Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie
odpowiedzi w dziedzinie s i w dziedzinie czasu
Zadania do ćwiczeń – termin T6
Opracowanie:
dr inż. Kazimierz Duzinkiewicz
dr inż. Michał Grochowski
dr inż. Robert Piotrowski
dr inż. Tomasz Rutkowski
Zadanie 1
Dany jest model matematyczny obwodu RL (Rysunek 1) postaci:
d i RL  t 
dt

R
1
 i RL  t    u we  t 
L
L
R
(1)
iRL(t)
uR(t)
uwe(t)
L
uL(t)
Rysunek 1. Obwód elektryczny RL
Jako wejście układu przyjąć u we  t  , jako wyjście i RL  t  .
Należy:
a) Obliczyć transmitancję operatorową G(s). Wyznaczoną transmitancję operatorową
przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie następujących wielkości:
 wzmocnienie statyczne układu,
 stałe czasowe układu,
 zera i bieguny układu.
b) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć odpowiedź skokową układu
iRL(t) z wykorzystaniem metody rozkładu na ułamki proste (przyjąć: R=1Ω, L=5H).
c) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć transmitancję widmową układu
G(jω). Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie
następujących wielkości:
 część rzeczywista transmitancji widmowej,
 część urojona transmitancji widmowej.
Zadanie 2
Dany jest model matematyczny obwodu RLC (Rysunek 2) postaci:
d2
R d
1
1
u t     u wy t  
 u wy t  
 u we t 
2 wy
L dt
LC
L C
dt
(2)
R
L
iRL(t)
iobc(t)
iC(t)
uL(t)
uR(t)
uwe(t)
uwy(t)
C
uC(t)
Rysunek 2. Obwód elektryczny RLC
Jako wejście układu przyjąć u we  t  , jako wyjście u wy  t  .
Należy:
a) Obliczyć transmitancję operatorową G(s). Wyznaczoną transmitancję operatorową
przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie następujących wielkości:
 wzmocnienie statyczne układu,
 zera i bieguny układu.
b) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć odpowiedź skokową układu
uwy(t) z wykorzystaniem metody rozkładu na ułamki proste (przyjąć: R=2Ω, L=1H,
C=0,2F).
c) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć transmitancję widmową układu
G(jω). Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie
następujących wielkości:
 część rzeczywista transmitancji widmowej,
 część urojona transmitancji widmowej.
Zadanie 3
Dany jest prosty model matematyczny amortyzatora samochodowego (Rysunek 3) postaci:
d 2y
 dy k
1
 
  y t    f t 
2
dt
m dt m
m
f(t)
m
k
y
B
Rysunek 3. Uproszczony schemat amortyzatora samochodowego
(3)
gdzie:
f(t) – siła działająca na masę,
m – masa amortyzatora,
k – współczynnik sprężystości amortyzatora,
 – współczynnik tłumienia amortyzatora,
y(t) – przesunięcie amortyzatora w osi pionowej.
Jako wejście układu przyjąć f  t  , jako wyjście y  t  .
Należy:
a) Obliczyć transmitancję operatorową G(s). Wyznaczoną transmitancję operatorową
przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie następujących wielkości:
 wzmocnienie statyczne układu,
 zera i bieguny układu.
b) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć odpowiedź skokową układu
y(t) z wykorzystaniem metody rozkładu na ułamki proste (przyjąć: m=4kg, β=5, k=1).
c) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć transmitancję widmową układu
G(jω). Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie
następujących wielkości:
 część rzeczywista transmitancji widmowej,
 część urojona transmitancji widmowej.
Zadanie 4
Dany jest model matematyczny zbiornika (Rysunek 4) o stałym, wzdłuż wysokości, przekroju
poprzecznym S  m 2  , do którego pompowana jest woda przez pompę ssąco-tłoczącą z natężeniem
Q we m 3
Q wy  m 3
s  i z którego jest ona wypompowywana przez pompę tego samego rodzaju z natężeniem
s  . Poziom wody w zbiorniku wynosi h. Model ten jest postaci:
dh  t  1
  Q  t 
dt
S
(4)
S
h
Qwy
Qwe
Rysunek 4. Schemat układu do Zadania 4
gdzie:
Q  t   Q we  t   Q wy  t 
Jako wejście układu przyjąć Q  t  , jako wyjście h  t  .
Należy:
a) Obliczyć transmitancję operatorową G(s).
b) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć odpowiedź skokową układu
h(t) z wykorzystaniem metody rozkładu na ułamki proste (przyjąć: S=5m2).
c) W oparciu o transmitancję operatorową z pkt. a), wyznaczyć transmitancję widmową układu
G(jω). Wyznaczoną transmitancję przedstawić w postaci umożliwiającej odczytanie
następujących wielkości:
 część rzeczywista transmitancji widmowej,
 część urojona transmitancji widmowej.