analiza pasma płytowego jako ciała z więzami

MECH AN IKA
TEORETYCZN A
I STOSOWAN A
2, 17 (1979)
ANALIZA PASMA PŁYTOWEGO JAKO CIAŁA Z WIĘ ZAMI
M AR I A M A R K S (WARSZAWA)
Wstę p
Ogólne sformuł owanie mechaniki oś rodka cią gł ego z wię zami został o przedstawione
przez WOŹ N IAKA w pracach [1], [3—7]. W oparciu o powyż sze prace sformuł owano zagadnienie pł yt sprę ż ystych, traktują c jako wię zy ograniczenia narzucone na funkcję deformacji. Przyjmują c funkcję przemieszczeń w postaci. szeregu potę gowego zmiennej
pionowej, wyprowadzono podstawowy ukł ad równań. Zagadnienie pasma pł ytowego
rozwią zano przy trzech szczególnych postaciach funkcji przemieszczeń. W dwóch przypadkach otrzymano sił y reakcyjne niezerowe, natomiast w trzecim przypadku, sił y reakcyjne równe zeru. Jest to zatem rozwią zanie zgodne z rozwią zaniem klasycznej mechaniki continuum.
Róż nice mię dzy skł adowymi naprę ż eń i przemieszczeń wyznaczonymi z rozwią zania
mechaniki continuum z wię zami i klasycznej mechaniki continuum nazwane są umownie
„ bł ę dam i". W pracy [2]wskazan o na zależ ność mię dzy wielkoś ciami ś rednich „ bł ę dów"
a sił ami reakcyjnymi i wprowadzono kryterium oceny „ dokł adn oś ci" rozwią zań na podstawie wielkoś ci tych sil. Rozwią zane w niniejszym opracowaniu przypadki stanowią
ilustrację powyż szych zależ noś .ci
1. Sformuł owanie zagadnienia
Rozważ my pł ytę prostoką tną sprę ż ystą jako ciał o z wię zami, z narzuconymi ograni- ?
czeniami n a funkcję deformacji. Pł yta zajmuje obszar Q, który moż na przedstawić w postaci Q =' Fx7i, gdzie n jest powierzchnią ś rodkową , a F odcinkiem I - - »- , - r- l (rys. 1).
\ / / /
Rys. 1
278 M. MARKS
Przyję o t funkcję przemieszczeń w nastę pują ce
j postaci
(1.1) u{xK, x31) = J £ ę(a)(xK, 0 (x3f,
a= 0
przy czym <pia) są poszukiwanymi funkcjami roż niczkowalnymi zależ nymi od współ rzę dnych XK e n, K = 1,2, współ rzę dnej czasowej t e R, natom iast x3 e F.
Dla tak przyję tej funkcji przemieszczeń, zgodnie z [2], równania ruchu w ukł adzie współ rzę dnych kartezjań skich są nastę pują ec
H 2 J
k 2 ft
2
8x
f Ł , ( + ) ( ~ ) d 8x
o- mK,K«^3+ I Qb
= - r- - ^; mdx 3+pm- pm _H_
2
d
t d
, a = 0,
<Pml0)
m m 1, 2, 3
f f f (+ )/ / «\
a
a
I OmK.KiXiYdXa- ai J ffm3(^3) ~WAr3+ J Qbm(x3) dx3+pmU - /I
"ft fc A " I "5 \
2
d pm
- \ - l) =
a
+
Z
/
8x
- 37- 33 . a = 1, . . . , / •
gdzie
/ / 2
a = 0 /3 = 0
Pm = P m fe, 0 i
Pm = Pm(xK, t), przy x3 = - —.
N a brzegu o normalnej zewnę trznej n trzeba speł nić warunki brzegowe
(1.3) ( / c r m K ( x 3 ) Vx 3 ) « K = }pm(x3fdx3 ' 2 a. = 0, ..., / .
2
Jeś i l przy a = a 1 w równaniu (1.1) c> Cai) = 0 wtedy równania ruchu (1.2) i warunki brzegowe przy a = a x znikają. P o okreś leniu poszukiwanych funkcji <p(a) moż na wyznaczyć
sił y reakcyjne obję toś ciow
e i powierzchniowe z nastę pują cych
" zależ nośi c
rm = Q?m- Xebm + amKiK + am3i3) (1.4) v/ Q = Fxn, teR,
sm m crmRnK~pm pizyFxdn, teR,
sm = ^ m 3 » 3 - P m przy dFxn. teR.
Funkcje ę ^
wystę pują e c w zależ nośi c(1.1) przy a = 0 i a = 1 mają ,prostą interpretację fizyczną. F unkcje 93 j( 0) opisują skł adowe przemieszczenia powierzchni ś rodkowej.
PASMO PŁYTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ ZAMI
279
Funkcje < p i a ) i <p2u) opisują odpowiednio w kierunku xt i x2 skł adowe wektora, który
w konfiguracji odniesienia był wektorem normalnym do powierzchni ś rodkowej; natomiast funkcja <p 3U ) charakteryzuje wydł uż enie w kierunku tego wektora.
W rozpatrywanych przykł adach zał oż ono, że n a pasmo pł ytowe o nieskoń czonej
dł ugoś ci w kierunku x2 dział ają nastę pują ce sił y (rys. 2).
UJ_łJJLU_fXEXŁl.l_LU.i.J LLt TTO
Rys. 2
- o,
(+ ) (1.5)
(+ ) PK - o, n = - p h
rz
x
P y 3 = y .
h
przy x3 = - —,
Pi = 0
oraz
l\ 2M \ h
(1.6)
3p\ _Ap_
3
xi przy Xx = - a,
przy x,_ = ±a,
3/ ?„
6p
przy xy = ±a.
h_
2 In
IS
Przez M= f- f- xjdx3 'h n
oznaczono tu moment zginają cy przył oż ony do krawę dzi
~2
pł yty xx == a. Z ał oż ono pon adto, że funkcja przemieszczenia «jest niezależ na od czasu.
Przy tych zał oż eniach rozwią zano zagadnienie pasma pł ytowego przyjmują c funkcje
przemieszczeń w nastę pują cej postaci:
a)
(1.7)
b)
u2 = 0,
fc- 1,3,
«2 = 0 ,
«i = Pi
C) M 2 = 0 ,
«3 =
280 M . M AR K S
Przyję cie funkcji przemieszczeń w postaci (1.7)„ odpowiada uogólnionej teorii Reissnera.
N atomiast zał oż enie, że funkcja przemieszczeń zależy również od wyż szych potę g x3
umoż liwia dokł adniejsze wyznaczenie stanu naprę ż enia.
W wyniku przyję cia funkcji przemieszczeń w postaci (1.7)„ i (1.7)g otrzymano rozwią zanie zagadnienia z niezerowymi sił ami reakcyjnymi okreś lonymi zależ noś ciam
i (1.4).
N atomiast przyjmują c funkcję przemieszczeń w postaci (1.7) c , uzyskano rozwią zanie,
w którym sił y reakcyjne znikają czyli jest ono rozwią zaniem klasycznej teorii sprę ż ystoś .ci
D ysponują c rozwią zaniem klasycznej teorii sprę ż ystośi cmoż na okreś lić stopień dokł adnoś ci rozwią zania uzyskanego wg teorii z wię zami wprowadzają c wielkoś ci okreś lają ce
ś rednie i maksymalne bł ę dy skł adowych naprę ż eń i przemieszczeń.
1
(1.8)
0,=
(1.9)
Qi
gdzie
ajf — skł adowa naprę ż enia wyznaczona wg klasycznej teorii sprę ż ystośi c
<j\ f — skł adowa naprę ż enia wyznaczona wg teorii z wię zami,
d)
u\ — skł adowa przemieszczenia wyznaczona wg klasycznej teorii sprę ż ystoś ,ci
P)
M| — skł adowa przemieszczenia wyznaczona wg teorii z wię zami.
W celu oszacowania rozwią zań uzyskiwanych wg teorii ciał z wię zami (r ^ 0, s ^ 0)
w oparciu o kryterium przedstawione w pracy [2] należy wyznaczyć cztery nastę pują ce
wielkoś ci
. JŁ
(1- 10)
a
° "• "
V
a = 1 , 2
P ASM O P Ł YTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ ZAM I 281
gdzie
Sb
(1.11) * . • , *
/ i = i?i sup ]/ r? + rl + &, sup jA?+ ,?f +h sup |
isfl xenXdF xeFxdn
/ 2 = / 8isu p |r 3 | + jff2 sup l^l+ jSa sup | j 3 | ,
xe n xenXdF •
tu Ą = dnxF
|i3, |jr|, |ISJ| —: miary odpowiednich obszarów
Pi> Pzt P3 — stał e dodatnie
cr0 — maksymalne wytę ż enie pł yty.
Znają c wielkoś ci ya moż na n a podstawie zależ nośi c
ocenić ś rednie bł ę dy skł adowych naprę ż enia i przemieszczenia uzyskane z rozwią zania
wg teorii z wię zami. Zależ ność (1.12) wyznaczamy na podstawie przykł adów rozwią zanych przy zał oż eniu róż nych typów wię zów i rozwią zań ś cisł ych.
Porównanie natom iast wielkoś ci aa i ya, które charakteryzują ś rednie i maksymalne
wartoś ci poziomych i pionowych skł adowych sił reakcyjnych, pozwala na ocenę najwię kszych bł ę dów skł adowych stanu naprę ż enia i przemieszczenia.
2. Rozwią zanie pasma pł ytowego przy / = 1
Przyję to funkcję przemieszczeń odpowiadają ca uogólnionej teorii Reissnera tzn.
w nastę pują cej postaci
W tym przypadku skł adowe tensora naprę ż enia wyraż aj
ą się nastę pują cymi zależ noś ciam
i
vE
;
• (1
E
E
= 0 .
282 M . MARKS
Warunki równowagi (1.2) przy / = 1 sprowadzają się do nastę pują cego ukł adu równań
2
ddj_ d f3 2(l+v)p
(2.2)
df3
6(1 - 2v) tef
24 3xf l
=
8*
(1- y) (l- 2v) 33 y ayx \\~2v 8xi 2 8 (l+ v)p _ f t
2E
2E
Są to dwa ukł ady równań zawierają ce po dwie niewiadome. Z ukł adu równań (2.2)2
i (2.2)3 wyznaczono niewiadome funkcje dl} ip3, które mają nastę pują cą postać
(l- v)Eh
3
' 2(l+ v)
y 3 = Natomiast z równań (2.2)i i (2.2)4 wyznaczono pozostał e funkcje
gdzie
Przemieszczenie Ui musi być antysymetryczne wzglę dem xi przy każ dy
m x3 e I — —,
h\
—
— I co jest równoważ ne z antysymetrią funkcji yx i cfx. Funkcje ipi i rfi spełniają warunek
antysymetrii, jeś il
A2 = A3,A4 = 0,Ct = C3 = 0
Na powierzchni x t = a o normalnej n = (1,0,0) oraz na powierzchni xt = - a o n =
=> (— 1,0, 0) powinny być spełnione warunki brzegowe (1.3) przy / = 1, gdzie pm okres'lone jest zależ noś ą ci (1.6).
Warunki brzegowe (1.3) przy / = 1 po uwzglę dnieniu antysymetrii funkcji ^ I i dt
sprowadzają się do nastę pują cych zależ nośi c
= 0 ,
= pa,
P ASM O P Ł YTOWE JAKO CIAŁ O Z W/ Ę ZAM
I 3
(l- 'v)Eh dd
> • 283
dci:
= o.
D rugi warunek brzegowy speł niony jest toż samoś ciowo
, a z pozostał ych wynikają następują ce relacje :
A, = 0,
2
(l~v)Eh3
A2 = 0,
Stał ą CĄ wyznaczamy z warunku, aby u3 = 0 przy x t — ai xz = 0. Jest ona równa
Po uwzglę dnieniu wyznaczonych starych, wyraż enia na moment zginają cy oraz po wprobezwym
wadzeniu współ rzę dnych bezwymiarowych $t — - i , | 3 = - £- skł adowe przemieszczea, h
nia (2.1) mają nastę pują ą c postać
«3 - o,
skł adowe stanu naprę ż eni
a są nastę pują ec
(2.3)
= <723 = 0 .
284 M ; MARKS
*
Znają c skł adowe naprę ż enia moż na okreś lić ze zwią zku (1.4)! sił y reakcyjne obję toś ciowe
! l
h
~ r2 - 0,
(2.4) ze zwią zku (1.4) 2 , po uwzglę dnieniu (1.6), sił y reakcyjne powierzchniowe:
przy f! = 1
(2.5) przy & = - 1 .
a ze zwią zku (1.4) 3 po uwzglę dnieniu (1.5) sił y reakcyjne powierzchniowe:
przy b
1
h- j
a
t
(2.6)
a
N a podstawie wzoru (1.11) obliczono
/ i = AsupKU- sup k u - — sup |j x | = 7p?- + 0,2p—
xeQ xeitXdF O- xeFxdn / 2 - As u p |r 3 |+ sup |J 3 | + — sup \ ss\
xe!) xenXdF O x
eFx8n
U a
285
P ASM O P ŁYTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ Z AM I
gdy
przy
IT
+
a
przy - j-
1- V
gdy
# <0
h
\ Q\
a , 13
f \s3\dn+
gdy
1—v p
— — + i - > 0
2v
18
przy
przy 0 < —
lv gdzie
2v + p J \ a f '
p
286
M. MARKS
gdy
1 — v
gl =
• + •
18
Jako wytę ż eni
e a0 przyję o t maksymalne naprę ż eni
e atl czyli alx przy £ j = 0 i f3 = Wó wc za s
CT, = —
gdy
>
-
a) 3v
' 5
P
2
U
IP-
gdy
r 0
przy
- » , 2p
77^
3v
3
• *(4f
p
+
2 W
2 +
13 h\ 2\ h
200 \ aI \ a
Jh
2 Zp- p
gdy
1 —V O
- = —+ — > o
>
-
287
PASMO PŁ YTOWE JAKO CIAŁ O Z WIĘ ZAM
I
3p- pJh
- 3
, \ 2 - r 1 / , \ 2 1
0 ~l I
0<
A< przy 0 < —
a
/ 3
1/ 1Z1
V 1— v gdy
2v
5
___ + £. < o
18
i' 3
i—«*
170,5 0.0753 - 0M23 TfiOOOO!
- QMS
0,00004 0,00007. 0,00009 Y°'05 0,0751 0,1024 0,1W 142,5 - IJSS - "his 0 01
IT ' 44,75 r
95,S 30,0
- 35,55 - 23,85 - 7,55
0 05
0 0S
IT - 42,45 35.45 ':G / cm']
' - 42,75 - 35,75 \~ -
23,75 - 0,05 7,45 — 4,46 = E 4,23 3,53 E
2,36 0,73
- 24,05 - 7,75
- 0,25
44.BŚ 42,25 35,25 23,55 %25
(x,- 4kS/ cm>]
5,0
• 5,62
- 2,5
S3
), 5 2,50 3,75 5,00
- 0,10
Rys. 3
288 . • • • . • • ;
M . M A R K S v. r ••
Przykład liczbowy. Przyjmują c dane a = 200 cm, h = 20 cm,, p m 0,5 kG / cm 2 , M =
= 2000 kG cm/ cm (p = - 3 0 kG / cm 2 ), E = 200 000 kG / cm 2 , v = 0,2 otrzymano na• i
stę pują ce wielkoś ci daiyx «! = 0,1945 yL m 0,0556
, <52 = 0,7453 y2 = 0,5382
N a rys. 3 pokazano wykresy przemieszczeń, naprę ż eń i sił reakcyjnych w przekrojach
l i równych 0, j . y , - ^ - , 1.
3. Rozwią zanie pasma płytowego przy 1 = 2
Przyję to funkcję przemieszczeń wedł ug (1.1) przry / = 2 tzn. w nastę pują cej postaci
ii = 0 m — 1, 3
skł adowe stanu naprę ż enia wyraż one są nastę pują cymi zwią zkami
E
33
Oli (\ +v)(i- 2v)
= ^23 = 0.
Warun ki równ owagi (1.2) przy 1=2 sprowadzają się d o n astę pują cego u kł a d u równ ań
, flVa\ , /ł Ph l+
• dXl\ + dxj
dxj 12 3x\
3x\ 12
2(l+v)p
Eh Eh
'
P ASM O PŁ YTOWE JAKO CIAŁ O Z WI Ę Z AM
I 289
który moż na rozseparować n a dwa ukł ady niezależ ne. W wyniku przekształ ceń równań
(3.2) 2 , (3.2) 3 i (3.2) 6 wyznaczono funkcje y>3, dt, k 3 w nastę pują ce
j postaci
*- »*>• ^ l + ' L . ] ?
(l~v2)(10+v)p
, v , yA » 2H —v2
v{l+v){\ O+v)p
IQEh
(l- i> 2 )(10+i' )p / z 240 £" — v( l + »)
2£/ i
gdzie
120
K
(1- ^)/ J2-
N atomiast po przekształ ceniu równań (3.2) x , (3.2) 4 , (3.2) 5 wyznaczono funkcje , k t w nastę pują ce
j postaci
3
d 3 = fu
\
a
- 2 C 2 e - ' ^U
L
*ł
(3.4)
9 Mech. Teoret. i Stos. 2/79
)j- 2Q
1 vfl+v) ) ^" " ^
( I- ' ' 2 ) ?
j£—'
290 M. MARKS
J (aisinb1x1 + blcosblxi)\ - — cos^x, J
(— - - ^~\ (a1s'mb1xi- b1cosb1x1)\ - - j^siabtxA
2
1— v v(l+v)p
gdzie
a =
;
.
24
30(1- 2^)
2
" (l- v)h "
y
Funkcja MX okreś lona wzorem (3.1) musi speł niać nastę pują y c warunek
/A, A «i(^i = - £ i ) - - wi fe = X!)«> Vi(^i = - x,) =
*»• ( " 2 ' a ) = —ipxiXi = x,) A di(x! = - x j = rfj(xi = Xi) A A:x(xj = — Xi) = — ^i ( X 1 = Xi)
stąd wynikają relacje:
At = X>3 = 0, £»! = £> 2,
Ci = —C2 C3 = C 4 , 5 2 = 0
N a powierzchni jq = d o normalnej n = ( 1, 0, 0) i n a powierzchni xt = — et o n =
= (—1,0,0) powinny być speł nione warunki brzegowe zgodnie z (1.6) i (1.3) przy 1 = 2.
Po wykorzystaniu antysymetrii funkcji y>u dx,k x i symetrii funkcji if>3,d3,k 3 warunki
brzegowe sprowadzają się do nastę pują ceg
o ukł adu zależ nośi c
. o,
— \ =
12 dXlUx^ a)~ Eh
291
PASMO PŁ YTOWE JAKO CIAŁ O Z WIĘ ZAM
I
L,
dd3 1
(3.5)
[cd.]
20
I 1
. o,
20
Warunek (3.5) 2 speł niony jest toż samoś ciowo
. N atomiast warunki (3.5) 4 i (3.5) 5 tworzą
ukł ad dwóch jednorodnych równań o wyznaczniku róż nym od zera, zatem
C1 = C3 = 0.
Z pozostał ych warunków wynikają nastę pują e c relacje:
D m
3(2- v)(l+v)pa
Po uwzglę dnieniu zależ nośi c (3.3) i (3.4) z wyznaczonymi stał ymi oraz wprowadzeniu
współ rzę dnych bezwymiarowych, skł adowe przemieszczenia (3.1) mają nastę pują ą c postać
v(2—v)p
2
ł OsinA
ió
W2 = 0 ,
2
1
15
40sinA &• £-
2 sin h
_qo+ v)(l- v)
20
292 M. MARKS
gdzie
Skł adowe stanu naprę ż eni
a są nastę pują ec
£
ff,, = V
3(2 - v)
15
2
0+ i^
10 P
(3.6)
(l- v) a ' ' V
I
15 h sin/ il
3(2- v)
p
^3 3
2 P
l- v
2- v
4 i 4+v a \
i
hi)
4 h
' , 10+v
i
i
10
fc.
U(A
i
t
b l
A
sin/ ,(#
+ 3]
t2
S3
" 1 2 = ff23 = 0 .
Znając skł adowe naprę ż eni
a moż na okreś lić ze zwią zku (1.4) 1 siry reakcyjne obję toś ciow
e
6(2 - v) n (3.7) a
jr- Pj
r 2 - 0,
4 ( 2 V)
sinA
ą \
\ 20
293
PASM O P ŁYTOWE JAKO C IAŁO Z WI Ę Z AM I
ze zwią zku (1.4) 2 po uwzglę dnieniu (1.6) sił y reakcyjne powierzchniowe
przy i t = 1
s3 = 0
(3.8)
przy li = 3
s3 = 0;
a ze zwią zku (1.4) 3 po uwzglę dnieniu (1.5) sił y reakcyjne powierzchniowe
przy f 3 =
s t = - •
2
2- v a
3 ( 2-2 - v) / 2(l- y) a
1- y |/ 15 h
s3 = -
To
(3.9)
przy i a = -
- v a
3(2
15 /*
10
Jeż eli zał oż ymy, że n a pasmo pł ytowe nie dział a obcią ż enie pionowe />, a jedynie na powierzchni ii = ±\ sił a i
- 2 p | 3 przy fi = 1,
przy li = - 1 ,
wtedy wszystkie sił y reakcyjne obję toś ciowe i powierzchniowe są równe zero, a otrzymane
rozwią zanie jest rozwią zaniem ś cisł ym w sensie klasycznej teorii sprę ż ystoś .ci
294
M. MARKS
N a podstawie wzoru (1. U ) obliczono.
/ i = Asup|r x | + sup
xenxSF
xea
h
sup \ s 1 =
1*1H — 0 xeFxdn
x
7
^
2
^A
f, '"(
1
a
J
A"
+ 0,2-
1 1
(2- v)
/ 2 = Asu p |r 3 | + sup \ s3\ + — sup |
xefl xenxdF " xeFxBit
f 11x1*+ / W
' fl 'h 2- v / 2fl- ^
2 \ 15
200 a
a
/:/,-
*»
Jako wytę ż eni
e ff0 przyję o t maksymalne naprę ż eni
e or t l czyli or ll przy f t = 0 i £ 3 = - • = -
i n I
Wówczas
l
1-
J 1
(
13(2
;
J/ 2( 1- *)^ o" / a
sinAl^! —
,
5 3o- i
20
/f \
—
Cl I
295
PASMO PŁ YTOWE JAKO CIAŁ O Z WIĘ ZAM
I
(2- »
{2- v)p~
*
+
2 3/ 7- 3 —
200 3p - » —
Przyjmując dane a = 200 cm, /t = 20 cm, p = 0,5 kG / cm 2, M = - 2000 kGcm/cm
2
I v - - 30—- vi, £ = 200000 kG / cm , r = 0,2 otrzymano nastę pująe c wielkos'ci da
2
Y cm /
dx = 0,1668 a 3 = 0,3984 yv = 0,049Ź
y2 - 0,0013
Na rys. 4 pokazano wykresy przemieszczeń, naprę żń e i sił reakcyjnych w przekrojach
1 1 3
fi równych 0, j , y , j , 1.
- raco - ffgs i* - ?«.5 - wiś - jag
- 0.68 - ).O) f
' * 'I - "*
JO,0 0 0,34 0
0,68 . 7,0?
0 0
- 0,83
0,O# 5 0,0307 0,(053 i- i j 0,1253 35,87 34,00 28,40 19.0B 3,31
4,88
r
- 0,10
2 9 6 M . M A R K S
4. R o z wi ą z a n i e p a s m a p ł yt o we go p r z y 1 = 4
Przyję to, że na pasmo pł ytowe dział a obcią ż enie (1.5) i (1.6) a poszukiwane przemieszczenia mają nastę pują cą postać
(4.1) u2 = 0,
u 3 =
Zgodnie z przyję tymi przemieszczeniami skł adowe tensora naprę ż enia wyraż ają się nastę pują cymi zależ noś ciam
i
a u =
vE
a 1 2 = ff23 = 0
Równania równowagi (1.2) sprowadzają się do nastę pują cego ukł adu równań
2
A (4
2
2
2
2
8 I 2
h 8 dt h 'dl3 M v
v
* '' 12 dx\ " 6 ^ ' h d dx 2
h dl3 10 8Xl
+(
' " 8l3 \ 4
h* d*m3 2(l+v)p __
2
Jt 8 k! . h* 3m3
' 80 3x? ' 20
4
2
, h d k 1 1
- 112 dx\ 4
h dm3
28 5 ^
297
P ASM O P Ł YTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ Z AM I
20
[cd.]
28
144
Równania (4.2) moż na rozseparować n a dwa niezależ ne ukł ady. Pierwszy obejmuje
równania (4.2)i i (4.2)4 zawierają ce niewiadome fl, d3. Jest on identyczny jak ukł ad
równań (2.2)x i (2.2) 4 . D rugi ukł ad stanowią pozostał e równania (4.2) zawierają ce niewiadome funkcje dlt k i}fSsl3, m 3.
Ogólne rozwią zanie ukł adu równań (4.2), po uwzglę dnieniu antysymetrii skł adowej
przemieszczenia uu otrzymano w nastę pują cej postaci:
140(1 ~2v) xa
35(1- 2^)
4 - W
35(1
1
+ ^ 2 )
2(2- v){l+v)p
3
Eh
298 (4- 3) [c.d.] M. MARKS
_h>r[v(l- v)h> ^ ~ T oLl 140(1- 2*)
3
+
vW 35(1- 2*) x a, rr Hi- 2)
U l +
A*[ ( 1- v) 2
12 [280(1- 2
a ++
3 5 ( 122v)
v) 22 140( l- 2r) 35(1-
2
2
L 140(1- 2»0 (^ + 3 ) _ 2
2
i + * 35(1 - I v) ' (
12\ 280( 1-
^ 2 + 6 2 + 12
•
f
. . / L 2 Jł i J 2 Si i ^ L / ^ *\ i O JS
X \ — U 0% ~T (* @2 i A,DCtOi) ~j~ JÓ
PASMO PŁ YTOWE JAKO CIAŁ O Z WIĘ ZAMI 299
Nasyci+ v)/ > > 3(5- 3y)(l+ y)j?
£/ i3 ix
** 3QJ&
lx
(e ^ + e- ' ') ó2oosbxl
gdzie
A*
2 4
240(1 - 2v) 2(1 - 2v)
2)
240(1—2)*) 2(1— 2v)
X =
natomiast a, —a, d+tb, —(d+ib), d—ib, —{d—ib) są pierwiastkami równania
840 1680(41- 46- )
4233600
Warunki (1.3) i (1.6) na powierzchniach x( = a o normalnej n = (1,0,0) i Xj = — a'
o n = (— 1, 0, 0) są równoważ ne nastę pują cy
m zależ noś cio
m
- o,
300 r M . MARKS
_(l+v)O- 2v)l\ 2M x7 "2o~\ * a* /
4p
12 a* k B )
\ 6(l+v)pa
T44 dx, \ (Xl=n) lEh •
Warunek (4.4) 2 jest speł niony toż samoś ciowo
. Z warunków (4.4),, (4.4) 3 i (4.4) 4 wynikają
nastę pują ce relacje
Ex = 0,
A2 - M-
Pa2
Z '
E 2 = 0,
N atomiast zależ nośi c (4.4) 5 , (4.4) 6 i (4.4)T tworzą ukł ad trzech równań jednorodnych,
których wyznacznik przy realnych stał ych materiał owych i wymiarach jest róż ny od zera,
zatem Ci = M t = M z = 0.
Po uwzglę dnieniu wyznaczonych stał ych i wprowadzeniu współ izę dnych bezwymiarowych, skł adowe przemieszczenia mają nastę pują cą postać:
u2 = 0,
3(520
Skł adowe stanu naprę ż enia wyraż aj
ą się nastę pują cymi wzorami
"33 = - if- jP
ai2 = a23 m 0.
P ASM O P ŁYTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ ZAM I
301
ą , [kG/ cm2]
- 181,7 181,7 ' o"' 0,0427 - 0,0808 - 0,1098 _- >72,3 172,3 „ H4,2 0,0427 0,0803 0,1098 - 97,3 - 31,7
913
- 0,1253
- 1199 O - 144,2 \ j- 1lO5 U- 14,23 ti- 9,55
L
0,1253
35,85 klG/ 2]
33,97 28,35 18,57 5,85
- 0,42
±25 IM.25 li- 0.25 14- 0,25
R ys. 5
Sił y reakcyjne obję toś ciowe (1.4)x i powierzchniowe (1.4) 2 i (1.4) 3 są równe zero, a zatem
uzyskano ś cisłe rozwią zanie pasma pł ytowego w sensie klasycznej teorii sprę ż ystoś .ci
N a rys. 5 pokazan o wykresy przemieszczeń i naprę ż eń w przekrojach fx równych:
0, - j, - =- , - j> *> przyjmują c identyczne dane jak w przykł adach liczbowych w rozdział ach 2 i 3. , .
5. Wnioski
D ysponują c rozwią zaniem pasma pł ytowego w zał oż eniach klasycznej teorii sprę ż y
stoś ci i rozwią zaniami uzyskanymi wg teorii z wię zami moż na okreś lić zależ nośi cmię dzy
7a. i 4< (1.10) a ś rednimi i maksymalnymi bł ę dami w skł adowych naprę ż enia i przemieszczenia rjij, @i (1.8) oraz wielkoś ciami My, g( (1.9) [2].
W przypadku, gdy funkcja przemieszczeń przyję ta jest w postaci w( = q>i + diX3 wielkoś ci ya i da są nastę pują ce
• yx = 0,0556 y2 = 0,5362 ój. = 0,1945
<52 = 0,7453
302
M. MARKS
Wielkoś ciom tym odpowiadają nastę pują ce odchylenia zestawione w tablicy 5.1.
Tablica 5.1.
Xu, Qt
0,0002
0,2456
64,08
0,3849
0,0615
0,0620
<*22
°33
tfia
«3
0,0015
0,6841
178,20
2,00
0,2086
0,0976
W przypadku, gdy funkcja przemieszczeń przyję ta jest w postaci Mj = y>t 4- dt x3+k t x\
wielkoś ci ya i da są nastę pują ce
yx = 0,0492, y2 - 0,0013, dl - 0,1694
d2 = 0,3710.
Wielkoś ciom tym odpowiadają nastę pują ce bł ę dy zestawione w tablicy 5.2.
Tablica 5.2.
Oli
°22
O33
rf13
«1
«3
0,0002
0,0077
2,1076
0,3409
0,0011
0,0009
0,0015
0,0822
22,04
2,6960
0,0163
0,0020
Z powyż szych zestawień wynika, że za pomocą uogólnionej teorii Reissnera (1 = 1)
moż na wyznaczyć przemieszczenia oraz naprę ż enia norm alne <r u i <r22> natomiast nie
może ona sł uż yć do wyznaczania naprę ż eń a33. N aprę ż enia styczne wyznaczone na podstawie tej teorii są stał e na cał ej wysokoś ci pł yty, podczas gdy wg rozwią zania klasycznej
teorii sprę ż ystośi c zmieniają się parabolicznie wzdł uż jej wysokoś ci. Ś redni
e naprę ż enia
w obu rozwią zaniach są jednakowe a najwię ksze róż nice wystę pują na krawę dziach pł yty.
Nie ma to jednak istotnego znaczenia ze wzglę du n a nieznaczne Wartoś ci tych naprę ż eń
wobec naprę ż eń normalnych.
Wielkoś ci yx i d1 maleją do zera gdy stosunek wysokoś ci pł yty do jej szerokoś ci dą ży
do zera. N atomiast wielkoś ci y2 i <52 dą żą wówczas do granicy róż nej od zera. Wynika
stą d, że uogólniona teoria Reissnera nie jest ś cisła nawet dla pł yt bardzo cienkich.
Rozwią zanie przy / = 2 jest znacznie dokł adniejsze niż przy / = 1. Przemieszczenia
oraz naprę ż enia normalne wyznaczone są w pł ycie w sposób prawie dokł adny.
Jedynie na powierzchniach brzegowych x t = ±a naprę ż enia a33 znacznie róż nią się
od wyznaczonych wg klasycznej teorii sprę ż ystoś . ci N aprę ż enia styczne a13 zachowują
się podobnie jak w rozwią zaniach przy / = 1.
N atomiast wszystkie wielkoś ci ya i da dą żą do zera gdy stosunek wysokoś ci do jej
szerokoś ci maleje do zera.
PASMO PŁYTOWE JAKO CIAŁO Z WIĘ ZAMI 303
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. GUTKOWSKI, W. N OWACKI, Cz. WOŹ NIAK, Dź wigary powierzchniowe, Ossolineum 1975.
2. M. MARKS, Pł yty w uję ciu mechaniki ciał z wię zami (w druku).
3. Cz. WOŻ NIAK, Nonlinear mechanics of the constrainedand' discreatizedmaterial contimia, wykłady w Udine
1973.
4. Cz. WOŹ NIAK, Constrained Continuous Media, Part I, I I , III, Bull. Acad. Polon. Sci, sci. techn., N o
' 3, 4—1973.
5. Cz. WOŹ NIAK, Nonlinear mechanics of constrained material continua I. Foundations of the theory, Archives of Mechanics, 26, 1 — 1974.
6. Cz. WOŹ NIAK, Elastics bodies, with constrains imposed on deformations stresses and momenta, Bull.
Acad. Polon. Sci., sci. techn. 22, 1974.
7. Cz. WOŹ NIAK, Analitical mechanics of elastic media, wykł ady w Udine, 1975.
P e 3 IO M e
AH AJI H 3 n O J I O C t l KAK TEJIA CO CBH 3H MH
B pa6oTe pacciwoTpeHa npo6jiejwa aHanH3a nojiocw c TOIKH 3peHHH iwexaHMKH Ten co cBH3HMrt.
IIpHHHittaH (bymopno nepeiwemeHHii B BHfle creneH Koro pH «a oTHocifrejrKHo BepTHKajn>Hoft nepeMeHHoft
ncwrytieHO HcxoflHyio ctfereMy ypaBHeHHił. 3aflaia nojiocbi pemeH a pflK Tpex pa3Jtat!Hfaix BHSOB dj)yHi<r<HM
nepeMemeHHft. B flByx cjryyaax CHJIBI peaKi^an nojiyneH bi o u n p u rt ie OT HyjiH, B O#HOM paBHbi Hyjnoj
3H aiirr pemeHHe B TpeTHM cjry^tae oTBeMaer nojryieHHOMy MeTo«aMH KJiacciWecKOH MexaHUKH cnjiounioH
cpeflw. CHUIŁI peaiojsM OTJIH IKŁI OT HyjiH flonycKaioT oaeion rrt TOHHOCTŁ peuieHUH nony^reiojoro MeTOiwexaHUKM cpeflbi co CBH 3«MH . B3aUMO3aBHCHMOCTb CMJI peaKLjMH H TO^HOCTH pemeHHH nponnunoHHCJieHHblMH
Summary
ANALYSIS OF TH E BAN D PLATE CON SID ERED AS A CON STRAIN ED BODY
The elastic band plate is solved as a body with internal constrains. To obtain the basic equations
the deformation function is assumed in the form of polynomial series. The problem of the band plate is
solved for three cases of the deformation function. In two cases the reaction forces disappear. The nonvanishing reaction forces describe a degree of accuracy of the solutions. The relation between the reaction
forces and the accuracy of the solutions is given and a general criterium is proposed.
IPPT PAN
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 18 sierpnia 1978 r.