 2
ss =
541=
>42 =
ia = , ( a i- fli) c h + ( / l 4 5 c h + - Z l 4 6 sh + ) ,
9544 =
= a i( zJ 5 1 c h + - / l 5 2 sh + + zI 5 3c h _ - zl5 4 sh _ ) ,
zI
= - a |( 6 i C h + - ^ 6 2 sh + ) + a i ( Z l 6 3 c h _ - Z l 6 4 sh ) ,
233
234 R. MOKRYK, Z . OLESIAK
= ( fli- ai) [( z1 6 5 ch + - - / l 6 6 sh + + / l 6 7 sh _ ) ch _ - ( zJ 6 8 ch + - / l 6 , > sh + - M 6 , l o ch _ ) sh _ )
Przyję liś my tu oznaczenia
ch ± = C h(]/ sr\ ti) sh ± = Sh(|/ sr± / j)
Wielkoś ci Aki zależą jedynie od stał ych materiał owych warstwy i pół przestrzeni, moż na je
wzglę dnie ł atwo wyznaczyć z rozwią zania ukł adu równań (7.1) zgodnie ze wzorem (7.4).
Z powodu zł oż onośi ci duż ej liczby wzorów o podobnym charakterze, z braku miejsca
nie cytujemy ich. Podstawienie wyznaczonych współ czynników Bf danych wzorami (7.3)
do (5.9) i (5.10) z uwzglę dnieniem (7.2), (7.4) i (7.5) umoż liwia nam napisanie transformat
Laplace'a koncentracji masy i temperatury zarówno dla warstwy jak i pół przestrzeni.
Wykonanie odwrotnych transformat w przypadku ogólnym, dla dowolnych czasów jest
moż liw
e tylko w sposób przybliż ony
. Ponieważ w praktycznych przypadkach interesuje
nas dyfuzja dla duż ych czasów t, wykorzystamy rozwinię cia asymptotyczne. Jako przykł ad
weź miemy nastę pują ce warunki brzegowe
a(t) m a*H(t), (7.7) q(t) = 0*H(t)
Przy tych zał oż eniach otrzymujemy dla duż ych czasów t nastę pują ce wzory na koncentrację masy i temperaturę w pół przestrzeni z ^ 0
(7.8) C2{z,t) =
2
2 _1_ » , . * 2
- r i »i »l ft + l - ^ - - a>i2 +
r 2 o)f3 j fi + «i I m\ x I — - - - j E" +
+
(°"1Ł \ 2 _
+ CO
rt " r (0
2 ) - ?• %3rx ( i lli _ CO 2 +
\ r2 r M
2 \ - 11
c 2 2 r2a)23
°
]'ł'2\\'
I 1
(7.9) T 2(z,i) = T°'2
,2
-
. ' 2
gdzie
E* - E r f c ( ( - -
^ 3 J Vi = exp[r fclr ± z + (,,)/ ]E.fC(
Wzory opisują ce pole temperatury i pole koncentracji dyfundują cego skł adnika w warstwie
0 < z < h moż na przedstawić w przybliż eniu w nastę pują cej postaci
TERMODVFUZJA W ZAGADNIENIU KONTAKTU o - cg+ / K
°T T
I r
2~"i \ RJ
Y \
1 r
i
235
1 \ ' „ / E x E 2 \
•i ~ri'r
)~R 2c(z)(r1E l- r2E 2)
:
gdzie
R 2c = a |( wi
R'0T = coj
R2T
= ®
Bk = exp[(r fc ) 2 t]Erf c(rk \ / T), /c = 1, 2
- [(
wzory na cojj obliczamy z wyraż eń:
4 (7.12) J J P M i- l 3
= ^ ^ / ( s) ' "" 1 , gdzie fc— 1,2; i = 1, 2, 3,4,
;= i
8. Wnioski
1. Wzory (6.8) i (6.10) przedstawiają zależ noś
ć zmiany koncentracji dyfundują cego
skł adnika. Ze wzorów tych wynika, że wykł adniki funkcji bł ę du są wprost proporcjonalne do gł ę bokoś ci rozpatrywanego punktu i odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka
kwadratowego czasu, ponadto zależą od stał ych materiał owych. Wykł adniki funkcji
bł ę du nie zależą od warunków począ tkowych. Wielkoś ci Pik zależą nie tylko od stał ych
materiał owych ale również liniowo od począ tkowych temperatur i począ tkowych koncentracji.
2. Istotna róż nica w porównaniu z dotychczasowymi rozwią zaniami zagadnień termodyfuzji dla ciał stałych polega na uwzglę dnieniu pola odkształ ceń i jego wpływu na proces
dyfuzji.
3. Otrzymanie wyników liczbowych uzależ nione jest od znajomoś ci stał ych materiałowych, które okreś lić moż na tylko na drodze doś wiadczalnej. Wykonanie obliczeń ma
236 R. MOKRYK Z. OLESIAK
seas dla konkretnych materiał ów i przypadków, na które istnieje zapotrzebowanie usprawiedliwiają ce poniesienie kosztów obliczeń.
4. W przypadku kontaktu warstwy z pół przestrzenią wykonanie odwrotnych transformat jest moż liw
e tylko w sposób przybliż ony
. Wzory (7.8)- (7.11) dotyczą duż ych
czasów.
Literatura cytowana w tekś cie
1. M . A. BIOT, Thermoelasticity and Irreversible Thermodynamics, J. Appl. Phys., 27, 1956.
2. JA. S. PIDSTRYHACZ, Differencialni ń wnannja
zadaczi ter mody fuzli w twerdomu izotropnomu till, D AN
U kr. R SR , nr. 2, 1961, (w j . ukraiń skim).
3. JA. S. PODSTRIGACZ, W. S. PAWLINA, Diffuzionnyje processy w nierawnomierno nagretom deformirujemom sł oje, Woprosy miechaniki realnogo twerdogo tieł a, 1, Kijów 1962, (w j . rosyjskim).
4. JA. S. PODSTRIGACZ, W. S. PAWLINA, Diffuzionnyje processy w nagrewajemom deformirujemom szarie,
2, Kijów 1964, (po rosyjsku).
5. W. NOWACKI, Dynamie problems of' t her modi)fusion in elastic solids, Proc. Vibr. Problems, 2, 15, 1974
6. W. NOWACKI, Termodyfuzja w ciele stał ym, Mechanika Teoret. i Stos., t. 13, z. 2, 1975.
, O pł askim quasi- statycznym zagadnieniu termodyfuzji dla sprę ż ystego
7. K. GRYSA, R. SzczEPAŃ SKr
walca koł owego, Mech. Teoret. i Stos., t. 17, z. 2, 1979.
8. M. J. BUDA, Zagadnienie termodyfuzji w ciał ach stał ych, Biul. WAT, 6, 26, 1977.
9. M. J. BU D A, G . F . PIELAK, Badania porównawcze efektów dyfuzji i termodyfuzji, Biul. WAT, 1, 28,1979.
10. H . S. CARSLAW, J. C. JAEOER, Conduction of heat in solids, Oxford 1959, również wyd. rosyjskie N auka
1964.
11. A. ERDELYI i inni, Tables of integral transforms, torn 1 McGraw- Hill, 1954.
12. J. JANKOWSKI, Wpł yw drgań na dyfuzję i termodyfuzję w ciele stał ym, dysertacja doktorska, Politechnika
Poznań sk
a 1980.
13. J. STEFANIAK, J. JANKOWSKI, Pł askie fale harmoniczne i dyfuzja w ciele stał ym, Mech. Teoret. i Stos.,
t. 18, z. 3, 1980.
P e 3 IO M e
TEPMO,H H ct>ct>y3JM n P H KOH TAKTE y n P Y r o r O C JI Oa C n O Jiyn P O C T P AH C T BO M
PaccMaTpH BaeTca npoi^ecc xepM0fliic]DcJ)y3HM n p n KomaKTe flByx yn p yrn x noJiynpoerpaH CTB, a TaiOKe
B CHCTejwe cocToniUHM H3 CJIOH H nonynpocTpaticTBa B cjiy^ae, Korfla CBo6oflHaa IUIOCKOCTI> CJIOH H arpyH<ena IKKOTOPBIM paccnpeflejieHHeM CHJI H Terma. .HJTH KBa3H- erau,H0HapH0M sa la m i KOHTaim flByx
yn p yr a x nojiynpocrpaH CTB nojryieH o peineH we B 3aMKHyioiw BHfle, a B cjiytiae KomaKTa CJIOH H n on ynpocTpaHCTBa npirójiH weH H oe pemeH H e p,nn SOJILUIHX 3Ha^ieHHii BpeiweHH.
i
. Summary
TH ER M O D IF F U SION IN A CON TACT OF AN ELASTIC LAYER WITH A SEMISPACE
A process of thermodiffusion is considered in contact of two elastic semispace and in a system consisting
of a layer an d a semispace when the free bounding plane of the layer is loaded by a distribution of forces
and heat. F or quasi- statical case the exact solution has been obtained for the contact of two elastic semispace,
and an approximate solution for large values of time for the contact of the layer and the semispace.