Teoria Pola

Teoria Pola
Denicja 1. Odwzorowanie dziaªaj¡ce na przestrzeni funkcji ró»niczkowalnych (równie» wielu zmiennych)
którego warto±¢ b¦d¡ca funkcj¡ jest obliczana z wykorzystaniem rachunku ró»niczkowego nazywamy
ratorem ró»niczkowym.
Przykªad 1. Niech
T : C (∞) (R) −→ C (∞) (R) × C (∞) (R)
b¦dzie okre±lone
T (f ) =
Przykªad 2. Niech
d2 f df
,
dx2 dx
.
T : C (2) (R) −→ C (0) (R)
b¦dzie okre±lone
df
d2 f
+2 .
2
dx
dx
−x 2
Warto±¢ tego operatora dla funkcji f (x) = e (x + 1) wynosi
T (f ) =
Przykªad 3. Operator ró»niczkowy ∇ (nabla) okre±lony
∇ : C (1) (Rn ) −→ C(Rn )n
o warto±ciach zadanych przez
∇=
d
d
d
,
,...,
dx1 dx2
dxn
.
Dla np. n = 2 i funkcji ró»niczkowalnej f (x, y) operator ∇ dziaªa nast¦puj¡co
∇f =
df df
,
dx dy
.
ope-
Denicja 2. Funkcj¦ okre±lon¡ na podzbiorze przestrzeni Rn , w szczególno±ci na pªaszczy¹nie lub w
przestrzeni R3 b¦dziemy nazywa¢
polem.
Denicja 3. Pole o warto±ciach liczbowych nazywamy
polem skalarnym,
o warto±ciach wektorowych,
polem wektorowym.
z
z
f(x,y)=5-x2-y2
f(x,y)=5-x2-y2
U
U
0
0
y
x
y
x
Niech pole skalarne okre±la nat¦»enie ±wiatªa w pomieszczeniu, pole wektorowe okre±laj¡ wektory o
kierunku i zwrocie najwi¦kszego przyrostu nat¦»enia ±wiatªa czyli, je»eli istniej¡, ¹ródeª ±wiatªa jak lampa,
okna itp.
Denicja 4. Niech f : Rn ⊃ U −→ R b¦dzie polem skalarnym, ró»niczkowalnym.Gradientem pola skalarnego
nazywamy pole wektorowe ∇f.
Wªasno±ci gradientu:
∇(αf + βg) = α∇f + β∇g,
∇(f g) = f ∇g + g∇f.
Denicja 5. Niech b¦dzie dane pole wektorowe
−−→
F : R3 3 ~v −→ F (~v ) ∈ R3 .
Dywergencj¡ pola
nazywamy
div F = ∇ ◦ F.
−−−−→
Przy oznaczeniu ~v = [x, y, z] oraz F = [Fx , Fy , Fz ] dywergencja okre±lona jest zatem wzorem
dFx dFy dFz
,
,
.
div F =
dx dy dz
Denicja 6. Dla pola F jak w denicji dywergencji
rotacj¡
nazywamy
rot F = ∇ × F.
Przy oznaczeniach pola jak wy»ej rotacja jest okre±lona przez
dFz dFy dFx dFz dFy dFx
rot F =
−
,
−
,
−
.
dy
dz dz
dx dx
dy