Zadania geometryczne
Transkrypt
Zadania geometryczne
Analiza matematyczna I, / Krzysztof Rykaczewski Zadania geometryczne Zadanie 1. Promienie czerwonych okręgów są identyczne i wynoszą 2r , gdzie r to promień zielonego okręgu. Pokaż, że promień n-tego pomarańczowego okręgu jest równy n2r+2 , a promień n-tego r niebieskiego okręgu jest równy (2n−1) 2 +14 . Bardzo szybko wychodzi to indukcyjnie. Zadanie 2. Okręgi pomarańczowy i niebieski są styczne do siebie nawzajem i do prostej. Okrąg czerwony jest styczny do wszystkich wspomnianych. Pokaż, że promień r3 czerwonego okręgu spełnia relację 1 1 1 √ =√ +√ , r3 r1 r2 gdzie r1 i r2 to promienie okregu pomarańczowego i niebieskiego. Zadanie 3. Z punktu P na elipsie narysuj normalną. Przez Q oznaczmy jej drugi 2 2 punkt przecięcia z elipsą. Znajdź minimalną wartość |P √ Q| gdy 2b < a , gdzie b to mała oś, a a to duża oś elipsy. W przypadku gdy 2b a b to minimalną wartością |P Q| jest b.√ 2 2 Odpowiedź: |P Q| = 227a2 b 3 . P Q (a +b ) 2 Zadanie 4. Zakładam konfigurację jak na rysunku po lewej. Pokaż, że promienie niebieskich okręgów (dużego: r1 , średniego: r2 i małego: r3 ) spełniają zależność: r22 = r1 r3 . Zadanie 5. Podstawa pomarańczowego trójkąta leży na średnicy okręgu zielonego. Średnica ta przechodzi przez środek czerwonego okręgu, który jest wpisany w ten sposób, że jest wewnętrznie styczny do okręgu zielonego i do wierzchołka trójkąta. Niebieski okrąg jest wpisany w ten sposób, że dotyka w jednym punkcie okręgu zielonego, czerwonego i trójkąta. Narysowany na rysunku odcinek łączy wierzchołek przy podstawie trójkąta i środek okręgu niebieskiego. Pokazać, że jest on prostopadły do narysowanej średnicy zielonego okręgu. Zadanie 6. Każdy z okręgów pomarańczowych ma inny promień i jest styczny wewnętrznie do kwadratu o boku a i do niebieskiego okręgu. Niech r1 , r2 , r3 i r4 są promieniami górnego prawego, górnego lewego, dolnego lewego i dolnego prawego pomarańczowego okręgu, odpowiednio, wtedy p 2(r1 r3 − r2 r4 ) + 2(r1 − r2 )(r1 − r4 )(r3 − r2 )(r3 − r4 ) a= . r1 − r2 + r3 − r4 Zadanie 7. Walec przecina sferę w ten sposób, że zewnętrze walca jest styczne do wnętrza sfery. Jakie p jest pole powierzchni części walca zawartej wewnątrz sfery? Odpowiedź: 16t t(r − t), gdzie r i t są promieniami sfery i walca, odpowiednio. Wskazówka: można skorzystać z całki. Zadanie 8. Dwie czerwone kule stykają się i dotykają również wewnętrznie dużej zielonej kuli. Mniejsze niebieskie kule o różnych rozmiarach tworzą ”naszyjnik”. Każda sfera niebieska w ”naszyjniku” dotyka jej najbliższych sąsiadów, a wszystkie one dotykają zarówno sfery czerwonej jak i zielonej kuli. Pokazać, że może być tylko sześć niebieskich kul. Ponadto ich promienie (kolejno od t1 do t6 ) są związane zależnością 1 1 1 1 1 1 + = + = + . t1 t4 t2 t5 t3 t6 Zadanie 9. Niech duża kula będzie otoczona przez 30 mniejszych identycznych kul, z których każda dotyka czterech małych sąsiadów, a także dużej kuli. W jaki sposób promień dużej kuli jest związany z promienień małych kuleczek? √ Odpowiedź: R = 5r, gdzie R to promień dużej kuli, a r to promień małych kuleczek. 1 Analiza matematyczna I, / Krzysztof Rykaczewski Zadania geometryczne Zadanie 10. Pokaż, że promień n-tego okręgu wpisanego w parabolę y = x2 wynosi n. Zadanie 11. Sfera wpisana w czworościan ABCD jest styczna do ściany ABC w punkcie H. Druga sfera jest styczna do ściany ABC w punkcie O oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, to H jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. 2