Ryszard HEJMANOWSKI*, Andrzej KWINTA** Dobór formy osnowy
Transkrypt
Ryszard HEJMANOWSKI*, Andrzej KWINTA** Dobór formy osnowy
WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie ____________________________________________________________________________ Mat. Symp. str. 289 – 298 Ryszard HEJMANOWSKI*, Andrzej KWINTA** *Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków **Akademia Rolnicza, Kraków Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania odkształceń poziomych na terenach górniczych Streszczenie Odkształcenia poziome na terenach górniczych wyznacza się zazwyczaj na podstawie pomiarów geodezyjnych. Dla oceny zagrożenia obiektów należy wyznaczyć wartości maksymalne odkształceń. Przy odpowiednio dobranym układzie punktów pomiarowych możliwe jest wyznaczanie stanu odkształceń metodami geodezyjnymi. W artykule podano najbardziej optymalne formy osnowy pomiarowej, uwzględniające dokładność wyznaczanych odkształceń. Wykazano ponadto, że stosowanie klasycznych rozet, bądź linii pomiarowych jest mniej korzystne niż konstrukcji zalecanych przez autorów. 1. Wstęp Jednym z czynników uwzględnianych przy projektowaniu eksploatacji górniczej jest jej niekorzystne oddziaływanie na powierzchnię terenu i obiekty na niej zlokalizowane. Podstawowym wskaźnikiem deformacji są odkształcenia poziome, w oparciu o które określa się kategorie terenu górniczego. Dla obiektów, w zależności od jego wymiarów i konstrukcji, istotne znaczenie mają odkształcenia poziome osiowe (w kierunkach osi głównych obiektu) oraz odkształcenia główne. Pomiary geodezyjne prowadzone ponad eksploatacją górniczą pozwalają na określenie oddziaływania tej eksploatacji na powierzchnię terenu i obiekty. Pomiary takie są praktycznie jedynym źródłem informacji na temat wpływu eksploatacji na obiekty powierzchniowe. Dla obiektów budowlanych zagrożonych wpływami eksploatacji górniczej zakłada się na ścianach i w jego pobliżu zbiór punktów pomiarowych, pozwalających na śledzenie ich ruchów w trakcie trwania eksploatacji. W przypadku punktów ściennych (repery), generalnie obserwuje się ich ruchy w płaszczyźnie pionowej (przemieszczenia pionowe, nachylenia, krzywizny). W oparciu o pomiary geodezyjne, wykonywane na punktach ziemnych zastabilizowanych w otoczeniu obiektu (linie pomiarowe), wyznacza się wskaźniki deformacji w płaszczyźnie poziomej i pionowej. Od pewnego czasu postuluje się wprowadzanie pomiarów w płaszczyźnie poziomej, które pozwoliłyby na wyznaczenie tensora stanu odkształcenia w rejonie tych obiektów. Należałoby tu również wspomnieć o nowoczesnych pomiarach wychyleń wysokich obiektów specjalnymi metodami geodezyjnymi (Jóźwik i in. 2002). Należy zdawać sobie sprawę z faktu, że tensor odkształcenia formalnie powinien być wyznaczany metodami tensometrycznymi. W praktyce ochrony terenów górniczych prowadzone są jednak pomiary geodezyjne, których wyniki służą do wyznaczania tensora _______________________________________________________________ 289 R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ... ____________________________________________________________________________ odkształcenia. Mówiąc o pomiarach geodezyjnych tego typu zakłada się stałość stanu odkształcenia na całej powierzchni objętej pomiarami (boku odcinka linii pomiarowej, obszaru rozety, gwiazdy). Stan odkształcenia jest w rzeczywistości zmienny zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Dlatego, zdaniem Autorów, niezbędne jest podjęcie dyskusji na temat określenia zasad prowadzenia i opracowania odpowiednich pomiarów geodezyjnych, na podstawie których wyznacza się stan odkształcenia. W niniejszej pracy analizie poddano zależność pomiędzy układem punktów pomiarowych (rozeta, gwiazda), a wynikami pomiarów geodezyjnych. Niniejszy artykuł jest jedną z cyklu publikacji dotyczących problematyki pomiarów deformacji w aspekcie wyznaczania tensora odkształceń na terenach górniczych z zastosowaniem nowoczesnych pomiarów geodezyjnych. 2. Klasyczny pomiar stanu odkształcenia poziomego metodami geodezyjnymi Powierzchnia terenu poddana oddziaływaniu eksploatacji górniczej podlega przemieszczeniom i odkształceniom. Przemieszczenie należy rozumieć jako translację punktów powierzchni o pewien wektor. Odkształcenie ośrodka jest to zmiana położenia względem siebie jego poszczególnych punktów. Odkształcenie to opisywane jest poprzez dwie miary: odkształcenie liniowe i odkształcenie postaciowe. Miary odkształcenia można zdefiniować następująco (Praca Zbiorowa 1980): – miarą odkształcenia liniowego nazywamy granicę iloczynu zmiany długości odcinka do jego pierwotnej długości, – miarą odkształcenia postaciowego nazywamy zmianę wartości tangensa kąta pomiędzy dwoma odcinkami spowodowaną przez odkształcenie. Miary odkształcenia są wielkościami lokalnymi, przypisanymi do punktu zawartego w nieskończenie małym elemencie (ifinityzymalnym). Stan odkształcenia w tym punkcie jest określony, jeżeli można wyznaczyć miary odkształcenia w dowolnym kierunku. Miary odkształcenia liniowego i postaciowego tworzą tensor stanu odkształcenia w danym punkcie. Tensor płaskiego stanu odkształcenia można przedstawić jako macierz o czterech elementach [2x2], następująco (1): x xy T yx y (2.1) gdzie : T – tensor stanu odkształcenia, x, y – odkształcenia liniowe w kierunkach osi x i y, xy, yx – odkształcenia postaciowe, przy czym obie wielkości są sobie równe xy = yx. Składowe tensora stanu odkształcenia zależą od wyboru układu współrzędnych, wraz z jego zmianą podlegają odpowiednim transformacjom (podobnie jak współrzędne wektora). Tensor odkształcenia charakteryzuje się trzema niezmiennikami (liniowym, kwadratowym, sześciennym). Odkształcenia główne są to wartości ekstremalne liniowych odkształceń w funkcji kierunku, natomiast ekstremalne odkształcenie postaciowe jest to maksymalna wartość odkształcenia postaciowego. _______________________________________________________________ 290 WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie ____________________________________________________________________________ Wielkości te można zapisać następująco: max min x y 2 x y 2 max 1 2 1 2 x y 2 4 xy2 (2.2) 1 2 x y 2 4 xy2 (2.3) x y 2 4 xy2 tg 2 2 xy y x (2.4) (2.5) gdzie: kąt mierzony od osi x, w kierunku którego występuje odkształcenie główne. Odkształcenia poziome powinny być wyznaczane z pomiarów prowadzonych na bardzo małych bazach pomiarowych. Tak więc odkształcenia zasadniczo powinno się wyznaczać z pomiarów tensometrycznych. W praktyce, powszechnie odkształcenia poziome uzyskuje się na podstawie pomiarów geodezyjnych, które prowadzone są na stosunkowo długich bazach pomiarowych. Na podstawie analizy formalnej prowadzonej w oparciu o wzory teorii Knothego można wykazać, że możliwe jest wyznaczanie odkształceń poziomych będących skutkiem prowadzonej eksploatacji górniczej, na bazie pomiarów geodezyjnych (Kwinta 2005). Wykonując pomiary względnych zmian długości odcinków metodami geodezyjnymi, można uzyskiwać rozbieżności z odkształceniami (pochodna przemieszczeń) poniżej 1% maksymalnych odkształceń. Oczywiście wartość tego błędu zależy od długości odcinka oraz od miejsca przypisania odkształcenia (minimum dla środka mierzonego odcinka). W przypadku tradycyjnych metod pomiarowych (Kwinta 1998) odkształcenia poziome wyznacza się z pomiarów zmian długości odcinków linii pomiarowej w poszczególnych seriach pomiarowych (zgodnie z definicją odkształcenia liniowego). Korzystając z tej definicji, można obliczyć odkształcenie na zadanym odcinku, jednak tylko w kierunku, jaki wyznacza ten odcinek w przyjętym układzie współrzędnych. W wielu przypadkach obliczona wartość odkształcenia nie będzie pokrywała się z jego wartością maksymalną. W celu określenia odkształceń głównych można założyć specjalne konstrukcje (układy punktów pomiarowych). Najczęściej stosowane są konstrukcje w postaci rozety (trójkąt) lub gwiazdy (rys. 2.1), to znaczy : – rozeta prostokątna – jest to trójkąt prostokątny, równoramienny, – rozeta delta – jest to trójkąt równoboczny, – gwiazda – jest to zbiór odcinków o jednym punkcie wspólnym (co najmniej trzech). W konstrukcjach przedstawionych na rysunku 2.1 mierzone są zmiany długości odcinków, natomiast w wyniku obliczeń tensor odkształcenia można przypisać dowolnemu punktowi w obrębie konstrukcji (na ogół przypisuje się do punktu środkowego S). W przypadku pomiarów tensometrycznych prowadzonych na krótkich bokach (bezpośrednie otoczenie punktu), takie _______________________________________________________________ 291 R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ... ____________________________________________________________________________ postępowanie jest uzasadnione. Dla pomiarów geodezyjnych przy kilkudziesięciometrowej długości boków można popełnić istotne błędy w interpretacji tensora odkształceń. d3 d2 d3 S d2 d3 S d1 S d2 d1 d1 Rys. 2.1. Typowe konstrukcje geodezyjne do wyznaczania stanu odkształceń Fig. 2.1. Typical surveying constructions to determine strains W celu określenia rozbieżności pomiędzy odkształceniem liniowym wyznaczonym w punkcie końcowym odcinka pomiarowego, a obliczonym jako względna zmiana długości odcinka pomiarowego i przypisanym do tego punktu, wprowadźmy miarę: M x b / 2, b dux b / 2 ux b / 2 ux b / 2 dx b (2.6) gdzie: u(x) – przemieszczenie punktu końcowego odcinka, x – położenie punktu pomiarowego względem pola eksploatacyjnego, b – długość odcinka pomiarowego. Dla uproszczenia dalszych rozważań analizowany będzie przypadek eksploatacji dużego pola, wywołującego płaski stan przemieszczeń. Graficznie zależność (2.6) przedstawiono na rysunku 2.2. Dla danego odcinka pomiarowego przyjęto w sposób następujący miarę maksymalną rozbieżności: M max x, b maxM x b / 2, b, M x b / 2, b (2.7) Ponieważ w praktyce powszechne zastosowanie do opisu procesu deformacji ma teoria prognozowania Knothego, do obliczeń przemieszczeń oraz odkształceń poziomych występujących w zależnościach (2.6) i (2.7) skorzystano z wzorów tej teorii (Knothe 1984). _______________________________________________________________ 292 WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie ____________________________________________________________________________ b M(x+b/2,b) M(x-b/2,b) du(x) dx u(x,b) b x x Rys. 2.2. Miara rozbieżności pomiędzy odkształceniem w punkcie i względnym wydłużeniem Fig. 2.2. Discrepancy rule between strain at a point and relative elongation of a measured section Po wstawieniu wzorów teorii Knothego, przekształceniach i uwzględnieniu zależności Budryka (Budryk 1953) uzyskano: M d ,2d 2 exp d 2 exp d 2 max 2 exp d 2 3 2d (2.8) gdzie: x – standaryzowana współrzędna x, r b d 2r – standaryzowana długość odcinka, r – promień zasięgu wpływów głównych teorii Knothego, max – maksymalne odkształcenie poziome. Na rysunku 2.3 przedstawiono graficznie wynik obliczeń błędu przyjęcia odkształcenia z pomiarów na odcinku (jako względna zmiana długości) w odniesieniu do odkształcenia wyznaczonego w jego punkcie początkowym. Wyniki przedstawiono w procentach maksymalnego odkształcenia poziomego, jakie w danych warunkach może wystąpić. Jak widać z rysunku 2.3 uzyskane błędy są znaczące i dla długości odcinka pomiarowego rzędu 10% promienia zasięgu wpływów głównych osiągają lokalnie ponad 10% maksymalnego odkształcenia. Przykładowo dla przeciętnych warunków eksploatacji węgla w Górnośląskim Zagłębiu Węglowym przy długości odcinka pomiarowego około 20 m popełnia się błąd względny odkształcenia około 8,4%. Uzyskane wyniki wskazują, że ten sposób wyznaczania tensora odkształcenia jest błędny. _______________________________________________________________ 293 R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ... ____________________________________________________________________________ 1.5 1.0 0.5 x r 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.00 0.05 0.10 2d= 0.15 0.20 b r Rys. 2.3. Rozkład błędu względnego odkształceń na brzegu odcinka pomiarowego Fig. 2.3. Relative strain error propagation on the edge of a measured section 3. Zmodyfikowany pomiar geodezyjny stanu odkształcenia poziomego Na podstawie analizy przeprowadzonej w poprzednim rozdziale stwierdzono konieczność zmiany metodyki geodezyjnego pomiaru odkształceń, dla potrzeb wyznaczania tensora odkształceń. Ponieważ w przypadku pomiarów odkształceń na odcinku i przypisaniu wartości do jego środka popełnia się stosunkowo mały błąd, dlatego proponuje się stosowanie układu odcinków pomiarowych w postaci gwiazdy, gdzie wszystkie odcinki przecinają się w punkcie środkowym S (rys. 3.1) d2 S d1 d3 Rys. 3.1. Układ trzech odcinków pomiarowych z punktem środkowym S Fig. 3.1. Set of three measured sections with a middle point S _______________________________________________________________ 294 WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie ____________________________________________________________________________ W takim przypadku błąd wyznaczenia odkształcenia liniowego dla odcinków o długości poniżej 26% promienia zasięgu wpływów głównych teorii Knothego, nie powinien przekraczać 1% wartości maksymalnego odkształcenia poziomego dla danej eksploatacji. Innym możliwym rozwiązaniem jest zastosowanie układu punktów w postaci gwiazdy z dwoma odcinkami pomiarowymi na każdym boku (rys. 3.2). d32 d31 S d12 d11 d21 d22 Rys. 3.2. Gwiazda pomiarowa z trzema liniami po dwa odcinki Fig. 3.2. Measured star with three lines, two sections each W przypadku jak na rysunku 3.2 wyznaczenie odkształcenia liniowego, w zadanym kierunku będzie się opierało na aproksymacji przemieszczeń poziomych równaniem paraboli. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 3.3. Dla uproszczenia przyjęto, że długości odcinków są w przybliżeniu równe i wynoszą b. Zgodnie z tym równanie paraboli ma postać: fu x mx 2 nx p (3.1) gdzie: x – odległość od punktu S, p uS , n m 4u1 3u S u 2 , 2b u 2 u S 2u1 2b 2 . Pochodna z funkcji przemieszczeń (3.1) po zmiennej x (funkcja odkształcenia) dana jest wzorem: f x df u x u2 uS 2u1 4u 3uS u2 x 1 2 dx 2b b (3.2) Dla punktu S wartość odkształcenia wyniesie: f xS 0 4u1 3u S u2 2b (3.3) _______________________________________________________________ 295 R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ... ____________________________________________________________________________ u(x) pkt S uS pkt 1 b pkt 2 b x1=b xS=0 x2=2b x fu(x)=mx2+nx+p u1 u2 Rys. 3.3. Aproksymacja przemieszczeń trzech punktów pomiarowych Fig. 3.3. Approximation of three measured points displacement biorąc pod uwagę, że odkształcenia wyznaczane geodezyjnie na poszczególnych odcinkach można zapisać następująco: 1 u1 u S b , 2 u 2 u1 b (3.4) to po przekształceniach uzyskujemy: S 1 1 2 (3.5) 2 Dla rozwiązania danego równaniem (3.5) przyjmując, że odkształcenia na poszczególnych odcinkach wyznaczane są metodami geodezyjnymi, wyznaczono błąd MS(x,b) odkształcenia w punkcie S (rys. 3.4). Na bazie zależności (3.3) oraz wzorów teorii Knothego wyznaczany błąd odkształcenia można zapisać następująco: M , d max 4 exp d 3 exp 2 exp 2d 2 2 exp 2 3 2d 2 2 (3.6) oznaczenia przyjęto tak jak we wzorze (2.8). Na rysunku 3.5 podobnie jak na rys. 2.3 przedstawiono graficzny rozkład obliczonych błędów. Na podstawie uzyskanych wyników należy stwierdzić istotne zmniejszenie się błędu odkształcenia liniowego dla punktu S, w którym wyznaczany będzie tensor odkształcenia. W przeciętnych warunkach Górnośląskiego Zagłębia Węglowego dla odcinków pomiarowych _______________________________________________________________ 296 WARSZTATY 2005 z cyklu: Zagrożenia naturalne w górnictwie ____________________________________________________________________________ rzędu 10% promienia zasięgu wpływów głównych teorii Knothego, uzyskuje się błąd rzędu 1,4% maksymalnego odkształcenia poziomego. MS(x,b) du(x) dx f(x) x x+2b x+b x Rys. 3.4. Błąd odkształcenia w punkcie S Fig. 3.4. Error of strain at the point S 1.5 1.0 0.5 x r 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 b d= r Rys. 3.5. Rozkład względnego błędu odkształcenia w punkcie S Fig. 3.5. A relative strain error propagation at the point S Zatem konstrukcja w postaci układu trzech linii złożonych z dwóch odcinków pomiarowych każda, pozwala na wyznaczanie tensora odkształcenia na podstawie pomiarów geodezyjnych. Tego typu konstrukcję Autorzy zastosowali w praktyce do oceny stanu odkształceń w rejonie zabytkowego obiektu sakralnego. Stwierdzone uszkodzenia obiektu były w korelacji do stanu _______________________________________________________________ 297 R. HEJMANOWSKI, A. KWINTA – Dobór formy osnowy geodezyjnej do wyznaczania ... ____________________________________________________________________________ odkształceń wyznaczonego z układu trzech linii pomiarowych, co w pełni potwierdziło praktyczną przydatność omawianych tutaj rozwiązań teoretycznych (Hejmanowski i Kwinta 2001). 4. Podsumowanie Wyniki przeprowadzonych analiz wskazują, że na podstawie wyników pomiarów geodezyjnych zmian długości odcinków pomiarowych, można wyznaczać tensor odkształcenia. W takim przypadku, aby zapewnić dostateczną dokładność wyznaczanych w punkcie odkształceń głównych, należy zrezygnować z konstrukcji w postaci rozet (trójkątów) na rzecz gwiazd pomiarowych. Możliwe jest zastosowanie dwóch typów konstrukcji pomiarowych, a mianowicie: – gwiazda złożona z odcinków pomiarowych przecinających się w punkcie, w otoczeniu którego wyznaczany jest tensor odkształcenia, – gwiazda złożona z linii pomiarowych (dwa odcinki na każdej linii) o jednym punkcie wspólnym, w otoczeniu którego wyznaczany jest tensor odkształcenia. Niniejsza praca została zrealizowana w ramach programu badawczego nr 5T12E04124 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Informatyzacji. Literatura [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Budryk W. 1953: Wyznaczanie wielkości poziomych odkształceń terenu. Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t.1, z.1, Warszawa. Hejmanowski R., Kwinta A. 2001: Monitoring of horizontal displacements in European coalfields. 10th International Symposium on Deformation measurements : Orange, California, USA 19 – 22 March 2001. Jóźwik M., Jaśkowski W., Korbiel T., Lipecki T. 2002: Wyniki ciągłej rejestracji przemieszczeń i wychyleń budynku w czasie wstrząsów górniczych. Materiały sympozjum Warsztaty 2002, Ustroń Śl. 27 – 29.05.2002. Knothe S. 1984: Prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej. Wyd. „Śląsk”, Katowice. Kwinta A. 1998: Próba porównania dokładności wyznaczania pogórniczych odkształceń poziomych terenu z wykorzystaniem metod geodezyjnych. Zeszyty Naukowe AGH, s. Geodezja, t.4, z.2, Kraków. Kwinta A. 2005: Geodezyjne pomiary odkształceń poziomych nad eksploatacją górniczą. (nie publikowane). Praca Zbiorowa 1980: Ochrona powierzchni przed szkodami górniczymi. Wyd. „Śląsk”, Katowice. Geodetic benchmark selection to estimate horizontal deformation tensor in mining areas The horizontal deformations are usually determined on the basis of surveying measurements. To estimate a menace of buildings is indispensable for solving maximal deformation values. Appropriate coupled geodetic points enable evaluation of a deformation tensor on the surveying measurements. Optimal forms of geodetic benchmark, allowing for an accurate assessment of horizontal deformations, are presented in the paper. The surveying construction given by the authors proved to be more advantageous than some classic rosettes (triangles) or measurements lines. Przekazano: 30 marca 2005 r. _______________________________________________________________ 298