Statystyka opisowa wyk 6 [tryb zgodności]

Statystyka opisowa
Robert Pietrzykowski
email: [email protected]
www.ekonometria.info
Na dziś…
• Sprawy bieżące
2
Na dziś…
• Wykład 5:
– Statystyka matematyczna
– Estymatory punktowe i przedziałowe
4
5
METODY WYZNACZANIA ESTYMATORÓW
Przykład: zadania.pdf
6
7
8
ROZKŁAD DWUMIANOWY
9
ROZKŁAD POISSONA
10
ROZKŁAD NORMALNY
11
12
Estymator przedziałowy
13
Przykład:
przedziały.xls
wykład2_estymacja.xls
14
15
16
17
18
Co wpływa na długość przedziału ufności?
[10.00 - 1.25 [8.75;
= 8.75;11.25]
10.00 + 1.25 = 11.25
d=
• Liczebność próby
• Poziom ufności
• Wariancja
19
Przykład
Do produkcji pieczywa chrupkiego „Chrup-Chrup” pewna firma
wykorzystuje ekstruder dwuślimakowym. Wyprodkukowane
pieczywo powinno zgodnie z normą zawiarać około 0.3 błonnika
na kromkę.
Pobrano dziesięcioelementową próbę losową i otrzymano wyniki:
0.3115; 0.2850; 0.2606; 0.2878; 0.3114;
0.3197; 0.3083; 0.2833 ;0.2627; 0.3013
Oszacuj średnią zawartość błonnika w kromce pieczywa
chrupkiego „Chrup-Chrup”
20
POPULACJA: Pieczywo chrupkie
Zawartość błonnika w jednej kromce
CECHA X:
pieczywa mierzona w gramach
RODZAJ CECHY: ciągła
ROZKŁAD CECHY: normalny
ZAŁOŻENIA: µ = ?; σ = ?
ZADANIE:
Oszacuj średnią zawartość błonnika w kromce pieczywa
chrupkiego „Chrup-Chrup”
TECHNIKA STATYSTYCZNA:
Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - średnią
POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95
ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel
ODPOWIEDŹ: Średnia zawartość błonnika w kromce
jest liczbą od 0.2783 do 0.3079 z zaufa
21
niem do wniosku 95%
Przykład 2
Importer owoców cytrusowych pan Alojzy Cytrynka twierdzi, że
w transporcie psuje się 18 procent owoców.
Właściciel hurtowni cytrusów chce sprawdzić czy zapewnienia
Pana Cytrynki są prawdziwe. W tym celu pobiera z jednego
transportu próbe losową i stwierdza, że spośród 800 owoców
160 jest zepsutych.
Co można sądzić o zapewnieniach importera w świetle przeprowadzonych badań?
22
POPULACJA: Owoce cytrusowe
Jakość owocu
CECHA X:
{dobry – 1; zły – 0}
RODZAJ CECHY: skokowa
ROZKŁAD CECHY: dwupunktowy
ZAŁOŻENIA: Sukces = ?; P = ?; Rozkład = ?
Czy pan Cytrynka ma rację? (Oszacuj procent
ZADANIE:
owoców zepsutych w populacji)
TECHNIKA STATYSTYCZNA:
Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - procent
POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95
ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel
ODPOWIEDŹ: Procent zepsutych owoców jest liczbą
z przedziału (17.52%; 22.59%) mylę się
23
w tym wniosku na 5%
PYTANIA
1.
2.
3.
4.
5.
Co wpływa na długość przedziału ufności?
Podaj wzór na przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym.
Podaj wzór na przedział ufności dla wariancji w rozkładzie Poissona.
Wyjaśnij pojęcie poziom ufności.
Czy można powiedzieć o informacji podawanej dla pewnego modelu
samochodu, że średnie zużycie paliwa wynosi 6 litrów na 100 km.
Mając informację o zużyciu paliwa dla tego modelu samochodu w
postaci przedziału ufności (5,82; 7,48) na poziomie ufności 95% .
6. Wymień znane Ci sposoby uzyskiwania estymatorów.
7. Co jest estymatorem µ w rozkładzie normalnym. Jaki rozkład ma ten
estymator.
8. W jakim rozkładzie prawdopodobieństwa estymator średniej jest taki
sam jak estymator wariancji.
9. Z jakich elementów skład się model statystyczny.
10. Jaki rozkład ma asymptotyczny estymator p w rozkładzie
dwumianowym.
24
Estymatory ENW (Zajęcia z 3.11.2004)
n
√
1
1
n
(xi − µ)2 2
ln σ 2 − n ln 2π −
2
2 i=1
σ
n
1
1  xi − µ 2
) }
(
√ n exp{−
2 i=1
σ
(σ 2 )n/2 2π
(σ n zapiszemy (σ 2 )n/2 )
n
1
1  xi − µ 2
) ) : (µ, σ) ∈ [R × R+ ]})
(
√ n exp(−
2 i=1
σ
σ n 2π
Próba x1 , . . . xn z rozkładu normalnego
Model statystyczny dla próby:
({Rn }{
Funkcja wiarogodności:
L(µ, σ 2 , x1 , . . . xn ) =
po zlogarytmowaniu:
L(µ, σ 2 , x1 , . . . xn ) = −
maksymalizujemy funkcję L najpierw po µ:
n

i=1
n
xi = nµ ⇒ µ =

1 1
dL
= − 2 (−2)
(xi − µ) = 0
dµ
2σ
i=1
(xi − µ) = 0 ⇒
n
n
i=1
xi
n

√
1
dL
n
1
= − ln σ 2 − n ln 2π −
(xi − µ)2 2
dµ
2
2 i=1
σ
n

i=1
maksymalizujemy funkcję L po σ 2 :
−
n
n

n
− µ)2
;
n
n
i=1 (xi
n
n
i=1
1
=0
σ2
x̄ =
− µ)2
(xi − µ)2
1
n
1
(xi − µ)2 2 2 = 0
+
σ2
2 i=1
(σ )
−n +
i=1
σ2 =
n
n
i=1 (xi
!
(xi −µ)2
i=1
n
xi
n
n
i=1
xi
n

√
1
n
dL
1
(xi − µ)2 2
= − ln σ 2 − n ln 2π −
dσ 2
2
2 i=1
σ
EN W ( σµ ):
S2 =
czyli estymatory EN W (σ) i EN W (µ) to:
natomiast estymator
czyli:
S
x̄
Statystyka opisowa
Robert Pietrzykowski
email: [email protected]
www.ekonometria.info
Na dziś…
• Sprawy bieżące
2
3
4
5
6
T=
7
8
Rozszerzenie zagadnień
• Powiązanie przedziałów ufności z hipotezami
statystycznymi
9
10
PYTANIA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Wyjaśnij pojęcie błąd I rodzaju?
Podaj przykład hipotezy statystycznej.
Podaj wzór statystyki testowej dla hipotezy H0: µ = 0
Wyjaśnij pojęcie poziom istotności.
Wyjaśnij pojęcie test statystyczny.
Weryfikując hipotezę H0: µ = 0 wobec H1: µ ≠ 0 uzyskano wartość
testu temp = −5.3423, a wartość krytyczna 2.2620. Czy hipotezę
H0:µ= 0 można odrzucić? Odpowiedź uzasadnij.
11