Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania
(obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe)
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T3
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Gdańsk, październik 2009
1
Zadanie 1
Na podstawie I i II prawa Kirchoff’a oraz zależności między napięciami i prądami zbudować
model matematyczny wiążący napięcie wyjściowe uwy(t) z napięciem wejściowym uwe(t) nie
obciążonego prądowo czwórnika RLC przedstawionego na Rysunku 1.
R
L
iRL(t)
iobc(t)
iC(t)
uL(t)
uR(t)
uwe(t)
uwy(t)
uC(t)
C
Rysunek 1. Schemat układu elektrycznego – czwórnik RLC
Rozwiązanie Zadania 1
Korzystając z II prawa Kirchhoff’a, dla wejściowego oczka możemy napisać równanie
równowagi w następującej postaci:
uR t   uL t   uC t   uwe t 
(1)
Należy również zwrócić uwagę, że dla rozważanego układu zachodzą następujące zależności:
uwy t   uC t 
uR t   R  iRL t 
d
u L t   L  iRL t 
dt
d
iC t   C  u C t 
dt
(2)
(3)
(4)
(5)
Ponadto z warunku nie obciążania prądowego czwórnika iobc t   0 wynika, że:
iRL t   iC t 
(6)
Podstawiając zatem zależności (2-6) do równania równowagi (1) otrzymamy odpowiednio
następujące równania:
R  iRL t   L 
d
iRL t   uC t   u we t 
dt
2
(7)
R  iC t   L 
d
iC t   u wy t   u we t 
dt
d
d
d

R  C  u wy t   L   C  u wy t   u wy t   u we t 
dt
dt  dt

R C 
(8)
(9)
d
d2
u wy t   L  C  2 u wy t   u wy t   u we t 
dt
dt
(10)
d2
d


u
t

R

C

u wy t   u wy t   u we t 
wy
dt
dt 2
(11)
Porządkując ostatnie równanie (10) otrzymamy poszukiwany model matematyczny czwórnika
RLC w następującej postaci:
LC 
lub
d2
R d
1
1
u t     u wy t  
 u wy t  
 u we t 
2 wy
L dt
LC
LC
dt
(12)
Równanie (12) jest liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu z
parametrami stałymi w czasie. Często zachodzi potrzeba przedstawiania modelu
matematycznego w postaci równania różniczkowego pierwszego rzędu lub odpowiedniego
układu równań różniczkowych pierwszego rzędu. W rozpatrywanym przypadku, równanie
(12) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu
pierwszego, aby tego dokonać można posłużyć się następującymi podstawieniami (13):
x1 t   u wy t 


d
d

x2 t   u wy t   x1 t 

dt
dt

(13)
Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia oraz równanie (12) otrzymujemy
następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
d

x1 t   x2 t 

dt
d
R
1
1
 x2 t     x2 t  
 x1 t  
 u we t 
L
L C
LC
 dt
3
(14)
Zadanie 2
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować prosty model matematyczny ruchu
pojazdu mechanicznego przedstawionego na Rysunku 2.
a)
b)
x
f(t)
m
Rysunek 2. Pojazd mechaniczny:
a) rzeczywisty pojazd mechaniczny (foto: http://motoryzacja.interia.pl)
b) prosty model ideowy pojazdu mechanicznego
Opracowany model matematyczny ruchu pojazdu powinien opisywać zależności pomiędzy
siłą napędową f(t) działającą na masę pojazdu mechanicznego m a prędkością pojazdu wzdłuż
osi x.
Otrzymany model matematyczny należy przedstawić w postaci równania, układu równań
różniczkowych pierwszego rzędu.
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 1 należy
uwzględnić:
- że ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi x,
- że na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 1,
- siłę bezwładności działającą na pojazd,
- siłę oporu powietrza jako proporcjonalną do prędkości pojazdu.
4
Rozwiązanie Zadania 2
Uwzględniając warunki zadania, siły oddziaływujące na układ mechaniczny, przedstawiony
na Rysunku 2, można zilustrować w następującej postaci:
siła bezwładności
lokomotywy
d 2x
m 2
dt

f t 
m
siła napędowa
oddziaływująca
na pojazd
dx
dt
siła oporu
powietrza
współrzędna
odniesienia
x
Rysunek 3. Graficzna reprezentacja sił dla układu z Rysunku 1
Bilans sił oddziaływujących na pojazd (masa m) można przedstawić za pomocą następującego
równania:
f t   m 
d 2x
dx

2
dt
dt
(15)
Porządkując równanie (15) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny ruchu
pojazdu mechanicznego w postaci niejednorodnego liniowego równania różniczkowego
drugiego rzędu z parametrami stałymi w czasie w następującej postaci:
d 2x
 dx 1
     f t 
2
m dt m
dt
(16)
W naszym przypadku równanie (16) można przedstawić w postaci układu dwóch liniowych
równań różniczkowych rzędu pierwszego. W tym celu można posłużyć się następującym
podstawieniem:
v
dx
dt
(17)
Ostatecznie uwzględniając powyższe podstawienia (17) oraz równanie (16) otrzymujemy
następujący układ dwóch liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dx



dt
 d

1

     f t 
m
m
 dt
5
(18)
Zadanie 3
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować model matematyczny systemu
mechanicznego, będącego fragmentem systemu zawieszenia samochodu osobowego (1/4
systemu zawieszenia samochodu osobowego, dla jednego koła: układ amortyzatorzawieszenie-opona), Rysunek 3.
a)
b)
m2
y2
2
k2
m1
y1
k1
a
Rysunek 3. System mechaniczny „fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego”:
a) rzeczywisty fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego (foto: http://mrr.infamis.org)
b) prosty model ideowy układu mechaniczny amortyzator-zawieszenie-opona
gdzie:
m1
m2
k1
k2
B2
a
- masa zawieszenia,
- masa nadwozia samochodu osobowego,
- współczynnik sprężystości opony,
- współczynnik sprężystości amortyzatora,
- współczynnik tłumienia amortyzatora,
- profil powierzchni drogi (np. krawężnik).
Opracowany model powinien umożliwiać analizę zachowania systemu (położenie i prędkości
zawieszenia oraz nadwozia samochodu w przyjętym układzie współrzędnych) ze względu na
profil nierówności drogi (np. krawężnik).
Otrzymany model matematyczny należy przedstawić w postaci równania, układu równań
różniczkowych pierwszego rzędu.
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego przedstawionego na
Rysunku 2 należy uwzględnić:
- że ruch odbywa się na płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi,
- że na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na
Rysunku 2,
- siłę bezwładności działającą na zawieszenie oraz na nadwozie pojazdu.
6
Rozwiązanie Zadania 3
Przyjmując założenia i uwzględniając prawa dynamiki Newtona, siły oddziaływujące na
układ mechaniczny, przedstawiony na Rysunku 3, można przedstawić w następującej
graficznej postaci:
siła bezwładności
d 2 y2
m2  2
nadwozia
dt
siła sprężystości
amortyzatora
m2
k 2   y1  y 2 
siła bezwładności
d 2 y1
m

1
zawieszenia
dt 2
siła sprężystości
opony
y2
 dy dy  siła tłumienia
2   1  2 
dt  amortyzatora
 dt
m1
y1
k1  a  y1 
a
Rysunek 4. Graficzna reprezentacja sił działających w systemie z Rysunku 2
gdzie:
y1
- współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy zawieszenia,
y2
- współrzędna odniesienia, współrzędna środka masy nadwozia,
a
- współrzędna odniesienia, współrzędna profilu powierzchni drogi
Należy zwrócić uwagę, że na Rysunku 4 dla opisu sił działających na poszczególne masy m1
i m2 występujące w układzie, przyjęto odpowiednio dwie współrzędne odniesienia y1 i y2.
Natomiast dla opisu profilu powierzchni drogi przyjęto współrzędną odniesienia a. To
właśnie profil drogi jest wielkością wymuszającą zachowanie analizowanego systemu.
Bilans sił oddziaływujących na masę m1 można przedstawić za pomocą następującego
równania:
m1 
d 2 y1
 dy dy 
 k 2   y1  y 2    2   1  2   k1  a  y1 
2
dt 
dt
 dt
(19)
Natomiast bilans sił oddziaływujących na masę m2 można przedstawić za pomocą
następującego równania:
m2 
d 2 y2
 dy dy 
  2   1  2   k 2   y1  y 2 
2
dt 
dt
 dt
7
(20)
Porządkując równania (19) i (20) otrzymamy ostatecznie poszukiwany model matematyczny
systemu mechanicznego („układu dwóch mas podwieszonych pod sufitem”) w postaci układu
dwóch niejednorodnych liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu z parametrami
stałymi w czasie w następującej postaci:
 d 2 y1 k1
k
  dy dy 
 a  y1   2   y1  y 2   2   1  2 
 2 
 dt
m1
m1
m1  dt
dt 

2
d y2 k 2
  dy dy 


  y1  y 2   2   1  2 
2

m2
m2  dt
dt 
dt

(21)
W rozpatrywanym przypadku, każde z równań układu równań (21) można przedstawić w
postaci układu dwóch liniowych równań różniczkowych rzędu pierwszego. W tym celu
można posłużyć się następującymi podstawieniami:
x1  y1


dy1 dx1

 x 2 
dt
dt

x3  y 2

 x  dy2  dx3
 4
dt
dt
(22)
Uwzględniając powyższe podstawienia (22) oraz układ równań (21) otrzymujemy następujący
układ czterech liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dx1

 x2

dt
 dx
k
k

 2  1  a  x1   2   x1  x3   2  x 2  x 4 
m1
m1
m1
 dt

dx3

 x4
dt

dx4 k 2



  x1  x3   2  x 2  x 4 

dt
m2
m2

(23)
Ostatecznie porządkując układ równań (23) otrzymujemy:
dx1

 x2

dt

 dx2   k1  k 2   x   2  x  k 2  x   2  x  k1  a
2
3
4
m m  1 m
 dt
m1
m1
m1
1 
1
 1

dx3

 x4

dt

dx4 k 2

k


 x1  2  x 2  2  x3  2  x 4

dt
m2
m2
m2
m2

8
(24)