2. Obliczanie strat siły sprężającej

Komentarze

Transkrypt

2. Obliczanie strat siły sprężającej
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.
2.1.
dr inż. Zbigniew Plewako
Obliczanie strat siły sprężającej
Charakterystyki geometryczne przekrojów
Właściwości przekrojów w konstrukcjach sprężonych wymagają uwzględnienia zróżnicowanych cech sprężystych
tworzących je materiałów – głownie zbrojenia sprężającego i zwykłego, a także – w odpowiednich przypadkach
elementów zespolonych. Konieczna jest wzajemna wieź elementów przekroju, zapewniająca przekazywanie
odkształceń i naprężeń. W tym świetle cięgna bez przyczepności lub zewnętrzne, nie maja wpływu na
charakterystyki geometryczne przekrojów. Uwzględnienie różnych materiałów tworzących przekrój ma swoje
odzwierciedlenie w nazewnictwie: mówimy o przekrojach sprowadzonych i o charakterystykach sprowadzonych.
Odmienność sprężystości poszczególnych materiałów uwzględnia się stosując współczynniki proporcjonalności
modułów sprężystości
p 
Ep
E cm
; s 
Es
En
;  c  cm
Ecm
Ecm
(2-1), (2-2), (2-3)
gdzie: Ecm – moduł sprężystości betonu podstawowego
Ep – moduł sprężystości cięgien sprężających
Es – moduł sprężystości stali zbrojenia pomocniczego
Encm – moduł sprężystości betonu zespolonego
=
A

+
Ac
Ap
Acs
Rys. 2.1-1 Pole powierzchni przekroju sprowadzonego
Pole powierzchni przekroju sprowadzonego pokazanego na Rys. 2.1-1 określa wzór:


A cs  A c  p Ap  A  p  1 A p
(2-4)
gdzie: Ac – pole powierzchni przekroju netto betonu podstawowego
Ap – pole powierzchni przekroju cięgien sprężających
A – pole powierzchni przekroju brutto betonu podstawowego
W analogiczny sposób uwzględniamy inne materiały w przekroju, obliczając zgodnie z zasadami geometrii pól:
 Scs – moment statyczny przekroju
 ycs – położenie środka ciężkości przekroju (CGC),
Katedra Konstrukcji Budowlanych
1/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
 Jcs – moment bezwładności,
 ep – mimośród cięgien (siły sprężającej) - Rys. 2.1-2.
CGC=CGS
ep
CGC
CGS
Ap
Rys. 2.1-2 Położenie środka ciężkości przekroju i cięgien (siły sprężającej)
Katedra Konstrukcji Budowlanych
2/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.2.
dr inż. Zbigniew Plewako
Siła sprężająca i straty sprężenia. Wprowadzenie
Najważniejszą zmienną w elementach sprężonych jest siła sprężająca. Siła sprężająca nie jest stała w czasie. Jej
zmienność, a w zasadzie spadek, jest skutkiem wielu zjawisk występujących zarówno w procesie sprężenia jak i w
czasie życia konstrukcji. Ogólnie określa się ten efekt jako straty sprężenia.
Oznaczenia
P0,max – maksymalna siła naciągu w czasie sprężania
Pm0 – siła sprężenia bezpośrednio po zakończeniu procesu sprężania
Pmt – siła sprężająca w czasie t (zazwyczaj t → ∞, czyli Pm∞)
Powyższe oznaczenia odnoszą się do siły nominalnej tj. określonej lub obliczonej w projekcie i zarejestrowanej
przy prowadzeniu naciągu.
Podział strat siły sprężającej
Generalny podział rozróżnia straty doraźne, ujawniające się bezpośrednio po zakończeniu procesy sprężania, i
straty opóźnione rosnące wraz z czasem występowania zjawisk które je wywołują. Dodatkowym pojęciem są tzw.
straty trwałe, obejmujące wszystkie straty w całym okresie życia konstrukcji.
Z uwagi na odmienność procesów technologicznych, źródła strat doraźnych i ich wielkość są inne w technologii
strunobetonu i kablobetonu. Straty opóźnione dla wszystkich konstrukcji sprężonych są wynikiem tych samych
zjawisk. Ilustruje to schemat na Rys. 2.2-1.
Straty
Doraźne
Strunobeton
Tarcie
Relaksacja
Kablobeton
Temperatura
Sprężyste
Tarcie
Poślizg
Sprężyste
Opóźnione
Pełzanie
Skurcz
Relaksacja
Rys. 2.2-1 Podział strat sprężenia
Katedra Konstrukcji Budowlanych
3/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Zmienność siły sprężenia w czasie życia różnych rodzajów elementów sprężonych pokazano na Rys. 2.2-2 do
Rys. 2.2-4.
P
Fpk
Pm,0
 pmt
Pm,t
betonowanie
elementu
Fpd = 0,9/1,15fpkAp. = 0,78Fpk
zarysowanie przekroju
Sytuacja trwała
Sytuacja początkowa
Pt(t1) –
straty relaksacji
cięgien, skurczu i
pełzania betonu
(w czasie t1)
nośność obliczeniowa
(zerwanie cięgien)
dojrzewanie betonu
naciąg cięgien
sprężających
straty trwałe
Pir – straty początkowej relaksacji
PT – straty termiczne
Pc – straty sprężyste
Pt(t) – straty
reologiczne
(opóźnione)
P(x) – straty tarcia
(tylko na dewiatorach)
 0,75fpk

0,85fp0,1k
Wzrost obciążenia
P0
 pm0
nośność
charakterystyczna
Straty własne siłowników naciągowych
(w tym poślizg w zakotwieniach)
P0 – straty
doraźne
 p0,max
Fpk
 0,80fpk

0,90fp0,1k
Zwolnienie zewn
naciągu
SPRĘŻENIE
t0
t1
t
Rys. 2.2-2 Zmiany siły w cięgnach w życiu konstrukcji strunobetonowej
P
Fpk
 p0,max
Fpk
 0,80 fpk

0,90f p0,1k
nośność
charakterystyczna
naciąg cięgien
sprężających
betonowanie
elementu
Fpd = 0,9/1,15fpkAp. = 0,78Fpk
zarysowanie przekroju
Sytuacja trwała
Pm,t
Sytuacja początkowa
 pmt
kotwienie cięgien
sprężających
t0
straty trwałe
Pc – straty sprężyste
(tylko przy kolejnym naciągu cięgien)
Pt(t 1) –
straty relaksacji
cięgien, skurczu i
pełzania betonu
(w czasie t1)
Pm,0
Sytuacja początkowa
nośność obliczeniowa
(zerwanie cięgien)
Pt(t) – straty
reologiczne
(opóźnione)
Psl – straty poślizgu w zakotwieniu
P0 – straty
doraźne
P(x) – straty tarcia
 0,75fpk
 pm0  
0,85 fp0,1k
Wzrost obciążenia
Straty własne siłowników naciągowych
P0
t1
t
Rys. 2.2-3 Zmiany siły w cięgnach w życiu konstrukcji kablobetonowej
Katedra Konstrukcji Budowlanych
4/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
P
Fpk
Psl – straty poślizgu w zakotwieniu
naciąg cięgien
sprężających
Pd << Fpd
Fpd = 0,9/1,15fpkAp. = 0,78Fpk
nośność obliczeniowa
(zmiażdżenie betonu)
zarysowanie przekroju
Sytuacja trwała
Pm,t
Sytuacja początkowa
 pmt
Wzrost obciążenia
Pc – straty sprężyste
(tylko przy kolejnym naciągu cięgien)
Pt(t1) –
straty relaksacji
cięgien, skurczu i
pełzania betonu
(w czasie t1)
Pm,0
Sytuacja początkowa
kotwienie cięgien
sprężających
t0
straty trwałe
P(x) – straty tarcia
 0,75 fpk
 pm0  
0,85 fp 0,1k
nośność charakterystyczna
(zmiażdżenie betonu)
P0 – straty
doraźne
P0
betonowanie
elementu
P  Fpk
Straty własne siłowników naciągowych
Pt(t) – straty
reologiczne
(opóźnione)
 0,80 fpk
 p0,max  
0,90 f p0,1k
t1
t
Rys. 2.2-4 Zmiany siły w cięgnach w życiu konstrukcji z cięgnami bez przyczepności
Katedra Konstrukcji Budowlanych
5/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.3.
dr inż. Zbigniew Plewako
Straty doraźne
2.3.1.
Straty do tarcia
Strata wskutek tarcia drutów lub splotów albo prętów o ścianki kanału kablowego jest typowa i podstawową stratą
uwzględniana w konstrukcjach kablobetonowych i z cięgnami bez przyczepności. W strunobetonie występuje
jedynie wówczas, gdy cięgna są napinane w formach lub stanowiskach zaopatrzonych w dewiatory odchylających
prostoliniową trasę cięgien.
Kablobeton
Tarcie powstaje w wyniku celowego zakrzywienia trasy kanału kablowego, ale także w wyniku falowania
nominalnie prostej trasy w wyniku niedokładności stabilizacji kanału kablowego.
Równowagę zakrzywionego cięgna na wycinku o kącie rozwarcia d i długości dx przedstawia Rys. 2.3-1.
d
P+dP
R
d
N
P
P
N
P+dP
dx
Rys. 2.3-1 Rozkład sił na wycinku kabla
P – siła w odległości x od siłownika naciągowego
R – promień krzywizny wycinka łuku
Z warunku równowagi sił pionowych na wycinku otrzymujemy:
d
 d 
 d  d 
N  2P sin   , dla małych kątów: sin   
; stąd N  2P
 Pd
2
 2 
 2  2
(2-5)
N  Pd
(2-6)
Tarcie na długości dx jest równe:
Katedra Konstrukcji Budowlanych
6/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Czyli, tarcie zależy od następujących zmiennych:

Współczynnika tarcia (),

Krzywizny kabla (d),

Siły sprężającej (P).
Falowanie kanału kablowego zależy od:

Sztywności osłony,

Średnicy osłony,

Rozstawu podpór osłony

Rodzaju kabla,

Rodzaju konstrukcji
Zakłada się, że tarcie wywołane falowaniem jest proporcjonalne do:

Długości kabla,

Siły sprężającej
Dla kabla o długości dx tarcie wskutek falowania jest wyrażane jako kPdx, gdzie k jest współczynnikiem falowania
wyrażanym jako kąt falowania na jednostkę długości kabla.
Rozpatrując warunki równowagi sił poziomych w rozpatrywanym wycinku otrzymujemy:
P  P  dP  ( Pd  kPdx ) , stąd: dP  ( Pd  kPdx )
(2-7)
dP
 ( d  kdx ) .
P
Czyli, otrzymujemy równanie różniczkowe:
Jego rozwiązanie ma postać:
Px
x


dP




d


k
dx
P
 

P
0
0

0
ln P
ln
Stąd:
Px
P0
   kx 
Px
   kx 
P0
Px  P0e  (   kx )
(2-8)
A strata na odcinku x (przy kącie odgięcia ) wynosi

P ( x )  P0  Px  P0 1  e (   kx )

(2-9)
Gdzie P0 jest siłą sprężającą przyłożona do zakotwienia czynnego za pomocą siłownika naciągowego.
Dla małych wartości  + kx, powyższe wyrażenie można uprościć korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora:
Px  P0 1    kx 
Katedra Konstrukcji Budowlanych
(2-10)
7/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Oznacza to, że dla kabli o pojedynczej krzywiźnie, siła sprężająca zmniejsza się liniowo począwszy od zakotwienia
czynnego. Ilustruje to Rys. 2.3-2:
Zakotwienie
bierne
Zakotwienie czynne
Px
P0
Rys. 2.3-2 Siła sprężenia zredukowana tarciem
Wartość współczynnika tarcia zależy od rodzaju i stanu powierzchni kontaktu, zaś współczynnik falowania
(wyrażany jako kąt niezamierzonego falowania cięgien odniesiony do jednostki długości), od budowy i sztywności
kabla.
Dane te powinny być dostarczone przez dostawcę systemu sprężania, ale w przypadku ich braku Eurokod podaje
wartości przeciętne:
- dla współczynnika tarcia  w kablach wewnętrznych:

Drut zimno ciągniony
0,17

Splot
0,19

Pręt żebrowany
0,65

Pręt gładki
0,33
- dla niezamierzonego kąta falowania trasy: 0,005 ≤ k ≤ 0,01 [rad/m]
W konstrukcjach sprężonych przebieg kabli ma najczęściej postać paraboli – krzywej 2-go stopnia. W celu
identyfikacji kąta a w dowolnym przekroju konieczna jest znajomość analitycznej postaci tej krzywej i wynikających
z niej wielkości.
x
r
e0
X
emax
x
x
L/2
L
e(x)
Rys. 2.3-3 Geometria trasy kabla parabolicznego
Katedra Konstrukcji Budowlanych
8/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Ogólne równanie paraboli trasy kabla ma postać:
e( x ) 
4e
2
L
x2 
4e
x  e0
L
(2-11)
gdzie e  emax  e0
Tak samo, trasa indywidualnego kabla: ei ( x ) 
4ei 2 4ei
x 
x  e0 przy e i  e i ,max  e i ,0
L
L2
Kąt nachylenia trasy kabla wypadkowego do osi podłużnej elementu w dowolnym punkcie trasy opisuje równanie:
 de( x )  4e
( x )  arctan
  2 ( 2x  L )
L
 dx 
Na czole elementu (x = 0): 0  
elementu (x = L): L 
4 e
; w połowie rozpiętości elementu (x = L/2):
L
L / 2  0
i
na
końcu
4e
.
L
Kąt odgięcia trasy kabla od czoła elementu (zakotwienia czynnego) w dowolnym punkcie trasy:
( x )  ( x )   0 
w połowie rozpiętości elementu (x = L/2):  L / 2   L / 2   0 
na końcu elementu (x = L):
Średni promień krzywizny trasy kabla:
Zależność kąta od odległości x:
L  L  0 
r
8e
x
L2
(2-12)
4e
;
L
8 e
L
L
L2

 L 8 e
( x ) 
(2-13)
x
r
(2-14)
Strunobeton
W strunobetonie strata na dewiatorach ma charakter punktowy, czyli rozkład siły sprężenia na długości elementu
jest stały na odcinkach pomiędzy dewiatorami. Analogicznie jak w przypadku kablobetonu, stratę siły sprężającej
(za dewiatorem) określa wzór (2.1-9):

P ( x )  P0  Px  P0 1  e 

(2-15)
Oczywiście, nie uwzględnia się falowania cięgien, bo są one napinane „w powietrzu”.
Podobny charakter jak w strunobetonie mają charakter straty sprężania w cięgnach zewnętrznych, w których kable
są lokalnie podparte i odchylone w przeponach lub poprzeczkach.
Katedra Konstrukcji Budowlanych
9/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.3.2.
dr inż. Zbigniew Plewako
Straty do poślizgu cięgna w zakotwieniu
Kotwieniu cięgien, zwłaszcza w zakotwieniach szczękowych, towarzyszy wślizg cięgna w głąb zakotwienia (wraz
ze szczękami) i „osadzenie się” całego zakotwienia w betonie (por. Rys 1.2-9). Powoduje to redukcję efektywnego
wydłużenia właśnie o tę wartość wślizgu, a tym samym, redukcje siły sprężającej.
Wartość wślizgu zależy od sposobu kotwienia i budowy zakotwienia i jako cecha technologiczna systemu powinna
być dostarczana przez producenta. Przeciętnie wślizg w zakotwieniach szczękowych wynosi 46 mm, w
zakotwieniach gwintowych do 1 mm.
Zakotwienie
bierne
Zakotwienie czynne
Px
P0
Rys. 2.3-4 Efekt wślizgu
Elementy kablobetonowe
P0
Px
Psl,0
P’x
Po naciągu
Po zakotwieniu
Poza wpływem poślizgu
xcr
Rys. 2.3-5 Siła sprężająca z uwzględnieniem tarcia i wślizgu w elemencie kablobetonowym
Wartość straty oblicza się rozpatrując równowagę sił w przekroju xcr.
Siła sprężająca obciążona stratą tarcia w przekroju xcr jest opisana równaniem (2.1-10):
Px  P0 1  cr  kxcr 
Katedra Konstrukcji Budowlanych
10/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Uznajmy, że kąt  jest liniowo zależny od odległości x zgodnie z równaniem (2.1-14). Po podstawieniu z równania
(2.1-13) otrzymujemy:
 

1

Px ,cr  P0  1  x cr  kx cr   P0  P0 x cr   k 
r


r

(2-16)
Zakładając analogiczny rozkład straty wywołanej wślizgiem na odcinku xcr, można przyjąć, że:
1

Px' ,cr  P0  Psl ,0   P0 xcr   k 
r

(2-17)
w przekroju xcr obie siły są równe, czyli:
1

1

P0  P0 xcr   k   P0  Psl ,0   P0 xcr   k 
r

r

1

Psl ,0  2P0 xcr   k 
r

Stąd:
(2-18)
Wartość straty wślizgu w dowolnym przekroju x < xcr wywołuje spadek odkształcenia o wartość:
 p 
x cr
a całkowite skrócenie równe wślizgowi asl:
L 

0
Psl , x
ApE p
Psl , x
ApE p
dx  asl
Przyjmując, że strata Psl,x jest liniowo zależna od x i Psl(x=xcr) = 0 otrzymujemy:
2
2P0 xcr2  1
 P0 xcr
asl 
  k  
ApE p 2  r
 ApE p
1

 k
r

Stąd, odległość przekroju xcr zasięgu straty wślizgu od zakotwienia naciągu:
xcr 
asl ApE p
1

P0  k 
r

(2-19)
Przy zakotwieniu czynnym, strata od wślizgu wynosi (z równania (2.1-18), po przekształceniach):
Psl,0  2P0
asl A pEp
1

1

  k   2 a slP0 A pEp  k 
r
1
 r



P0  k 
r

(2-20)
W dowolnym przekroju x ≤ xcr strata od wślizgu wynosi:
1

1

1

Psl ( x )  Px  Px' ,cr  P0  P0 x  k   P0  Psl ,0  P0 x  k   Psl ,0  2P0 x  k 
r

r

r

Podstawiając za Psl,0 wartość ze wzoru (2.1-20) otrzymujemy:
Katedra Konstrukcji Budowlanych
11/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
1

1

Psl ( x )  2 asl P0 ApE p  k   2P0 x  k 
r

r

Wyznaczając ze wzoru (2.1-19) P0 
(2-21)
asl ApE p
i po podstawieniu do powyższego, po uproszczeniu:

2 1
xcr   k 
r

Psl ( x )  2asl
xcr  x
ApE p
2
xcr
(2-22)
Uwzględnienie straty poślizgu w konkretnych obliczeniach zależy do zasięgu efektu– xcr w stosunku do położenia
przekrojów, w których wartość siły sprężająca jest istotna z punktu widzenia pracy konstrukcji.
Dla dużych kątów  nie powinno korzystać się z uproszczenia wzoru (2.1-9) do liniowego (2.1-10). Natomiast
wówczas można pominąć efekt falowania (k = 0 rad/m)
Stosując do wyznaczenia położenia przekroju xcr analogiczny tok rozumowania otrzymujemy:
Równowaga sił w przekroju xcr:
Px .cr  Px' ,cr


x
uwzględniając   : P0  P0  1  e

r

x cr
r
x


  cr
  P   P   P  1  e r
0
sl ,0
0




Psl ,0
xcr
Całkowite skrócenie równe wślizgowi asl: asl 

0
Stąd:
xcr
x

  cr

 2P0 1  e r










Psl ,x
r P0
dx 
Ap E p
 Ap E p


r 
1
 ln
 
asl ApE p
1


rP0








x

  cr
1  e r






2
(2-23)
Elementy strunobetonowe
W tym przypadku położenie przekroju xcr determinują dewiatory, a siła sprężająca pomiędzy nimi jest stała.
Rozkład sił w elemencie strunobetonowym przedstawia Rys. 2.3-6.
Katedra Konstrukcji Budowlanych
12/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
P0
Psl
Px
P’0
Po naciągu
2
ldev  xcr
 h2
Po zakotwieniu
Poza wpływem poślizgu
h
xcr
Rys. 2.3-6 Siła sprężająca z uwzględnieniem tarcia i poślizgu w elemencie strunobetonowym z dewiatorem
Wartość straty opisuje wzór:
Psl 
asl
A pEp
ldev
(2-24)
gdzie ldev – długość cięgna na odcinku pomiędzy czynnym zakotwieniem technologicznym a dewiatorem.
Jeśli ta strata będzie ponad dwukrotnie większa od straty tarcia na dewiatorze (efekt tarcia odwrotnego) Psl >
2P, to jej część „przeniesie się” poza dewiator. Wówczas przed dewiatorem powstanie strata Psl, a poza nim
strata Psl,dev.
P0
P
Psl
Px
Psl,dev
P
Po naciągu
Po zakotwieniu
ldev
lm
Rys. 2.3-7 Siła sprężająca, gdy strata wślizgu sięga poza dewiator
Podstawowe relacje, zgodnie z Rys. 2.3-7, przedstawia układ równań:
Psl  2P  Psl,dev
 P
Psl,dev

sl
 A E ldev  A E lm  a sl
p p
p p






  p
 p
Rozwiązanie tego układu pozwala na wyznaczenie strat na obu odcinkach:
asl
lm

Psl  ApEp l  l  2P l  l
dev
m
dev
m

asl
ldev
Psl,dev  ApEp
 2P

ldev  lm
ldev  lm
Katedra Konstrukcji Budowlanych
(2-25)
13/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.3.3.
dr inż. Zbigniew Plewako
Strata sprężysta
Elementy strunobetonowe sprężone osiowo
Konstrukcja staje się sprężona, gdy zwolniony zostanie zewnętrzny naciąg cięgien. Działająca na beton ściskająca
siła sprężająca wywoła w nim odkształcenie równe:
c 
P0
Ec A c
(2-26)
To odkształcenie powoduje także skrócenie siły w cięgnach, czyli spadek siły sprężającej o wartość:
 P  Pc
Pc  A pEp p  A pEp  0
 Ec A c
Rozwiązując:
Pc  P0
 Ep A p

 E A P0  Pc 
c
c

(2-27)
Ep
Ap
Ep
Ec
Ac 
Ap
Ec
Po wykorzystaniu oznaczeń za wzoru (2.1-4): Pc  P0 p
Ap
A c   p Ap
 p
Ap
A cs
P0
(2-28)
Elementy strunobetonowe sprężone mimośrodowo
Analogicznie do poprzedniego przypadku można opisać odkształcenie i stratę sprężystą w sytuacji mimośrodowo
działającej siły. Odkształcenie betonu w osi cięgna jest równe:
p  c 
P0 ep
P0

ep
E c A cs Ec Jcs
 P
 1
P e2 
ep2 
Czyli strata siły sprężającej : Pc  A pEp p  ApEp  0  0 p   p A p 

P
 Ec A cs Ec Jcs 
 A c Jcs  0




(2-29)
Elementy kablobetonowe
W konstrukcjach kablobetonowych już podczas wstępnego naciągu beton jest podany równoważnej sile, a
skrócenie sprężyste jest skompensowane większym wysuwem siłownika naciągowego.
Sprężyste skrócenie
betonu
Wydłużenie kabla przy
naciągu
Zakres wysuwu tłoka
naciągarki
Rys. 2.3-8 Skrócenie betonu podczas naciągu – brak wpływu na siłę
Katedra Konstrukcji Budowlanych
14/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Tym nie mniej, jeśli sprężanie prowadzone jest kolejno dla poszczególnych kabli (lub grup kabli), ta strata
sprężysta wystąpi. Otóż naciąg kolejnego kabla powoduje skrócenia wcześniej naciągniętego i zakotwionego kabla
i spadek siły w tym kablu.
Rozważmy przypadek dwóch grup kabli umieszczonych tak, by każda grupa sprężała przekrój osiowo. Załóżmy
jednakową siłę naciągu każdej grupy równą P0/2.
Sprężyste skrócenie
kabli 
1
2
2
Po 2 etapie naciągu
Po 1 etapie naciągu
Przed naciągiem
1
Rys. 2.3-9 Skrócenie betonu podczas sekwencyjnego sprężenia – strata siły (w 1 grupie kabli)
Naciąg pierwszej grupy nie wywołuje straty zgodnie z wcześniejszym ustaleniem. Naciąg kolejnej grupy siłą P0/2
spowoduje skrócenie betonu o wartość odkształcenia zgodnie ze wzorem (2.1-26):
c 
1 P0
2 Ec A c
(2-30)
Konsekwentnie, ale dla przekroju netto Ac (bo kable nie mają przyczepności), w kablach pierwszej grupy o
przekroju Ap/2 – napiętych wcześniej –wystąpi strata:
Pc  p
Ap
1 Ap
1
P0  p
P0
2 2A c
4
Ac
(2-31)
Porównując z wynikiem dla elementu strunobetonowego (2.1-28) widać, że w przypadku kolejnego naciągu kabli
strata występuje, ale ma wielokrotnie mniejszą wartość. Poszerzając ten przypadek na większą ilość kabli i
sekwencji naciągu otrzymuje się wzór ogólny:
Pc 
n  1 Ap
p
P0
2n
Ac
(2-32)
gdzie n jest liczbą sekwencji naciągu.
Podobnie można wyznaczyć wartość straty w i-tej grupie kabli (kolejnej sekwencji) przy naciągu n-sekwencyjnym:
Pc,i 
Katedra Konstrukcji Budowlanych
ni
2
n
p
A p,i
Ac
P0
(2-33)
15/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
W przypadku kabli sprężających mimośrodowo, dochodzi jeszcze jedno zagadnienie. Siła sprężająca P0 działając
na zmiennym na długości elementu mimośrodzie ep(x) wywołuje w betonie różne odkształcenia c. Ponieważ kable
nie mają przyczepności (przynajmniej w tym czasie), zmiana ich odkształcenia nie jest związana z konkretnym
przekrojem, ale skróceniem L całej trasy kabla:
p 
L
L
(2-34)
gdzie L jest długością kabla przed procesem naciągu.
Skrócenie L jest sumą skróceń trasy kabla w poszczególnych przekrojach, co można przedstawić równaniem:
L
 P
P0ep ( x)2 
L   0 
dx
 Ec A c
Ec Jc 

0

(2-35)
Podstawową rolę w rozwiązaniu odgrywa postać funkcji ep(x).
Dla trasy parabolicznej korzystamy ze wzoru (2.1-11). Przy uproszczeniu e0 = 0 i oznaczeniu e = ep, z pewnym
przybliżeniem rozwiązanie równania (2.1-35) ma postać:
 1
ep2 
L  L

P
 Ec A c 2Ec Jc  0


Stąd:
p 
ep2 
L  1


P0
L  Ec A c 2Ec Jc 


Z uwzględnieniem sekwencyjności strata wynosi:
P 
Analogicznie, dla trasy trójkątnej:
 1
ep2 
n 1
n 1
pEp A p 
p A p 

P
 A c 2Jc  0
2n
2n


P 
 1
e2p 
n 1
p A p 

P
 A c 3Jc  0
2n


Ogólnie, dla tras wielokrotnie załamanych (np. płyty i belki ciągłe) można przyjąć, że w tym przypadku efekt
mimośrodu zanika i stratę można obliczać ze wzoru (2.1-29). Dodatkowo, w płytach ciągłych, dla dużej liczby kabli
naciąganych sekwencyjnie
n 1
1
 . W tym przypadku:
2n
2
:
Katedra Konstrukcji Budowlanych
P 
Ap
1
p
P0
2
Ac
16/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.4.
dr inż. Zbigniew Plewako
Straty reologiczne (opóźnione)
2.4.1.
Wprowadzenie
Straty reologiczne są wywołane następującymi zjawiskami;
Skurczem betonu
Pełzaniem betonu
Relaksacją stali sprężającej
Choć zjawiska te analizuje się niezależnie, to Eurokod straty wywołane tymi zjawiskami uwzględnia w jednym
wzorze, ujmującym wzajemne zależności zjawisk. Co więcej, można wyznaczyć wartość strat w konkretnym
czasie, choć zazwyczaj określa się tzw. straty końcowe, dla końcowego momentu życia, czy eksploatacji
konstrukcji. Konieczność rozpatrywania strat w konkretnych etapach życia konstrukcji może wynikać ze zmiany jej
warunków pracy (obciążenia, schematu statycznego), np. w czasie skomplikowanej realizacji (mosty, elementy
zespolone, składane itp.).
W tych przypadkach, gdy strata zależna jest od naprężeń (w cięgnach albo betonie), występuje sprzężenie
zwrotne: strata w rozpatrywanej chwili zależy od poziomu naprężeń, te zaś są zależne od strat siły sprężającej
które zdążyły wystąpić wcześniej, w przedziale czasu do rozpatrywanej chwili.
2.4.2.
Efekt skurczu betonu
Uwzględniany jest poprzez obliczenie wartości odkształcenia skurczowego, zależnego od składu betonu i
warunków środowiska w jakim konstrukcja się znajduje i oczywiście czasu w którym skurcz jest rozpatrywany (por.
punkt 1.5.2).
Skurcz autogeniczny jest liniową funkcją wytrzymałości betonu. Należy go uwzględniać szczególnie wtedy, gdy
świeży beton jest układany na betonie już stwardniałym.
Skurcz od wysychania zachodzi powoli, wskutek migracji wody w stwardniałym betonie.
Tak więc, wartość całkowitego odkształcenia skurczowego cs określa się z wzoru
cs = cd + ca ,
(2-36)
w którym:
cs
oznacza całkowite odkształcenie skurczowe,
cd
oznacza odkształcenie skurczowe spowodowane wysychaniem,
ca
oznacza odkształcenie skurczu autogenicznego.
Końcowa wartość odkształcenia skurczowego spowodowanego wysychaniem wynosi cd, = kh cd,0. Wartości cd,0
można przyjmować z Tablicy 2.2-1 (tablica zawiera oczekiwane wartości średnie, ze współczynnikiem zmienności
około 30 %). Wzór na cd,0 jest podany w Załączniku B Eurokodu.
Katedra Konstrukcji Budowlanych
17/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Tab. 2.4-1 Nominalne wartości swobodnego skurczu cd,0
cementem CEM klasy N
0
(w /00) spowodowanego wysychaniem betonu z
Wilgotność względna (w %)
fck/fck,cub
e
20
40
60
80
90
100
20/25
0,62
0,58
0,49
0,30
0,17
0,00
40/50
0,48
0,46
0,38
0,24
0,13
0,00
60/75
0,38
0,36
0,30
0,19
0,10
0,00
80/95
0,30
0,28
0,24
0,15
0,08
0,00
90/105
0,27
0,25
0,21
0,13
0,07
0,00
(MPa)
Odkształcenia skurczowe spowodowane wysychaniem w zależności od czasu określa wzór
cd(t) = ds(t,ts) kh cd,0
(2-37)
w którym:
ds ( t , t s ) 
t  ts
h03
t  t s  0,04
(2--38)
t
jest wiekiem betonu w rozważanej chwili, w dniach,
ts
jest wiekiem betonu (w dniach) na początku procesu wysychania (albo pęcznienia); zwykle jest to dzień
zakończenia pielęgnacji,
h0
jest miarodajnym wymiarem przekroju równym 2Ac/u,
Ac
jest polem przekroju betonu,
u
jest obwodem części przekroju wystawionej na wysychanie,
kh
jest współczynnikiem zależnym od miarodajnego wymiaru h0 według Tablicy 3.3.
Tab. 2.4-2 Wartości kh w wyrażeniu (2.2-2)
Katedra Konstrukcji Budowlanych
h0
kh
100
1,00
200
0,85
300
0,75
500
0,70
18/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
dr inż. Zbigniew Plewako
Odkształcenie skurczu autogenicznego określa wzór
ca(t) = as(t) ca()
(2--39)
ca() =2,5 (fck – 10)∙10-6
(2--40)
as(t) = 1 - exp(-0,2t 0,5)
(2--41)
w którym:
a t jest wyrażone w dniach.
Strata siły sprężającej wywołana spadkiem naprężeń w cięgnach wskutek skurczu betonu wynosi:
Psh  E p Ap cs
2.4.3.
(2--42)
Efekt pełzania betonu
Zjawisko pełzania betonu opisano w punkcie 1.5.2. Jego efekt jest wyrażany jako przyrost odkształceń sprężystych
wywołanych siłą sprężającą i obciążeniem:
c ,tot  c ,el  cc
cc  c ,el
Ze wzoru (1.5-2):
c ,tot  c ,el  c ,el  c ,el ( 1   )
czyli:
Podstawiając  c ,el 
c
mamy:
E cm
c ,tot  (1   )
c
Ecm
(2--43)
Efekt pełzania często wyrażany jest poprzez wykorzystanie w obliczeniach tzw. efektywnego modułu sprężystości:
E c ,eff 
E cm
(1  )
(2--44)
Strata siły sprężającej wywołana przyrostem odkształceń w betonie wskutek pełzania wynosi:
Pcc  E p Apcc  E p Apc ,el  E p Ap
c
 Ap pc
Ecm
(2--45)
gdzie c jest naprężeniem w betonie wokół cięgien wywołanym działaniem siły sprężającej i obciążeń.
2.4.4.
Efekt relaksacji cięgien
Zjawisko relaksacji stali sprężających opisano w punkcie 1.7.3.
Straty od relaksacji można otrzymać ze świadectw z badań prowadzonych przez producentów lub można je
określać stosując jeden z podanych poniżej wzorów zawartych w Eurokodzie. W tych wzorach
straty są
zdefiniowane jako stosunek (wyrażony w procentach) zmiany naprężenia sprężającego do początkowego
naprężenia sprężającego. Wyrażenia (2.2-11) i (2.2-12) dotyczą odpowiednio drutów i splotów do zwykłego
sprężania oraz cięgien o niskiej relaksacji, podczas gdy wyrażenie (2.2-13) odnosi się do prętów walcowanych na
gorąco i poddanych procesowi ulepszania.
Katedra Konstrukcji Budowlanych
19/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
 pr
Klasa 1
 pi
 pr
Klasa 2
 pi
 pr
Klasa 3
 pi
dr inż. Zbigniew Plewako
 5,391000 e
 0,661000 e
t 


 1000 
6 ,7  
t 


 1000 
9 ,1 
 t 
 1,981000 e 8 

 1000 
0 ,75 1  
 10  5
(2--46)
 10  5
(2--47)
 10  5 .
(2--48)
0 ,75 1  
0 ,75 1  
W powyższych wzorach:
pr jest wartością bezwzględną strat sprężenia wywołanych relaksacją,
pi
w kablobetonie jest wartością bezwzględną początkowego sprężenia pi = pm0,;
w strunobetonie
pi jest maksymalnym naprężeniem rozciągającym przyłożonym do cięgna, zmniejszonym
o straty doraźne występujące w czasie procesu sprężania,,
t
jest okresem czasu, który upłynął po sprężeniu ( w godzinach),
μ = pr/fpk, (fpk jest wytrzymałością charakterystyczną stali sprężającej na rozciąganie),
1000 jest wartością strat od relaksacji (w %) po 1000 godzinach obciążenia przy średniej temperaturze 200 C.
Powinna być deklarowana przez producenta, w przypadku braku danych można stosować dane
z Rys. 1.7-6.
W konstrukcjach strunobetonowych, do grupy strat doraźnych zalicza się stratę relaksacji cięgien w czasie
pomiędzy ich naciągiem a przekazaniem siły na beton (sprężeniem), odpowiednio z uwzględnieniem wpływu
temperatury zastosowanej obróbki cieplnej przyśpieszającej dojrzewanie betonu.
W celu uwzględnienia wpływu obróbki cieplnej na straty sprężenia, spowodowane relaksacją stali
sprężającej, w przedstawiających relaksację w funkcji czasu wyrażeniach (2.2-11) do (2.2-13), do czasu, który
upłynął po sprężeniu, należy dodać zastępczy czas teq. Zastępczy czas można określać, stosując wzór (2.2-14):
t eq
1,14T max  20

Tmax  20
n
 T( t )  20 t i
i
(2--49)
i 1
w którym:
teq
oznacza zastępczy czas (w godzinach),
T(ti)
oznacza temperaturę (w °C) w przedziale czasu ti,
Tmax
oznacza maksymalną temperaturę (w °C) podczas obróbki cieplnej.
Jeśli straty od relaksacji oblicza się dla różnych przedziałów czasu (stadiów) i potrzebna jest większa
dokładność obliczeń, to należy stosować metodę z Załącznika D w Eurokodzie.
Strata siły sprężającej wywołana relaksacją cięgien wynosi:
Pr  Ap  pr
Katedra Konstrukcji Budowlanych
(2--50)
20/21
BETONOWE KONSTRUKCJE SPRĘŻONE
2.4.5.
dr inż. Zbigniew Plewako
Łączne obliczenie strat opóźnionych
Przybliżona metoda oceny strat opóźnionych w przekroju x pod obciążeniami stałymi polega na stosowaniu wzoru
(2.2-16)
 cs E p  0,8 pr   p t ,t 0  c ,QP
Pc  s  r  Ap  p.c  s  r 
1  p
(2--51)
Ap 

A
1  cs e p2 1  0,8t ,t 0 
Acs 
Ics

w którym:
p,c+s+r jest wartością bezwzględną zmiany (w punkcie x, w chwili t) naprężenia w cięgnach wywołanej
przez pełzanie, skurcz i relaksację
cs
jest wartością bezwzględną odkształcenia skurczu,
Ep
jest modułem sprężystości stali sprężającej,
Ecm
jest modułem sprężystości betonu,
pr
jest wartością bezwzględną zmiany (w przekroju x, w chwili t) naprężenia w cięgnach wywołanej
przez relaksację stali sprężającej. Wartość pr określa się dla naprężenia początkowego p
wywołanego sprężeniem i oddziaływaniami quasi-stałymi
p = p(G + Pm0 + 2 Q),
(t,t0)
jest współczynnikiem pełzania w chwili t pod obciążeniem przyłożonym w chwili t0,
c, QP
jest naprężeniem w betonie w sąsiedztwie cięgien (w środku ciężkości układu cięgien), wywołanym
przez ciężar własny i sprężenie początkowe, oraz przez inne oddziaływania prawie stałe, jeśli są
istotne. Naprężenie σc,QP może być wynikiem działania części ciężaru własnego i początkowego
sprężenia lub wynikiem działania całego obciążenia quasi-stałego (c = c(G + Pm0 + 2 Q)),
zależnie od rozpatrywanego etapu wznoszenia konstrukcji,
Ap
jest polem przekroju wszystkich cięgien sprężających w przekroju x,
Acs
jest polem przekroju sprowadzonego,
Ics
jest momentem bezwładności przekroju sprowadzonego,
ep
jest odległością między środkami ciężkości przekroju betonu i cięgien.
We wzorze (2.2-16) naprężeniom ściskającym i odpowiadającym im odkształceniom należy przypisać wartości
dodatnie.
Powyższy wzór jest odpowiedni dla cięgien z przyczepnością, gdy za występujące w nim naprężenia uważa
się lokalne (tzn. w przekroju x) wartości naprężeń, i jest odpowiedni dla cięgien bez przyczepności, gdy za
występujące w nim naprężenia uważa się średnie (na długości) wartości naprężeń. Te wartości średnie należy
obliczać dla prostych odcinków leżących pomiędzy punktami, w których następuje zmiana (wyidealizowana)
kierunku cięgna, lub jako średnie na całej długości w przypadku cięgien wewnętrznych.
Katedra Konstrukcji Budowlanych
21/21

Podobne dokumenty