Grupy

opracował Maciej Grzesiak
Grupy
1. Określenie i przykłady grup
Definicja 1. Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦ nazywamy
grupą, gdy:
G1. ∀x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z);
G2. ∃e∈G ∀x∈G e ◦ x = x ◦ e = x;
G3. ∀x∈G ∃x−1∈G x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e.
Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po prostu jako abc. Z tego
samego powodu iloczyn a1 a2 . . . an można pisać bez nawiasów (ale nie można zmieniać kolejności). Jeśli a1 = a2 = . . . = an , to taki iloczyn nazywamy n−tą potęgą i oznaczamy an .
Określamy ponadto a0 = e, a−n = (an )−1 lub a−n = (a−1 )n .
Ć w i c z e n i e. Wykazać, że dla a ∈ G, m, n ∈ Z am an = am+n , (am )n = amn .
Jeśli an = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej własności nazywamy rzędem
elementu a i oznaczamy |a|. Jeśli an 6= e dla każdego n > 0, to |a| = ∞.
Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą skończoną. Liczbę elementów grupy nazywamy rzędem grupy; oznaczenie: |G|.
Ć w i c z e n i e. Jeśli an = e, to n dzieli się przez |a|.
Jeżeli G spełnia oprócz G1—G3 jeszcze:
G4. ∀x,y∈G x ◦ y = y ◦ x,
to nazywamy ją grupą abelową.
Tradycyjnie działanie w grupie abelowej oznaczamy + i stosujemy następującą terminologię:
+
·
mnożenie dodawanie
iloczyn
suma
jedynka
zero
odwrotny przeciwny
krotność
potęga
e lub 1
0
a−1
−a
an
na
Przykłady.
1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem tworzy grupę abelową, np.
Q, R, C.
2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z mnożeniem tworzy grupę
abelową, np. Q∗ , R∗ , C∗ .
3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową.
4. Zbiór Zn reszt z dzielenia przez n z działaniem dodawania modulo n tworzy grupę abelową.
Jest to grupa skończona rzędu n.
5. Qp = { pmn |m, n ∈ Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest addytywną grupą abelową.
6. Zbiór Cn pierwiastków stopnia n z 1 jest grupą multiplikatywną skończoną rzędu n.
1
Przypomnienie. Pierwiastkami stopnia n z 1 są liczby
εk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Można je zapisać w postaci wykładniczej:
εk = ei
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1
7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω.
Zbiór S(Ω) z działaniem składania tworzy grupę.
8. W szczególności, gdy Ω = {1, 2, . . . , n},to S(Ω) jest grupą permutacji n -elementowych.
Nazywamy ją grupą symetryczną i oznaczamy Sn . Grupa Sn jest skończona; |Sn | = n!. Dla
n > 2 grupy Sn są nieabelowe.
9. Niech K będzie dowolnym ciałem. Zbiór macierzy nieosobliwych o wyrazach z K z działaniem mnożenia macierzy jest grupą. Oznaczamy ją GL(n, K) lub GLn (K) i nazywamy
pełną grupą liniową. Jedynką tej grupy jest macierz jednostkowa; elementem odwrotnym do
macierzy A jest macierz odwrotna A−1 .
W GLn (K) można rozpatrywać następujące podzbiory:
a) SLn (K) = {A ∈ GLn (K) : det A = 1};
b) Dn (K) = {A ∈ GLn (K) : A jest diagonalna};
c) Tn (K) = {A ∈ GLn (K) : A jest górnotrójkątna};
d) UTn (K) = {A ∈ Tn (K) : A ma jedynki na przekątnej }.
Wszystkie te podzbiory sa podgrupami, i noszą nazwy: specjalna grupa liniowa, grupa diagonalna, grupa trójkątna, grupa unitrójkątna.
Uwaga. Rozpatruje się również struktury uboższe (tzn. mające mniej aksjomatów) od grupy.
Definicja 2. Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦ nazywamy
półgrupą, gdy działanie to jest łączne, tj.
∀x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
Pojęcie półgrupy okazało się bardzo użyteczne, np. w teorii automatów.
2. Podgrupy
Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie (tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to
ograniczenie operacji mnożenia do H jest działaniem na H. Jeżeli względem tego działania
H jest grupą, to mówimy, że H jest podgrupą G i oznaczamy H ¬ G. Jeśli H ¬ G i H 6= G,
to piszemy H < G.
Lemat 1. Następujące warunki są równoważne:
a) H ¬ G;
b) ∀a,b∈H ab−1 ∈ H;
c) ∀a,b∈H ab ∈ H ∧ a−1 ∈ H.
Warunki te można zapisać inaczej stosując pojęcie iloczynu kompleksowego podzbiorów grupy
G:
def
AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}
i przyjmując:
def
A−1 = {a−1 : a ∈ A}
dla A ⊆ G i B ⊆ G.
Lemat 2. Następujące warunki są równoważne:
a) H < G;
b) HH ⊆ H ∧ H −1 ⊆ H.
2
Przykłady. 1. Z < Qp < Q < R < C. Zauważmy, że Z =
3. Cp < Cp2 < . . . < Cp∞ . Ponadto Cp∞ =
S
T
Qp . 2. Q∗ < R∗ < C∗ .
Cpn . 4. Dla n ­ 2: SLn (K) < GLn (K),
Dn (K) < Tn (K),
UTn (K) < Tn (K) < GLn (K).
3. Iloczyny proste grup
Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H można określić działanie
wzorem:
(g, h) ◦ (g 0 , h0 ) = (gg 0 , hh0 )
dla dowolnych (g, g 0 ), (h, h0 ) ze zbioru G × H. Zbiór G × H z tym działaniem tworzy grupę,
której elementem neutralnym jest (eG , eH ). Nazywamy ją iloczynem prostym grup G i H.
Zbiory G0 = {(g, eH ) : g ∈ G} i H 0 = {(eG , h) : h ∈ H} są podgrupami grupy G × H. Są
one izomorficzne 1 odpowiednio z G i H.
U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma prosta grup.
4. Zbiory generujące
Jasne jest, że przekrój dowolnego zbioru podgrup danej grupy jest także podgrupą.
Niech M — dowolny podzbiór grupy G. Przekrój (M ) wszystkich podgrup grupy G zawierających M nazywamy podgrupą generowaną przez M , a zbiór M zbiorem generatorów dla
(M ). Grupę mającą skończony zbiór generatorów nazywamy skończenie generowaną.
Twierdzenie 1. Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to
(M ) = {aε11 aε22 · · · aεmm : ai ∈ M, εi = ±1, m = 1, 2, . . .}.
D o w ó d. Oznaczmy prawą część przez H. Ponieważ (M ) zawiera wszystkie ai ∈ M , więc
(M ) ⊇ H. Z drugiej strony, jeśli x, y ∈ H, to xy −1 ∈ H, więc H jest podgrupą, oczywiście
zawierającą M . Stąd H ⊇ (M ) i w końcu H = (M ). Przykłady. Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci M = {. . . : . . .}, to będziemy
pisać (. . . : . . .) zamiast ({. . . : . . .}).
1. Z = (1).
2. Zn = (1(modn)).
3. Q = ( n1 : n = 1, 2, . . .).
4. Q∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .).
2π
i
5. Cn = (εn ), εn = cos 2π
n + i sin n = e
2π
n
.
6. Cp∞ = (εpm : m = 1, 2, . . .).
5. Funkcja Eulera
Definicja 3. Funkcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej samej.
Przykład. Początkowe wartości funkcji Eulera:
1
Definicja izomorfizmu w podrozdziale 7
3
n
ϕ(n)
1
1
2
1
3
2
4
2
5
4
6
2
7
6
8
4
9
6
10
4
11
10
12
4
Funkcja Eulera odgrywa dużą rolę w teorii liczb. Ma też istotne zastosowania w kryptografii
w badaniach nad złożonością szyfrów.
Własności funkcji ϕ.
1. Dla dowolnej liczby pierwszej p i k ∈ N jest ϕ(pk ) = pk −pk−1 ; w szczególności ϕ(p) = p−1.
2. Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
3. Jeżeli n nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj. n = p1 p2 . . . pk gdzie liczby pi są
pierwsze i parami różne (i = 1, . . . , k), to
ϕ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) . . . (pk − 1).
P
4. Dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi:
ϕ(m) = n (sumowanie przebiega wszystkie
m|n
dzielniki liczby n).
Qk
5. Jeżeli n = i=1 pki i jest rozkładem liczby n na czynniki pierwsze to
ϕ(n) =
k
Y
ϕ(pki i )
i=1
Z tych własności wynika też wzór
ϕ(n) = n 1 −
1−
1
p1
1
p2
... 1 −
1
pk
,
gdzie p1 , p2 , . . . , pk są wszystkimi czynnikami pierwszymi liczby n liczonymi bez powtórzeń.
Ostatni wzór można wyprowadzić bezpośrednio z zasady włączania-wyłączania.
Twierdzenie 2. (zasada włączania-wyłączania) Niech |S| oznacza liczbę elementów zbioru S. Jeżeli
A1 , A2 , . . . , Ar są zbiorami skończonymi, to
|
Sr
i=1
Ai |
=
Pr
+
P
i=1
r
|Ai | −
Pr
i,j=1
|Ai ∩ Aj |+
i6=j
i,j,k=1
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | + · · · + (−1)r−1 |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ar |.
i6=j,i6=k,j6=k
Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze:
n = pe11 pe22 . . . perr .
i niech Ai będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n} takich, że pi dzieli m. Można wykazać, że
n
n
|Ai | =
, |Ai ∩ Aj | =
dla i 6= j,
pi
pi pj
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | =
itd. Ponieważ ϕ(n) = n − |
mujemy:
Sr
i=1
ϕ(n)
n
dla różnych i, j, k,
pi pj pk
Ai |, więc stosując zasadę włączania-wyłączania i powyższe równości otrzy=n−
P
n
pi
+
=n 1−
P
1
p1
n
pi pj
1−
−
P
1
p2
n
pi pj pk
... 1 −
+ ... =
1
pk
6. Podgrupy cykliczne
Podgrupa (a) generowana przez jeden element a nazywa się cykliczną. Z twierdzenia o podgrupie generowanej przez zbiór wynika, że
(a) = {an : n = 0, ±1, ±2, . . .}.
Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Zn są grupami cyklicznymi.
4
Twierdzenie 3.
(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna;
(ii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n. Element ak generuje podgrupę rzędu
n
nwd(k,n) ;
(iii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n a l – dodatnim dzielnikiem liczby n. Wtedy
(a) zawiera ϕ(l) elementów rzędu l;
(iv) Grupa cykliczna rzędu n zawiera ϕ(n) generatorów. Generatorami są te i tylko te
elementy ar dla których nwd(r, n) = 1.
Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną grupą rzędu n, H 6= {e} jej
podgrupą. Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności:
am ∈ H, 0 < m < n.
Oczywiście (am ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (am ) = H. Weźmy dowolny element z H;
musi on mieć postać ak , 0 ¬ k < n. Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 ¬ r < m. Wtedy
ar = ak (am )−q ∈ H.
Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc ak ∈ (am ). Dla grupy nieskończonej
dowód jest analogiczny.
Dowód (iii). Niech n = dl. Na mocy (ii) |ak | = l wtedy, i tylko wtedy, gdy nwd(k, n) = d.
Zatem liczba elementów rzędu l jest liczbą tych k ¬ n, że nwd(k, n) = d. Ale gdy k = dh, to
nwd(k, n) = d ⇔ nwd(dh, dl) = d ⇔ nwd(h, l) = 1. 2π
Przykład. Rozważmy grupę Cn pierwiastków stopnia n z 1, generowaną przez ε1 = ei n .
π
Przykładowo weźmy n = 12; wtedy generatorem jest liczba ei 6 . Grupa ma 12 elementów:
C12 = {ei kπ/6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.
Dzielnikami 12 są 1, 2, 3, 4, 6, 12.
W tabeli niżej podane są te dzielniki l, wartości ϕ(l), i elementy rzędu l (czyli generatory
podgrupy rzędu l).
l
ϕ(l)
elem.
rzędu l
1
1
2
1
1
−1
3
2
ei
2π
3
, ei
4
2
4π
3
6
2
π
ei 2 , ei
3π
2
π
ei 3 , ei
12
4
5π
3
π
ei 6 , ei
5π
6
, ei
7π
6
, ei
11π
6
Przykład. Jak wiadomo, mnożenie przez liczbę ei ϕ można interpretować jako obrót płaszczyzny zespolonej o kąt ϕ. Grupę Cn możemy więc zastąpić grupą On obrotów płaszczyzny,
generowaną przez obrót o2π/n . Poprzedni przykład ”transponujemy” następująco: dla n = 12
generatorem grupy obrotów jest obrót o kąt π6 . Grupa ma 12 elementów:
O12 = {okπ/6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.
Dzielnikami 12 są 1, 2 ,3, 4, 6, 12.
l
ϕ(l)
obroty
1
1
id
2
1
oπ
3
2
o2π/3 , o4π/3
4
2
oπ/2 , o3π/2
6
2
oπ/3 , o5π/3
12
4
oπ/6 , o5π/6 , o7π/6 , o11π/6
Twierdzenie 4. (podstawowe teorii grup abelowych) Jeżeli G jest grupą abelową generowaną przez skończenie wiele elementów, to G jest sumą prostą grup cyklicznych.
Wniosek 1. Każda skończona grupa abelowa jest sumą prostą grup cyklicznych postaci Cpr ,
gdzie p jest liczbą pierwszą, a r ∈ N.
5
7. Homomorfizmy
Niech G, G0 będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G0 nazywamy homomorfizmem, gdy dla
dowolnych a, b ∈ G spełniony jest warunek:
f (ab) = f (a)f (b).
Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem; jeżeli obrazem G jest cała G0 ,
to mówimy o epimorfizmie. Homomorfizm, który jest monomorfizmem i epimorfizmem nazywamy izomorfizmem. Jeśli G = G0 , to homomorfizm nazywamy endomorfizmem; endomorfizm, który jest izomorfizmem, nazywamy automorfizmem.
Jeżeli istnieje izomorfizm f : G −→ G0 , to grupy G i G0 nazywamy izomorficznymi; piszemy
wtedy G ∼
= G0 .
Przykłady. 1. Odwzorowanie Z −→ Zn przyporządkowujące liczbie jej resztę z dzielenia
przez n jest epimorfizmem. 2. ln : R+ −→ R∗ oraz exp : R∗ −→ R+ są izomorfizmami.
3. det : GLn (K) −→ K ∗ jest epimorfizmem. 4. f : Zn → On , f (k) = o2kπ/n . Z każdym
homomorfizmem grup f : G −→ G0 związane są dwie podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz
im f ⊆ G0 :
ker f = {x ∈ G : f (x) = e};
im f = {y ∈ G0 : ∃x∈G f (x) = y}.
Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy.
Jeśli a, b ∈ ker f , to f (ab−1 ) = f (a)f (b)−1 = ee = e, zatem ab−1 ∈ ker f .
Jeśli c, d ∈ im f , to istnieją a, b ∈ G takie, że c = f (a), d = f (b). Zatem cd−1 = f (a)f (b)−1 =
f (ab−1 ), więc cd−1 ∈ im f .
Warto także zauważyć, że ab−1 ∈ ker f ⇔ f (ab−1 ) = e ⇔ f (a) = f (b). Zatem jeżeli f jest
monomorfizmem, to a ∈ ker f ⇒ ae−1 ∈ ker f ⇔ f (a) = f (e) ⇒ a = e, więc ker f = e.
Odwrotnie, jeśli ker f = {e}, to f (a) = f (b) ⇔ ab−1 ∈ ker f ⇒ ab−1 = e ⇔ a = b.
Wykazaliśmy więc, że homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro
jednoelementowe.
8. Grupa symetryczna Sn
Zajmiemy się bardziej szczegółowo grupą Sn permutacji n-elementowych. Permutacje oznaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek — permutacja tożamościowa e).
Permutację π : i 7→ π(i), i = 1, 2, . . . , n zapisuje się w dwóch rzędach:
1 2 ... n
i1 i2 . . . in
podając wszystkie wartości przekształcenia π:
1
↓
i1
2
↓
i2
...
···
...
n
↓ .
in
Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń.
Jeżeli σ, τ ∈ Sn , to (στ )(i) = σ(τ (i)). Np. dla
1 2 3 4
1 2 3 4
σ=
, τ=
2 3 4 1
4 3 2 1
6
mamy
στ =
1
2
2
3
3
4
4
1
1
4
2
3
3
2
4
1
1
↓
= 4
↓
1
2
↓
3
↓
4
3
↓
2
↓
3
4
↓
1
1 =
1
↓
2
1
3
2
4
3
3
4
2
.
Zauważmy, że
τσ =
1
4
2
3
3
2
4
1
1
2
2
3
3
4
4
1
=
2
2
3
1
4
4
,
więc στ 6= τ σ. Jak wiadomo, istnieje n! permutacji n-elementowych, więc |Sn | = n!.
Grupy permutacji stanowią uniwersalny przykład grup skończonych.
Twierdzenie 5. (Cayleya) Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą permutacji.
D o w ó d. Niech G będzie grupą, |G| = n. Określimy odwzorowanie Γ : G → S(G) wzorem
Γ(g) = γ, gdzie
g1
g2 . . . gn
γ=
∈ S(G).
gg1 gg2 . . . ggn
γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. Ponieważ dla x ∈ G,
Γ(x)(g) = xg, więc
Γ(ab)(g)
= (ab)g = a(bg) = a(Γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) =
= (Γ(a) ◦ Γ(b)) (g)
czyli Γ(ab) = Γ(a) ◦ Γ(b).
Odwzorowanie Γ jest różnowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to
a = aeG = Γ(a)(eG ) = e(eG ) = eG ,
więc a = eG . Zatem Γ ma jądro jednoelementowe, czyli jest monomorfizmem. Prawdziwe jest także poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 6. (uogólnione twierdzenie Cayleya) Każda grupa jest izomorficzna z grupą odwzorowań wzajemnie jednoznacznych (”permutacji nieskończonych”) pewnego zbioru na
siebie.
Permutacje z Sn można rozłożyć na iloczyn prostszych permutacji. Zauważmy np., że dla
powyższych σ i τ można narysować grafy:
4m
σ:
1
3M
τ:
4_
1
3_
2
-2
Naturalne będzie więc nazwanie permutacji σ cyklem o długości 4, a permutacji τ — iloczynem dwóch rozłącznych cykli długości 2.
Ogólniej, mówimy, że elementy i, j są π-równoważne, jeśli j = π s (i) dla pewnego s ∈ Z (π s
oznacza s-krotne złożenie permutacji π). Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności
(sprawdzić!).
Następujące twierdzenie mówi o tym, że relacja równoważności wyznacza podział zbioru na
klasy rozłączne.
7
Twierdzenie 7. (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności
w X. Dla x ∈ X niech [x] = {y ∈ X : x ∼ y} oznacza zbiór wszystkich elementów równoważnych z x. Wtedy dla dowolnych x, y ∈ X :
1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y.
2) [x] = S
[y] ⇔ x ∼ y.
3) X = x∈X [x].
4) [x] ∩ [y] 6= ∅ ⇔ [x] = [y].
Zgodnie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru Ω = {1, 2, . . . , n}
Ω = Ω1 ∪ · · · ∪ Ωp
(1)
na rozłączne klasy Ω1 , . . . , Ωp , zwane π-orbitami. Każdy element i ∈ Ω należy więc do dokładnie jednej orbity. Liczbę lk = |Ωk | nazywamy długością orbity Ωk . Jeśli i ∈ Ωk , to
Ωk = {i, π(i), . . . , π lk −1 (i)}.
Permutację
i
π(i) . . . π lk −2 (i) π lk −1 (i)
πk =
π(i) π 2 (i) . . . π lk −1 (i)
i
nazywamy cyklem długości lk . Cykle będziemy zapisywać w postaci jednego wiersza:
πk = i π(i) . . . π lk −2 (i) π lk −1 (i) .
Elementy te można oddzielać przecinkami lub nie.
Cykl πk pozostawia na miejscu wszystkie elementy zbioru Ω \ Ωk . Dlatego też uzasadnione
jest nazywanie cykli πs i πt dla s 6= t cyklami rozłącznymi.
Z rozbiciem zbioru (1) wiąże się zatem rozkład permutacji π na iloczyn
π = π1 π2 · · · πp ,
w którym wszystkie cykle πk są ze sobą przemienne.
W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, np.
1 2 3 4 5 6 7 8
π=
∈ S8
2 3 4 5 1 7 6 8
(2)
(3)
można zapisać:
π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7).
Twierdzenie 8. Każdą permutację π 6= e w Sn można przedstawić w postaci iloczynu cykli
rozłącznych o długości większej lub równej 2. Rozkład taki jest jednoznaczny z dokładnością
do kolejności czynników.
Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji.
Wniosek 2. Rząd permutacji π ∈ Sn jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie (2).
D o w ó d. Niech π = π1 π2 · · · πp . Ponieważ cykle są ze sobą przemienne, więc
π s = π1s π2s · · · πps , s = 0, 1, 2, . . .
Cykle π1 π2 . . . πp są rozłączne (działają na różnych zbiorach Ω1 , . . . , Ωp ), więc π q = e ⇔
πkq = e ∀k=1,2,...,p . Zatem q jest wspólną wielokrotnością rzędów cykli πk , czyli wspólną
wielokrotnością ich długości lk . Rzędem π jest najmniejsza taka liczba q, czyli
|π| = NWW(l1 , . . . , lp ).
Np. rząd permutacji π danej wzorem (3) wynosi 10.
Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S8 ?
8
Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy:
8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . .
dojdziemy do wniosku, że rzędami elementów różnych od e w S8 mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15.
Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15.
Zwróćmy uwagę, że |S8 | = 8! = 40320.
Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 8 wynika poniższy wniosek.
Wniosek 3. Każda permutacja π ∈ Sn jest iloczynem pewnej liczby transpozycji.
D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolnej transpozycji τ . Po drugie, z twierdzenia 8 wynika,
że wystarczy podać sposób rozkładu cyklu na transpozycje. Mamy np.:
(1 2 . . . l−1 l) = (1 l)(1 l−1) · · · (1 3)(1 2),
a ogólniej:
(a1 a2 . . . al−1 al ) = (a1 al )(a1 al−1 ) · · · (a1 a3 )(a1 a2 ).
Wniosek ten można wypowiedzieć inaczej:
Wniosek 4. Transpozycje tworzą zbiór generatorów dla Sn .
Oczywiście nie jest to minimalny zbiór generatorów, np.:
S3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ) .
Twierdzenie 9. (o generatorach grupy Sn ) Następujące podzbiory są zbiorami generatorów grupy symetrycznej Sn :
a) wszystkie transpozycje elementów zbioru Ω = {1, 2, . . . , n};
b) {(1 2), (2 3), (3 4), . . . , (n−1 n)};
c) {(1 2), (1 3), (1 4), . . . , (1 n)};
d) {(1 2), (1 2 3 . . . n)}.
D o w ó d. a) jest treścią poprzedniego wniosku.
b) Każdą transpozycję (ij), 1 ¬ i < j ¬ n można przedstawić w postaci:
(i j) = (i i+1)(i+1 i+2) · · · (j −1 j)(j −2 j −1)(j −3 j −2) · · · (i+1 i+2)(i i+1).
Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji generuje Sn , więc również zbiór transpozycji podany
w b) ją generuje.
c) Teza wynika z równości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i).
d) Niech α = (1 2), β = (1 2 . . . n). Wtedy mamy kolejno β −1 = β n−1 (bo β n = e),
(2 3) = βαβ −1 , (3 4) = β(2 3)β −1 , (4 5) = β(3 4)β −1 , . . ., (n−1 n) = β(n−2 n−1)β −1 . Na
mocy b) zbiór {α, β} jest również zbiorem generatorów. Warto także podkreślić, że rozkład permutacji na transpozycje nie jest jednoznaczny; więcej,
różne rozkłady mogą mieć nawet różną liczbę czynników. Np. w S4 mamy:
(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4).
Można jednak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji na transpozycje ma parzystą liczbę czynników, to każdy inny ma także parzystą liczbę czynników. Innymi słowy, liczba
επ = (−1)k , gdzie k jest liczbą transpozycji w dowolnym rozkładzie permutacji π, jest niezmiennikiem permutacji.
Dokładniej, można udowodnić kolejno poniższe lematy.
Lemat 3. Niech π ∈ Sn , niech τ ∈ Sn będzie transpozycją. Liczby cykli występujących w
rozkładach na cykle permutacji π i τ π różnią się o 1.
Lemat 4. Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawiona w postaci iloczynu k transpozycji, np. e = τk τk−1 · · · τ2 τ1 , to liczba k jest parzysta.
9
Korzystając z tych lematów można wykazać twierdzenie 10.
Twierdzenie 10. Jeżeli π ∈ Sn jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta.
D o w ó d. Niech π = τk τk−1 · · · τ2 τ1 = σl σl−1 · · · σ2 σ1 będą dowolnymi przedstawieniami
permutacji π ∈ Sn w postaci iloczynu transpozycji. Wtedy:
e = π −1 π
=
(σl σl−1 · · · σ2 σ1 )−1 (τk τk−1 · · · τ2 τ1 ) =
=
σ1−1 σ2−1 · · · σl−1 τk τk−1 · · · τ2 τ1 =
=
σ1 σ2 · · · σl τk τk−1 · · · τ2 τ1
jest przedstawieniem permutacji tożsamościowej w postaci iloczynu k + l transpozycji. Na
mocy poprzedniego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo k, l są obie parzyste, lub obie
nieparzyste. Permutację π ∈ Sn nazywamy parzystą, gdy επ = 1 i nieparzystą, gdy επ = −1. Tak więc
wszystkie transpozycje są permutacjami nieparzystymi. Można wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego (n ­ 2) tworzą podgrupę An grupy Sn , rzędu n!
2 .
Jest to tzw. grupa alternująca.
Definicja 4. Dwie permutacje π1 i π2 nazywamy podobnymi, jeżeli w ich rozkładach na cykle
występuje tyle samo cykli tej samej długości.
Przykład. Permutacje:
π1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10) , π2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10)
są podobne. Nietrudno sprawdzić, że podobieństwo jest relacją równoważności w zbiorze Sn .
Definicja 5. Mówimy, że permutacja π1 ∈ Sn jest sprzężona z permutacją π2 ∈ Sn względem
pewnej grupy permutacji G ⊆ Sn , jeśli istnieje element π grupy G taki, że ππ1 π −1 = π2 .
Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężenie względem G jest relacją równoważności.
Klasy abstrakcji relacji sprzężenia (względem grupy G) w zbiorze G nazywamy klasami elementów sprzężonych w grupie G.
Twierdzenie 11. Dwie permutacje π1 , π2 ∈ Sn są sprzężone względem Sn wtedy i tylko
wtedy, gdy są podobne.
D o w ó d. (⇒) Najpierw przykład: w S4 rozważmy permutację π1 = (132) i sprzężoną z nią
π2 = (34)π1 (34). Wtedy π2 = (142) jest podobna do π1 .
Ogólnie: jeśli dany jest rozkład permutacji π1 na cykle, to rozkład π2 otrzymujemy zastępując
liczby ich obrazami przy permutacji π.
(⇐) Znowu przykład: w S5 rozważmy permutacje podobne (123)(45) i (143)(25). Określamy
1 2 3 4 5
π=
= (24).
1 4 3 2 5
Wtedy π(123)(45)π −1 = (143)(25).
Ogólnie: niech permutacje
π1 = (a1 a2 . . . ak )(b1 . . . bl ) . . . (. . .),
π2 = (a01 a02 . . . a0k )(b01 . . . b0l ) . . . (. . .)
będą podobne. Niech
π=
a1
a01
a2
a02
...
. . .0
ak
a0k
b1
b01
b2
b02
...
. . .0
bl
b0l
...
...
∈ Sn .
Wtedy π2 = ππ1 π −1 . W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne. Dlatego przydatne jest następujące pojęcie.
10
Definicja 6. Niech w rozkładzie permutacji π ∈ Sn na cykle występuje jk cykli o długości
k, k = 1, 2, . . . , n. Jednomian
z(π) = xj11 xj22 · · · xjnn
nazywamy typem permutacji π.
Uwaga. Czasem typ oznacza się z(π) = 1j1 2j2 · · · njn .
Definicja 7. Indeksem cyklowym grupy permutacji G ⊆ Sn nazywamy wielomian:
1 X
Z(G) =
z(π).
|G|
π∈G
Przykład. Niech G = S2 = {e, (12)}. Wtedy
Z(S2 ) =
1
1
(z(e) + z(12)) = (x21 + x2 ).
2
2
Dla grupy S3 mamy z kolei:
6
Z(S3 ) =
1X
z(πi )
6 i=1
=
1 3
(x + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x3 + x3 ) =
6 1
=
1 3
(x + 3x1 x2 + 2x3 ).
6 1
9. Indeks cyklowy grupy dwuścianu
Definicja 8. Grupę izometrii n-kąta foremnego (n ­ 3) nazywamy grupą dwuścianu (diedralną) i ozn. Dn .
|Dn | = 2n, bo Dn składa się z n obrotów i n symetrii osiowych. Grupa ta jest generowana
np. przez obrót o kąt 2π/n i jedną symetrię osiową.
Każda izometria z Dn da się opisać jako pewna permutacja wierzchołków, więc Dn można
traktować jako podgrupę grupy Sn .
Np. D4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}.
Twierdzenie 12. 1) Jeżeli n = 2m + 1, to
Z(Dn ) =
X
1 n
n/d x1 + nx1 xm
ϕ(d)xd .
2 +
2n
d|n,d6=1
2) Jeżeli n = 2m, to
Z(Dn ) =
1 n
x + mx21 x2m−1 + (m + 1)xm
2 +
2n 1
X
n/d ϕ(d)xd
.
d|n,d6=1,2
D o w ó d. Symetrie osiowe dają w Dn składniki:
nx1 xm
2 dla n = 2m + 1,
mx21 xm−1
+ mxm
2 dla n = 2m.
2
Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczną. Niech g będzie generatorem — jest to cykl
rzędu n, np. g = (123 . . . n). Wtedy g k ma rząd
n
d=
nwd(k, n)
n/d
i jest iloczynem n/d cykli długości d, tj. z(g k ) = xd . Elementów rzędu d jest tyle, ile jest
takich k, że nwd(k, n) = n/d, tj. ϕ(d) (bo nwd(k, d) = 1 ⇔ nwd(k · nd , d· nd ) = nd ). Dla n = 2m
istnieje jeden obrót typu xm
2 . Przykład.
1
Z(D4 ) = x41 + 2x21 x2 + 3x22 + 2x4 .
8
11
10. Grupa ilorazowa
Definicja 9. Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez a ∈ G
nazywamy zbiór:
aH = {ah : h ∈ H}.
Przykłady. 1. Niech G = Q∗ , H = {3n : n ∈ Z}. Wtedy np. 5H = {5 · 3n : n ∈ Z}. 2. W
zapisie addytywnym: niech G = Z, H = 3Z = {3k : k ∈ Z}; wtedy 5 + H = {5 + 3k : k ∈ Z}.
3. G = GLn (K), H = SLn (K). Dla A ∈ GLn (K) mamy:
AH = {AB : B ∈ SLn (K)} = {C : det C = det A}.
Lemat 5. Niech H ¬ G. b ∈ aH ⇔ a−1 b ∈ H.
Lemat 6. Relacja :
a ∼ b ⇔ a−1 b ∈ H
jest relacją równoważności w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej relacji są warstwy G względem
H.
Wniosek 5. Niech H ¬ G. Każdy element grupy G należy do dokładnie jednej warstwy
względem H.
Wniosek 6. (twierdzenie Lagrange’a) . Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.
D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie jednej warstwy względem
H. Ponadto każda warstwa ma tyle elementów, ile podgrupa H. Zatem:
n = liczba warstw · liczba elementów warstwy,
n = liczba warstw · |H|.
Zatem |H| jest dzielnikiem |G|. Wniosek 7. Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cykliczna.
D o w ó d. Jeżeli a ∈ G jest rzędu n, to {e, a, . . . , an−1 } jest podgrupą cykliczną rzędu n.
Zatem n|p. A wiec jesli n 6= 1, to n = p, czyli G = {e, a, . . . , ap−1 }. Definicja 10. Zbiór warstw G względem H nazywamy zbiorem ilorazowym grupy G przez
podgrupę H i oznaczamy G/H. Moc zbioru G/H nazywamy indeksem podgrupy H w grupie
G ; oznaczenie (G : H).
W zbiorze ilorazowym można wprowadzić działanie, ale trzeba więcej założyć o H.
Definicja 11. Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą normalną lub dzielnikiem normalnym (oznaczenie : H C G), jeżeli spełniony jest warunek:
∀g∈G ∀h∈H g −1 hg ∈ H.
Warunki równoważne:
∀g∈G gH = Hg ; ∀g∈G g −1 Hg ⊆ H.
Przykłady. 1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna. 2. SLn (K) jest
normalna w GLn (K). 3. W grupie S3 podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest normalna, bo dla
g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}.
Lemat 7. Niech f : G −→ G0 będzie homomorfizmem. Wtedy ker f C G.
12
D o w ó d. Dla g ∈ G, h ∈ ker f mamy f (g −1 hg) = f (g)−1 f (h)f (g) = f (g)−1 f (g) = e, więc
g −1 hg ∈ ker f . Twierdzenie 13. Jeżeli H C G, to działanie:
aH · bH = abH
wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwanej grupą ilorazową G przez H.
Warstwa H = eH jest jedynką w G/H, a elementem odwrotnym do aH jest a−1 H.
D o w ó d. Sprawdzimy, że działanie jest dobrze określone, tj.
(aH = a0 H , bH = b0 H) =⇒ abH = a0 b0 H.
Mamy : a0 b0 H = a0 (b0 H) = a0 (bH) = a0 (Hb) = (a0 H)b = (aH)b = a(Hb) = a(bH) = abH. Twierdzenie 14. (podstawowe o homomorfizmach) . Niech f : G −→ G0 będzie homomorfizmem grup z jądrem H = ker f . Wtedy H C G oraz G/H ∼
= im f . Na odwrót, jeśli
H C G, to istnieje grupa G0 (mianowicie G/H) i epimorfizm π : G −→ G0 o jądrze H.
G
π
/ G/ ker f
f¯
# G0
f
Uwaga. π nazywamy homomorfizmem kanonicznym (naturalnym).
D o w ó d. Wiemy już, że H C G. Określamy odwzorowanie
f¯ : G/H −→ G0 , f¯(gH) = f (g).
Wykażemy, że f¯ jest izomorfizmem. Najpierw zauważmy, że odwzorowanie f¯ jest dobrze
określone, bo jeśli g1 H = g2 H, to g1−1 g2 ∈ H, czyli f (g1−1 g2 ) = e, tj. f (g1 ) = f (g2 ). Dalej, f¯
jest homomorfizmem, bo f¯(g1 H ·g2 H) = f¯(g1 g2 H) = f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) = f¯(g1 H)f¯(g2 H).
Ponadto f¯ jest monomorfizmem, bo jeśli f¯(gH) = e, to f (g) = e czyli g ∈ H, więc gH = H.
Oczywiście f¯(G/H) = im f , czyli obraz f¯ jest taki sam jak obraz f . Zatem f¯ jest szukanym
izomorfizmem.
Odwrotnie, niech H C G. Określamy π : G −→ G/H wzorem π(g) = gH. Odwzorowanie π
ma wtedy wszystkie żądane własności. Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich podgrup. Mówi o tym poniższe
twierdzenie.
Twierdzenie 15. Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli A∩B =
{e} i AB = G, to G ∼
= A × B.
D o w ó d. Każdy element g ∈ G można w sposób jednoznaczny(!) przedstawić w postaci
iloczynu g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Określamy f : G −→ A × B wzorem f (g) = (a, b). To
odwzorowanie jest izomorfizmem. Twierdzenie 16. Niech G = A × B. Wtedy G/A ∼
= B.
D o w ó d. Niech f : G −→ B, f (a, b) = b. Wtedy f jest epimorfizmem z jądrem A. Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł) przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość bezwzględną. Ponieważ |z1 z2 | = |z1 | · |z2 | więc jest to homomorfizm grupy
multiplikatywnej C∗ w grupę multiplikatywną R∗+ liczb nieujemnych. Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Grupa ilorazowa C∗ /C1 jest izomorficzna z grupą
R∗+ . Geometrycznie, elementami grupy ilorazowej są okręgi o środku w początku układu
współrzędnych. Iloczynem dwu takich okręgów o promieniach r1 i r2 jest okrąg o promieniu
r1 r2 . Grupa R∗+ jest także podgrupą w C∗ ; łatwo zauważyć, że jest to jądro homomorfizmu
arg : C∗ −→ R (R — grupa addytywna). Widać, że R∗+ ∩ C1 = {1} oraz R∗+ C1 = C∗ . Zatem
C∗ ∼
= C1 × R∗+ .
13
3
z
Przykład. Niech ϕ : C∗ → C∗ będzie określone wzorem ϕ(z) = |z|
3 . Sprawdzić, że ϕ
jest homomorfizmem, wyznaczyć ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować
warstwę ei π/4 ker ϕ.
Rozwiązanie. C∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest homomorfizmem:
ϕ(z1 z2 ) =
z13 z23
z3
z3
(z1 z2 )3
=
= 1 3 · 2 3 = ϕ(z1 )ϕ(z2 ).
3
3
3
|z1 z2 |
|z1 | |z2 |
|z1 | |z2 |
Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn.
z3
=1
|z|3
Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej: z = rei α . Wtedy
(rei α )3
= 1,
|rei α |3
e3 i α = 1
3 i α = 2kπ i,
k ∈ Z.
Zatem r jest dowolne (większe od 0), a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3:
ker ϕ = {r, re2 i π/3 , re4 i π/3 : r ∈ R+ }.
Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, nachylone do osi rzeczywistej
pod kątami 0, 2π/3, 4π/3.
Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(rei α ) = e3 i α , α ∈ R. Jest to więc okrąg
jednostkowy.
Warstwa:
ei π/4 ker ϕ = {rei π/4 · e2k i π/3 : k = 0, 1, 2} =
= {rei π/4 , rei(π/4+2π/3) , rei(π/4+4π/3) : r ∈ R+ }.
Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, nachylone do osi rzeczywistej
19π
pod kątami π4 , 11π
12 , 12 .
11. Działanie grupy na zbiorze
Definicja 12. Mówimy, że grupa G (zapisywana multiplikatywnie) działa na zbiorze X, jeżeli
jest dane przekształcenie G × X −→ X, w którym obrazem pary (g, x) jest element zbioru
X, oznaczany przez gx. Zakładamy, że to przekształcenie ma następujące własności:
a) ∀x∈X ex = x;
b) ∀x∈X ∀g,h∈G (gh)x = g(hx).
W tym kontekście elementy grupy G nazywamy operatorami, a zbiór X nazywamy G-zbiorem.
Dla x ∈ X zbiór
Gx = {gx : g ∈ G}
nazywamy G-orbitą elementu x. Może się zdarzyć, że Gx = {x}; wtedy x nazywamy punktem
stałym względem G.
Lemat 8. Niech X będzie G-zbiorem. Rodzina orbit {Gx : x ∈ X} jest podziałem zbioru X
na parami rozłączne niepuste zbiory których suma jest równa X.
D o w ó d. Wystarczy wykazać, że relacja:
x ∼ y ⇐⇒ (x, y należą do tej samej orbity)
jest relacją równoważności i powołać się na zasadę abstrakcji (twierdzenie 7). 14
Definicja 13. Zbiór Gx = {g ∈ G : gx = x} nazywamy stabilizatorem elementu x.
Lemat 9. Gx jest podgrupą G.
D o w ó d. Jeśli g, h ∈ Gx , czyli gx = hx = x, to g −1 hx = x, więc g −1 h ∈ Gx . Przykłady. 1. Niech G będzie grupą permutacji zbioru Ω = {1, 2, . . . , n}. Wtedy G działa
na Ω wg wzoru (α, j) 7→ α(j).
W szczególności, jeśli G = Sn , to orbita jest tylko jedna. Stabilizatorem Gi elementu i jest
wtedy grupa złożona z permutacji, w których rozkładzie na cykle występuje cykl (i). Np. gdy
G = S6 , to |G| = 720 a |Gi | = 120 dla i = 1, 2, . . . , 6.
Jeśli G jest grupa cykliczną generowaną przez π, G = (π), to orbitami tego działania są
wprowadzone wcześniej π-orbity : i, j należą do tej samej π-orbity, jeśli w rozkładzie π na
cykle są elementami tego samego cyklu. Stabilizator Gi składa się wtedy z tych potęg π k ,
dla których π k (i) = i. Np. gdy π = (123)(45)(6) ∈ S6 to mamy 3 orbity: G1 = G2 =
G3 = {1, 2, 3}, G4 = G5 = {4, 5}, G6 = {6}. Stabilizatory: G1 = G2 = G3 = {e, π 3 },
G4 = G5 = {e, π 2 , π 4 }, G6 = G. 2. Przykład poprzedni można uogólnić : każda grupa G
działa na G wg wzoru (g, x) 7→ gx. Wtedy orbita jest tylko jedna. Jeśli H ¬ G, to H działa
na G wg wzoru (h, x) 7→ hx. Wtedy orbitami są warstwy prawostronne grupy G względem
podgrupy H.
3. Innym działaniem G na G jest działanie poprzez automorfizmy wewnętrzne:
(a, g) 7→ Ia g = aga−1
dla a, g ∈ G.
Sprawdzimy, że jest to działanie. Mamy Ie g = ege−1 = g oraz
Iab g = (ab)g(ab)−1 = abgb−1 a−1 = aIb ga−1 = Ia (Ib g),
a więc warunki są spełnione. Dla tego działania:
Gx = {Ia x : a ∈ G} = {axa−1 : a ∈ G}.
Jeżeli x ∈ Z(G), to dla dowolnego a ∈ G mamy axa−1 = x, więc Gx = {x}.
Elementy orbity Gx nazywamy sprzężonymi z x. W szczególności, gdy G = Sn , to orbitami są
klasy elementów podobnych, czyli tego samego typu. Działanie, które ma tylko jedną orbitę,
nazywamy przechodnim. Jeśli działanie jest przechodnie, to dla każdego x ∈ X , Gx = {e}.
Twierdzenie 17. (o orbitach i stabilizatorach) Niech grupa G działa na zbiorze X. Wtedy liczność orbity Gx jest równa indeksowi stabilizatora Gx , tj.
|Gx| = (G : Gx ).
Zatem jeżeli G jest grupą skończoną, to |Gx| =
jest dzielnikiem rzędu grupy.
|G|
|Gx | .
W szczególności liczba elementów orbity
D o w ó d. Określimy odwzorowanie Gx → G/Gx wzorem f (y) = gGx dla y = gx. Takie
odwzorowanie jest dobrze określone, bo jeśli y = g1 x = g2 x, to g2−1 g1 x = x, czyli g2−1 g1 x ∈
Gx , więc g1 Gx = g2 Gx . Ponadto f jest surjektywne, bo g może być dowolnym elementem G.
Wreszcie jeśli g1 Gx = g2 Gx , to g2−1 g1 x ∈ Gx , czyli g2−1 g1 x = x, więc g1 x = g2 x, co dowodzi,
że f jest różnowartościowe. Zatem f określa równoliczność zbiorów Gx i G/Gx . Twierdzenie 18. (lemat Burnside’a) . Niech X będzie skończonym G-zbiorem. Liczba
G-orbit, na które dzieli się zbiór X, jest równa
1 X
χ(g),
|G|
g∈G
gdzie χ(g) oznacza liczność zbioru {x ∈ X : gx = x} punktów stałych operatora g.
15
D o w ó d. Utwórzmy macierz o |X| wierszach i |G| kolumnach następująco:
1 dla gx = x
ax,g =
.
0 dla gx 6= x
Obliczymy liczbę
P jedynek w tej macierzy dwoma
P sposobami. Sumując jedynki wierszami
otrzymujemy x∈X |Gx |, a sumując kolumnami g∈G χ(g). Zatem
X
|Gx | =
x∈X
X
χ(g).
g∈G
czyli
X |Gx |
1 X
=
χ(g).
|G|
|G|
g∈G
x∈X
Z twierdzenia o orbitach i stabilizatorach otrzymujemy
X
x∈X
1
1 X
=
χ(g).
|Gx|
|G|
g∈G
1
1
= 1, więc x∈X |Gx|
jest liczbą orbit. Zauważmy, że x∈Gx |Gx|
Przykład. Naszyjniki składają się z pięciu paciorków w trzech kolorach. Ile jest istotnie
różnych naszyjników?
Ponieważ kolor każdego paciorka można wybrać na 3 sposoby, więc naszyjników jest 35 = 243.
Jednak nie wszystkie są istotnie różne. Jeśli naszyjnik traktować jako pięciokąt foremny, którego wierzchołki są pomalowane trzema ustalonymi kolorami (np. czerwony, niebieski, zielony),
to istotna jest sekwencja kolorów. Należy zatem utożsamić te naszyjniki, które można otrzymać przez obrót pewnego ustalonego naszyjnika. Zatem możemy na zbiorze X wszystkich 243
naszyjników rozpatrywać działanie grupy obrotów; wtedy liczba istotnie różnych naszyjników
jest liczbą orbit tego działania. Na mocy lematu Burnside’a otrzymamy:
P
P
5
liczba orbit =
1X
χ(oi ),
5 i=1
gdzie oi jest obrotem o kąt 2π
5 i dla i = 1, 2, . . . , 5. Ponieważ naszyjnik niezmienniczy przy
obrocie o kąt niezerowy musi być 1-kolorowy, więc χ(oi ) = 3 dla i = 1, 2, 3, 4; ale χ(o5 ) = 243.
Zatem
1
liczba orbit = (4 · 3 + 243) = 51.
5
Ale zwrot ”istotnie różne” można rozumieć inaczej. Można utożsamiać naszyjniki które można
otrzymać przez obrót oraz te, które można otrzymać przez ”przełożenie na drugą stronę”,
czyli przez symetrię. Matematycznym modelem będzie wtedy działanie grupy diedralnej D5 .
Oprócz obrotów zawiera ona jeszcze 5 symetrii osiowych si , przy czym χ(si ) = 33 = 27
(kolory 3 wierzchołków wybieramy na 3 sposoby, ale dwa pozostałe muszą mieć taki kolor
jak wierzchołek symetryczny). Zatem wtedy
liczba orbit =
1
(4 · 3 + 243 + 5 · 27) = 39.
10
Przykład. Ogólniej, naszyjniki składają się z n paciorków w k kolorach. Ile jest istotnie
różnych naszyjników?
a) Jeśli grupą działającą jest grupa obrotów:
G = {o1 , . . . , on }
gdzie on jest obrotem o kąt
2π
n i
dla i = 1, 2, . . . , n, to mamy
χ(oi ) = k nwd(n,i) ,
16
bo jeżeli nwd(n, i) = d, to obrót oi jest rzędu nd , co oznacza, że tyle paciorków (co d-ty) musi
być tego samego koloru.
(Przykładowo, gdy n = 8, i = 6, to d = 2. Obrót o6 jest obrotem o kąt 23 π, czyli paciorki
przechodzące na siebie to 1,7,5,3 oraz 2,8,6,4. Zatem co drugi musi być tego samego koloru.
Jest więc k 2 możliwości wyboru kolorów.)
Liczba orbit wynosi:
n
1 X nwd(n,i)
k
.
n i=1
Np. dla n = 6, k = 3 otrzymujemy 130.
b) Jeśli grupą działającą jest grupa diedralna, to dochodzą jeszcze symetrie.
W przypadku n nieparzystego oś symetrii musi przechodzić przez wierzchołek. Wtedy
χ(s) = k
n+1
2
dla każdej symetrii s.
W przypadku n parzystego oś symetrii może przechodzić przez dwa wierzchołki (symetria
sw ) lub być symetralną boku (symetria sb ). Wtedy
n
χ(sw ) = k 2 +1 ,
n
χ(sb ) = k 2 .
Zatem:
— dla n nieparzystego liczba orbit wynosi
1
2n
n
X
!
k nwd(n,i) + n · k
n+1
2
n
=
i=1
1 X nwd(n,i) 1 n+1
k
+ k 2 ;
2n i=1
2
— dla n parzystego liczba orbit wynosi
1
2n
n
X
i=1
k
nwd(n,i)
n
n
n
n
+ · k 2 +1 + · k 2
2
2
!
n
=
1 X nwd(n,i) 1 n
k
+ k 2 (k + 1).
2n i=1
4
Np. dla n = 6, k = 3 otrzymujemy 92.
Uwaga. Obroty i symetrie o których mowa wyżej można interpretować jako permutacje. Jeżeli pod działaniem permutacji naszyjnik nie zmienia się, to znaczy, że paciorki odpowiadające
elementom tego samego cyklu są jednakowego koloru. Zatem:
Jeżeli permutacja π ∈ Sn ma r cykli (wliczając cykle długości 1), to liczba pokolorowań
stałych dla π wynosi k r (k — liczba kolorów).
Wniosek 8. Jeżeli G jest grupą permutacji działającą na zbiorze pokolorowań, i znamy jej
indeks cyklowy Z(G), to liczbę różnych pokolorowań otrzymamy podstawiając w Z(G) x1 =
x2 = · · · = xn = k.
Przykład. Jeśli G = (π), gdzie π = (12345), to Z(G) = 51 (x51 + 4x5 ). Podstawiając k = 3
otrzymamy 15 (243 + 12) = 51.
Ogólniej, prawdziwe jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 19. Niech G będzie grupą permutacji zbioru X, a X̃ zbiorem funkcji X → Y .
Dla σ ∈ G określamy σ̃ : X̃ → X̃ wzorem
σ̃(f ) = f ◦ σ
dla f ∈ X̃. Zbiór G̃ = {σ̃ : σ ∈ G} jest grupą działajacą na zbiorze X̃. Ponadto, jeśli n jest
liczba cykli w rozkładzie permutacji σ, to
|X̃σ | = |Y |n .
17
D o w ó d. Wykażemy, że σ̃ jest odwzorowaniem różnowartościowym. Przypuśćmy, że dla pewnych f, g ∈ X̃ jest σ̃(f ) = σ̃(g), tj.
f (σ(x)) = σ̃(f )(x) = σ̃(g)(x) = g(σ(x))
dla każdego x ∈ X. Ale ponieważ σ jest permutacją, więc jej wartościami są wszystkie
elementy zbioru X, a więc f i g mają równe wartości na wszystkich elementach zbioru X.
Stąd f = g.
Zatem G̃ można traktować jako grupę permutacji izomorficzną z G.
Załóżmy, że σ jest permutacją zbioru X z rozkładem na cykle σ = σ1 σ2 . . . σn . Jeżeli f ∈ X̃σ ,
tj. σ̃(f ) = f , to funkcja f musi mieć stałą wartość na każdym cyklu permutacji σ. Ponieważ
jest n cykli i |Y | możliwych wartości dla każdego cyklu, więc |X̃σ | = |Y |n .
Przykład. Niech X = {1, 2, . . . , 8}, Y = {a, b, c}. Jeśli σ = (135)(26)(47)(8), to |X̃σ | = 34 =
81.
Przykład. Na ile sposobów można pokolorować wierzchołki kwadratu używając czterech
różnych kolorów?
Grupą symetrii kwadratu jest grupa diedralna D4 . Ponieważ
Z(D4 ) =
1 4
(x + 2x21 x2 + 3x22 + 2x4 ),
8 1
więc podstawiając x1 = x2 = x3 = x4 = 4 otrzymujemy
1 4
(4 + 2 · 4 + 3 · 42 + 2 · 4) = 55.
8
18