Przykład 2 – odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o

Przykład 2 – odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o

Macierz odwrotna
GaussMatrix@2011
Przykład 2 – odwrotność macierzy 4x4
Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:
Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski
pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek
możemy pozbyć się liczb otoczonych prostokątem.
Od trzeciego i czwartego wiersza odejmiemy jeden
wiersz pierwszy, a od drugiego wiersza odejmiemy dwa
wiersze pierwsze.
Przydałoby się, aby element leżący na przecięciu
drugiego wiersza i drugiej kolumny był równy +1,
pomnożymy więc drugi wiersz przez -1.
Teraz możemy już pozbyć się liczb leżących poniżej i
powyżej jedynki w drugiej kolumnie.
Od wiersza pierwszego odejmiemy dwa wiersze drugie,
do wiersza trzeciego dodamy wiersz pierwszy, a do
wiersza czwartego dodamy dwa wiersze pierwsze.
Teraz dobrze byłoby, aby element leżący na przecięciu
trzeciego wiersza i trzeciej kolumny był jedynką. Nie
jest jednak łatwo zrobić z trójki jedynkę nie tworząc
jednocześnie wielu ułamków w wierszu trzecim.
Zamiast tego, zrobimy z piątki jedynkę.
Od wiersza czwartego odejmiemy dwa wiersze trzecie...
… a następnie zamienimy wiersz trzeci z czwartym.
Macierz odwrotna
GaussMatrix@2011
Po zamianie znaku wiersza trzeciego możemy już
wykasować liczby leżące powyżej i poniżej jedynki w
trzeciej kolumnie.
Do wiersza pierwszego dodamy siedem wierszy
trzecich. Od wiersza drugiego odejmiemy pięć wierszy
trzecich. I w końcu od wiersza czwartego odejmiemy
trzy wiersze pierwsze.
W ostatnim wierszu chcielibyśmy mieć jedynkę. Trzeba
więc ten wiersz podzielić przez 37. Niestety, powstaną
ułamki, ale nie da się tego dłużej uniknąć w tym
przykładzie.
Aby powyżej jedynki w ostatniej kolumnie powstały
zera, musimy:
- dodać do pierwszego wiersza 92 wiersze czwarte,
- dodać do trzeciego wiersza 12 wierszy czwartych,
- odjąć od drugiego wiersza 66 wiersze czwarte.
Po lewej stronie kreski mamy już macierz jednostkową,
a więc po prawej stronie, w zielonym kwadracie, mamy
odwrotność naszej początkowej macierzy.
Macierz odwrotna
GaussMatrix@2011
Ten sam przykład w programie GaussMatrix
Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Odwracanie macierzy, w aplikacji tej wybierz opcję
podania własnego przykładu i na następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy 4x4. Następnie wprowadź
dane swojej macierzy:
123 4
231 2
1 1 1 -1
1 0 -2 6
i naciśnij przycisk Dalej.
Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno:
Dodawanie wiersza
pomnożonego przez
stałą niezerową
Dodawanie wiersza
podzielonego przez
stałą niezerową
Mnożenie wiersza przez
stałą niezerową
Dzielenie wiersza przez
stałą niezerową
Zamiana dwóch wierszy
Możesz cofnąć się o kilka kroków
jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz,
że należałoby obrać inną strategię.
Po cofnięciu się, możesz zmienić
zdanie i powrócić do swojego
ostatniego kroku.
Możesz w dowolnej chwili
zacząć ten sam przykład
od nowa.
Macierz odwrotna
GaussMatrix@2011
Krok 3. Teraz należy pozbyć się liczb w
pierwszej kolumnie, położonych pod górną
jedynką. Naciśnij przycisk, który zmienia dany
wiersz w ten sposób, że dodaje do niego inny
wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W
małym okienku podaj takie parametry, które
będą oznaczać, że chcesz zmienić drugi wiersz
odejmując od niego dwa pierwsze wiersze.
Analogicznie zmień trzeci i czwarty wiersz –
odejmij od nich jeden pierwszy wiersz.
Po tych operacjach lewa strona
powinna wyglądać następująco:
aplikacji
Krok 4. Naciśnij przycisk służący do mnożenia wiersza przez
stałą niezerową. Pomnóż drugi wiersz przez -1.
Krok 5. Teraz należy się pozbyć wszystkich liczb z drugiej
kolumny, oczywiście poza jedynką. Podobnie jak w trzecim
kroku:
- zmień pierwszy wiersz: odejmij od niego 2 wiersze drugie,
- zmień trzeci wiersz: dodaj do niego 1 wiersz drugi,
- zmień czwarty wiersz: dodaj do niego 2 wiersze drugie.
Krok 6. W tej chwili mamy już dwie uporządkowane
kolumny. Zmień czwarty wiersz – odejmij od niego 2 wiersze
trzecie. Po tej operacji ostatnia macierz wygląda
następująco:
Krok 7. Teraz zamień trzeci wiersz z czwartym. Następnie
pomnóż wiersz trzeci przez -1.
Krok 8. Można już uporządkować trzecią kolumnę:
- zmień wiersz pierwszy dodając do niego 7 wierszy trzecich,
- zmień wiersz drugi odejmując od niego 5 wierszy trzecich,
- zmień wiersz czwarty odejmując od niego 3 wiersze trzecie.
Po tym kroku ostatnia macierz wygląda następująco:
Krok 9. Podziel ostatni wiersz przez 37. Teraz na przekątnej
będziesz miał same jedynki i do rozwiązania wystarczy
uporządkować ostatnią kolumnę:
Macierz odwrotna
- zmień pierwszy wiersz – dodaj do niego 92 wiersze czwarte,
- zmień drugi wiersz – odejmij od niego 66 wierszy czwartych,
- zmień trzeci wiersz – dodaj do niego 12 wierszy czwartych.
Krok 10. Rozwiązanie jest już gotowe! Macierzą odwrotną jest:
GaussMatrix@2011