Zadania

Zadanie 1
W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2 , przy czym A oznacza
poziom produktywności, K – zasób kapitału, a N – liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi 20%,
a stopa deprecjacji kapitału δ = 5%. Posługując się modelem Solowa oraz zakładając dla uproszczenia, że
zarówno A i N są stałe w czasie i są równe 1:
(a) Oblicz zasób kapitału oraz poziom produkcji w stanie ustalonym.
(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.
(c) Oblicz stopę wzrostu zasobu kapitału dla początkowych zasobów kapitału z podpunktu (b).
(d) Posługując się poznaną już techniką dekompozycji wzrostu, oblicz stopę wzrostu produkcji dla początkowych zasobów kapitału z podpunktu (b).
Zadanie 2
Funkcja produkcji ma postać Y = AK α N 1−α . Posługując się modelem Solowa:
(a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej (na zatrudnionego).
(b) Wyprowadź wzór na zasób kapitału na zatrudnionego k w stanie ustalonym.
(c) Za pomocą równania akumulacji kapitału wyraź zasób kapitału na zatrudnionego w następnym okresie
k 0 jako funkcję bieżącego zasobu kapitału na zatrudnionego k.
(d) Zilustruj powyższą zależność na wykresie. Znajdź graficznie stan ustalony.
(e) Zakładając, że k0 < k ∗ , zilustruj na wykresie z poprzedniego podpunktu proces dochodzenia do stanu
ustalonego. Na nowym wykresie narysuj zmiany zasobu kapitału na zatrudnionego w czasie.
Zadanie 3
Przyjmijmy, że w pewnej gospodarce funkcja produkcji na zatrudnionego ma ogólną postać y = f (k) i
spełnia warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Stopa oszczędzania w tej gospodarce wynosi
s, stopa deprecjacji δ, zaś zasób siły roboczej N jest stały.
(a) Przedstaw na wykresie w przestrzeni (k, y) funkcję produkcji, funkcję oszczędności i funkcję deprecjacji
kapitału.
(b) Zaznacz na wykresie poziom kapitału w stanie ustalonym k ∗ .
(c) Załóżmy, że początkowy poziom kapitału na zatrudnionego w tej gospodarce był niższy niż k ∗ . Zaznacz
k0 na wykresie i pokaż, ile będzie wówczas wynosić wielkość produkcji na zatrudnionego y, wielkość
konsumpcji na zatrudnionego c i wielkość inwestycji na zatrudnionego i.
(d) Jak będzie zmieniał się kapitał i produkcja na zatrudnionego w czasie? Wyjaśnij i narysuj odpowiednie
wykresy zmiennych N , K, k, Y i y w czasie.
Zadanie 4
Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji i można ją zapisać w postaci intensywnej jako y = f (k). Posługując się modelem Solowa:
(a) Wyprowadź wyrażenie na tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego ∆k/k jako funkcję bieżącego zasobu kapitału na zatrudnionego k. Zilustruj tę zależność na nowym wykresie. Znajdź graficznie stan
ustalony.
1
(b) W jaki sposób wzrost stopy oszczędności s wpłynie na zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym oraz na tempo przyrostu kapitału jeżeli k0 < k ∗ ?
(c) Czy wyższa stopa oszczędności może być stałym źródłem długookresowego wzrostu?
(d) W jaki sposób wzrost stopy deprecjacji δ wpłynie na zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym
oraz na tempo przyrostu kapitału jeżeli k0 < k ∗ ?
Zadanie 5
Funkcja produkcji ma postać Y = AK 1/2 N 1/2 . Początkowy zasób kapitału K wynosi 3200, zatrudnienie
N = 200, a produktywność A = 2. Zarówno zatrudnienie, jak i produktywność są stałe w czasie. Stopa
oszczędności s wynosi 40%, a stopa deprecjacji δ = 10%.
(a) Oblicz tempo przyrostu kapitału na zatrudnionego k, ∆k/k, oraz produkcji na zatrudnionego y, ∆y/y.
(b) Oblicz zasób kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym k ∗ , a także produkcji i konsumpcji na
zatrudnionego w stanie ustalonym, y ∗ i c∗ .
(c) Oblicz poziom kapitału, produkcji i konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, jeżeli stopa
oszczędności wzrośnie do 50%.
(d) Powtórz obliczenia z (d) dla stopy oszczędności równej 60%.
(e) W jaki sposób kapitał, produkcja oraz konsumpcja na zatrudnionego zależą od stopy oszczędności?
Zadanie 6
Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji i można ją zapisać w postaci intensywnej jako y = f (k). Posługując się modelem Solowa:
(a) Narysuj schematycznie wykres konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym c∗ jako funkcji s.
Wskazówka: Pomyśl, co się dzieje w modelu, gdy s = 0 lub s = 1.
(b) Definiując konsumpcję na zatrudnionego jako różnicę pomiędzy produkcją na zatrudnionego a inwestycjami na zatrudnionego, zapisz warunek maksymalizacji konsumpcji na zatrudnionego w stanie ustalonym.
(c) Wyznacz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym maksymalizujący konsumpcję na zatrudnionego w stanie ustalonym przy założeniu funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
(d) Porównaj powyższe wyrażenie ze wzorem na kapitał na zatrudnionego w stanie ustalonym dla funkcji
produkcji Cobba-Douglasa. Jaka wartość stopy oszczędności maksymalizuje konsumpcję na zatrudnionego w stanie ustalonym?
(e) W pewnym kraju stopa oszczędności była wyższa, niż wynika to ze złotej reguły. Jeżeli doszłoby do
spadku stopy oszczędności, to jak zmienił by się poziom konsumpcji na zatrudnionego obecnie żyjących
pokoleń? A jak zmieniłaby się konsumpcja na zatrudnionego przyszłych pokoleń?
(f) Stan, w którym stopa oszczędności przewyższa stopę oszczędności złotej reguły nazywamy stanem „dynamicznej nieefektywności”. Przypomnij sobie definicję efektywności w sensie Pareto i powiąż ją z dyskusją
w poprzednim podpunkcie.
2
Zadanie 7
W pewnej gospodarce funkcja produkcji ma postać Y = AK α N 1−α . Produktywność A jest stała w czasie.
(a) Wyprowadź ceny czynników produkcji (płace i koszt wynajęcia kapitału), zakładając, że są one równe
swoim produktom krańcowym.
(b) Zapisz ceny czynników produkcji jako funkcje kapitału na zatrudnionego k, a następnie zilustruj te
zależności na wykresach.
(c) Co się będzie działo z płacami, a co z kosztem wynajęcia kapitału, podczas gdy gospodarka będzie dążyła
do stanu ustalonego?
(d) Co się stanie z cenami czynników produkcji, jeżeli do kraju jednorazowo napłyną pracownicy z zagranicy?
Które grupy społeczne skorzystają na tej imigracji, a które stracą?
(e) Czy powyższa zmiana wpływa na ceny czynników produkcji w stanie ustalonym?
Zadanie 8
W pewnej firmie jest zatrudnionych 50 pracowników. Firma dysponuje także 60 maszynami wykorzystywanymi w procesie produkcyjnym.
(a) Zakładając, że zasób kapitału w firmie jest równy liczbie posiadanych przez nią maszyn, oblicz poziom
kapitału na zatrudnionego w tej firmie.
(b) Jeżeli firma zakupi 17 nowych maszyn, to ile wyniesie poziom kapitału na zatrudnionego po tej zmianie?
(c) Oprócz zwiększenia parku maszynowego, firma zatrudniła także 5 dodatkowych pracowników. Ile wyniesie poziom kapitału na zatrudnionego po tej zmianie?
(d) Jeżeli firma planuje zwiększyć zatrudnienie o 5%, to o ile więcej maszyn musi posiadać, aby utrzymać
niezmieniony poziom kapitału na zatrudnionego?
Zadanie 9
W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/3 N 2/3 , przy czym A oznacza
poziom produktywności, K – zasób kapitału, a N – liczbę zatrudnionych. Liczba zatrudnionych zmienia
się wraz z tempem przyrostu naturalnego n, tzn. N 0 = (1 + n)N . Stopa oszczędności s wynosi 18%, stopa
deprecjacji kapitału δ = 3%, a tempo przyrostu naturalnego n = 1%. Poziom produktywności A jest stały
w czasie i wynosi 2.
(a) Korzystając z warunku akumulacji kapitału K, wyprowadź warunek na akumulację kapitału na zatrudnionego k.
(b) Oblicz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym.
(c) Oblicz poziom kapitału na zatrudnionego w stanie ustalonym, jeżeli n wzrośnie do 6%.
(d) Przedstaw graficznie efekt wzrostu tempa przyrostu naturalnego na kapitał na zatrudnionego w stanie
ustalonym.
(e) Jeżeli gospodarka znajduje się w stanie ustalonym, to w jakim tempie zmienia się całkowity zasób
kapitału K, a w jakim produkcja Y ?
3
Zadanie 10
Funkcja produkcji spełnia warunki neoklasycznej funkcji produkcji. Gospodarka znajduje się w stanie
ustalonym. Naszkicuj zmiany w czasie zmiennych: kapitału i produkcji na zatrudnionego k i y, zasobu siły
roboczej N , kapitału K oraz produkcji Y , gdy:
(a) Zasób siły roboczej w analizowanej gospodarce zmniejszy się skokowo z N0 do N1 , (N0 > N1 ).
(b) Tempo wzrostu siły roboczej wzrośnie z n0 do n1 (n0 < n1 ).
(c) Zajdą obie te zmiany jednocześnie.
Zadanie 11
Załóżmy, że w pewnym kraju stopa oszczędności s = 0, 24, stopa deprecjacji kapitału δ = 0, 04, tempo
przyrostu naturalnego n = 0, 02, a funkcja produkcji dana jest wzorem Y = K 2/3 (AN )1/3 , gdzie K oznacza
zasób kapitału, N – zasób siły roboczej, zaś A – poziom technologii. Korzystając z modelu Solowa oblicz:
(a) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego, jeżeli K = 48000, A = 15, N = 50.
(b) Stopę wzrostu produktu na zatrudnionego po jednorazowym imporcie nowych technologii, które doprowadziły do wzrostu wartości parametru A do 320/9.
(c) Narysuj wykresy zmiennych N , K, k, Y i y w czasie, zakładając, że początkowo gospodarka znajdowała
się w stanie ustalonym, a następnie nastąpił jednorazowy wzrost poziomu technologii.
Zadanie 12
Dana jest funkcja produkcji Y = 31 · K α (AN )1−α , gdzie A oznacza postęp technologiczny zwiększający
produktywność pracy, a α = 1/3. Dane są: stopa oszczędności s = 0, 3, tempo przyrostu naturalnego n =
−0, 05, stopa deprecjacji kapitału δ = 0, 065. Tempo postępu technologicznego g = ∆A/A wynosi 0,01.
Korzystając z modelu Solowa:
(a) Zapisz funkcję produkcji w postaci intensywnej na jednostkę efektywnej pracy AN .
(b) Zapisz równanie opisujące akumulację kapitału na jednostkę pracy efektywnej.
(c) Oblicz poziom kapitału na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym.
(d) Oblicz poziom produkcji na zatrudnionego w stanie ustalonym, przyjmując, że poziom zaawansowania
technologicznego A = 30.
(e) Przedstaw warunek maksymalizacji konsumpcji na jednostkę efektywnej pracy w stanie ustalonym i
oblicz poziom stopy oszczędności zgodny ze złotą regułą dla omawianej funkcji produkcji.
(f) Naszkicuj zmiany w czasie logarytmu konsumpcji na zatrudnionego po wzroście stopy oszczędności do
s0 = 0, 32.
Zadanie 13
Funkcja produkcji w pewnej gospodarce spełnia założenia neoklasycznej funkcji produkcji i jest dana
przez Y = F (K, AN ), gdzie K – kapitał, A – poziom technologii, N – praca. Tempo postępu technicznego
wynosi g, tj. ∆A/A = g, a przyrost naturalny wynosi n. Korzystając z modelu wzrostu Solowa, porównaj
skutki wzrostu tempa postępu technologicznego g:
(a) Narysuj wykresy zmiennych A i N w czasie.
(b) Narysuj wykresy zmiennych na jednostkę efektywną pracy: k̂, ŷ oraz ĉ w czasie.
4
(c) Narysuj wykresy zmiennych na zatrudnionego: k, y oraz c w czasie.
(d) Wobec powyższych rozważań przedyskutuj, czy szybszy postęp technologiczny jest korzystny.
Zadanie 14
Funkcję produkcji w pewnej gospodarce można opisać wzorem Y = K 1/3 (AN )2/3 . Tempo wzrostu technologicznego i populacji są stałe i wynoszą odpowiednio g = 2% i n = 2%. W ostatnim okresie zaobserwowano
następujące tempo wzrostu kapitału ∆K/K = 5%. Czy ta gospodarka osiągnęła swój stan ustalony?
Zadanie 15
Funkcję produkcji w pewnej gospodarce można opisać wzorem Y = 2 · K 1/3 (AN )2/3 . Wiadomo, że
stopa oszczędności s = 30%, deprecjacja δ = 0, 1, tempo przyrostu ludności n = 0, 03, a tempo wzrostu
technologicznego g = 0, 02. Według ostatnich obserwacji, stosunek kapitału do produkcji K/Y = 5. Czy ta
gospodarka osiągnęła swój stan ustalony?
Zadanie 16
W pewnej gospodarce tempo przyrostu ludności n = 0, 05, a tempo wzrostu technologicznego g = 0, 03.
W jakim tempie rośnie konsumpcja na zatrudnionego, jeżeli gospodarka znajduje się w stanie ustalonym?
5