4. Portrety fazowe

P ra k t y c zn e wp ro wa d z e n i e d o o p i su , a n a l i zy i s y m u l a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w
4.
P ra k t y c z n e wp ro wa d ze n i e d o o p i su , a n a l i zy i sy m u l a c j i d y n a m i k i o b i e k t ó w
Portrety fazowe
O/N
Portret fazowy to rodzina trajektorii w układzie współrzędnych [x, x& ], przedstawiających
zachowanie obiektu obserwowane przy stałym wymuszeniu ale dla różnych warunków
początkowych, które są wówczas jedyną przyczyną zmian obserwowanych w układzie. Jest to
graficzny sposób zobrazowania własności dynamicznych obiektów 1. lub 2 rzędu liniowych i
nieliniowych 1. Portrety fazowe najłatwiej jest uzyskać metodami symulacyjnymi na
podstawie równań różniczkowych (). Ilość trajektorii koniecznych do odtworzenia portretu
można znacznie ograniczyć ze względu na jedną z podstawowych własności – trajektorie nie
przecinają się ponieważ badane są układy deterministyczne2.
1
2
3
4
5
6
7
8
II.6
4.1. Portrety fazowe układów liniowych
4.1.1.
Im
Im
Re
.
x
Re
Im
Re
Re
x
x
4.2.1.
x
Własności portretów układów nieliniowych
Portrety fazowe układów nieliniowych mogą mieć jeden lub więcej punktów równowagi –
w zależności od rozwiązania równania statycznego. Układ nieliniowy może być
stabilny/niestabilny globalne, ale jeśli układ ma więcej punktów równowagi, to może być
stabilny w jednych a niestabilny w innych punktach, i wówczas rozróżniamy
stabilność/niestabilność lokalną i globalną (Rys. I-12). Wyznaczenie portretu fazowego
układu nieliniowego w odpowiednio dużym otoczeniu punktów równowagi umożliwia
określenie obszarów stabilnych warunków początkowych (obszarów stabilności).
Re
.
x
.
x
x
4.2. Portrety układów nieliniowych
Im
Re
.
x
.
x
.
x
x
Im
x
n
węzeł stabilny
ognisko stabilne
centrum
ognisko niestabilne węzeł niestabilny
Rys. I-11. Charakterystyczne typy portretów fazowych układów liniowych
siodło
Każda trajektoria portretu reprezentuje ewolucję stanu obiektu od określonego warunku
początkowego. Jeśli układ jest stabilny to dąży do punktu równowagi, a jeśli jest niestabilny
to się oddala od tego punktu. Kierunek zmian (strzałkę czasu na trajektorii) określa się
jednoznacznie na podstawie własności funkcji pochodnej – jeśli pochodna jest dodatnia to
funkcja rośnie ( x& >0 ⇒ x↑), jeśli pochodna jest ujemna to funkcja maleje ( x& <0 ⇒ x↓),
pochodna równa 0 oznacza maksimum lub minimum funkcji.
Portrety fazowe układów liniowych dobrze ilustrują własność globalnej stabilności lub
niestabilności tych układów. Ponieważ w układzie liniowym jest możliwy tylko jeden punkt
równowagi (), więc układ stabilny dąży do tego punktu niezależnie od warunków
początkowych (jest stabilny globalnie).
Na podstawie przedstawionych własności portretów fazowych wyjaśnij następujące
spostrzeżenia praktyczne, dlaczego:
1º trajektorie przecinają oś x pod kątem 90°,
2º punkt równowagi znajduje się na osi x,
3º przy wymuszeniu zerowym punkt równowagi leży w środku układu współrzędnych,
4º z trajektorii można odczytać amplitudy przebiegu rozwiązania swobodnego. (*13)
4.1.2.
Rozpoznawanie portretu fazowego układu liniowego
n
n
s
s
s
s
Rys. I-12. Idee stabilności/niestabilności globalnej/lokalnej
I.1.3
.1
W pobliżu punktów równowagi portrety układów nieliniowych ale różniczkowalnych1 są
zbliżone do liniowych wzorców (stabilne/niestabilne węzły, ogniska, siodła). To
spostrzeżenie potwierdza możliwość analizy stabilności układu nieliniowego w ograniczonym
zakresie wokół punktów równowagi za pomocą linearyzacji modelu w otoczeniu tych
punktów (). W ten sposób można również zidentyfikować punkty równowagi na portretach
układów nieliniowych.
4.2.2.
Wyznaczanie portretów
I.1.3.1
II.6.4
Eksperymentalne wyznaczanie portretu fazowego wymaga przemyślanego wybierania
warunków początkowych i czasu trwania eksperymentu (początku i długości trajektorii), tak
aby można było jednoznacznie wnioskować o globalnej i lokalnej stabilności badanego
obiektu. Informacje na o ilości punktów równowagi czy o charakterze nieliniowości znacznie
ułatwiają zadanie ().
Załóżmy, że przedstawione poniżej portrety zawierają wszystkie charakterystyczne
trajektorie. Co można powiedzieć o modelach, które mają takie portrety fazowe?
.
.
.
x
x
x
Poniższa tabela zawiera wszystkie przypadki równań drugiego rzędu, przy założeniu, że
współczynniki a, b, c >0 (analogicznie jak w p.3.3.3):
x
a)
1º
2º
3º
4º
1 Portrety fazowe mają szczególne zastosowanie w przypadku występowania nieliniowości typu nasycenie,
strefa nieczułości, przekaźnik, … , czyli funkcji nieróżniczkowalnych. Więcej np. w [3/r.2.4]
2 przejście z jednego punktu przestrzeni do kolejnego jest określone (nie ma możliwości wyboru)
- 19 -
S/N
1º Określ typ równania (oscylacyjne lub nie) oraz typ portretu fazowego
2º Jaki wpływ na portret fazowy układu ma wartość wymuszenia u? (*14)
Typy portretów
W układach liniowych można wyróżnić sześć charakterystycznych typów portretów,
związanych położeniem biegunów układu (Rys. I-11).
Im
portret fazowy (nazwa, szkic)
a&x&(t ) + bx& (t ) + cx (t ) = u (t )
a&x&(t ) + bx& (t ) − cx (t ) = u (t )
a&x&(t ) − bx& (t ) + cx (t ) = u (t )
a&x&(t ) − bx& (t ) − cx (t ) = u (t )
− a&x&(t ) + bx& (t ) + cx (t ) = u (t )
− a&x&(t ) + bx& (t ) − cx (t ) = u (t )
− a&x&(t ) − bx& (t ) + cx (t ) = u (t )
− a&x&(t ) − bx& (t ) − cx (t ) = u (t )
1
x
b)
c)
Zaznacz kierunki trajektorii.
Ile punktów równowagi ma model? Określ ich typ i stabilność.
Czy model jest liniowy?
Czy układ jest stabilny globalnie? Uzasadnij.
bez elementów typu przekaźnik, strefa nieczułości, ...
- 20 -
x