LISTY ZADAŃ

Transkrypt

LISTY ZADAŃ
LISTY ZADAŃ
opracowanie M. Bogdan
Literatura podstawowa
Hogg/McKean/Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th Edition
LISTA 3, Asymptotyczne rozkłady estymatorów najwiȩkszej wiarogodności i przedziały ufności
1. Znajdź i skoryguj błȩdy w programie conf-int-chi-sq. Zweryfikuj działanie skorygowanego
programu dla n = 5 i n = 100 i skomentuj wyniki.
2. Wyznacz asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności 0.95 dla parametru θ w rozkładzie wykładniczym. Zweryfikuj p-stwo pokrycia tego przedziału za pomoca̧ rachunków teoretycznych
i symulacji komputerowych dla θ = 3, n = 5 i n = 100.
3. Wyznacz asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności 0.95 dla parametru λ w rozkładzie Poissona. Zweryfikuj p-stwo pokrycia tego przedziału za pomoca̧ rachunków teoretycznych i
symulacji komputerowych dla λ = 3, n = 5 i n = 100.
4. Wyznacz klasyczny asymptotyczny przedział ufności na poziomie ufności 0.95 dla parametru
p w rozkładzie dwumianowym. W klasycznym przedziale ufności we wzorze na wariancjȩ rozkładu asymptotycznego nieznane p zastȩpujemy estymatorem najwiȩkszej wiarogodności. Za pomoca̧
symulacji komputerowych porównaj p-stwo pokrycia tego przedziału z p-stwem pokrycia dla przedziału Agrestiego-Coulla (patrz np. wikipedia "Binomial proportion confidence interval"). Obliczenia
wykonaj dla n = 10, 30, 100, 1000 i p = 0.01, 0.0.05, 0.5.
5. Niech X1 , . . . , Xn bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie o gȩstości
f (x) = e−(x−θ) , x > θ. Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 1 − α dla θ w oparciu o
estymator θ̂n = min(X1 , . . . , Xn ).
6. Rozważmy rozkład Cauchy’ego o gȩstości
f (x, θ) =
1
1
.
π 1 + (x − θ)2
Skonstruuj asymptotyczny przedział ufności dla θ w oparciu o estymator najwiȩkszej wiarogodności.
Zweryfikuj p-stwo pokrycia tego przedziału za pomoca̧ symulacji komputerowych dla α = 0.05, θ = 3
i n = 5, 10, 30, 50, 100.
7. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu o gȩstości
f (x, θ) =
3θ3
(x + θ)4
dla x ­ 0 i 0 dla x < 0. Skonstruuj asymptotyczne przedziały ufności dla θ w oparciu o estymator
najwiȩkszej wiarogodności θ̂M LE i estymator nieobcia̧żony θ̂2 = 2X̄. Za pomoca̧ symulacji komputerowych zweryfikuj p-stwa pokrycia obu przedziałów i porównaj ich długosći. Obliczenia wykonaj dla
α = 0.05, θ = 3, n = 5, 10, 30, 50, 100. Jak siȩ ma stosunek długości tych przedziałów do efektywności
estymatora θ̂2 ?
8. Niech X1 , . . . , Xn bȩdzie prosta̧ próba̧ losowa̧ z rozkładu N (0, σ 2 ). Skonstruuj asymptotyczny
przedział ufności dla σ w oparciu o nieobcia̧żony estymator σ̂, wyznaczony w zadaniu 6 z listy nr 2.
Za pomoca̧ symulacji komputerowych wyznacz p-stwo pokrycia dla tego przedziału i porównaj jego
długość z długościa̧ przedziału skonstruowanego w oparciu o estymator najwiȩkszej wiarogodności.
Obliczenia wykonaj dla α = 0.05, σ = 3, n = 5, 10, 30, 50, 100. Jak siȩ ma stosunek długości tych
przedziałów do efektywności estymatora σ̂ ?
1