n n n

Przedział ufności (PU) dla nieznanej średniej populacji
wyznacza wzór:
s
s
x −t  / 2  x t / 2
n
n
Czyli:
s
= x ±t  / 2
n
Zadanie:
Obliczyć przedział ufności dla średnich obydwu prób
przebiśniegów dla α = 0,05.
Odp.:
t /2=0,025 , df =9 =2,262
1=14,7±1,1
2=16,0±1,3
Współczynnik zmienności Pearsona:
s
W = ⋅100 %
x
Współczynnik zmienności nie wyrażony w procentach nosi
nazwę względnego odchylenia standardowego.
Można również obliczyć współczynnik zmienności
odchylenia średniej:
s x
W x = ⋅100 %
x
Zadanie:
Obliczyć współczynniki Pearsona dla obydwu prób zerwanych
przebiśniegów.
Odp.:
W1 = 10,2%
W2 = 11,4%
Zadanie:
W dwóch klasach gimnazjalnych pewnej szkoły zmierzono
wysokość chłopców. W pierwszej klasie liczącej 12 chłopców
przedział ufności średniej wzrostu (dla α = 0,05) wynosi
<151,4;165,0>, zaś w drugiej liczącej 9 chłopców przedział
ufności wynosi <160,2; 170,2>. Sprawdź, czy uzyskane wyniki
dla obydwu klas różnią się w sposób istotny statystycznie. Jeśli
nie, to oblicz wspólną średnią i odchylenie standardowe dla
połączonych klas (będzie to średnia wysokość chłopców w
klasach gimnazjalnych danej szkoły z odpowiednim
odchyleniem standardowym).
= x ±t  / 2
s
n
x1=158,2
 PU / 21=6,8
x 2 =165,2
 PU / 22=5,0
s
 PU /2=t  / 2
n
s=
s1 =10,7
s2 =6,5
 PU / 2⋅n
t /2
Stosujemy test F, aby sprawdzić, czy obliczone odchylenia
standardowe nie różnią się w sposób istotny statystycznie:
s21
10,70 2
F d= 2 =
=2,71
2
s2 6,50
F  /2=0,025 ; r =11; r =8=4,20
1
2
Odp.:
Obliczone wariancje nie różnią się w sposób istotny
statystycznie (α = 0,05).
Stosujemy test t-Studenta (dla dwóch prób niezależnych), aby
sprawdzić, czy obliczone średnie nie różnią się w sposób
istotny statystycznie:
t d=
x 1− 
x 2∣
∣
 
s 2p
1
1

n1
n2

2
2
n
−1
s
n
−1
s
1
2
2
s 2p = 1
n1 n 2 −2
12−1⋅10,70 2 9−1⋅6,50 2
s =
=84,1
129−2
2
p
td=
∣158,2−165,2∣


1 1
84,1

12 9

=1,731
t =0,05 , df =19=2,093
Odp.:
Obliczone średnie nie różnią się w sposób istotny
statystycznie (α = 0,05).
Obliczamy średnią ważoną z obydwu prób:
k
=
X
x i ni
∑
i=1
k
∑ ni
i=1
158,2⋅12165,2⋅9

X=
=161,2
129
Obliczamy wariancję grup połączonych:
s 2 =s 2w s 2m
k
k
2
s
∑ i ni
2

n

x
−
X

∑ i i
s 2w = i=1k
s 2m = i=1
k
∑ ni
∑ ni
i=1
i=1
2
2
12⋅10,70 9⋅6,50
2
sw =
=83,53
912
2
2
158,2−161,2 ⋅12165,2−161,2 ⋅9
s =
=12
912
2
m
s2=83,5312=95,53
⇒
s=9,8
Zadanie:
Jaki jest przedział ufności dla obliczonej średniej wzrostu
chłopców w badanej szkole?
= x ±t  / 2
s
n
9,8
9,8
=161,2±t / 2, df =20
=161,2±2,086
=161,2±4,5
 21
 21
PU 156,7 ;165,7
Zadanie:
Pewien ornitolog chciał sprawdzić, czy częstość gniazdowania
dzikiej kaczki wzdłuż brzegów pewnej rzeki jest taka sama, czy
też istotnie różni się na poszczególnych jej odcinkach. W tym
celu policzył ilość gniazd na pięciu wybranych odcinkach tej
rzeki. Długość poszczególnych odcinków wynosiła 340 m, 250
m, 430 m, 380 m, 1020 m. Na odcinkach tych zaobserwowano
odpowiednio 28, 22, 32, 29 i 45 gniazd dzikiej kaczki. Czy
częstość gniazdowania dzikiej kaczki była taka sama w
badanych odcinkach rzeki?
Zadanie:
Stosujemy test χ2.
k
 =∑
2
d
i =1
 ni −np i 2
np i
Całkowita długość zadanego brzegu i łączna ilość gniazd wynoszą:
k
k
l =∑ l i =2420 m
i=1
n=∑ ni =156 gniazd
i =1
li
np i = ⋅n
l
2d =11,89
2=0,05 ; df =4 =9,488
Odp:
Nie (p-value < 0,025).