?VTWXJ ?VTHJW\ AXTHMFWX\H]SJ N NHM ]FWXTWTZFSNF

Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania
Pawe÷J. Szab÷
owski
March 2007
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
1 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Gestość
¾
n wymiarowego rozk÷
adu normalnego ma postać:
f (x) =
1
p
(2π )n/2 det Σ
exp(
1
(x
2
m)T Σ
1
(x
m))
(1)
gdzie m 2Rn , zaś Σ jest symetryczna¾ dodatnio określona¾ n n- macierza.
¾
Piszemy X Nn (m, Σ) jeśli X ma taki rozk÷
ad. Później w nastepnym
¾
wyk÷
adzie, gdy bedzie
¾
mowa o przekszta÷
ceniach liniowych zmiennych
losowych pokaz·emy, z·e funkcja (1) istotnie jest gestości
¾
a.
¾ Poziomice, czyli
podzbiory Rn dla których gestości
¾
sa¾ sta÷
e, sa¾ dla takiego rozk÷
adu
powierzchniami elipsoid. Wynika to z nastepuj
¾ acego
¾
rozumowania: Mamy
n
o
Ec = fx 2 Rn : f (x) = c g = x 2 Rn : (x m)T Σ 1 (x m) = ć ,
gdzie zalez·ność mip
edzy
¾
c i ć jest dana formu÷¾
a:
ć = exp(c (2π )n/2 det Σ) . To, z·e zbiór Ec przedstawia soba¾ dla
dodatnich ć powierzchnie elipsoid n- wymiarowych wynika z wiadomości z
Algebry ( I semestr -formy kwadratowe).
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
2 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Rozk÷
ady brzegowe
Przez X1 i X2 oznaczmy odpowiednio pierwszych n i ostatnich k
X1
.
X2
Temu rozbiciu wektora na dwa podwektory odpowiada w naturalny sposób
rozbicie wektora m na dwa podwektory m1 i m2 w taki sposób, z·e mamy:
m1
m=
i rozbicie macierzy Σ na cztery macierze Σ11 , Σ12 , Σ21 , Σ22
m2
Σ11 Σ12
otrzymane w taki sposób, z·e Σ =
. Σ11 jest n n minorem
Σ21 Σ22
g÷
ównym macierzy Σ otrzymanym z pierwszych n wierszy i pierwszych n
kolumn macierzy Σ. Podobnie macierz Σ12 jest n k podmacierza¾
otrzymana¾ z n pierwszych wierszy i k ostatnich kolumn macierzy Σ itd.
wspó÷
rzednych
¾
wektora X
Nn +k (m, Σ), jednym s÷
owem X =
Za÷
óz·my, z·e Σ12 i Σ21 sa¾ macierzami zerowymi.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
3 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Rozk÷
ady brzegowe
Σ111
0
(moz·na sprawdzić, z·e tak jest
0
Σ221
wykonujac
¾ sprawdzajace
¾ mnoz·enie macierzowe ΣΣ 1 = I . Ponadto mamy
det Σ = det Σ11 det Σ22 . Zatem:
Wówczas mamy: Σ
1
=
(x m)T Σ 1 (x m)
= (x1 m1 )T Σ111 (x1 m1 ) + (x2
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
(2)
m2 )
T
Σ221 (x2
m2 ) .
March 2007
(3)
4 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Rozk÷
ady brzegowe
Oznaczmy:
f1 (x1 ) =
(2π )n/2
i
f2 (x2 ) =
1
p
1
p
det Σ11
(2π )k /2 det Σ22
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
exp(
1
(x1
2
m1 )T Σ111 (x1
m1 ))
exp(
1
(x2
2
m2 )T Σ221 (x2
m2 )).
Wyk÷
ad 6
March 2007
5 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Rozk÷
ady brzegowe
Z formu÷
y (2) wynika , z·e
f (x) =f1 (x1 )f2 (x2 ).
(4)
R
R
Teraz zauwaz·my, z·e Rk f (x1 , x2 )dx1 = f2 (x2 ) Rk f1 (x1 )dx1 . czyli gestość
¾
brzegowa
wektora X2 jest równa f2 (x2 ) razy pewna sta÷
a(
R
= Rk f1 (x1 )dx1 ). Widać wiec,
¾ z·e rozk÷
ad brzegowy X2 jest tez· normalny i
ponadto, z·e jest postaci: Nk (m2 , Σ22 )!!!! Później, w nastepnym
¾
wyk÷
adzie, wynik ten zostanie uogólniony na macierze Σ nie tylko
powyz·szej, specjalnej diagonalnej postaci.
Rozumujac
¾ analogicznie otrzymamy: X1 Nn (m1 , Σ22 ). Zauwaz·my
ponadto, z·e z formu÷
y (4) wynika, z·e zmienne X1 i X2 sa¾ niezalez·ne.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
6 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Przekszta÷
cenie liniowe
Za÷
óz·my, z·e X jest typu ciag÷
¾ ego z gestości
¾
a¾ fX , Y = g(X) = AX + b, A
jest n n-macierza¾ taka,
¾ z·e det A 6= 0. Wówczas oczywiście Jg = det(A).
Wiec:
¾
fY ( y ) = fX ( A
1
(y
b))/j det Aj.
W szczególności, jeśli X Nn (m, Σ) to zmienna losowa
Y = Σ 1/2 (X m) ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ gestość:
¾
1 T
(det(Σ))1/2
exp(
fY ( y ) = p
y Σ
n
1/2
2
( 2π ) (det(Σ))
1/2
ΣΣ
1/2
y) =
exp( 12 yT y)
p
,
( 2π )n
lecz yT y = ∑ni=1 yi2 jeśli za÷
oz·yć yT = (y1 , ..., yn ).
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
7 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Przekszta÷
cenie liniowe
A wiec
¾
n
fY ( y ) = ∏
i =1
y2
1
p exp( i ) .
2
2π
Wspó÷
rzedne
¾
wektora Y sa¾ wiec
¾ niezalez·ne!!!.
Rozwaz·my troche¾ bardziej ogólna¾ sytuacje.
¾ Niech:
X
Nn (m, Σ), Y = AX + b,
otrzymamy wówczas:
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
8 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Przekszta÷
cenie liniowe
fY ( y ) =
exp(
exp(
1
1
2 (A (y
1
2 (y
Stad
¾ waz·ny wniosek:
Y
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
p
b)
m)T Σ
1 (A 1 (y
p
(
det Σ
T
T
Am b) (AΣA ) 1 (y
p
p
( 2π )n det(AΣAT )
2π )n j det Aj
b)
Am
m))
=
b))
Nn (Am + b, AΣAT )!
Wyk÷
ad 6
(5)
March 2007
9 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Momenty
Niech X
N (m, σ2 ).
R ∞ exp ( (x m )2 /2σ2 )
p
Mamy EX = ∞ x
dx =
σ 2π
R∞
R ∞ exp ( (x m )2 /2σ2 )
2
2
) /2σ )
p
(x m) exp ( (σx pm
dx + m ∞
dx . Pierwsza z
∞
2π
σ 2π
tych ca÷
ek jest równa zeru (bo po zmianie zmiennych x m ! y
ca÷
kujemy funkcje¾ parzysta¾ po symetrycznym przedziale) a druga jest
równa m. Zatem
EX = m
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
10 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Momenty
R∞
exp (
Oznaczmy mk = ∞ (x m )k
x m ! y dostaniemy:
mk =
0R
∞
-∞
y 2j
exp(
(x pm )2 /2σ2 )
dx.
σ 2π
y 2 /(2σ2 ))/(σ
p
2π )dy
Zmieniajac
¾ zmienne na
dla k = 2j + 1
dla k = 2j
j = 0, 1, 2 . . . .
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
11 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Momenty
Aby Rsprawnie obliczyć m2j dla j =
p 1, 2, . . . zauwaz·my po pierwsze, z·e m2j
∞ 2j
2
2
= 2 0 y exp( y /(2σ ))/(σ 2π )dy a po drugie po zamianie
zmiennych y 2 /(2σ2 ) ! z dostaniemy
2j
m2j = σ2j p
π
Zatem np. m2 = E (X
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Z ∞
zj
1
2
e
0
z
dz = σ2j
2j Γ( 2j 2+1 )
p
π
EX )2 = σ2 , m4 = 3σ4 , m6 = 15σ6 itp.
Wyk÷
ad 6
March 2007
12 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Momenty: Przypadek wielowymiarowy
Za÷
óz·my teraz, z·e X Nn (m, Σ), det Σ > 0. Rozwaz·my nastepuj
¾ acy
¾
wektor pomocniczy: Y = Σ 1/2 (X m). Wiadomo, z·e a) Y Nn (0, I),
b) wspó÷
rzedne
¾
wektora Y sa¾ niezalez·ne o jednakowych rozk÷
adach
N (0, 1). Kaz·da z nich ma zatem wartość oczekiwana równa¾ zero i
wariancje¾ równa¾ 1. Zatem
0 = EY = Σ
1/2
I = ΣY = Σ
1/2
(E X
ΣX Σ
m),
1/2
.
Aby wiec
¾ znaleźć, E X i ΣX trzeba rozwiazać
¾
te równania wektorowo
macierzowe. Nie jest to trudne i ÷
atwo znajdziemy:
E X = m,
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
ΣX = Σ !
Wyk÷
ad 6
March 2007
13 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Podsumujmy poprzednie informacje o zmiennych Gaussowskich. Niech
X Nn (m, Σ), det Σ > 0, wówczas:
fX ( x ) =
exp (
1
2 (x
m)T Σ
1 (x
(2π )n/2 (det Σ)1/2
E X = m, ΣX = Σ.
m))
, x 2 Rn .
Niech XT = (X1T , X2T ), gdzie dim X1 = k i dim X2 = n jest
rozbiciem wektora X. Niech dalej rozbiciu temu odpowiadajac
¾ a¾
rozbiciu wektora m i macierzy Σ: mT = (mT1 ,mT2 ),
Σ1 Σ12
, to X1 Nk (m1 , Σ1 ).
Σ=
ΣT12 Σ2
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
14 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Proof.
Rozwaz·my nastepuj
¾ ace
¾ liniowe przekszta÷
cenie wektora losowego X :
Y1 = X1
Y2 = X2
m2
ΣT12 Σ111 (X1
m1 ) .
czyli innymi s÷
owy
df
Y=
Y1
Y2
I
=
0
ΣT12 Σ111 I
X+
0
m2 + ΣT12 Σ111 m1
df
= AX + b.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
15 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Proof.
Korzystajac
¾ teraz z w÷
asności (5) wnioskujemy, z·e
Y
N(Am + b, A° AT ). Uzasadnienie, z·e Am + b =
m1
0
pozostawiamy czytelnikowi. Obliczmy AΣAT . mamy:
AΣAT
=
=
=
ΣT12 Σ1 1
0
I
Σ1 Σ12
ΣT12 Σ2
ΣT12 Σ1 1
0
I
Σ1
Σ12 + Σ12
T
Σ12 Σ2 ΣT12 Σ1 1 Σ12
I
I
Σ1 0
0
Σ2
ΣT12 Σ1 1 Σ12
I
Σ1 1 Σ12
0 I
(6)
(7)
.
Na podstawie w÷
asności brzegowych rozk÷
adów normalnych
dyskutowanych
w cześci
¾ ?? wnosimy,
z·e X1 = Y1 N (mMarch
1 ).
1 , Σ2007
Pawe÷J. Szab÷
owski ()
Wyk÷
ad 6
16 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Niech A bedzie
¾
k n (k n) macierza¾ o pe÷
nym rzedzie
¾
(tzn.
rz (A) = k ). Oznaczmy Y = AX + b dla pewnego wektora b 2Rk .
Wówczas
Y N(Am + b, AΣAT ).
Dowód opierajacy
¾ sie¾ na w÷
asności i wyz·ej udowodnionej w÷
asności
pozostawiamy czytelnikowi.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
17 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Warunkowa wartość oczekiwana wielowymiarowych wektorów gaussowskich.
X1
m1
Σ1 Σ12
Nn + k (
,
) tzn. dany n + k
X2
m2
Σ21 Σ2
wymiarowy wektor X o rozk÷
adzie gaussowskim. Pierwsze n wspó÷
rzednych
¾
tego wektora nazwano X1 zaś ostatnie k nazwano X2 . Rozbiciu wektora X
na dwa podwektory odpowiada rozbicie wektora m na dwa podwektory m1
m2 i rozbicie macierzy kowariancji Σ na 4 podmacierze n n macierz Σ1 ,
n k macierz Σ12 itd.
Niech X=
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
18 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Warunkowa wartość oczekiwana wielowymiarowych wektorów gaussowskich.
Pierwszy etap: Przypuśćmy, z·e Σ12 = ΣT21 = 0, jak pamietamy
¾
zmienne
X1 i X2 sa¾ niezalez·ne zatem z w÷
asności o niezalez·ności podwektorów
wynika, z·e dla i-tej wspó÷
rzednej
¾
wektora X1 tj. X1i mamy
E (X1i jX2 = x) = EX1i = m1i .
Drugi etap: Podstawmy Y = X1 m1 Σ12 Σ2 1 (X2 m2 ) , T = X2 .
Wiadomo wówczas np. z·e rozk÷
ad ÷
aczny
¾
(Y, T) jest gaussowski
nastepuj
¾ acej
¾ postaci:
Y
T
N n +k Am + b, AΣAT ,
gdzie oznaczyliśmy
A=
Pawe÷J. Szab÷
owski
I
Σ12 Σ2 1
0 I
()
,b =
Wyk÷
ad 6
m1 + Σ12 Σ2 1 m2
0
.
March 2007
19 / 28
Wielowymiarowe rozk÷
ady normalne
Warunkowa wartość oczekiwana wielowymiarowych wektorów gaussowskich.
×atwo zauwaz·yć, z·e Am + b =
0
m2
. Nieco trudniej zauwaz·yć, z·e
Y
Σ1 Σ12 Σ2 1 Σ21 0
. Zatem wektor
ma w÷
asności
T
0
Σ2
rozwaz·ane w etapie pierwszym. Wiec
¾ E (Y jT) =E (Y ) = 0. Podstawiajac
¾
teraz czym jest Y i T dostaniemy:
0 = E (X1 m1 Σ12 Σ2 1 (X2 m2 )jX2 ) . Stad
¾ ÷
atwo dostaniemy
AΣAT =
E (X1 jX2 ) = m1 + Σ12 Σ2 1 (X2
m2 )p.n..
Okazuje sie¾ ponadto, z·e wariancja warunkowa
V ( X1 j X2 ) = Σ 1
Σ12 Σ2 1 Σ21 .
Reasumujac:
¾ W przypadku rozk÷
adów gaussowskich warunkowa wartość
oczekiwana jest liniowa zaś wariancja warunkowa w przypadku rozk÷
adów
gaussowskich jest wiec
¾ nielosowa!!!!
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
20 / 28
Filtr Kalmana
W teorii Filtru Kalmana zak÷
ada sie,
¾
z·e proces jest procesem liniowym danym uk÷
adem równań
rekurencyjnym,
zak÷
ócenia maja¾ rozk÷
ady Gaussowskie
proces obserwuje sie¾ tylko od pewnego momentu ( na przyk÷
ad = 0)
szuka sie¾ estymatora w postaci rekurencyjnej.
Dok÷
adniej zak÷
adamy, z·e mamy do czynienia z nastepuj
¾ acym
¾
procesem
dyskretnym opisanym nastepuj
¾ acym
¾
uk÷
adem równań róz·nicowych:
xn +1 = Axn + ξ n +1
yn = Cxn + ηn
, n = 0, 1, ...
gdzie xn , ξ n 2 Rd , yn ,ηn 2 Rk . Zak÷
adamy oczywiście, z·e rzad
¾
(C) = k < n, z·e szumy fξ n g , fηn g sa¾ bia÷
e, stacjonarne, Gaussowskie (to
znaczy ξ n i ηn nie zalez·y od ξ p , ηq ).
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
21 / 28
Filtr Kalmana
Zadaniem jest wyznaczenie mn = E (xn jy0 , ..., yn 1 ) i
Pn = var(xn jy0 , ..., yn 1 ), n = 1, 2, ....
Zanim przejdziemy dalej udowodnimy nastepuj
¾ acy
¾ bardzo uz·yteczny lemat:
Lemma
Niech X, Y, Z bed
¾ a¾ trzema wektorami losowymi o rozk÷
adzie ÷
acznie
¾
Gaussowskim. Za÷
ó·
zmy dodatkowo, ·
ze E Z = 0 a ponadto, ·
ze wektory X i
Y sa¾ niezale·
zne. Wówczas:
E (ZjX, Y ) = E (ZjX) + E (ZjY ) , p.n.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
22 / 28
Filtr Kalmana
Proof.
Skoro (X, Y, Z) maja¾ rozk÷
ad ÷
acznie
¾
Gaussowski, to E (ZjX, Y ) jest
równa liniowej regresji. A wobec tego oznaczajac
¾ T=
X
Y
E (ZjX, Y ) = ΣZ,T ΣT 1 (T E T),
gdyz· E Z = 0. Dalej ze wzgledu
¾ na fakt, iz· X i Y sa¾ niezalez·ne mamy ΣT
ΣX 0
=
, .gdzie jak zwykle ΣX , ΣY i ΣT oznaczaja¾ odpowiednio
0 ΣY
ΣX 1
0
macierze kowariancji wektorów X , Y i Z. Stad
¾ ΣT 1 =
.A
0
ΣY 1
ΣX 1
0
wiec
¾ ΣZ,T ΣT 1 = ΣZ,X ΣZ,Y
=
0
ΣY 1
¾ ac,
¾ o postaci wektora T dostajemy
ΣZ,X ΣX 1 ΣZ,Y ΣY 1 . Pamietaj
natychmiast teze.
¾
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
23 / 28
Filtr Kalmana
Theorem
Niech dany bedzie
¾
uk÷
ad równa´n opisujacych
¾
stan procesu i proces
xn +1 = Axn + ξ n +1
obserwacji:
, n = 0, 1, ... : Oznaczmy
yn = Cxn + ηn
mn = E (xn jyn 1 , ..., y0 ),P n = E [(xn mn )(xn mn )T jyn 1 , ..., y0 ] .
Za÷
ó·
zmy, ·
ze m0 Nn (mo, Σ0 ) ,ξ n Nd (0,Q ), ηj
Nk (0,R ) ), ξ n , ηj i
x0 sa¾ niezale·
zne dla n, j 0. Wówczas wielko´sci te dane sa¾ przez
nastepuj
¾ ace
¾ zale·
zno´sci rekurencyjne:
mn +1 = Amn + AMn (yn Cmn ), m0 = x0 ,
P n +1 = (A Mn C)P n (A Mn C)T + Q + Mn RMTn , P0 = Σ0
1
gdzie oznaczyli´smy : Mn = Pn CT CPn CT + R
a rozk÷
ad warunkowy
xn pod warunkiem yn 1 , yn 2 , . . . , y0 jest normalny N (mn , Σn ) .
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
24 / 28
Filtr Kalmana
Proof.
Mamy mn +1 = E (xn +1 jyn , ..., y0 ) = Amn + AE (xn
korzystajac
¾ z lematu mamy
mn +1 = Amn + AE (xn
mn jyn
E (yn jyn
= Amn + AE (xn mn jyn E (yn jyn
+AE (xn mn jyn 1 ..., y0 )
= Amn + AE (xn mn jyn E (yn jyn
Ponadto mamy yn E (yn jyn
= yn Cmn . A zatem
E (xn
mn jyn
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
1 , ..., y0 )
= yn
mn jyn , ..., y0 ). Dalej
1 , . . . , y0 ), yn 1 ..., y0 )
1 , . . . , y0 ))
1 , . . . , y0 )).
E (Cxn + ηn jyn
E (yn jyn , ..., y0 )) =0 pewna macierz0 (yn
Wyk÷
ad 6
1 , ..., y0 )
Cmn )
March 2007
25 / 28
Filtr Kalmana
Proof.
Aby dowieść twierdzenia nalez·y obliczyć te¾ macierz. Wiemy z·e jest ona
iloczynem macierzy kowariancji wzajemnej wektorów xn mn i
yn E (yn jyn 1 , ..., y0 ) i odwrotności macierzy kowariancji wektora
yn E (yn jyn 1 , ..., y0 ). Nalez·y wiec
¾ wyznaczyć te macierze. Dla macierzy
kowariancji wzajemnej mamy:
E (xn
= E (xn
mn )(Cxn + ηn
mn )(xn
CE (xn + ηn jyn , ..., y0 ))T
mn + ηn )T CT = Pn CT
Zaś dla macierzy kowariancji wektora yn
E (yn
E (yn jyn
1 , ..., y0 ))(yn
Cmn ) (yn +1 Cmn )T
= E (yn
= E (C(xn mn ) + ηn )(C(xn
= CPn CT + R.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
E (yn jyn
Wyk÷
ad 6
1 , ..., y0 )
E (yn jyn
mamy:
1 , ..., y0 ))
T
mn ) + ηn )T =
March 2007
26 / 28
Filtr Kalmana
Proof.
Ponadto mamy:
Pn +1 = E ((xn +1
mn +1 )(xn +1
mn +1 )T jyn , . . . , y0 )
= E ((xn +1 mn +1 )(xn +1 mn +1 )T =
= E (A(xn mn ) + ξ n +1 Mn (yn Cmn ))
(A(xn
= E (A(xn
Cmn ))T
mn ) + ξ n + 1
Mn (yn
mn ) + ξ n + 1
Mn (Cxn + ηn
Cmn ))
(A(xn mn ) + ξ n +1 Mn (Cxn + ηn Cmn )T
= E ((A Mn C)(xn mn ) + ξ n +1 Mn ηn +1 )
((A
= (A
Mn C)(xn
mn ) + ξ n + 1
Mn C)Pn (AT
Mn ηn +1 )T
CT MTn ) + Q + Mn RMTn
Oczywiście warunki poczatkowe
¾
dla ciagów
¾
mn i Pn sa¾ odpowiednio mo i
Σ0 .
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
27 / 28
Moz·liwe rozszerzenia;
rozwaz·a sie¾ procesy niestacjonarne to znaczy macierze A, C, Q, R
moga¾ zalez·eć od indeksu n.
dopuszcza sie¾ niezerowa kowariancje miedzy
¾
szumami i dok÷
adniej
T
dopuszcza sie,
¾ z·e E ξ n η j = Sn δnj gdzie δnj jest delta¾ Kroneckera.
Pawe÷J. Szab÷
owski
()
Wyk÷
ad 6
March 2007
28 / 28