EiE -01-30

Transkrypt

EiE -01-30

Elektrotechnika i elektronika
Franciszek Gołek ([email protected])
www.pe.ifd.uni.wroc.pl
Wykład 1.
Początki i podstawy
Literatura
1) G. Rizzoni, Principles and applications of Electrical Engineering, McGraw Hill 2004.
2) G. Rizzoni, Electrical and Computer Engineering, McGraw Hill 2006.
3) A. Agrawal, J.H. Lang, Fundations of Analog and Digital Electronic Circuits, Elsevier 2005.
4) P. Scherz, Practical Electronics for Inventors, McGraw Hill 2007.
5) P. Hempowicz, R. Kiełsznia, A. Piłatowicz, J. Szymczyk, T. Toborowski, A. Wąsowski, A.
Zielińska, W. Żurawski, Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków, WNT, Warszawa
2004
6) T. Stacewicz, A. Kotlicki, Elektronika w laboratorium naukowym, PWN, Warszawa 1994.
7) P. Horowitz, W. Hill, Sztuka elektroniki, WKŁ, Warszawa 1992, 1995.
8) U. Tietze, Ch. Schenk, Układy półprzewodnikowe, WNT, Warszawa 1976, 1987, 1996.
9) R. Śledziewski, Elektronika dla fizyków, PWN, Warszawa 1984.
10) R.C. Dorf Ed. The Electrical Engineering Handbook, CRC Press LLC 2000.
11) F. Przezdziecki, Elektrotechnika i elektronika, PWN, Warszawa 1974.
12) J. Pyrhönen, T. Jokinen and V. Hrabovcová, Design of Rotating Electrical Machines, John
Wiley & Sons 2008.
13) A. Hughes, Electric Motors and Drives Fundamentals, Types and Applications, third
edition, Newnes 2006.
14) Ch. R. Robertson, Fundamental Electrical and Electronic Principles, Elsevier 2008, 3-ed.
15) Internet.
16) Darmowe programy symulacyjne (np. www.tina.com, www.electronicworkbench.com,
schematics.com, renesas.com)
Spis tematów
Podstawy teorii obwodów, klasyfikacja sygnałów,
źródła napięciowe i prądowe, obwody prądu
stałego i zmiennego, obwody RLC, wykresy
wektorowe (wskazowe), układy diodowe, obwody
magnetyczne, układy trójfazowe, transformatory,
maszyny elektryczne, tranzystory (modele i
proste układy), tranzystory polowe, wzmacniacze
operacyjne, sprzężenie zwrotne, generatory,
bramki cyfrowe i logika kombinacyjna, układy
sekwencyjne, liczniki, pamięć, przetworniki A/C i
C/A, systemy 3-magistralowe, systemy
pomiarowe, detektory, przyrządy pomiarowe i
pomiar.
Elektrotechnika jest nauką o praktycznym
wykorzystaniu zjawisk elektrycznych.
Elektronika zajmuje się korzystaniem z
możliwości manipulowania ładunkami
elektrycznymi oraz kwantami światła.
W przyszłości bardzo użytecznym może stać
się manipulowanie amplitudami i fazami
stanów kwantowych.
Energia – bez energii nic nie może się dziać.
Na naszej planecie mamy wiele źródeł energii.
Konwersje energii i energia elektryczna
Energia nie znika i nie rodzi się z niczego może natomiast
zmieniać swoją postać.
W praktyce stosujemy liczne konwersje energii np.:
Elektryczna  Chemiczna
Elektryczna  Cieplna
Elektryczna  Mechaniczna
Elektryczna  Światło, promieniowanie i inne.
Energia elektryczna choć nie występuje w naturze w postaci
bogatych zasobów i nie jest formą najczęściej konsumowaną
to ma jedną zaletę: można ją transportować do odbiorców
na duże odległości.
Początki elektrotechniki i elektroniki
Około 600 lat przed naszą erą wiadomo było, że pocierany bursztyn o sierść
może przyciągać lekkie i suche obiekty.
W 1296r P. Peregrinus opisał swoje eksperymenty z naturalnymi magnesami.
Jednak za początek ery elektryczności i elektrotechniki można
uznać zbudowanie ogniwa elektrycznego (baterii) w 1799 r.
przez A.G.A. Voltę. Od tego czasu można było prowadzić
badania nad obwodami z prądem elektrycznym.
Za początek ery radia oraz radiotechniki a później elektroniki
można uznać pierwsze bezprzewodowe przesłanie sygnału elektrycznego, którego dokonał
G. Marconi w 1895r.
Dla rozwoju elektrotechniki wielkie znaczenie mają też setki innych wydarzeń jak np. 1827r. – G.S.
Ohm odkrywa oporność elektryczną i prawo Ohma. C. Wheatstone – Liczne wynalazki: 1827r.konstruuje kalejdofon (wizualizacja drgań pręta przez odbity od niego promień światła), kilka lat
później stosuje mostek do pomiaru oporności a następnie długości przewodnika przez pomiar jego
oporności. 1846r. G. Kirchhoff definiuje prawa zwane obecnie prawami Kirchhoffa. W 1874 r. F.
Braun odkrywa, że pewne kryształy w pewnych warunkach (np. kontakt metalowego ostrza z
kryształem galeny) przewodzą prąd tylko w jedną stronę. W 1885 r. W. Stanley wynajduje
transformator.
1861r. do 1873r. - J. C. Maxwell opublikował prace, w których zebrał i
przedstawił w formie równań wcześniejszą wiedzę o zjawiskach elektromagnetycznych.
Pojęcie pracy wyjścia i bilans
energetyczny wyjaśniają fotoefekt:
Ee = hν – W
(A. Einstein 1905 r.)
gdzie:
W jest „pracą wyjścia” - minimalną energią konieczną
do wyemitowania elektronu czyli wydobycia go z
metalu.
Ee jest maksymalną energią kinetyczną wyemitowanego
elektronu.
hν jest energią kwantu światła Ev = hν.
Fotoefekt zachodzi gdy hv ≥ W.
Jeżeli uwzględnimy fakt, że metale dobrze przewodzą
prąd elektryczny a wydobycie jednego elektronu
na zewnątrz wymaga co najmniej energii W (kilka eV)
to dochodzimy do wyobrażenia, że
elektrony w metalu można traktować jak ciecz (tzw.
ciecz Fermiego) znajdującą się na pewnej głębokości
energetycznej W.
Kontakt dwóch przewodów oznacza możliwość
przepływu cieczy Fermiego między nimi.
Przypomnienie podstawowych definicji
Ładunki elektryczne zwykle oznaczamy symbolem q lub Q.
Elektryczny ładunek jednostkowy to 1 C (-1 kulomb ≈ 6.24x1018 elektronów, elektron
posiada ładunek o wartości: - e = - 1.6x10-19 C ). Obiekt naładowany ujemnie zawiera
więcej elektronów niż potrzeba do neutralizacji ładunku dodatniego protonów,
naładowany dodatnio staje się w wyniku niedoboru elektronów.
Ciecz Fermiego to „ciecz” złożona z elektronów mogących swobodnie poruszać się w
objętości przewodnika. W materiałach przewodzących prąd elektryczny, tj. w
przewodnikach, mobilnymi nośnikami ładunku najczęściej są tzw. swobodne
elektrony, najsłabiej związane i pochodzące z najbardziej zewnętrznych orbitali.
Możemy je z dobrym przybliżeniem traktować jako ciecz obdarzoną ładunkiem
elektrycznym.
Prąd – ukierunkowany ruch ładunku elektrycznego (symbole: i lub I). Natężenie prądu
wyrażane jest w amperach (A) i oznacza szybkość przepływu ładunku przez “coś”.
Prąd o natężeniu 1 A oznacza, że przez przekrój jakiegoś elementu w ciągu 1
sekundy przepływa 1 C ładunku. Kierunek prądu jest zgodny z kierunkiem
przemieszczania ładunku dodatniego. Jeżeli prąd stanowią jony dodatnie (lub
dodatnie dziury po elektronach) to kierunek ich ruchu jest zgodny z kierunkiem prądu.
Taki sam prąd co do natężenia i kierunku istnieje gdy przemieszczają się w kierunku
przeciwnym jony ujemne lub, co ma miejsce niemal zawsze w elektrotechnice i
elektronice, elektrony.
Napięcie
Napięcie (symbol: U) jest różnicą potencjału elektrycznego między dwoma
wybranymi punktami i jest wyrażane w woltach (V), czyli jest pracą
przypadającą na jednostkowy (próbny) ładunek:
U[V]a-b = W[J]a-b/Q[C], 1V = 1J/C.
Zatem napięcie między dwoma punktami A i B oznacza pracę, która zostanie
wykonana nad próbnym ładunkiem przy jego transporcie z B do A podzieloną
przez wartość tego ładunku. UEB = 0,5 V oznacza, że między punktami E i B
występuje napięcie 0,5 V. Punkt E ma potencjał elektryczny dodatni (lub
wyższy) względem punktu B. UC = 5 V oznacza, że między punktem C a
wspólnym punktem odniesienia (“masą”) występuje napięcie o wartości 5 V.
Należy odróżniać napięcia wymuszające prąd czyli siły elektromotoryczne –
SEM od spadków napięcia będących skutkiem SEM i wymuszania prądu.
SEM występuje na zaciskach źródeł energii np. baterii elektrycznych, zasilaczy
czy nawet elektrowni (symbole: SEM, E, U lub u czasem V). Spadki napięć
(symbole: U, u czasem V) to po prostu obniżenia potencjału na elementach
zamykających obwód elektryczny poza siłami elektromotorycznymi.
Natężenie pola elektrycznego E
Zgodnie z prawem Kulomba ładunki elektryczne q1 i q2
działają na siebie na odległość z siłą:
F12 jest wektorem siły, k jest stałą, w próżni k = 1/4πε0 = 8,99·109 N·m2/C2, ε0
jest stałą zwaną przenikalnością elektryczną próżni i wynosi 8,85·10-12 C2/N·m2,
r jest odległością między ładunkami, r jest wektorem jednostkowym o kierunku
r. Jeżeli zastosujemy mały ładunek próbny q2 do zbadania jak taka siła zależy
od miejsca w przestrzeni to możemy naszkicować obraz wektorowego pola
elektrycznego. Wektory takiego pola, oznaczane symbolem E to po prostu
wektory siły dzielone przez wartość ładunku próbnego (taki iloraz mówi jaka
siła przypada na jednostkowy ładunek).
Gdy znamy wektor natężenia pola elektrycznego E to mnożąc go przez dany
ładunek próbny otrzymamy siłę jaka na niego zadziała w polu E.
Odnotujmy, że w fizyce nie tylko prawo Kulomba czy wyrażenie na wektor E:
mają postać: „coś”/odległość2
The Inverse Square Law
The inverse square law defines the relationship between their radiance from a point
source and distance. It states that the intensity per unit area varies in inverse proportion
to the square of the distance. The same energy fall on growing area of the sphere
surface (4πr2).
Równania Maxwella i wzór Lorentza
Równania Maxwella to zestaw czterech równań, który w roku 1884
opublikował Oliver Heaviside. Nazywamy je jednak równaniami Maxwella, gdyż
są one równoważne zestawowi równań, które wcześniej zostały opublikowane przez
Maxwella w kilku pracach w latach 1861 – 1873 [Phil. Mag. 21 (1861) 161, 281, 338,
Phil. Mag. 22 (1862) 12, 85, Phil. Trans. Roy. Soc. 155 (1865) 459, Phil. Trans. Roy.
Soc. 158 (1868) 643, Treatise in Electricity and Magnetism (1873)]. Maxwell odkrył
dodatkowy człon – tzw. prąd przesunięcia dE/dt dopełniający równanie (prawo)
Ampère’a co pozwoliło przewidzieć propagację fali elektromagnetycznej w próżni.
Oliver Heviside, dzięki zastosowaniu notacji wektorowej uzyskał bardzo zgrabną postać
równań Maxwella, dlatego ta właśnie postać równań pojawia się we wszystkich
współczesnych podręcznikach poświęconych elektryczności. Te cztery równania
uzupełnione o równanie na siłę Lorentza stanowią podstawę klasycznej elektrodynamiki.
Demonstracja
Maxwell swoimi równaniami opisał
zjawiska zaobserwowane wcześnie
przez wielu badaczy natury.
umożliwiają poznanie podstaw elektrotechniki
i elektroniki w zwięzłej i analitycznej postaci.
Równania Maxwella i wzór Lorentza określają
związki między jednym skalarem (gęstością
ładunku elektrycznego) i sześcioma
wektorami:
Postać całkowa równań Maxwella
Gdy równania Maxwella w postaci różniczkowej scałkujemy to otrzymamy:
Całkując II r. Maxwella po pewnym kawałku powierzchni S,
którego brzegiem L jest jakiś obwód elektryczny dostrzegamy,
że gdy strumień pola magnetycznego przez obszar S nie zmienia
się (dΦ/dt = 0) to II równanie Maxwella przyjmuje postać:
i staje się napięciowym
prawem Kirchhoffa:
Zatem dla stałych (ogólniej dla stacjonarnych) wymuszeń prądów czyli stałych sił
elektromotorycznych i napięć mamy bilans nr 1:
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa
Suma prądów wpływających do danego węzła jest równa sumie prądów wypływających z niego.
Prawo to wynika z zasady zachowania ładunku i stosuje się do węzłów o stałej ilości ładunku
(tj. nie zmieniających swojego potencjału elektrycznego). Tu suma wszystkich prądów w węźle
w każdej chwili się zeruje – to po prostu bilans prądów w węźle.
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa.
W dowolnym układzie suma spadków napięcia i sił elektromotorycznych (ogólnie
skoków potencjału) na elementach połączonych w zamknięty obwód równa się zeru.
Inaczej: na elementach połączonych równolegle występuje to samo napięcie. Lub:
suma spadków napięcia między punktami A i B układu, obliczana dla jednej drogi
między tymi punktami, jest równa sumie spadków napięcia dla każdej innej drogi i
równa się napięciu między A i B. Drugie prawo Kirchhoffa opiera się na stwierdzeniu,
że potencjał przewodnika w dowolnym punkcie względem wybranego potencjału
odniesienia jest jednoznaczną funkcją tego punktu. Zatem po obejściu dowolnego
obwodu, wracając do punktu początkowego wracamy zarazem do potencjału
początkowego. Po prostu jest to bilans skoków potencjału elektrycznego w pętli (bilans
sił elektromotorycznych i spadków napięcia). Prawo to stosuje się dla obwodów, przez
które nie przenika zmieniający się w czasie strumień pola magnetycznego. Czyli tam
gdzie równanie Maxwella:
można zastąpić przez:
Z punktu widzenia fizyki tam gdzie równanie
Maxwella:
nie można zastąpić przez:
możemy zbilansować spadki napięć i siły
elektromotoryczne z indukowaną siłą
elektromotoryczną, która jednak ma dziwną własność:
mianowicie: całka po pętli zamkniętej z pola E jest nie
zerowa, a to oznacza że mamy tu do czynienia z
potencjałem nie zachowawczym. Czyli wychodząc z
punktu startu „a” i po pętli wracając doń nie wracamy do
tego samego potencjału lecz różnego o wartość całki.
Pytanie: A co z wymuszeniami zmiennymi w czasie?
Jeżeli wymuszenia są zmienne w sposób periodyczny, czyli o stałej amplitudzie, to
I prawo Kirchhoffa będzie spełnione tylko dla amplitud i dla wartości skutecznych
prądów. Ale nie dla wartości chwilowych bo teraz potencjał dowolnego węzła nie
jest stały lecz pulsuje lub zmienia się periodycznie ze stałą amplitudą! Zatem:
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa mówi:
W obwodach prądu stałego suma prądów wpływających do danego węzła jest równa
sumie prądów wypływających z niego w rozumieniu ich wartości chwilowych, ich
wartości skutecznych oraz amplitud.
W obwodach o przebiegach zmiennych ale periodycznych suma prądów
wpływających do danego węzła jest równa sumie prądów wypływających z niego w
rozumieniu ich wartości skutecznych oraz amplitud. Niestety nie jest to spełnione w
odniesieniu do wartości chwilowych prądów bo potencjały węzłów (i ilości ładunku w
nich) pulsują.
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa. W dowolnym układzie suma
wartości chwilowych spadków napięcia i sił elektromotorycznych (ogólnie skoków
potencjału) na elementach połączonych w zamknięty obwód równa się zeru.
II prawo Kirchhoffa odnosi się do wartości chwilowych zarówno w obwodach prądu
stałego jak i w obwodach prądów zmiennych (natomiast może nie dotyczyć amplitud).
Dla prądów zmiennych
(jak zobaczymy w dalszych wykładach)
prawa Kirchhoffa i Ohma obowiązują w pełni dopiero w zapisie
zespolonym!
Prawa Kirchhoffa i prawo Ohma zwykle wystarczają do łatwej
analizy prostych obwodów elektrycznych bowiem prawa te w
poniżej zapisanej formie są gotowymi receptami do układania
równań.
Prądowe prawo Kirchhoffa: Suma wszystkich prądów w węźle
obwodu stacjonarnego (ze stacjonarnymi potencjałami
elektrycznymi) jest równa zeru: Σ ik = 0
Napięciowe prawo Kirchhoffa: Suma wszystkich skoków
potencjału czyli sił elektromotorycznych i spadków napięć wzdłuż
dowolnej pętli obwodu elektrycznego, przez którą nie przenika
zmienny strumień pola magnetycznego jest równa zeru: Σ Uk = 0.
Prawo Ohma: Natężenie prądu elektrycznego w rezystorze jest
wprost proporcjonalne do wymuszonego na nim skoku napięcia:
I = GU
albo
I = U/R.
Stała proporcjonalności G nazywamy przewodnością
(konduktancją) a jej odwrotność 1/G = R rezystancją (opornością)
rezystora.
Wzór Lorentza ma zastosowanie w analizie pola
elektrycznego i magnetycznego poprzez detekcją siły
wywieranej przez pole na naładowany elektrycznie element
lub przewodnik z prądem. Poniższe wektorowe wyrażenie
a w szczególności ostatni element idl×B stanowi podstawę
obliczeń momentu siły wytwarzanego w maszynach
elektrycznych.
Przykład. Dwie kule metalowe o promieniach R1 i R2 połączono metalowym
prętem i naładowano elektrycznie. Przy której kuli będzie większe natężenia pola
elektrycznego E?
Ładunek rozłoży się na powierzchni metalowych
elementów tak, że wewnątrz gradient potencjału
elektrycznego wynosi 0. Mobilna ciecz Fermiego
wyrównuje potencjał!
Jeżeli potencjały kul są równe VR1 = VR2 to ładunki na nich spełniają związki:
VR1 = kQ1/R1 = VR2 = kQ2/R2 -> Q1/R1 = Q2/R2 -> 4πR12σ1/R1 = 4πR22σ2/R2 ->
σ1R1 = σ2R2
jeżeli R2 jest większy od R1 to gęstość powierzchniowa ładunku na kuli 1 tj. σ1 jest
większa od σ2 - gęstości ładunku na kuli 2.
Z pierwszego równania Maxwella mamy:
Co oznacza, że przy powierzchni mniejszej kuli mamy również większe natężenie
pola elektrycznego E. Zatem przy ostrzach mamy silne pola!
Wniosek: z zaostrzonych fragmentów naładowanego
ujemnie metalu mogą wyciekać elektrony!
Obwody elektryczne
W codziennej praktyce energię elektryczną spotykamy w postaci energii
potencjalnej jak i kinetycznej. Zgromadzenie nadmiaru odpychających
się ładunków jednego znaku jest przykładem zapasu energii potencjalnej.
Podobnie jest gdy ładunki elektryczne przeciwnych znaków są
separowane na dwóch elektrodach akumulatora, baterii, prądnicy czy
innego urządzenia zdolnego dostarczać energię elektryczną. Gdy tylko
pojawi się możliwość rozpływu tego ładunku mamy do czynienia z
obwodem elektrycznym i z energią kinetyczną w postaci prądu
elektrycznego. Ta energia zwykle zamienia się na energię cieplną,
Obwód elektryczny jest podstawowym i uniwersalnym pojęciem w
elektrotechnice i elektronice. Obwód elektryczny musi zawierać
elementy pozwalające na wymuszony ruch ładunku elektrycznego oraz
przynajmniej jedno źródło energii elektrycznej wymuszające ten ruch
(czyli jakąś pompę ładunku elektrycznego). W elektronice możemy
mieć do czynienia z obwodami zawierającymi rozmaite wymuszenia w
postaci: a) źródeł stałego prądu lub napięcia jak zasilacze lub powoli
rozładowywane akumulatory czy baterie. b) źródeł periodycznie
zmiennych napięć i prądów, c) źródeł zmiennych nie periodycznych.
Nauka elektrotechniki zwykle zaczyna się od poznania obwodów z
wymuszeniami stałymi w czasie czyli obwodów prądu stałego.
Intensywność przepływu
elektronów w obwodzie
elektrycznym (natężenie prądu)
jest proporcjonalne do różnicy
potencjałów wymuszających ten
przepływ, podobnie jak
intensywność przepływu wody w
rurze na rysunku obok jest
proporcjonalne do różnicy
ciśnień (albo różnicy
poziomów).
Wodny analog źródła
różnicy potencjałów i
wymuszenia przepływu
(prądu).
Sposoby
reprezentacji
obwodów
elektrycznych.
Dla małych napięć elementami odwodu elektrycznego zwykle są przewodniki.
Dla bardzo dużych napięć istotnym elementem obwodu może być nawet taki
izolator jak powietrze (napięcie między chmurą a Ziemią
może wynosić nawet 108 V, prąd przez 0,03 s może sięgać 105 A).
Rozkład potencjału w układach prądu stałego.
W praktycznych obwodach elektrycznych a zwłaszcza w obwodach
elektronicznych zaniedbujemy spadki napięcia na przewodach gdyż typowe
oporności metali wynoszą 10-8 -10-6 Ωm (oporność przewodu miedzianego o
przekroju 1 mm2 i długości 1m wynosi zaledwie około 0.017 Ω). Znaczne skoki
potencjału występują na elementach o znacznej oporności.
Potencjał i jego różnice (napięcia) w obwodzie elektrycznym
oraz różnice poziomów w obwodzie z cyrkulującą cieczą.
W elektrotechnice zajmujemy się obwodami:
a) Z prądami stałymi, gdzie nie bierzemy pod
uwagę: kondensatorów bo stanowią one przerwanie
obwodu, Indukcyjności bo idealna indukcyjność
stanowi zerowy opór dla prądu stałego.
Sporadycznie bierzemy pod uwagę pole
magnetyczne bo jest ono stałe i nie indukuje siły
elektromotorycznej w nieruchomych przewodach.
b) Z prądami zmiennymi, tu już interesujemy się
kondensatorami i cewkami bo dla prądu zmiennego
stanowią skończone i niezerowe impedancje.
Interesujemy się też zmiennymi polami
elektrycznym i magnetycznym.
c) Z prądami trójfazowymi, te obwody pozwalają
wytwarzać tzw. wirujące pole magnetyczne dzięki
któremu można łatwo budować silniki dużej mocy
(tu mamy do czynienia z dużą siłą i energią).
Dystrybucja energii elektrycznej w skali kraju
odbywa się za pomocą linii trójfazowych.
W elektrotechnice prądy elektryczne są
postrzegane głównie poprzez aspekt energetyczny i
zwykle są klasyfikowane poprzez kryterium
przebiegu prądu w funkcji czasu.
Wartość skuteczna (ang. RMS = root mean square).
Wartości skuteczne periodycznych napięć i prądów zdefiniowane
są jako:
Usk (danego U) to taka wartość, że napięcie stałe o tej wartości, w
czasie T, n•T lub w bardzo długim okresie czasu, zapewnia
identyczny skutek jak samo U – czyli identyczną ilość energii w
odbiorniku. To samo dotyczy Isk. Isk oraz samo I skutkują tą samą
ilością energii w czasie T, n•T lub bardzo długim okresie czasu.
Dla przebiegów sinusoidalnych wartość skuteczna jest pierwiastek
z 2 razy mniejsza od amplitudy. Wartości skuteczne używamy do
obliczeń energii lub mocy. Mierniki napięć i prądów zwykle
pokazują wartości skuteczne.
W elektronice nie tylko prądy ale i wiele innych
wielkości fizycznych postrzega się poprzez aspekt
informatyczny traktując je jako sygnały.
Ogólnie sygnałem może być dowolna zmiana dowolnej
wielkości fizycznej. W elektronice istotnymi sygnałami są:
zmiany ładunku elektrycznego, napięcia, prądu oraz pola
elektromagnetycznego.
Klasyfikacje sygnałów elektrycznych
1) Sygnały: a) stochastyczne (losowe), b) deterministyczne. 2)
Sygnały: a) jednowymiarowe, b) wielowymiarowe. 3)
Sygnały: a) periodyczne, b) nieperiodyczne.
4) Sygnały zmodulowane: a) m. amplitudy, b) m.
częstotliwości, c) m. fazy.
5) Sygnały impulsowe i skokowe. 6) Szumy – wszelkie
zakłócenia sygnału użytecznego.
Moc
(czyli tempo wykonywania pracy)
Moc jest ilością pracy wykonywaną, oddawaną lub pobieraną w
jednostce czasu, jest to ilość pracy przypadająca na jednostkę
czasu. W elektryczności moc wyraża się zwykle symbolem P, i
obliczana jest jako iloczyn napięcia i prądu: P[W] = P[J/s] =
U[V]•I[A]. Dla „U” w woltach i „I” w amperach mamy P w watach
[W]. U[V]•I[A] jest iloczynem: (praca/ładunek) • (ładunek/czas) =
(praca/czas). Gdy kierunek prądu jest zgodny z napięciem danego
źródła (czyli, gdy na zewnątrz źródła prąd płynie od dodatniego do
ujemnego bieguna źródła) to znak mocy jest dodatni i mówimy, że
źródło to wykonuje oddaje pracę. W przeciwnym wypadku moc
będzie ujemna, a źródło będzie pobierać pracę i gromadzić
energię. W układach elektronicznych moc często wydziela się w
postaci ciepła i podnosi temperaturę do momentu uzyskania
równowagi cieplnej. W równowadze wydzielaną moc cieplną
równoważy strumień ciepłą odprowadzanego do otoczenia. Zbyt
wysoka temperatura równowagi często bywa przyczyną
uszkodzeń elementów elektronicznych. Zatem nie powinny nas
dziwić liczne wiatraki we współczesnych systemach cyfrowych.
Rezystory
to najprostsze elementy bierne w obwodach elektrycznych
ich własnością jest
rezystancja czyli
ograniczanie natężeń prądu
Symbole
Ale gdy uwzględnimy niektóre jego wady
to schemat zastępczy jest niestety taki:
Rezystancja
Rezystancja, czasem zwana opornością lub oporem czynnym,
symbol R, jednostka Ω - Ohm, jest miarą utrudniania przepływu
prądu. Konduktancja zwana też przewodnością, symbol G,
jednostka S – Simens, jest odwrotnością rezystancji G = R-1.
(W literaturze zachodniej można spotkać jednostki konduktancji
jako „mho” – odwrotność do Ohm: L.P. Huelsman „Basic Circuit Theory)
Prawo Ohma: I = U/R (lub I = GU) - natężenie prądu I w
elemencie obwodu elektrycznego jest wprost proporcjonalne do
napięcia U między końcami (zaciskami) tego elementu.
Rezystancja między określonymi punktami obwodu (w tym rezystancja
zastępcza układu) to stosunek napięcia do natężenia prądu między tymi
punktami R[Ω] = U[V]/I[A], konduktancja to G[S] = I[A]/U[V].
Szybkość wydzielania się ciepła przy zadanym prądzie: P = IU = I2R, a przy
zadanym napięciu P = IU = U2G. Materiały lub elementy spełniające prawo
Ohma, czyli wykazujące proporcjonalność prądu do napięcia, nazywamy
omowymi lub liniowymi. Prawo Ohma jest idealizacją, która nie
uwzględnia takich zjawisk jak np. zmiana oporności wywołana
zmianą natężenia pola elektrycznego czy natężenia prądu.
Rezystancja rezystora
wyraża się wzorem:
R – rezystancja, ρ - rezystancja właściwa materiału,
l - długość rezystora, A – przekrój poprzeczny rezystora.
Najważniejsze parametry przy doborze rezystorów:
Nominalna moc Pmax
Nominalne napięcie Vmax
Temperaturowy współczynnik rezystancji
(typowo od 10-3 do 10-5 na stopień Celsjusza),
R – rezystancja w temperaturze otoczenia
∆T – przyrost temperatury względem temp. otoczenia.
∆R – przyrost rezystancji.
Napięciowy współczynnik rezystancji
R – rezystancja przy napięciu = 0,1 UMax (UMax - dopuszczalne maksymalne
napięcie pracy rezystora), ∆R – przyrost rezystancji.
Inne parametry: indukcyjność pasożytnicza, napięcie graniczne, dopuszczalna
moc, tolerancja, poziom szumu (Rezystory metalizowane i drutowe "szumią"
najmniej ale mają większą indukcyjność. Ich napięcie szumów wynosi 0,05
µV/V. Napięcie szumów rezystorów węglowych wynosi 6 µV/V).
Dane zawarte w tabeli pokazują, że rezystancja przewodów Al i
Cu ze wzrostem temperatury o 100 K rośnie o około 40%. Zatem
mierząc przyrost oporu np. uzwojenia można określić przyrost
temperatury danej maszyny elektrycznej.
Obudowy pojedynczych rezystorów mają po 2 końcówki, wiele
rezystorów w jednej obudowie - to wiele pinów (końcówek).
Rezystory precyzyjne odznaczają się tolerancją ±1% i lepszą, nawet ±0,05%.
Zależnie od zastosowania dobieramy bardziej lub mniej niezawodne rezystory.
Aparatura medyczna, wojskowa czy sprzęt kosmiczny wymagają technologii
bardziej niezawodnych, gdyż koszty wymiany mogą być „astronomiczne”.
Wśród technologii rezystorów można wymienić: rezystory drutowe, objętościowe,
grubowarstwowe, cienkowarstwowe, oraz technologie specjalne zwiększające odporność
na takie czynniki jak wilgoć, duży zakres temperatur czy jeszcze inne.
Rezystory precyzyjne odznaczają się tolerancją ±1% i lepszą, nawet ±0,05%. Zależnie od
zastosowania dobieramy bardziej lub mniej niezawodne rezystory. Aparatura medyczna, wojskowa
czy sprzęt kosmiczny wymagają technologii bardziej niezawodnych, gdyż koszty wymiany mogą
być „astronomiczne”. Wśród technologii rezystorów można wymienić: rezystory drutowe,
objętościowe, grubowarstwowe, cienkowarstwowe, oraz technologie specjalne zwiększające
odporność na takie czynniki jak wilgoć, duży zakres temperatur czy jeszcze inne.
Bardzo ważnymi elementami w wielu następnych
wykładach będą:
DZIELNIKI NAPIĘCIA I
DZIELNIKI PRĄDU
Dzielnik napięcia
Jest to układ, który zadane napięcie dzieli na ściśle określone
części. Zatem napięcie wyjściowe (jedna z tych części) jest ściśle
określonym ułamkiem napięcia wejściowego. Jest podstawą do
zrozumienia działania wielu układów elektronicznych. Dla
dzielnika bez obciążenia (jak na rysunku) w opornikach R1 i R2
mamy taki sam prąd. Napięcie wyjściowe, na zaciskach R2, jest
równe Uwy = UweR2/(R1+R2). Uwy jest taką częścią Uwe jaką
R2 jest częścią sumy R1+R2. (generalnie Ux= UweRx/Rcałości)
Dzielnik prądu
Jest to układ, który dzieli zadany prąd
na ściśle określone części.
Na zaciskach oporników R1 i R2
(o przewodności G1 i G2, G1 = 1/R1
i G2 = 1/R2) mamy takie samo napięcie.
I1 = Uo/R1 = UoG1, I2 = Uo/R2 = UoG2.
Io = I1 + I2 = UoG1 + UoG2.
Zatem stosunki I1/Io i I2/Io czyli
I1/(I1 + I2) i I2/(I1 + I2) są identyczne ze
stosunkami G1/(G1 + G2) i G2/(G1 + G2).
Generalnie, przy podziale prądu na
większą ilość części n
Ix (x = 1, 2 ...n) jest taką częścią
Io (Iwe) jaką Gx jest częścią sumy
G1+G2+...Gn = Gcałości.
E-E-M. Lista 1.
1) Jaki ładunek zostanie przeniesiony prądem elektrycznym o natężeniu 6 A w ciągu 10 min? Jak długo musi
trwać prąd o natężeniu 1 mA aby przenieść identyczny ładunek?
2) Spirala kuchenki elektrycznej ma rezystancją 30 Ω. Jakie natężenie prądu pojawi się w spirali gdy
podłączymy ją do sieci 240 V? Na jaką moc jest ta kuchenka?
3) Dwie żarówki 60 W na 240 V omyłkowo połączono szeregowo do sieci. Jaką mają rezystancję te żarówki i
jaką moc będą pobierać z sieci?
4) Aby doprowadzić do wrzenia pewną masę wody w ciągu 10 min należy dostarczyć 3,6 MJ energii. Jakiej
łącznej mocy grzałek należy użyć i jaki prąd będzie pobierany z sieci 240 V?
5) Oblicz rezystancje płytek kwadratowych o wymiarach a) 1 m x 1 m x 1 µm i b) 1 µm x 1 µm x 1 µm
wykonanych z materiału o rezystancji właściwej 1 Ωm.
6) Oblicz amplitudę oraz wartość średnią napięcia w sieci 240 V.
7) Pewien element pod wpływem przykładanego napięcia przepuszczał przez siebie prąd w taki sposób, że
zwiększenie napięcia o 1 V zwiększało prąd o 1 A. Po przekroczeni 10 V prąd przestał się zmieniać a po
przekroczeniu 20 V kontynuował zwiększanie prądu. Tym razem o 1 A przy wzroście napięcia o 2 V.
Przedstaw zależność rezystancji dynamicznej rd = dU/dI od napięcia. Czy ten element spełnia prawo Ohma?
8) Oblicz siłę działającą na kawałek przewodu o długości 0,1 m z prądem o natężeniu 5 A umieszczonym pod
kątem 80º do wektora pola magnetycznego B o wartości 2 T.
9) Zakładając, że każdy kilometr kabla do przesyłania energii elektrycznej ma rezystancję (oporność) 2 Ω
obliczyć jaką maksymalną moc można dostarczyć do odbiornika oddalonego o 12 km od elektrowni
generującej napięcie 240 V i pomijalnie małej (zerowej) rezystancji wewnętrznej. Jaką rezystancję musi mieć
wtedy odbiornik. Ile mocy tracimy w linii przesyłowej i jakie napięcie występuje na zaciskach odbiornika
mocy.
10) Oblicz rezystancję między zaciskami A i B wiedząc, że układ
zbudowano z rezystorów o wartości 1 Ω każdy.
11) Ile wynosi wartość dopuszczalnej mocy wydzielanej
w rezystorze o nominalnej wartości mocy 0,25 W gdy
znajduje się on w temperaturze otoczenia 110°C.
12) Oblicz spadki napięci na rezystorach
w obwodzie jak na rysunku.
13) Oblicz wartość skuteczną napięcia o przebiegu
piłozębnym (trójkątnym) i amplitudzie 1 V.
14) Dwie kule o promieniach 1cm oraz 1 mm połączono galwanicznie i naładowano ładunkiem 1 C.
Jakie natężenia pola elektrycznego występują przy powierzchni tych kul?
15) Pokazać wynikanie prądowego i napięciowego prawa Kirchhoffa z równań Maxwella.
16) Wyprowadzić prawo zachowania ładunku z równań Maxwella.
Divergence
Circulation
Odpowiedzi
13)
14) Z wykładu wiemy, że jeżeli potencjały kul są równe VR1 = VR2 to ładunki na nich
spełniają związki:
VR1 = kQ1/R1 = VR2 = kQ2/R2 ; Q1/R1 = Q2/R2 ; 4πR12σ1/R1 = 4πR22σ2/R2 ; σ1R1 = σ2R2
Ze powyższej równości potencjałów i treści zadania wynika, że Q1/Q2=R1/R2= 10
Oraz Q1 + Q 2 = 1C => Q1 = 10/11 C, Q2 = 1/11 C. Z prawa Gaussa wynika, że:
σ1 = Q1/4πR12 = 10/(11·4π·0,012) = 723,4 C/m2
E1 = σ1/(8,85·10-12 C2/N·m2) = 8,174·1013 V/m,
σ2= 7234 C/m2
E2 = 8,174·1014 V/m,
16)
Różniczkując po czasie równanie I oraz biorąc dywergencję równania IV mamy:
Elektrotechnika elektronika miernictwo
Wykład 2.
Źródła i obwody prądu stałego
Na poprzednim wykładzie omówiliśmy:
1. Początki elektryczności i elektrotechniki (pierwsza bateria).
2. Równania Maxwella i wzór Lorentza oraz co z nich wynika.
3. Analogię między obwodami elektrycznymi a hydraulicznymi.
4. Prawa Kirchhoffa i prawo Ohma.
Pytanie: A co z wymuszeniami zmiennymi w czasie?
Jeżeli wymuszenia są zmienne ale stacjonarne to OK, I prawo
Kirchhoffa będzie spełnione dla wartości skutecznych oraz amplitud
(ale nie w odniesieniu do wartości chwilowych).
Teraz potencjał dowolnego węzła nie jest stały ale
stacjonarny co oznacza, że pulsuje lub zmienia się ale
periodycznie ze stałą amplitudą!
Zatem ogólnie:
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa
Suma prądów wpływających do danego węzła jest równa sumie prądów
wypływających z niego w rozumieniu ich wartości skutecznych albo
amplitud. Prawo to jest spełnione dla węzłów o stacjonarnym potencjale
(czyli albo o stałej ilości ładunku albo pulsującej lub przemiennej ilości
ładunku ale w sposób stacjonarny - periodyczny).
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa. W dowolnym
układzie suma wartości chwilowych spadków napięcia i sił
elektromotorycznych (ogólnie skoków potencjału) na elementach
połączonych w zamknięty obwód równa się zeru.
II prawo Kirchhoffa odnosi się do wartości chwilowych!
Dla prądów zmiennych
(jak zobaczymy w dalszych wykładach)
prawa Kirchhoffa i Ohma obowiązują
w pełni dopiero w zapisie
zespolonym!
Źródła i obwody prądu stałego
Przenośne źródła energii.
Mają obecnie bardzo szerokie zastosowanie:
Laptopy, telefony komórkowe, samochody, urządzenia alarmowe,
przenośna aparatura pomiarowa i wizyjna, sprzęt medyczny,
sprzęt wojskowy, satelity i wiele innych.
Przenośne źródła energii dzielą się na dwie grupy:
1) Ogniwa pierwotne. Są to ogniwa jednorazowe nie podlegające
ponownemu ładowaniu.
2) Ogniwa wtórne. Są to ogniwa podlegające wielokrotnemu
ładowaniu. Szeroko stosowanymi przedstawicielami tej grupy są
akumulatory i superkondensatory.
Ogniwa w bateriach i akumulatorach zamieniają
energię chemiczną na elektryczną o prawie
stałym napięciu.
Budowa ogniwa:
2 różne elektrody w roztworze jonowym (czyli anoda,
katoda i elektrolit).
Baterię stanowi jedno lub zazwyczaj kilka ogniw galwanicznych, u których na
elektrodach zachodzą nieodwracalne procesy chemiczne. Baterie są jednorazowymi
źródłami energii elektrycznej, które po zużyciu zapasu energii nie nadają się do
ponownego naładowania i użycia. Baterie nazywane są też ogniwami pierwotnymi.
Ogniwa pierwotne są ogniwami nie podlegającymi ponownemu przywracaniu energii,
zwykle po rozładowaniu ulega zużyciu jedna z elektrod (zwykle ujemna).
Akumulator wynalazł francuski fizyk Gaston Planté. Było to ogniwo ołowiowo-
kwasowe, w którym reakcja chemiczna produkująca elektryczność mogła być
odwrócona przez wymuszenie prądu w kierunku przeciwnym do prądu generowanego
przez ogniwo.
Akumulator stanowi jedno lub kilka ogniw, u których na elektrodach zachodzą
odwracalne procesy chemiczne. Akumulatory mogą przyjmować (absorbować) energię
elektryczną, przechowywać ją w postaci chemicznej oraz oddawać ją ponownie w
postaci energii elektrycznej. Akumulatory nazywane są też ogniwami wtórnymi.
Procesy ładowania i rozładowania ogniw wtórnych mogą się odbywać wielokrotnie.
Pojemność baterii lub akumulatora jest ilością ładunku
elektrycznego do rozładowania wyrażaną w ampero-godzinach
(Ah), przy czym czas powinien wynosić 20 h lub więcej.
Przykładowo pojemność 100 Ah oznacza pobieranie 5 A przez 20
h (próba pobrania znacznego prądu np. 50 A przez 2 h raczej się
nie uda i nie otrzymamy 100 Ah). Zapas energii ogniwa jest
oczywiście iloczynem pojemności i napięcia nominalnego
ogniwa. Komercyjnie dostępne są akumulatory o pojemnościach
od 0,1 Ah do 2000 Ah, a ich żywotność wynosi od 2 do 20 lat
zależnie od typu i warunków użytkowania. Baterie nie używane
tracą od 8 do 20% pojemności rocznie (jest to tzw. somorozładowywanie).
Każde ogniwo zbudowane jest z: obudowy, dwóch (odmiennych)
elektrod i elektrolitu działającego na elektrody.
Najczęściej produkowane baterie elektryczne można podzielić
na:
1) cynk-węgiel – cynk-powietrze (1,5 V na jednym ogniwie), 2)
zasadowo-manganowe (1,55 V), 3) rtęciowo-tlenkowe (1,2 V), 4)
srebrowo-tlenkowe (1,6 V), 5) litowo-manganowe (3 V). 6)
cynkowo-manganowe (Zn/MnO2, 3,2 V)
Często spotykane akumulatory: 1) litowo-jonowe (1,85 V na jednym ogniwie), 2)
litowo-polimerowe, 3) niklowo-wodorkowe (1,36V), 4) niklowo-kadmowe (1,35V), 5)
kwasowo-ołowiowe (2,1V), 6) cynkowo-powietrzne (1,6V).
Lista akumulatorów ciągle się poszerza ze względu na opracowywanie coraz bardziej
wydajnych jednostek stymulowanych potrzebami rynku. W przemyśle samochodowym
najbardziej rozpowszechnionymi są akumulatory kwasowe, zwane też ołowiowymi.
Elektrolitem w akumulatorach ołowiowych jest wodny roztwór kwasu
siarkowego, a elektrodami są płyty z ołowiu (jako elektroda ujemna) i płyty z
dwutlenku ołowiu (jako elektroda dodatnia).
Nowo zbudowany akumulator ma obie elektrody ołowiowe zanurzone w
elektrolicie. W procesie formowania, polegającym na podłączeniu źródła
napięcia stałego do akumulatora i ładowaniu go, następuje reakcja
elektrochemiczna prowadząca do utlenienia anody i zwiększenia stężenia
kwasu siarkowego. W procesie rozładowania, czyli korzystania z energii
chemicznej przetwarzanej na elektryczną, na elektrodach powstaje siarczan
ołowiu, zmniejsza się stężenie kwasu siarkowego i stopniowo obniża się
napięcia występujące między elektrodami.
Typowe parametry typowych akumulatorów ołowiowych:
Gęstość elektrolitu w temperaturze 15ºC w stanie naładowania 1,28, a w stanie
rozładowania 1,19 g/cm3.
SEM ogniwa 2,05 – 2,1 V, napięcie przy rozładowywaniu 2 – 1,85 V, napięcie
przy ładowaniu 2,1 – 2,7 V (obecność rezystancji wewnętrznej).
Sprawność energetyczna akumulatora (energia odebrana)/(energia włożona)
wynosi około 0,7. Sprawność elektryczna akumulatora (ładunek odebrany)/
(ładunek włożony) wynosi około 0,85.
Wyróżnia się kilka sposobów ładowania akumulatorów:
a) Ładowanie przy stałym napięciu.
b) Ładowanie przy stałym prądzie (zwykle poniżej 0,25C).
c) Ładowanie kontrolowane temperaturą akumulatora,
d) Czas ładowania kontrolowany końcowym napięciem lub końcowym prądem.
Należy unikać utrzymywania znacznych natężeń prądów w dłuższym okresie czasu.
Grozi to nadmiernym wzrostem temperatury i obniżeniem trwałości akumulatora.
Rozładowanie akumulatora ołowiowego do wartości poniżej 20 % jego pojemności jest
bardzo szkodliwe gdyż podczas ponownego ładowania może dojść do wydzielenia
nadmiernej ilości ciepła i uszkodzenia.
Niektóre materiały i składniki, z których wykonywane są baterie i
akumulatory są toksyczne. Oznacza to, że po zużyciu baterie i
akumulatory zaliczamy do grupy odpadów niebezpiecznych. Konieczna
jest ich selektywna zbiórka i bezpieczna utylizacja lub recykling.
Przy eksploatacji ogniw elektrycznych należy:
1) Nie przechowywać ogniw z przewodnikami elektrycznymi. Nie
dopuszczać do przypadkowego zwarcia zacisków baterii czy
akumulatora. W przypadku zwarcia akumulatora lub baterii o znacznej
pojemności może dojść do iskrzenia oraz rozgrzania a nawet stopienia
elementu zwierającego. W takiej sytuacji może łatwo dojść do pożaru,
zapalenia samochodu, stopienia pierścionka, eksplozji baterii czy
akumulatora itp.
2) Nie ładować baterii.
3) Instalować ogniwa zgodnie z oznaczeniami (+) i (-) umieszczanymi
na ogniwach i odbiornikach energii.
www.prc68.com/I/batt.shtml
Uwaga!
Ponieważ baterie mogą zawierać substancje toksyczne,
należy unikać ich uszkadzania, podgrzewania, spalania lub
zanieczyszczania nimi środowiska.
Lokalna aktywność
Wyłączenie (przerwanie) zewnętrznego obwodu elektrycznego jest
równoważne z przerwaniem prądu elektrycznego. Aktywność chemiczna
wewnątrz ogniwa również powinna zaniknąć. W praktyce jednak cynk
dostępny komercyjnie zawiera zanieczyszczenia innymi pierwiastkami
(żelazo, węgiel, ołów itp), które tworzą z macierzystym cynkiem liczne
lokalne ogniwa z lokalnym prądem elektrycznym. Zatem aktywność
chemiczna może trwać nawet po wyłączeniu obwodu obciążenia ogniwa.
Lokalna aktywność ogniwa skraca jego żywotność.
Ogniwa baterii zwykle zawierają elektrolit w postaci wilgotnej pasty co
powoduje, że nazywane są ogniwami suchymi (całkowicie suche
elektrolity nie są w stanie zamieniać energii chemicznej w elektryczną).
Istotną wadą akumulatorów jest ich wzrost rezystancji wewnętrznej
z obniżeniem temperatury.
Powoduje to obniżenie dostępnej mocy
podczas rozruchu silników
samochodowych w mroźne zimy czyli
wtedy kiedy akurat do rozruchu jest
potrzebna większa moc.
Ciekawym rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie super-kondensatorów.
Największe dostępne obecnie pojemności to kondensatory UltraCap (super
kondensatory do 3000 F na 2,7 V). Mogą one kompensować znaczną
oporność wewnętrzną akumulatorów, zwłaszcza zimą, zapewniając
zwiększenie dostępnej mocy potrzebnej do rozruchu silnika. Oferowane są
moduły o pojemnościach rzędu 100 F na napięcia nawet rzędu setek Volt.
Zmiana napięcia o 1 V w ciągu sekundy na takim kondensatorze oznacza
natężenie prądu rzędu 100 A! Bo ubytek 100 C na pojemności 100 F zmienia
napięcie tylko o 1 V, U = Q/C. Łącząc taki kondensator równolegle z
akumulatorem mamy urządzenie zdolne do gigantycznych impulsów prądu.
Super-kondensatory są obecnie coraz częściej
stosowne w regeneracyjnych systemach hamulcowych
Samochodów osobowych i ciężarowych. P/E = (W/kg) / Wh/kg.
Zasilacze
W rozmaitych laboratoriach oraz w rozmaitych ciągach
technologicznych spotykamy zasilacze, które
zamieniają energię elektryczną z sieci energetycznej o
napięciu sinusoidalnym na energię o napięciu stałym.
Parametry takich zasilaczy to przede wszystkim zakresy
napięć i prądów oraz stabilność wybranego napięcia lub
natężenia prądu.
Wewnątrz PC
0 – 150 KV
Sterowany 0 – 32 V, 3 A
Źródło napięciowe
Idealne źródło napięciowe jest dwójnikiem, na którego zaciskach występuje
stała różnica potencjałów niezależnie od natężenia i kierunku prądu. W
szczególności napięcie takiego źródła nie zależy od wartości rezystancji
obciążenia. Rzeczywiste źródło napięciowe zachowuje się jak idealne źródło
napięciowe z szeregowo połączonym rezystorem o małej wartości rezystancji.
Ogniwo elektryczne, baterię, akumulator można uważać za przybliżone źródła
napięciowe.
Źródło prądowe
Idealne źródło prądowe jest dwójnikiem, który wymusza prąd o stałym
natężeniu w dołączonym obwodzie, niezależnie od wartości napięcia na jego
zaciskach. Rzeczywiste źródło prądowe charakteryzuje się pewną graniczną
wartością napięcia wyjściowego a wydajność prądowa jest tylko w przybliżeniu
stała.
Źródła napięciowe i prądowe zaliczamy do
elementów aktywnych w obwodach elektrycznych
– mogą one dostarczać energię do obwodu.
Rozróżniamy dwa typy źródeł:
a) Źródła niezależne
b) Źródła zależne (sterowane).
Niezależne źródła napięciowe i prądowe
Niezależne źródła napięciowe utrzymują na
swoich zaciskach wybraną wartość napięcia
niezależnie od innych elementów obwodów do
nich podłączonych. Podobnie niezależne źródła
prądowe utrzymują wybrane natężenie prądu
niezależnie od elementów obwodu, w którym się
znajdują.
Źródła sterowane
Obok źródeł niezależnych, których parametry nie
zależą od napięć i prądów w innych elementach
danego obwodu elektrycznego (a nawet od
obciążenia tego źródła) istnieją źródła sterowane,
zwane też źródłami zależnymi, kontrolowanymi
lub regulowanymi.
W takim przypadku napięcie lub prąd źródła
zależy od napięcia lub prądu w innym elemencie
obwodu elektrycznego.
Czasem przy analizie układów wygodnie jest
zastąpić takim źródłem aktywny element obwodu
jakim jest np. tranzystor.
Obciążanie źródeł napięcia - odbieranie energii
Zamknięcie obwodu elektrycznego (połączenie biegunów źródła z
odbiornikiem energii elektrycznej) skutkuje pojawieniem się prądu w
utworzonym dla niego obwodzie i przekazywaniem energii.
O wielkości natężenia prądu decyduje
siła elektromotoryczna E, rezystancja
wewnętrzna r źródła i rezystancja obciążenia R.
Zgodnie z prawem Ohma I = E/(R+r).
Na zaciskach ustali się napięcie U = E – Ir. Zatem odbierana moc wyniesie
PR = RI2 = RE2/(R+r)2. Biorąc pochodną tego wyrażenia po R i
przyrównując do zera znajdziemy, że maksymalna moc wydzieli się w
odbiorniku o rezystancji R = r. Nazywamy to zasadą maksymalnego
przekazu mocy. Warto zauważyć, że dla R = r wydzieli się identyczna moc
na rezystancji wewnętrznej r. Oznacza to, że przy maksymalnym
przekazie mocy mamy spore straty energii (równe energii przekazanej do
odbiornika). Oszczędniej z energią będzie w sytuacji R>>r.
W systemach audio dla uzyskania maksymalnej głośności dopasowujemy
R głośników do r wzmacniaczy. Natomiast unikamy dopasowania
(stosujemy R >> r) w sytuacji zasilania pilota lub innego urządzenia
baterią.
Łączenie źródeł napięcia
Dla uzyskania wyższej SEM ogniwa łączymy
szeregowo wtedy ich indywidualne SEM się sumują.
Sumują się również (niestety) ich oporności
wewnętrzne.
Dla uzyskania większych natężeń prądu ogniwa
łączymy równolegle. Sumują się wtedy ich
przewodności wewnętrzne (odwrotności oporów).
Przy nie identycznych źródłach napięcia łączenie
równoległe może prowadzić do strat energii ogniw w
czasie spoczynku (bez podłączenia odbiornika
energii) .
Podział elementów obwodów elektrycznych na pasywne i
aktywne.
Elementy aktywne – są to elementy mające zdolność
dostarczania energii elektrycznej do obwodu elektrycznego.
Zaliczamy do nich źródła napięciowe i prądowe.
Elementy pasywne – są to elementy, które rozpraszają energię
elektryczną (zamieniając ją na inny rodzaj energii np. na ciepło)
lub mają zdolność magazynowania energii w postaci pola
elektrycznego (kondensatory) albo magnetycznego
(indukcyjności).
Kierunek przepływu energii
W obwodach elektrycznych dwójnik oddaje energię, gdy prąd wypływa z jego
zacisku o wyższym potencjale elektrycznym, natomiast pobiera energię, gdy
prąd wpływa do tego zacisku.
Na rys. obok prąd I = (E1 – E2)/R = 3 A płynie
zgodnie ze strzałką. Widać, że źródło E1
traci moc P1 = I·E1 = 36 W, źródło napięcia E2
przyjmuje i magazynuje moc P2 = 18 W, a rezystor
R pobiera i rozprasza moc P3 = I2R = 18 W.
Podział elementów elektrycznych (i elektronicznych) na
liniowe i nieliniowe
Do elementów liniowych zaliczamy takie, które wykazują
proporcjonalność między „przyczynami” a „skutkami”,
(przynajmniej w pewnym interesującym zakresie) i można je
składać bez utraty tej proporcjonalności. Przykładowo idealny
rezystor jest elementem liniowym bo płynący przez niego prąd
(skutek) jest proporcjonalny do przyłożonego doń napięcia
(przyczyny), a współczynnikiem proporcjonalności jest tu 1/R
(zgodnie z prawem Ohma). Połączone rezystory można zastąpić
jednym rezystorem zastępczym. Wiemy, że w praktyce
przyłożenie zbyt dużego napięcia do rezystora powoduje utratę
powyższej proporcjonalności a nawet zniszczenia samego
rezystora. Mimo podobnych efektów (braku idealnej liniowości)
wiele elementów traktujemy jako liniowe gdyż obwody złożone z
elementów liniowych są łatwe do obliczeń przy pomocy układów
równań liniowych. Bez wahania za elementy liniowe uznamy i
takie, dla których współczynnik proporcjonalności jest liczbą
zespoloną (jak zobaczymy: kondensatory i cewki)!
Do elementów nieliniowych zaliczamy te, które powyższej
proporcjonalności nie wykazują. Przy rozwiązywaniu obwodów z
takimi elementami konieczne będą inne sposoby, np. metody
graficzne.
Rezystancja statyczna i dynamiczna
Wiele elementów wyróżnia specyficzna nieliniowa zależność prądu od
przyłożonego napięcia (np. żarówka lub dioda). Elementy takie nazywamy
nieliniowymi lub nieohmowymi i przy ich opisie posługujemy się pojęciami
oporu statycznego R i oporu dynamicznego rd.
Oporność statyczną definiujemy jako stosunek napięcia do prądu
w danym punkcie zależności (charakterystyki) między napięciem
i prądem danego elementu:
Oporność dynamiczną (zwaną też opornością przyrostową lub
małosygnałową) danego elementu definiujemy jako pochodną:
Generalnie rezystancja dynamiczna (stosunek przyrostów napięcia i prądu)
dowolnego elementu różni się od rezystancji zwanej też rezystancją statyczną
(stosunek napięcia do prądu). Równość między tymi wielkościami zachodzi
tylko dla oporników idealnych czyli idealnie spełniających prawo Ohma.
Wartość pochodnej dU/dI, dla elementów o nieliniowej zależności między
natężeniem prądu i przyłożonym napięciem, zależy od aktualnej wartości
przyłożonego napięcia. Zatem oporność dynamiczna nie jest wartością stałą
tak jak nie jest wartością stałą nachylenie charakterystyki prądowo napięciowej
tego elementu. Wartość rd może dodatkowo zależeć od wielu czynników takich
jak, czas, temperatura itp..
Ważnym jednak jest dostrzeżenie faktu, że nieliniową zależność można
rozłożyć na małe „kawałki” liniowych zależności i dla małych przyrostów napięć
(i prądów) korzystać z równań liniowych.
Połączenia szeregowe i równoległe
O tym czy rezystory (lub inne elementy) są połączone szeregowo lub równolegle nie
decyduje ułożenie symboli tych elementów na schemacie lecz to jak rozpływa się
ładunek elektryczny gdy w danym układzie płynie prąd wymuszany źródłem napięcia.
Jeżeli prąd w tym układzie cyrkuluje w taki sposób, że ładunek przepływa najpierw
przez jeden a następnie przez drugi rezystor to mamy do czynienia z połączeniem
szeregowym, w szeregowo połączonych elementach mamy ten sam prąd. Równoległe
połączenie ma miejsce wtedy, gdy ładunek rozdziela się (rozpływa) na dwa lub więcej
strumieni (dróg) by po pokonaniu pewnych odcinków z powrotem zlać się w jeden
strumień, na równolegle połączonych elementach są identyczne napięcia. Na
poniższym lewym rysunku rezystory R1 i R2 są połączone równolegle, natomiast r jest
do nich obu połączony szeregowo. Taki jest „punkt widzenia” źródła napięcia SEM1!
Gdyby w tym układzie wstawić nowe, dodatkowe wymuszanie np. SEM2 tak jak na
prawym rysunku to z „punktu widzenia” SEM2 rezystancje r i R1 okazują się być
połączonymi równolegle a R2 do nich szeregowo.
WYBRANE METODY ANALIZY OBWODÓW
ELEKTRYCZNYCH
Najczęściej stosowane metod:
1. Metoda uproszczeń.
2. Metoda superpozycji.
3. Metoda stosowania twierdzeń Thevenina i Nortona.
4. Metoda oczkowa, zwana też metodą prądów oczkowych (preferowane są
układy zawierające źródła napięciowe).
5. Metoda węzłowa, zwana też metodą napięć węzłowych, jest najczęściej
stosowana (preferowane są źródła prądowe).
6. Metoda graficzna. Stosowana jest szczególnie w przypadku układów
zawierających elementy nieliniowe.
W powyższych metodach stosowane są: prawa Kirchoffai, prawo Ohma,
intuicja i dążenie do uzyskania pełnego układu równań niezależnych. W
większości metod przed przystąpieniem do układania równań konieczne jest
tzw. strzałkowanie napięć i prądów by składniki równań były zapisywane z
właściwymi znakami. Czasem jest możliwa i przynosi duże ułatwienie zamiana
źródeł prądowych na równoważne źródła napięciowe lub odwrotnie.
Metoda uproszczeń (trasnsfiguracji).
Polega na stopniowym uproszczeniu układów przez wyznaczanie impedancji
lub konduktancji zastępczej fragmentów układu. Jest to metoda intuicyjna.
Przykład. Stosując stopniowe uproszczenia układu
obliczyć prądy w podanym układzie:
Rozwiązanie.
W pierwszym kroku obliczamy rezystor
zastępczy dla trzech rezystorów po 3 Ω
równolegle ze sobą połączonych:
RZ1= 1/(1/3Ω + 1/3Ω + 1/3Ω) = 1 Ω.
Następnie rysujemy układ prostszy ale
równoważny i w kolejnym uproszczeniu,
obliczamy rezystor zastępczy dla czterech
szeregowo połączonych rezystorów
RZ2 = 1 Ω + 2 Ω + RZ1 +2 Ω = 6 Ω
Obliczamy prąd I = U/ RZ2 = 6V/6Ω = 1A.
Teraz możemy obliczyć trzy identyczne
prądy płynące równolegle przez rezystory 3 Ω-we.
Wynoszą one I/3 = 1A/3.
Zamiana gwiazda-trójkąt. Przy takiej zamianie pewnych części układu
możemy otrzymać układ równoważny i prostszy do obliczeń. Poniższe
wzory otrzymujemy z 3 równań zapisanych jako równości oporu
między odpowiednimi punktami R[A,B]Trójkąt. = R[A,B]Gwizda,
R[B,C]Trójkąt = R[B,C] Gwizda i R[A,C]Trójkąt = R[A,C] Gwizda.
Metoda superpozycji
Ponieważ równania Maxwella są liniowe (względem napięć, prądów, ładunków
i natężeń pól, które opisują), zatem przy analizie układów elektrycznych
obowiązuje zasada superpozycji. Wedle zasady superpozycji możemy
rozważać skutki pojedynczego źródła (wymuszenia) przez proste usunięcie
pozostałych źródeł; poprzez wyzerowanie (zwarcie) źródeł napięcia i
wyzerowanie (rozwarcie) źródeł prądowych. Następnie aby obliczyć prąd lub
napięcie na jakimś elemencie po prostu sumujemy wkłady od poszczególnych
źródeł (wymuszeń).
Metoda stosowania twierdzeń Thevenina i Nortona
Twierdzenie Thevenina stanowi, że dowolną sieć elektryczną
(a w szczególności zasilacz) z dwoma wybranymi zaciskami
można zastąpić szeregowym połączeniem jednego źródła
napięciowego o sile elektromotorycznej UT i pojedynczego
rezystora RT. UT jest napięciem na rozwartych zaciskach układu: UT = Urozwarcia.
RT jest wewnętrzną rezystancją theveninowskiego układu zastępczego: R T =
UT/Izwarcia. Definicja UT = Urozwarcia podpowiada jak można zmierzyć lub obliczyć
UT. Natomiast definicja RT = UT/Izwarcia mówi jak można wyznaczyć RT mając
wyznaczoną wartość UT: należy obliczyć lub zmierzyć Izwarcia i obliczyć ułamek
UT/Izwarcia.
Twierdzenie Nortona mówi, że każdą sieć elektryczną
(a w szczególności zasilacz) można zastąpić równoległym
połączeniem źródła prądowego generującego prąd IN
I rezystora RN. IN jest prądem zwarcia. IN = Izwarcia.
RN = Urozwarcia/IN. Gdy spotkamy układy z napięciami i prądami zmiennymi
będziemy posługiwać się uogólnieniem rezystancji jakim jest impedancja Z
(czyli „oporność zależna od częstotliwości”). Z powyższego widać, że dla
każdego układu RT = RN = Urozwarcia /Izwarcia. Zastąpienie złożonego układu (np.
zasilacza) przez równoważny i prosty układ zawierający jedno źródło
napięciowe lub prądowe i jedną rezystancję pozwala łatwo obliczać i
przewidzieć co nastąpi na zewnątrz zastępowanego układu gdy
podłączymy do niego dowolny odbiornik mocy.
Poniższe rozważanie pokazujące, że oporność wewnętrzna źródła napięcia
(lub źródła prądowego) jaką możemy „odczuć” z zewnątrz przez np.
wymuszanie niewielkiej zmiany napięcia na jego zaciskach jest równe
oporności Thevenina (i oporności Nortona). Można tę oporność traktować
również jako wewnętrzną oporność dynamiczną. Zauważmy, że dla źródła
zewnętrznego wymuszania zmian napięcia, R1 i R2 są połączone równolegle.
RT = RN = Rwew.= rd
Metoda oczkowa (Metoda prądów oczkowych). Polega
na: 1) ostrzałkowaniu analizowanego obwodu – zaznaczenia
„prądów oczkowych”, 2) napisaniu układu równań stosując
napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) do wszystkich „oczek” (oczko
– pętla zwykle bez rozgałęzień do wewnątrz). 3) rozwiązaniu tego
układu równań.
Przykład 2.2: Obliczyć prądy w podanym układzie.
Metoda węzłowa (Metoda potencjałów węzłowych). Jest to
jedna z wielu metod wykorzystujących prawa Kirchhoffa i prawo
Ohma, przy czym jednak jest najbardziej popularną metodą
analizy obwodów elektrycznych bo najszybciej prowadzi do
niezależnego układu równań. W tej metodzie wykonujemy kolejno
następujące kroki:
1) Wybieramy węzeł odniesienia (którego potencjał przyjmujemy
jako zerowy, uziemiony). Względem tego węzła będą określane
potencjały innych węzłów. Najlepiej aby węzeł odniesienia łączył
możliwie najwięcej elementów (przewodów).
2) Oznaczamy symbolami napięcia (np. „en”) pozostałe miejsca
obwodu. Do określania prądów stosujemy przewodności G, G =
1/R (lub konduktancje Y, Y = 1/Z) mnożone przez różnice napięć
np. (e2-e1)G2.
3) Stosujemy prądowe prawo Kirchhoffa do wszystkich węzłów
prócz węzła odniesienia (możemy otrzymać n-1 niezależnych
równań, gdzie n - ilość węzłów).
4) Rozwiązujemy te równania i uzyskujemy nieznane napięcia
węzłów względem węzła odniesienia.
5) Obliczamy pozostałe wielkości.
Metoda węzłowa. Przykład 2.3. W układzie po lewej mamy
dane źródła i rezystancje. Obliczyć prąd przez R3.
Wybieramy węzeł
odniesienia i oznaczamy
nieznane napięcia
pozostałych węzłów: e1 i e2. ->
Stosujemy PPK (prądowe prawo Kirchhoffa)
Dla węzła e1: (e1 - Uo)G1 + e1G4 + (e1 - e2)G3 = 0
Dla węzła e2: (e2 - Uo)G2 + (e2 - e1)G3 + e2 G5 – Io = 0. Porządkujemy:
Metoda graficzna (metoda przecięcia charakterystyk).
Metoda g. stosowana jest do analizy układu, w którym element nieliniowy współpracuje z
elementem liniowym w postaci rezystora (lub liniowego obciążenia). Metoda polega na
odpowiednim wrysowaniu linii prostej reprezentującej element liniowy w wykres
charakterystyki elementu nieliniowego. Wrysowana linia prosta to zbiór punktów
pokazujących wartości prądu płynącego przez element liniowy jako funkcja napięć
„pozostawianych próbnie” dla elementu nieliniowego. Linię tę rysujemy przy pomocy
dwóch skrajnych punktów: 1) gdy całe napięcie pozostaje na elemencie nieliniowym tak
jakby w nim była przerwa i prąd wtedy wynosi 0 A, 2) gdy nic nie pozostaje dla elementu
nieliniowego, jakby uległ zwarciu, wtedy prąd wynosi Uo/R, gdzie Uo – całe napięcie a R
impedancja elementu liniowego (obciążenia).
Przykład 2.4. Znajdź napięcia na diodzie gdy do układu: dioda i rezystor 1 kΩ przyłożono
napięcie: 4V.
Rozwiązanie: współrzędne dwóch punktów
prostej to (4 V,0 A) i (0 V, 4 mA). Obie linie
(prosta charakterystyka rezystora
i charakterystyka diody) przecinają się
w punkcie (0,9 V, 3,1 mA) zatem
napięcie na diodzie wynosi 0,9 V.
Przykład 2.5. Znajdź napięcia na diodzie Zenera gdy do układu:
dioda Zenera na 5 V i rezystor 3 kΩ przyłożono napięcie: a) 6 V,
b) 9 V.
Rozwiązanie: dla a) Uo = 6 V współrzędne dwóch punktów prostej
to (-6 V,0 A) i (0 V, -2 mA). Dla prostej b) Uo = 9 V mamy:
(-9 V, 0 A) i (0 V, -3 ma). Obie proste przecinają charakterystykę
diody w okolicy 5V zatem napięcie na diodzie wynosi 5 V
choć źródło napięcia znacznie zmieniło generowaną wartość Uo z
6 V na 9 V.
Wniosek:
Dioda Zenera
stabilizuje
napięcie!
Metoda małych sygnałów (małosygnałowa).
Polega na zastosowaniu pojęcia impedancji dynamicznej i małych
zmian napięć. Stosowana szczególnie w przypadku układów
zawierających elementy nieliniowe, dla których małe odcinki
charakterystyk przybliżamy odcinkami prostymi. Metoda ta wiąże
się z faktem, że w działaniu wielu układów
istotne są dwa rodzaje wymuszeń. Zwykle jedno stacjonarne
wymuszenie w postaci stałego napięcia (lub prądu) zapewnia
odpowiednią polaryzację urządzenia – doprowadza dany układ do
stanu określonej aktywności. Drugie wymuszenie, które jest
sygnałem o małej amplitudzie (dodane do stacjonarnego
wymuszenia) powoduje niewielkie odchylenia wokół wartości
stacjonarnej, co oznacza wykorzystanie małego fragmentu
charakterystyki, który zastępujemy odcinkiem prostej. Taka
sytuacja pozwala na stosowanie prostych praw (Kirchhoffa i
Ohma) do układania liniowych równań w analizie działania
obwodów z elementami o nieliniowej charakterystyce.
Przykład 2.6. mostek Wheatstone’a
Jest to prosty układ rezystorów pokazany na
rysunku (a). Stosowany jest w wielu układach
pomiarowych, gdzie jeden z rezystorów jest
sensorem (czujnikiem) jakiejś wielkości fizycznej.
1) Wyrazić Uab przy pomocy rezystancji w
układzie i napięcia Us.
2) Jaka jest wartość Rx gdy R1 = R2 = R3 =
1 kΩ, Us = 9 V, Uab = 9 mV?
1) Mostek można też narysować w postaci
jak na rysunku (b), gdzie dobrze widać, że:
va rozumiane jako Uad wynosi va = UsR2/
(R1+R2). Podobnie vb = UsRx/(R3+Rx).
Zatem
2)
Zastępując akumulator oraz układ ładujący go
zastępczymi układami Thevenina otrzymujemy
prosty obwód:
w którym I = (UTo- UTA)/(RTo+ RTA) ≈
(62,5 - 12)/(24,2 + 1) ≈ 2 A
Dla uproszczenia obliczeń najpierw
wykorzystaliśmy metodę oczkową a następnie
metodę stosowania twierdzenia Thevenina.
E-E-M. lista-02.
1. Mając do dyspozycji ogniwa o napięciu 1,2 V i nominalnym prądzie 0.2A zaproponuj układ
złożony z tych baterii aby uzyskać baterię o parametrach 12 V i 1 A.
2) Osiem identycznych ogniw o sile elektromotorycznej 2,2 V i oporności wewnętrznej 0,2 Ω
połączono a) szeregowo, b) równolegle. Jaką siłę elektromotoryczną mają te układy i jaką oporność
wewnętrzną?
3) Akumulator o oporności wewnętrznej 0,02 Ω i SEM = 6 V dostarcza prąd o natężeniu a) 1 A, b)
50 A, Jakie napięcie panuje na jego zaciskach.
4) Akumulator z zadania 3 jest podłączony do odbiornika o rezystancji: a) 6 Ω,
b) 0,1 Ω, c) 0,005 Ω. Jakie będą natężenia prądu i jakie napięcia na zaciskach tego akumulatora?
5) Mając dwa rezystory: 1 Ω i 5 Ω, jakie można zbudować z nich dzielniki napięcia i dzielniki prądu?
6) Dwie baterie o siłach elektromotorycznych i rezystancjach wewnętrznych: SEM1 = 1 V i r1 = 1 Ω,
oraz SEM2 = 2 V i r2 = 2 Ω połączono a) szeregowo, b) równolegle. Jakie będą siły SEM i
rezystancje wewnętrzne powstałych układów? Czy dojdzie do zużycia energii baterii bez
podłączania odbiorników energii?
7) Trzy akumulatory o parametrach SEM = 2 V i Rw = 0,1 Ω połączona: a) szeregowo, b)
równolegle. Przedstaw układy zastępcze Thevenina i Nortona tych połączeń.
8) Dany jest obwód elektryczny złożony ze źródeł: napięciowego źn
i prądowego źp oraz rezystorów jak na rys. Oblicz wszystkie
natężenia prądów i spadki napięć stosując metodę
superpozycji.
9) Wyprowadzić ogólne wyrażenia dla dzielników napięciowych
i prądowych: a) Ux=U0Rx/Rwypadkowe dzielnika b) Ix=I0Gx/Gwypadkowe dzielnika.
10. Oblicz
rezystancję zastępczą układu,
którego schemat przedstawiony jest obok.
Założyć, że R1 Ω = 1, R2 = 10 Ω.
11. Mając amperomierz mierzący natężenia prądu do wartości 1 A,
należy zastosować do pomiaru natężeń 10-krotnie większych.
Dobrać do tego celu rezystor bocznikujący wiedząc, że rezystancja
wewnętrzna tego amperomierza wynosi 1 Ω.
12. Wykazać poprzez „Teveninowanie”,
że z punktu widzenie obciążenia Ro układ (a)
można zastąpić układem (b).
13. Oblicz natężenie
prądu w rezystorze 68 Ω.
Elektrotechnika elektronika miernictwo
Wykład 3.
Obwody prądu sinusoidalnego
(Omówimy jak powstają sinusoidalne wymuszenia,
jak analizujemy obwody prądu zmiennego z pomocą
liczb i funkcji zespolonych)
Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest
produkowana w postaci sinusoidalnego napięcia
wymuszającego sinusoidalne natężenie prądu
elektrycznego.
Częstotliwość tego zmiennego (mówimy też
przemiennego) napięcia wynosi 50 Hz w Europie lub 60
Hz w Ameryce północnej.
Dzięki transformatorom łatwo można zmieniać wielkość
amplitud napięć i prądów zmiennych.
Energia elektryczna (= Usk•Isk•t) w postaci dużych
zmiennych napięć przy małych natężeniach prądów jest
łatwa do ekonomicznego transportu przy użyciu sieci linii
transmisyjnych krajowego systemu energetycznego.
Wszędzie gdzie pożądane jest napięcie stałe stosowane
są układy konwersji nazywane prostownikami.
Generowanie napięć zmiennych w elektrowniach polega
na zamianie innych rodzajów energii na energię
elektryczną z wykorzystaniem prawa Faradaya ∇×E =
-dB/dt czyli SEM = - dΦ/dt (jedno z równań Maxwella).
Dostępną energię (wiatrową, wodną, jądrową czy
cieplną) wykorzystuje się do wirowania odpowiednimi
zwojnicami w silnym polu magnetycznym.
Idea źródła napięcia sinusoidalnego:
Uzwojenie w postaci ramki wiruje ze stałą
prędkością kątową ω w stałym polu
magnetycznym o indukcji B. Końce ramki
połączone są z pierścieniami, które ocierają się
(ślizgają) o dociskane sprężynowo szczotki.
Oznaczając przez „A” pole powierzchni
obejmowanej ramką możemy określić
zależność czasową strumienia Φ
przenikającego ramkę jako: Φ = B·A·cos(ωt).
Generowana siła elektromotoryczna (SEM) e
-dΦ/dt = ωBAsin(ωt) = Emaxsin(ωt)
=
W elektrotechnice podstawowym przebiegiem napięć i prądów (wymuszeń i
skutków) jest przebieg sinusoidalny. Takie przebiegi są generowane przez
wirujące maszyny elektryczne zwane generatorami prądu zmiennego. Z
podstaw trygonometrii wiadomo, że przebieg sinusoidalny można otrzymać
przez rzutowanie promienia koła trygonometrycznego, wirującego ze stałą
prędkością kątową ω na nieruchomą oś. Wynik rzutowania na oś y jest
identyczny z rzutowaniem na oś x, ale przesunięty w czasie.
Liczby zespolone
Dysponując tylko liczbami rzeczywistymi mamy problem z
rozwiązaniem takich równań jak np.:
X2 + 1 = 0.
Jeżeli jednak za X podstawimy coś co nie jest liczbą rzeczywistą:
√-1, to podnosząc do kwadratu tę dziwną wielkość otrzymujemy
liczbę rzeczywistą -1. Zatem to coś spełnia równanie:
X2 + 1 = 0. Podobnie możemy podstawić za X wartość -√-1.
Jeżeli uznamy wielkość „√-1” za coś „realnego” i oznaczymy przez
„j” to z łatwością rozwiążemy wiele innych równań, przykładowo
równanie X2 + 9 = 0 spełniają rozwiązania: X = - 3j oraz +3j.
W elektronice stosujemy symbol: j = √-1 = (-1)0.5, chociaż
w matematyce używany jest symbol i = (-1)0.5.
Powód: bo „i” w elektronice to prąd elektryczny.
Liczby i funkcje zespolone w elektrotechnice i elektronice.
Liczby zespolone mają postać dwuskładnikową (zespoloną): Z = x
+ jy. Gdzie j = √-1 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby -1.
Taka notacja przypomina zapis położenia punktu na płaszczyźnie
przy pomocy dwóch (równoprawnych) współrzędnych: Z = (x, y).
W dziedzinie liczb zespolonych jest jednak pewna asymetria np.
kwadrat liczby czysto rzeczywistej (x + j0) jest wielkością czysto
rzeczywistą dodatnią (x2 + j0) a kwadrat liczby czysto urojonej (0 +
jy) jest wielkością czysto rzeczywistą ujemną (-y2 + j0) bo j2 = -1.
Dlatego liczby zespolone traktujemy jako zapis położenia punktu
na płaszczyźnie zespolonej. Wielkości zespolone (liczby i funkcje)
są wyjątkowo udaną abstrakcją stosowaną w opisie oscylacyjnych
przebiegów napięć i prądów w elektryczności oraz elektronice.
Dobrym tego przykładem są tzw. wykresy wskazowe, które
zastosujemy przy analizie układów RLC zasilanych napięciami
sinusoidalnymi. Zapis przebiegów sinusoidalnych w
postaci funkcji zespolonych jest niezastąpiony przy
analizie zależności amplitudowych i fazowych.
Przypomnijmy równość Eulera:
ejx = cos(x) + jsin(x)
oraz równoważność formuł:
Aej(ωt + φ) = Acos(ωt + φ) + jAsin(ωt + φ)
z obrazem punktu wirującego na płaszczyźnie
zespolonej z prędkością kątową ω - zwaną też
pulsacją.
Mnożenie wielkości zespolonych jest łatwe
gdy zastosujemy postać wykładniczą!
Przykładowo zapis prawa Ohma jako iloczynu zespolonego prądu I i tzw.
zawady Z (Z to zespolona - uogólniona oporność):
U = I · Z = Iej(ωt + α) · Zejβ = ZIej(ωt + α+ β) = Uej(ωt + θ)
Mamy tu doskonałą ilustruję relacji amplitudowej i fazowej:
amplitudowa:
U = IZ
i fazowa:
θ=α+β
Faza wyniku mnożenia to suma faz czynników!
Zapis zespolony ilustruje też zależności faz od czasu:
faza U = argument U = ωt + α + β = ωt + θ.
Zilustrujmy iloczyn z poprzedniej strony:
U = I × Z = Iej(ωt + α) × Zejβ = ZIej(ωt + α+ β) = Uej(ωt + θ)
Przy pomocy obrazów:
W iloczynie mamy sumę argumentów i iloczyn modułów.
Zatem dowolną wielkość np. napięcie u = Umcos(ωt + ϕ) o amplitudzie A = Umax
możemy rozumieć jako część rzeczywistą napięcia zapisanego w postaci
zespolonej U = Umaxej(ωt + ϕ). Ze względu na zmienną t – czas, dobrą ilustracją
może być animacja/film pokazująca jak z upływem czasu wektor U wiruje bo
rośnie jego argument, czyli kąt między nim a osią odciętych: ωt + ϕ.
Przy analizie i obliczeniach
wybieramy jednak sytuację
„zatrzymaną w kadrze” czyli
wybieramy jakąś dogodną
chwilę np. t = 0. Dla wybranej
dowolną wielkość zespoloną
A możemy i będziemy
zapisywać na 4 równoważne
sposoby:
http://faraday.ee.emu.edu.tr/EENG224/lecture_notes.htm
http://staff.southwest.tn.edu/kfoster/links_4.htm
Zajmiemy się teraz pojemnością i indukcyjnością,
które znane są między innymi z tego, że napięcia i
prądy w nich występujące nie są zgodne w fazie.
Początek ładowania kondensatora to duży prąd i małe
napięcie, a koniec to zero prądu i maksymalne napięcie!
Tu prąd jest potrzebny do zmian napięcia.
W cewce aby „rozpędzić” prąd zaczynamy
od dużego napięcia i powoli rosnącego prądu. Gdy prąd
osiągnie maksimum i przestaje się zmieniać mamy
zerowe napięcie. Tu napięcie jest potrzebne do zmian
natężenia prądu.
Kondensatory w obwodach elektronicznych, podobnie
jak oporniki i cewki są elementami biernymi, nie mogą wzmacniać (zwiększać
moc) sygnału elektrycznego. Kondensator jest dwójnikiem (dwa zaciski) i
składa się z dwóch okładzin przewodzących o dużej powierzchni
odizolowanych dielektrykiem o dużej przenikalności elektrycznej.
Kondensatory realizują koncepcję magazynowania energii w postaci pola
elektrycznego między naładowanymi elektrycznie okładkami. Ich efektywność
zależy od powierzchni i kształtu okładek, od odstępu oraz materiału między
okładkami. Żywotność zależy od takich parametrów pracy jak:
przykładane napięcia czy temperatura. Stosowane konstrukcje i
materiały są rozmaite i nadal ulepszane. Kondensatory, podobnie jak rezystory
należą do grupy podstawowych elementów elektroniki.
Schemat
zastępczy
Uwagi o odczycie parametrów kondensatorów
Kondensatory o dużych pojemnościach (podobnie jak rezystory dużej mocy) są na tyle
duże, że na ich obudowie wystarcza miejsca na napisanie wartości pojemności razem z
jednostkami. Przykład: kondensatory elektrolityczne.
Napis: +500MF oznacza, że końcówka bliższa znaku + musi mieć potencjał nie niższy
od potencjału drugiej końcówki (w przeciwnym wypadku kondensator ulegnie
zniszczeniu), pojemność kondensatora wynosi 500 µF. Znak - oznacza końcówkę, dla
której przewidziany jest niższy potencjał. Kondensatory o mniejszych rozmiarach to np.
kondensatory tantalowe. Napis +4R7µ oznacza 4.7µF (R oznacza miejsce dziesiętne).
Taki sam kondensator może być oznaczony napisem: +475k, k oznacz tu tolerancję
(±10%) natomiast cyfry 475 oznaczają 47×10 do potęgi 5 pF. Jednostki należy odgadnąć
na podstawie następujących wskazówek.
1) Przeważnie stosujemy mikro i pikofarady a unikamy mili- i nano-faradów,
największe w środ typowych pojemności to około 500 μF i znaczne rozmiary
kondensatora. Przykładowo napis: “680” musi zatem oznaczać 680 pF.
2) Pikofarad jest bardzo małą wartością i zwykle spotykamy kondensatory o
pojemności większej od 1 pF. Oznacza to, że znajdując napis: “.01” należy go
odczytać jako 0.01µF. Zatem wcześniejszy napis: “475” oznacza 4.7×105pF.
Przykładowo napis “.02M 1kV” oznacza 0.02 mikrofaradów, “M” – oznacza tu
tolerancję 20%, a “1kV” oznacza, że kondensator wytrzymuje naładowanie do napięcia
1000V.
Napis: “560M 1kV” oznacza 560pF o tolerancji 20% i napięcie 1kV.
Napis: “101k 200V” oznacza 100pF i kondensator na 200V.
Kody tolerancji: Z - +80%,-20%, M - ±20%, K - ±10%, J - ±5%, G - ±2%, F - ±1%, D ±0.5%, C - ±0.25%, B - ±0.1%, A - ±0.05%, N - ±0.02%.
Spotykamy i stosujemy kondensatory o rożnej budowie. Np. kondensatory
Mylarowe (mailarowe) występują w postaci długich, zwiniętych folii metalowych
oddzielonych folią z mylaru. Znak paska oznacza końcowkę folii zewnętrznej.
Kondensatory te nie nadają się do pracy w układach wysokiej częstotliwości, gdyż długie
zwinięte folie stanowią zbyt dużą indukcyjność dla napięć w. cz.. Kondensatory
ceramiczne wyglądają jak płaskie kostki lub dyski (“lizaki”) i w przeciwieństwie do
kondensatorów mylarowych dobrze pracują w układach wysokiej częstotliwości.
Kondensatory ferroelektryczne: tanie i o dużej pojemności, są nieprecyzyjne i
stosowane do odsprzęgania i filtracji. Ogólnie produkowane są kondensatory o
pojemnościach od 0,1pF do około 5F w szeregach E6 i E12.
Największe dostępne obecnie pojemności to kondensatory UltraCap do 3000F.
Ładunek i napięcie na idealnym kondensatorze
spełniają następujący związek:
Q = CU.
Różniczkując obie strony „po czasie”
otrzymujemy
dQ/dt = CdU/dt.
dQ/dt jest oczywiście prądem ładowania I.
Z równości I = CdU/dt widać, że stały prąd (ładowania)
oznacza stałe tempo zmian napięcia na kondensatorze.
Prąd jest wprost proporcjonalny nie do napięcia, jak dla
opornika, lecz do szybkości zmian napięcia!
Brak proporcjonalności między wartościami
chwilowymi napięcia i prądu wyklucza zastosowanie
prawa Ohma w dziedzinie liczb rzeczywistych.
Zobaczymy też, że:
Dla amplitud lub wartości skutecznych jednak prawo
Ohma obowiązuje, a prawa Kirchhoffa NIE!!!
Okazuje się, że dla wartości chwilowych pochodną
można zastąpić mnożeniem w sytuacji, gdy mamy do
czynienia z przebiegami sinusoidalnymi i ich
zapisem zespolonym.
Zobaczmy to dokładniej. Z definicji pojemności mamy:
Q = CU
Przy zmianach ładunku:
dQ/dt = CdU/dt
I = CdU/dt
U = Umaxcos(ωt+φ) uzyskamy:
I = CdU/dt = CUmaxd(cos(ωt+φ))/dt =
))ωCUmax (-sin(ωt+φ)) = ωCUmax(cos(ωt+φ +90o
Mając napięcie sinusoidalne
Czyli prąd w kondensatorze uzyskaliśmy mnożąc przez ωC napięcie, któremu
zmieniliśmy fazę o 90o. To oznacza, że mając prąd wystarczy podzielić go
przez ωC i przesunąć jego fazę o -90o i otrzymamy napięcie. Widać, że
nie ma tu współczynnika proporcjonalności
między chwilowymi wartościami prądu i
!napięcia
Jeżeli jednak funkcję U = Umaxcos(ωt+φ) potraktujemy jako część
rzeczywistą wielkości zespolonej Umaxej(ωt+φ) to:
U = Re(Umaxej(ωt+φ))
I = Cd(Umaxej(ωt+φ))dt = jωCUmaxej(ωt+φ)
I = jωCU = BCU
gdzie
BC = jωC
U = I/jωC = XCI
gdzie XC=
albo
1/jωC
Zatem w zapisie zespolonym dla wartości chwilowych jest
współczynnik! Jest prawo Ohma dla pojemności!
Ilustracja. Jeżeli przez kondensator płynie jakiś prąd
zmienny to na tym kondensatorze mamy też zmienne
napięcie. Prawo Ohma dla kondensatora, którego impedancją jest
XC= 1/jωC = -j/ωC = 1/ωCe-jπ/2 ,
w którym mamy prąd I = Imaxej(ωt+φ) wyrażamy tak:
U = I⋅XC = Imaxej(ωt+φ) ⋅ 1/ωCe-jπ/2 = Imax/ωC ej(ωt+φ-π/2);
widzimy tu iloczyn modułów Imax i 1/ωC jako moduł napięcia a w
wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt ujemny: –π/2
Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o –π/2
względem fazy prądu.
Wniosek:
Pomnożenie prądu
przez impedancję Xc daje
napięcie opóźnione o ćwierć kąta pełnego (koresponduje to z prostym
stwierdzeniem, że ładując kondensator na początku ładowania mamy duży
Cewki indukcyjne.
Modelem indukcyjności jest cewka,
czyli też element z dwoma zaciskami
– dwójnik. Ze względu na rodzaj
rdzenia wyróżniamy cewki: ferrytowe,
metalowe, powietrzne.
Cewka realizuje ideę magazynowania
energii kinetycznej prądu elektrycznego,
który wytwarza pole magnetyczne.
Schemat zastępczy
Indukcyjność ma taką własność,
że prędkość zmian jej prądu jest
proporcjonalna do panującego na niej napięcia.
Tu stałe napięcie wymusza stały wzrost prądu.
L jest indukcyjnością cewki.
Z takiej relacji między prądem a napięciem wynika, że
dla wartości chwilowych prądu i napięcie na cewce
też nie działa prawo Ohma.
Mamy związek: U = LdI/dt, załóżmy że
wymuszamy prąd sinusoidalny w cewce:
I = Imaxcos(ωt+φ)
U = LdI/dt = LImaxd(cos(ωt+φ))/dt =
))ωLImax (-sin(ωt+φ)) = ωLImax(cos(ωt+φ+90o
Czyli napięcie na cewce uzyskaliśmy mnożąc przez ωL prąd, któremu jeszcze
zmieniliśmy fazę o 90o. To oznacza, że mając prąd wystarczy pomnożyć go
przez ωL i przesunąć jego fazę o 90o i
otrzymamy napięcie. Widać, że
nie ma tu współczynnika proporcjonalności
między prądem a napięciem!
Jeżeli jednak funkcję I = Imaxcos(ωt+φ) potraktujemy jako
część rzeczywistą wielkości zespolonej Imaxej(ωt+φ) to:
I = Re(Imaxej(ωt+φ))
U = Ld(Imaxej(ωt+φ))dt = jωLImaxej(ωt+φ)
U = jωLI = XLI gdzie XL= jωL albo
I = (1/jωL)U = BLU gdzie BL = 1/jωL
Jest współczynnik!
Jest prawo Ohma dla indukcyjności!
Zatem w zapisie zespolonym:
Ilustracja. Jeżeli przez cewkę płynie jakiś prąd
zmienny to na jej zaciskach mamy też zmienne
napięcie. Prawo Ohma dla indukcyjności, której impedancją jest
XL= jωL = ωLejπ/2
i w której mamy prąd I = Imaxej(ωt+φ) wyrażamy następująco:
U = I⋅XL = Imaxej(ωt+φ) ⋅ ωLejπ/2 = ImaxωLej(ωt+φ+π/2);
widzimy tu iloczyn modułów Imax i ωL jako moduł napięcia a w
wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt dodatni: π/2
Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2
względem fazy prądu.
Wniosek:
Pomnożenie prądu
przez impedancję XL daje
napięcie wyprzedzające o ćwierć kąta pełnego prąd. Koresponduje to z
prostym stwierdzeniem, że na początku rozpędzania ładunku mamy jeszcze
zerowy prąd a maksymalne napięcie. Gdy prąd osiągnie maksymalną wartość
Chociaż i tu nie występuje proporcjonalność między chwilowymi
wartościami napięcia i prądu. Zachodzi jednak proporcjonalność między
wartościami skutecznymi lub amplitudami (tj. modułami czyli
wartościami maksymalnymi, ale pojawiającymi się niejednocześnie występuje przesunięcie fazowe). Jak widać dla indukcyjności i
pojemności współczynniki XL i XC są czysto urojone zatem wektory
prądu z wektorami napięcia tworzą kąty proste. To oznacza, że iloczyn
skalarny U • I - moc tracona w idealnym kondensatorze lub
indukcyjności jest zerem?! Ten efekt odróżnia kondensatory i cewki od
rezystorów. W rzeczywistości mamy do czynienia z pewnymi stratami
mocy w dielektryku kondensatora i rdzeniu cewki. W obwodach LC
dominujące są jednak straty mocy na rezystancji uzwojenia cewki.
Zachowanie się cewek i kondensatorów zależy od częstotliwości
sygnału elektrycznego bo impedancje XL i XC zależą od ω.
„Dławik” to solenoid o dużej indukcyjności pełniący rolę dużej
impedancji dla prądów zmiennych.
Szeregowy obwód RLC.
Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa
do pojedynczego „oczka” na rysunku
obok, możemy napisać równanie:
u(t) = uR(t) + uL (t) + uC(t)
Przykładając sinusoidalne napięcie:
u(t) = Umej(ωt+φ) musimy otrzymać prąd:
i(t) = Imej(ωt+ψ) (periodyczna przyczyna
to i periodyczny skutek).
Wstawmy zatem do równania obwodu wyrażenie: i(t) = Imej(ωt+ψ). Otrzymamy:
Umej(ωt+φ) = RImej(ωt+ψ) + (1/C)∫Imej(ωt+ψ) dt + Ld(Imej(ωt+ψ))/dt.
Umej(ωt+φ) = RImej(ωt+ψ) + (1/jωC)Imej(ωt+ψ) + jωLImej(ωt+ψ)
Umej(ωt+φ) = Imej(ωt+ψ)(R+ 1/jωC + jωL)
Umej(ωt+φ) = Imej(ωt+ψ)(R+ j(ωL – 1/ωC))
Umej(ωt+φ) = Imej(ωt+ψ)(R2 + (ωL – 1/ωC)2)0,5ej·arctg((ωL – 1/ωC)/R) -> U = I Z czyli:
UZespolone napięcie = IZespolony prąd ·ZImpedancja zespolona.
Zespolona impedancja szeregowo połączonych R, L i C ma zatem postać:
Z = R+ j(ωL – 1/ωC) = R + j(XL – XC) = R +X = Zejθ,
możemy też zapisać:
Z = R + XL + XC, Z = Z1 + Z2 + Z3. Ponadto U = I Z po rozpisaniu:
U = IZ1 + IZ2 + IZ3 opisuje dzielnik napięcia zależny od ω.
Dzielniki napięcia zawierające elementy typu C lub L mogą dzielić napięcie zależnie od częstotliwości. Zatem
mogą zmieniać kształt sygnału, sygnał wyjściowy jest
inny od wejściowego, chociaż są to elementy liniowe!
Podobnie działają dzielniki prądu zawierające elementy
typu C lub L – dzielą prąd zależnie od częstotliwości.
Dla układów R L C obowiązuje uogólnione prawo Ohma:
U = I⋅Z, I = Y⋅U, gdzie Y = 1/Z, Z - impedancja, Y –
admitancja, i wszystkie wielkości są wyrażane w postaci
zespolonej.
Obliczanie wypadkowej impedancji Zw dla układu
złożonego z elementów Z1, Z2, ....Zn, odbywa się
podobnie jak obliczanie wypadkowej rezystancji układu
złożonego z elementów R1, R2,.... Rn. Różnicę daje tylko
samo zastosowanie liczb zespolonych.
Należy pamiętać,
że rzeczywistą wartością chwilową napięcia jest: U(t) = Re(U(t)).
Rzeczywistą wartością chwilową prądu jest I(t) = Re(I(t)).
Impedancję wyrażamy jako:
Z = R + X,
zawada = oporność czynna + oporność bierna =
rezystancja + reaktancja,
gdzie: X = XL + XC, XL = jωL i XC = 1/jωC.
R jest rezystancją, a jωL i 1/jωC nazywamy
reaktancjami, impedancjami biernymi.
Admitancje to (odwrotności impedancji = „drożności”)
Y = 1/Z = G+jB, G = 1/R - konduktancja, B = 1/X susceptancja, YC = jωC, YL= 1/jωL.
Jednostką admitancji jest Simens 1S = 1/Ω.
Przykład 3.1. Wiedząc, że w układzie obok jest prąd
zmienny o natężeniu I = 5cosωt A, ω = 2π50 rad/s =
314 rad/s, R = 0,5 Ω, L = 1 mH, C = 4 mF, obliczyć
wszystkie napięcia.
Rozw. UR = IR = (5cosωt A)(0,5 Ω) = 2,5cosωt V, lub
UR = [5(cosωt +jsinωt) A](0,5 Ω) = 2,5(cosωt +jsinωt) V,
albo: UR = (5ejωt A)(0,5 Ω) = 2,5ejωt V = 2,5∠0 V
UL = IXL = I (jωL) = [5(cosωt + jsinωt) A](j0,314 Ω) =
1,57(- sinωt + jcosωt) V = 1,57[cos(ωt + π/2) + jsin(ωt +
π/2)] V, albo
UL = 5ejωt0,314ejπ/2 AΩ = 1,57ej(ωt+π/2) V = 1,57∠π/2 V.
UC = IXC = I(1/jωC) = I(-j/ωC) = (5ejωt A)(-j/1,26 Ω) =
5ejωt0,796e-jπ/2 = 3,98ej(ωt-π/2) V = 3,98∠-π/2 V.
U = UR + UL + UC, dla t = 0: U = 2,5 V + 1,57[jsin(0 +
π/2)] V + 3,98[jsin (0 - π/2)] V =[2,5 + j1,57 - j3,98] V =
2,5 V – j 2,41 V. Arctan(-2,41/2,5) = -0,767rad.
(2,52 + 2,412)0,5=3,47 -> U = 3,47ej(ωt - 0,767) V=
3,47∠-0,767 V.
U = 3,47ej(ωt - 0,767) V
graficzna ilustracja tego wyniku : ->
Wykresy wskazowe
Wskaz, fazor (ang. phasor) jest liczbą
zespoloną AejΦ i wektorem na płaszczyźnie
zespolonej reprezentującym sinusoidalny
przebieg Acos(ωt +Φ).
Np. u(t) = Umaxcos(ωt +Φ) = Re[Umaxej(ωt +Φ)] =
Re[UmaxejΦ ejωt]. Wskazem napięcia jest tu
UmaxejΦ (taki wskaz bywa zapisywany jako:
Umax∠Φ) czyli jest to zespolona postać
napięcia U w pewnej dogodnej chwili t
(zwykle t = 0).
Zatem wykres wskazowy do poprzedniego
przykładu można przedstawić jak obok:
Podkreślmy, że fazorem (wskazem) F = Fmejφ nazywamy wielkość zespoloną,
która reprezentuje funkcję sinusoidalnie zmieniającą się w czasie. Zbiorem
wartości F = Fmej(ωt+φ) jest okrąg o promieniu Fm ze środkiem w początku układu
płaszczyzny zespolonej (Re, Im). Wykresem wskazowym nazywamy graficzną
prezentację napięć i prądów sinusoidalnych w danym układzie prądu
zmiennego o zadanej częstotliwości. Wykres ilustruje wielkości amplitud
prądów i napięć oraz ich relacje fazowe w układzie w stanie stacjonarnym (tj.
po czasie od włączenia źródeł znacznie dłuższym od okresu oscylacji T).
Pojedynczy wykres dotyczy jednej wybranej częstotliwości. Wykresy wskazowe
są też graficzną ilustracją równań jakie dają nam prawa Kirchhoffa oczywiście
zapisane w postaci zespolonej. Dlatego początkujący często wykreślają
wskazy na płaszczyźnie zespolonej z zaznaczonymi osiami Im i Re. W
rzeczywistości na takiej płaszczyźnie wszystkie wektory powinny wirować
zgodnie z pulsacją ω, natomiast wykres jest uchwyceniem ułożenia wektorów
w określonej, dogodnej chwili (np. gdy jakiś prąd lub napięcie przechodzi przez
swoje maksimum). Z wykresu znajdujemy relacje między długościami wektorów
(tj. amplitudami) napięć i prądów oraz ich względne przesunięcia fazowe.
Wykresy wskazowe są szeroko stosowane w elektrotechnice (tu zamiast
amplitud można spotkać wartości skuteczne przy analizie przekazu mocy).
Przy analizie filtrów mogą stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem
wejściowym i wyjściowym danego filtra dla wybranej częstotliwości.
Ważne!
W przykładach, w których zastosujemy zapis
wielkości w postaci zespolonej należy zauważyć, że:
1) Do zapisu równań będących prawami Kirchhoffa
wstawiamy wszystkie napięcia, prądy i impedancje w
postaci zespolonej. Prawa Kirchhoffa nie obowiązują
dla wartości skutecznych i dla modułów czyli
amplitud. Oczywiście po napisaniu równania
możemy wziąć moduły obu stron (całych stron!).
2) Gdy prawo Ohma jest treścią równania (jedna
wielkość = iloczyn lub iloraz dwu innych) to możemy
go zapisać nie tylko dla wielkości zespolonych ale
również dla modułów i dla wartości skutecznych.
Przykład 3.2. Obliczyć zawadę układu
oraz natężenie prądu po przyłożeniu
Napięcia U = 240cos(314t).
Rozw.
Z = XL+ R + XC = R + jωL – j/ωC =
1Ω + j(ω10-6 - 1/ω10-6)Ω =
1Ω + j(3,1410-4 - 1/(3,14⋅10-4))Ω =1Ω + j3183Ω =
3183∠89,98° Ω.
I = U/Z = 240∠0°/ 3183∠89,98° A =
75,4mV∠-89,98° A.
Przykład 3.3. Obliczyć zależność zawady od ω.
Rozw. Z = XL + XCR/(R + XC) =
jωL – j(R/ωC)/(R – j/ωC) =
jω – j(1012/ω)/(106 – j106/ω) = jω – j106/(ω – j)
= 106/(ω2 + 1) + jω(1 – 106/(ω2 + 1)).
Przykład 3.4. Znajdź zastępczy układ Thevenina
podanego układu.
Rozw. Z punktu widzenia zacisków: Z1 II Z2,
Jeżeli Z1 i Z2 są równoległe to ZT obliczymy
ze wzoru na zastępczą impedancję połączenia
równoległego:
Równoległy obwód RLC.
Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową tego układu
pomożemy sobie wykresem wskazowym, na którym
umieścimy prądy i niektóre napięcia w tym obwodzie.
Wymuszenie: u = U0ej(ωt + 0),
IC = u/(-j/ωC) = juωC,
IRL = u/(R + jωL) = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
Wybierając moment gdy u jest czysto
rzeczywiste czyli wektor u leży na osi „Re”
narysujemy: u = u = U0,
IRL = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
IC = juωC,
Re(IRL) = uR/(R2 + ω2L2)
Im(IRL) = -uωL/(R2 + ω2L2).
Z wykresu wskazowego widać, że dla uzyskania zgodności fazy wypadkowego
prądu (czyli sumy IC i IRL) z fazą napięcia wymuszającego Im(IC) + Im(IRL) = 0
czyli: Im(I ) = - Im(I ).
Równoległy obwód RLC.
IRL = u(R - jωL)/(R2 + ω2L2)
IC = juωC,
Re(IRL) = uR/(R2 + ω2L2)
Im(IRL) = -uωL/(R2 + ω2L2).
| Im(IC) | = | Im(IRL) |
Im(IC) = -Im(IRL)
uωC = uωL/(R2 + ω2L2);
C = L/(R2 + ω2L2);
R2 + ω2L2 = L/C
ω2L2 = L/C – R2
ω2= 1/LC – R2/L2
ωr = (1/LC – R2/L2)1/2
E-E-M. Lista-03
1. Mając dwie liczby zespolone A = 3 + j3, B = 1 + j√3, oblicz AB oraz A/B.
2. Narysować wykres wskazowy dla szeregowo połączonych rezystora 10Ω i
kondensatora 1mF, przez które płynie prąd I = 2sin(2π50t) A. Oblicz całkowite
napięcie przyłożone do układu RC oraz różnice faz między prądem i wszystkimi
napięciami.
3. Do indukcyjności L = 1 mH o rezystancji uzwojenia 1Ω należy dołączyć
szeregowo kondensator tak aby uzyskać rezonans dla częstotliwości 1MHz.
Narysować wykres wskazowy dla zasilania napięciem U = 1Vsin(2π106t).
4. Obliczyć zawadę układu dla częstotliwości kątowej
(pulsacji) 1rad/s i 1Mrad/s. Obliczyć różnicę faz między
przyłożonym napięciem a prądem w tym układzie.
5. Oblicz zawadę układu dla pulsacji 1rad/s i 1Mrad/s.
Oblicz różnicę faz między napięciem i prądem w tym
układzie.
6. Narysuj wykres wskazowy i obliczyć wartości przepięcia
w rezonansie układu dla R = 1 Ω, i R = 0,1 Ω przy zasilaniu
napięciem o amplitudzie 1 V.
7. Znajdź częstotliwość rezonansową dla układu.
Dodatek dla opornych.
Co znaczą następujące zapisy?
1) I = Icos(ωt +β) = Iamplitudacos(ωpulsacja tczas + βkąt początkowy dla t = 0s)
jest to zapis kosinusoidalnego (sinusoidalnego) przebiegu
natężenia prądu.
2) I = Icos(ωt +β) + jIsin(ωt +β) = Iej(ωt +β) oznacza ten sam prąd co w punkcie
poprzednim ale zapisanym w postaci zespolonej pozwalającej łatwo czynić
poprawne obliczenia!
Jeżeli zamiast informacji, że I = 5cos(ωt + π/2) otrzymamy informacje że w
pewnej chwili t = 0 s prąd miął natężenie I = 0 A to nie wiemy czy w następnych
chwilach prąd będzie niezerowy. Gdy jednak informacją będzie, że danej
chwili I = 0 + j5 [A] = j5 A to wiemy, że chociaż teraz I = 0 A to po chwili już
I ≠ 0 A, a w pewnej chwili będzie 5 A!!!
Na elementach obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego występują
napięcia dające się zapisać jako U = Umaxcos(ωt+φ). Funkcje takie
możemy traktować jako części rzeczywiste periodycznych funkcji
zespolonych U = Umaxej(ωt+φ) czyli U = Re(U = Umaxej(ωt+φ)). Gdy tak
zapisane napięcie pojawi się na kondensatorze to z relacji między
prądem i napięciem dla kondensatora:
I = CdU/dt
wynika, że dla prądów zmiennych impedancja kondensatora czyli
współczynnik („proporcjonalności”) między prądem i napięciem
wyraża się funkcją zespoloną:
ZC = XC = 1/jωC.
bo podstawiając zespoloną postać napięcia: U =
Umej(ωt+φ) do wyrażenia I = CdU/dt otrzymujemy: I =
CjωU, mamy mnożenie zamiast pochodnej! Z tego, że I =
CjωU mamy: U = I/jωC,
U = (1/jωC)I, albo krócej: U = XCI, XC= 1/jωC
U = XCI jest prawem Ohma dla kondensatora zapisanym przy
pomocy funkcji zespolonych! Mamy to dzięki faktowi, że operator
różniczkowania działając na ejωt daje tyle co proste pomnożenie
przez stałą jω (tj. współczynnik przy t wykładnika w ejωt)* . W
dziedzinie liczb zespolonych mnożenie daje, oprócz zmiany
modułu, również obrót wektora! Wielkość 1/jωC nazywamy
reaktancją (lub impedancją) kondensatora. Zespolony spadek
napięcia na idealnym kondensatorze jest iloczynem zespolonego
natężenia prądu i impedancji XC (czysto urojonej).
Istotną wadą rzeczywistych kondensatorów jest ich upływność i
tzw. straty w dielektryku a dla prądów o wysokiej częstotliwości
dodatkowy problem stanowi indukcyjność doprowadzeń i okładek.
Do zamiany równań różniczkowo-całkowych na równania
algebraiczne w wielu dziedzinach techniki stosowana jest
transformata Laplace’a. W bieżącym (1-semestrowym) wykładzie
ograniczamy się do stosowania liczb zespolonych.
*

EiE -01-30

Transkrypt

Podobne dokumenty

kirchoffs Prawo napięcia

I = U/R