Zestaw 5

Ćwiczenia z Techniki analogowej
Zestaw 5.
Zad. 5.1.
Obliczyć operatorowe funkcje immitancji (impedancji lub admitancji) dwójników, których
schematy pokazano na rys. 5.1.
C1
R1
C2
R1
R2
L
L1
R1 = 1Ω, R2 = 2 Ω, C1 = 12 F, C2 = 1F, L = 1H.
R2
L2
C
R3
R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, R3 = 12 Ω, C = 13 F, L1 = 1H, L2 = 12 H.
(a )
(b)
Rys. 5.1.
Wynik:
a)
Z (s) =
3s 3 + 5 s 2 + 5 s + 2
,
2
s ( s + 1)
b)
Y (s) =
3s 3 + 11s 2 + 23s + 12
.
s ( 3s 2 + 17 s + 12 )
Zad. 5.2.
Obliczyć wskazane operatorowe funkcje transmitancji układów, których schematy pokazano na
rys. 5.2.
C
R1
L1
L2
i (t )
p ( t ) = u1( t )
u1( t )
R2
L
u 2( t )
r ( t ) = u2 ( t )
H (s) =
u (t )
U 2( s )
=?
U1( s )
i1( t )
R2
u (t )
i2( t )
r (t ) = u (t )
H (s) =
R1
I (s)
=?
U (s)
C
R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, C = 12 F, L = 2 H.
(d )
Rys. 5.2.
Wynik:
s2
,
2s2 + 2s + 1
1
c) H ( s ) = 2
,
s + 3,5s + 1
R2
b) H ( s ) =
p ( t ) = i1( t )
r ( t ) = i2( t )
H (s) =
R1 = 2 Ω, R2 = 1Ω, C1 = 1F, C2 = 12 F.
(c)
a) H ( s ) =
L
p (t ) = i (t )
C2
I (s)
=?
U (s)
R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, L1 = 2 H, L2 = 1H.
(b)
R1
C1
r (t ) = i (t )
R2
H (s) =
R1 = 1Ω, R2 = 1Ω, C = 1F, L = 1H.
(a )
i (t )
R1
p (t ) = u (t )
1
,
2s + 7s + 2
s
d) H ( s ) = 2
.
2 s + 5s + 4
2
I 2( s )
=?
I1( s )
Zestaw 5
str. 2
Zad. 5.3.
Wyznaczyć operatorową impedancję dwójnika, którego schemat pokazano na rys. 5.3.
γ u (t )
R1
C2
R2
u (t )
C1
R3
L
R1 = 1Ω, R2 = 1Ω,
R3 = 2Ω,
L = 1H, C1 = 1F, C2 = F, γ = 3S.
1
2
Rys. 5.3.
Wynik: Z ( s ) =
3s 3 + 11s 2 + 14s + 10
.
3s 3 + 8s 2 + 10s + 8
Zad. 5.4.
Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 5.4. Pobudzeniem jest
napięcie u1( t ) , a reakcją — prąd i2( t ) .
i (t )
R1
L
i2( t )
R2
u1( t )
R1 = 1Ω, R2 = 1Ω,
L = 1H, C = 1F,
ρ = 3 Ω.
C
ρ i (t )
H (s) =
I2 ( s )
=?
U1 ( s )
Rys. 5.4.
Wynik: H ( s ) =
4s
.
s + 2s + 5
2
Zad. 5.5.
Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 5.5. Pobudzeniem jest
napięcie u1( t ) , a reakcją — napięcie u2( t ) . Określić, dla jakich wartości α układ ten będzie BIBO
stabilny.
i (t )
u1( t )
C1
R1
R2
C2
α i (t )
u2( t )
R1 = 12 Ω, R2 = 1Ω,
C1 = 1F, C2 = 2Ω.
H (s) =
Rys. 5.5.
Wynik:
H ( s ) = C1
sC2 ( R1 − α R2 ) + 1 − α
(1 − 2α ) s + 1 − α .
=
s + 3 −α
sC1C2 R1 + C2 + (1 − α ) C1
Układ będzie BIBO stabilny gdy α < 1 +
C2
= 3.
C1
U 2( s )
=?
U 1( s )
Zestaw 5
str. 3
Zad. 5.6.
Wyznaczyć operatorowe transmitancje napięciowe układów przedstawionych na rys. 5.6.
Elementem aktywnym jest źródło napięciowe sterowane napięciem, o współczynniku sterowania β .
Zbadać dla jakich wartości β układy te będą BIBO stabilne.
R1
C1
C2
β
u1( t )
R2
u2 ( t )
H (s) =
U 2( s )
=?
U1( s )
u2 ( t )
H (s) =
U 2( s )
=?
U1( s )
(a)
R2
C2
R1
u1( t )
β
C1
R3
(b)
Rys. 5.6.
Wynik:
a)
s 2C1C2 R1R2
H ( s) = β 2
.
s C1C2 R1 R2 + s  R1 ( C1 + C2 ) + (1 − β ) C2 R2  + 1
Układ BIBO stabilny gdy β <
b)
H ( s) = β
C1R1 R1
+ + 1.
C2 R2 R2
sC2 R2 R3
.
s C1C2 R1R2 R3 + s C1 R1 R2 + C2 R1R2 + C2 R2 R3 + (1 − β ) C2 R1 R3  + R1 + R2
2
Układ BIBO stabilny gdy β <
C1 R2 R2 R2
+
+
+ 1.
C2 R3 R1 R3
Zad. 5.7.
Reakcją układu SLS o zerowych warunkach początkowych na pobudzenie p ( t ) = 1 ( t ) jest
2

−
t 
2
2 
r ( t ) = 1 − e 2  cos
t + sin
t   1 ( t ) . Obliczyć operatorową transmitancję tego układu.
2
2



Wynik:
H (s) =
1
.
s + 2 s +1
2
Zestaw 5
str. 4
Zad. 5.8.
Do układu SLS, o zerowych warunkach początkowych, przyłożono pobudzenie p1( t ) = cos 2t1 ( t ) .
Reakcja na to pobudzenie r1( t ) = − ( t − 1) e− t 1 ( t ) . Obliczyć:
a) operatorową transmitancję tego układu H ( s ) ,
b) charakterystykę impulsową h ( t ) ,
c) reakcję na pobudzenie p2( t ) = 1 ( t ) .
Wynik:
a) H ( s ) =
s2 + 4
,
2
( s + 1)
b) h ( t ) = δ ( t ) + ( 5t − 2 ) e −t 1 ( t ) ,
c) r2( t ) =  4 − ( 5t + 3 ) e − t  1 ( t ) .
Zad. 5.9.
Charakterystyka impulsowa układu SLS jest równa h ( t ) = e − t 1 ( t ) . Obliczyć reakcję tego obwodu
na pobudzenia:
a) p1( t ) = 2sin t 1 ( t ) ,
b) p2( t ) = 1 ( t ) − 1 ( t − 1) ,
c) p3( t ) = te− t 1 ( t ) .
Wynik:
a) r1( t ) = ( e − t + sin t − cos t ) 1 ( t ) ,
− t −1
b) r2( t ) = (1 − e− t ) 1 ( t ) − 1 − e ( )  1 ( t − 1) ,
1
c) r3( t ) = t 2 e− t 1 ( t ) .
2