analiza napręeń na pobocznicy pala oraz pod podstawą

XVIII SEMINARIUM NAUKOWE
z cyklu
REGIONALNE PROBLEMY INŻYNIERII ŚRODOWISKA
Szczecin 25 czerwca 2010 r.
prof. dr hab. inż.
ZYGMUNT MEYER1
ANALIZA NAPRĘŻEŃ NA POBOCZNICY PALA ORAZ POD
PODSTAWĄ POJEDYNCZEGO PALA W OPARCIU O LINIOWĄ
TEORIĘ BOUSSINESQA
1. Wstęp
Analiza warunków formowania się naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawą pala była
przedmiotem badań wielu autorów [1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,16,17]. Wiele z tych
prac dotyczy interpretacji próbnych obciążeń pali, określenia nośności pali w różnych
warunkach. Stosunkowo niewiele prac dotyczy współpracy pobocznicy pala i gruntu w ujęciu
analitycznym. Próbne obciążenie, a co za tym idzie projektowanie wymiarów pala wymaga
często zmiany długości czy średnicy po to aby zoptymalizować koszty. Wtedy pojawia się
problem w oparciu o jakie zależności analityczne należy interpretować próbne obciążenia i
jak przeprojektować wymiary pala, przy uzyskaniu odpowiednich nośności.
Próbne obciążenia statyczne pala poprzez przyłożenie siły w głowicy jest najbardziej
typowym testem. W stosunku do pali o bardzo dużej nośności (kilkudziesięciu MN), kiedy
wytworzenie takiego obciążenia jest praktycznie niemożliwe posługujemy się palem, w
którym zamontowano w miejscu poniżej połowy jego długości komorę ciśnieniową. Komora
ciśnieniowa rozpiera pal do góry i w dół. Jest to tzw. test Osterberga. Analizę mechanizmów
formowania się naprężeń na pobocznicy i pod podstawą przedstawiono w literaturze
[4,5,11,12,16].
Zagadnieniem, które wiąże się z przedstawioną analizą jest wymiarowanie kolumn
wykonywanych w gruncie [10,13]. Nośności kolumn coraz częściej przekraczają 1,5MN i
określenie rozdziału nośności kolumny na część, która wynika z naprężeń na pobocznicy oraz
tą, która wynika z naprężeń pod podstawą, jest coraz częściej stawianym pytaniem. Pytanie
bardziej ogólne to, jak naprężenia na pobocznicy wpływają na osiadanie pojedynczej
kolumny czy pala. Mając na względzie te pytania autor przedstawił analizę warunków
formowania się naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pala.
W szczególności jak obciążenie przyłożone w głowicy pala jest równoważone przez
naprężenia na pobocznicy i w podstawie pala i jak ten rozdział zmienia osiadanie. Podejmując
ten problem autor miał na celu zwrócenie uwagi, iż w wielu przypadkach praktycznych,
naprężenia te zależą od siebie i nie powinny być przyjmowane w projektowaniu jako dwa
niezależne parametry. Drugim powodem był fakt, iż w praktyce inżynierskiej przy obliczaniu
1
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Geotechniki
Zygmunt Meyer
82
osiadania pojedynczego pala występowanie naprężeń na pobocznicy zmniejsza osiadanie w
stosunku do tego, jakie wystąpiłoby gdyby tych naprężeń nie uwzględniać.
2. Matematyczny opis zjawiska
Do analizy zjawiska przyjęto cylindryczny pal zagłębiony w jednorodnym gruncie o długości
h oraz średnicy D = 2r, obciążony w głowicy pionową siłą N. Schematycznie pal zagłębiony
w gruncie pokazano na rys. 1 [11]
Rys. 1 Schemat pala zagłębionego w gruncie
Na rys. 1 przyjęto następujące oznaczenia: h – długość pala w gruncie; D – średnica pala; N –
siła przyłożona w głowicy działająca pionowo w dół; N1 – siła skupiona działająca w
podstawie pala; r – promień pala.; T – siła wytworzona na pobocznicy przez naprężenia
styczne; z, ρ - układ współrzędnych cylindrycznych przyjęty do analizy: oś z- skierowana
jest pionowo w dół, ρ - współrzędna biegunowa; q c - naprężenia wytworzone przez odpór
gruntu pod podstawą pala; τ - naprężenia styczne na pobocznicy pala.
Do dalszej analizy przyjęto następujące uproszczenia
- grunt jest jednorodny,
- pal jest nieodkształcalny,
- analizę rozkładu naprężeń w gruncie oparto o liniową teorię Boussinesqa wykorzystując
jedynie składową σ z pionową tensora naprężeń . Podstawowy wzór opisujący składową
σ z [7,9] ma postać [18]:
3
z3
⋅Q⋅
(1)
5/ 2
2π
z2 + ρ 2
gdzie Q - jest stałą skupioną działającą pionowo w dół w punkcie współrzędnych, która te
naprężenia w półprzestrzeni sprężystej wywołuje. Równanie równowagi sił pionowych
działających na pal wymaga, aby było spełnione równanie:
σ z (z , ρ ) =
(
)
Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala...
83
h
N = N 1 + ∫ τ ( z )2πr ⋅ dz
(2)
0
Założenie nieodkształconego pala, jednorodnego gruntu oraz braku poślizgu gruntu
względem pala pozwala przyjąć
τ ( z ) = const = τ
i wtedy
(3)
N = N1 + 2πr ⋅ τ
(4)
Siłami, które wywołują stan naprężeń w gruncie jest siła N1 działająca w podstawie pala oraz
naprężenia styczne na działające na pobocznicy pala τ . Aby obliczyć osiadanie punktów
(gruntu) na pobocznicy musimy obliczyć oddzielnie to osiadanie od obu sił. Ogólny wzór na
osiadanie gruntu wywołane składową pionową σ z ma postać [18]:
z2
S=
σz
∫ E ⋅ dz
(5)
z1
Naprężenia pionowe na pobocznicy pala wywołane siłą N1 w podstawie mają postać
(z − h )3
3
⋅ N1
σ z (z ,r ) =
5/ 2
2π
(z − h )2 + r 2
[
]
(6)
Ponieważ wcześniej założono że grunt jest jednorodny więc E = const i dlatego odpowiednie
osiadanie wywołane siłą N1 wyniesie
∞
S ( N1 ,r , z ) = ∫
σ z (z ,r )
dz
E
Po podstawieniu zależności (6) do wzoru (7) otrzymamy
N 
3
r2
S (N ,r , z ) = 1 ⋅ 
−
2πE  ( z − h )2 + r 2 ( z − h )2 + r 2

(7)
z
[


3/ 2

]
(8)
Równanie odkształcenia powierzchni terenu wywołane siłą N1 wynosi (z = 0)
3 N1
⋅
(9)
2π h ⋅ E
Osiadanie podstawy pala wywołane naprężeniami na pobocznicy, które generuje siła N1
wynosi (z = h)
S ( N1 ,r ,0 ) =
N1
(10)
π ⋅r ⋅E
We wzorach (9) oraz (10) założono, że r<<h i dlatego w sumie kwadratów r 2 można
pominąć. Wzory (9) i (10) otrzymano przy założeniu całkowania w granicach od z do ∞ (7).
S ( N1 ,r ,h ) =
Zygmunt Meyer
84
W praktyce liczenie osiadania przeprowadzimy do granicy strefy aktywnej.
Praktycznie obliczenie osiadania jest zatem mniejsze niż wyrażone wzorem (7). W dalszej
części pracy fakt ten będzie uwzględniony przez wprowadzenie współczynnika korygującego
α.
Drugim elementem składowym jest osiadanie wywołane naprężeniami τ na pobocznicy pala.
Efekt ten można przedstawić działaniem siły: 2πrτ ⋅ dξ zawieszonej w osi z umieszczonej w
miejscu o współrzędnej ξ . Wówczas naprężenia pionowe σ z na pobocznicy wywołane tym
działaniem będą równe
τ ⋅ 2πr ⋅ ( z − ξ ) dξ
3
σ z (τ ,r , z ) =
⋅∫
2π 0 (τ − ξ )2 + r 2 5 / 2
3
h
[
(11)
]
po wykonaniu działań otrzymamy

σ z (τ ,r , z ) = τ ⋅ r 

3
(z − h )2 + r 2
−
3
z2 + r2
+
r2
[(z − h) + r ]
2
2 3/ 2
+
r2
[z
2
+r
]
2 3/ 2



(12)
Po podstawieniu otrzymamy na powierzchni dla z=0; σ z (τ ,r ,0) = 4τ ; oraz dla z=h
otrzymamy σ z (τ ,r ,h ) = 4τ . Kolejny etap to obliczanie osiadania od naprężeń σ z (τ ,r , z ) .
Mamy
∞
S (τ ,r , z ) = ∫
σ z (τ , z ,r )
dz
E
Po wykonaniu odpowiednich obliczen otrzymamy

τ ⋅ r  
z + z2 + r2
z
+
−
S (τ ,r , z ) =
3 ln 
2
2
2
E   (z − h ) (z − h) + r 2 
z
+
r

 
(13)
z


(z − h )2 + r 2 
z−h
(14)
Podobnie jak w przypadku siły N1 obliczamy osiadanie na powierzchni ( z=0) i wówczas
otrzymamy
2h 
1 + 3 ln 

E 
r 
dla podstawy pala (z=h) otrzymamy
S (τ ,r ,0 ) =
τ ⋅r 
S (τ ,r ,h ) =
τ ⋅r 
2h 
1 + 3 ln  = S (τ ,r ,0 )

E 
r 
(15)
(16)
Wzory (15) i (16) wskazują, że od naprężeń na pobocznicy pala osiadanie podstawy i
powierzchni jest takie same. Można teraz porównać osiadanie pobocznicy pala wywołane
naprężeniami τ , które przedstawiają wzory (15) i (16) z tymi, które otrzymujemy
wykorzystując moduł odkształcenia postaciowego [18]. Otrzymamy
Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala...
τ=
S (τ , r )
⋅G
l
85
(17)
E
(18)
2(1 + ν )
W powyższych wzorach przyjęto następujące oznaczenia: l – jest ramieniem działania
naprężeń τ , które wywołują przemieszczenie; S (τ ,r ) , G – jest modułem odkształcenia
postaciowego, ν - współczynnik Poissona. Po przekształceniu otrzymujemy
G=
S (τ ,r ) = 2(1 + ν )
τ
⋅l
(19)
E
Jeżeli porównamy zależność (19) z tą jaką wcześniej uzyskaliśmy (15) i (16) to pozwoli to
nam określić ramię l potrzebne by grunt wywołał naprężenia ścinające τ uzyskując
przemieszczenie na pobocznicy S (τ ,r ) . Otrzymamy
 2h 
1 + 3 ln 
 r 
l =r⋅
2(1 + ν )
Dla celów praktycznych obliczeń możemy ten wzór uprościć do postaci
3
 2h 
⋅ r ⋅ ln 
2(1 + ν )
 r 
W praktycznych przypadkach otrzymamy
l0 =
(20)
(21)
l0 = (4 ÷ 5)r
(22)
Oznacza to, że dopiero przy rozstawie zewnętrznych powierzchni pali o odległości 8r, grunt
pozwala na wytworzenie naprężeń stycznych na pobocznicy τ przy osiadaniu S (τ ,r ) . Jeżeli
ta odległość jest mniejsza wówczas nie wykorzystamy możliwości gruntu w mobilizowaniu
naprężeń stycznych. Możemy napisać
S max = 2(1 + ν )
τ
⋅ l0
(22)
E
Jeżeli rozstaw pali nie pozwala na uzyskanie ramienia l0 czyli S max , to wówczas l < l0
uzyskamy odpowiednio mniejsze τ . Zakładając, że osiągniemy ramię l0 uzyskujemy
osiadanie pobocznicy pola wyniesie
2h 

(23)
⋅ r 3 ln
+ 1
E 
r

Osiadanie to możemy porównać z osiadaniem podstawy pala, które wyraża wzór (10),
otrzymamy wówczas
S (τ ,r ) =
τ
τ 
2h 
qc
⋅ r = ⋅ r 1 + 3 ln 
E
E 
r 
a stąd
(24)
Zygmunt Meyer
86
qc
(25)
 2h 
1 + 3 ⋅ ln 
 r 
Należy podkreślić fakt, że wzoru (25) nie można odnosić do warunków sondy ponieważ w
prezentowanej analizie odpowiednie całkowania odbyły się od powierzchni terenu i od
podstawy pala.
1
W obliczeniach przybliżonych możemy przyjąć τ =
qc .
20
Obliczenie zasięgu ramienia naprężeń stycznych l0 można również obliczyć w sposób
przybliżony porównując siły występujące w tzw. walcu naprężeń. Schematycznie sytuację
pokazano na rys. 2.
τ=
Rys. 2. Schemat równoważenia naprężeń na pobocznicy naprężeniami w podstawie σ (τ )
Na podstawie rys. 2 z równania równowagi sił otrzymamy
2
2πrhτ = π (r + l0 ) − πr 2 ⋅ σ (τ )
[
]
(26)
Natomiast ze wzoru (19) po porównaniu go z zależnością (10) otrzymamy
l
qc = 2(1 + ν ) 0 ⋅ τ
(27)
r
Jeżeli założymy, że w podstawie pala na zewnątrz przestrzeni sprężystej naprężenia
generowane przez τ nie mogą być większe niż qc pod podstawą pala to otrzymamy:
σ (τ ) = qc
l0 min = 3
i wtedy
r2 ⋅ h
1 +ν
ostatecznie możemy napisać nierówność
(28)
Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala...
 2h 
1 + 3 ⋅ ln 
r ⋅h
 r 
< l0 < r
1 +ν
2(1 + ν )
87
2
3
(29)
Nierówność (29) określa zasięg ramienia l dla naprężeń τ , tak aby mogły się one rozwinąć
do maksymalnej wartości. Problemem pozostaje czy gęstość zabijania pali pozwala na
otrzymanie ramienia l0 .
3. Obliczenie osiadania pala
Do obliczenia osiadania pala wykorzystano zależności (10) oraz (19). Ponieważ zależności te
są uniwersalne i nie uwzględniają elementów współpracy pal-grunt uzupełniono je
współczynnikami ατ oraz α q . W szczególności naprężenia na pobocznicy w dużym stopniu
zależą od powierzchni bocznej pala (chropowatości tej powierzchni). Aby uwzględnić lokalne
własności współpracy pala i gruntu wprowadzono współczynniki α :
Sq = α q ⋅
qc
⋅r
E
St = α t ⋅ 2(1 + ν ) ⋅
oraz
(30)
τ
⋅l
(31)
E
Ponieważ podobnie jak poprzednio zakładamy, że nie ma poślizgu pobocznica-grunt,
możemy napisać
S q = St
i wtedy
qc
τ
⋅ r = α t ⋅ 2(1 + ν ) ⋅ ⋅ l
E
E
Powyższa zależność pozwala na uzyskanie związku
αq ⋅
τ = τ (qc )
w postaci
α
1
r
τ = qc q ⋅
⋅
gdzie
α t 2(1 + ν ) l
(32)
(33)
r
= const ; jest określane zależnością (20).
l
Z równania równowagi sił otrzymamy ponadto
2πrhτ + qc ⋅ πr 2 = N
Po podstawieniu za τ zależności (33) i po przekształceniach otrzymamy:
N1 =
N
h α
1
1+ ⋅ q ⋅
l αt 1 +ν
(34)
(35)
Zygmunt Meyer
88
Dla celów praktycznych obliczeń ten wzór można przedstawić jako
N1 =
N
(36)
1 αq h
1+
⋅
⋅
7 ,5 α t r
Osiadanie możemy wówczas obliczyć ze wzoru (10). Otrzymamy wzór przybliżony
S=
N

1 αq h 
πEr 1 +
⋅ ⋅ 
 7 ,5 α t r 
(37)
Do dalszej analizy wygodnie jest wprowadzić oznaczenia:
r αq 1
⋅
l αt 1 +ν
κ= ⋅
(38)
Wówczas wzór na osiadanie ma postać
S=
αq ⋅ N
(39)
h

1 + κ ⋅ πrE
r

Próbne obciążenia pala, test statyczny pozwala nam na obliczenie parametru α . Ponieważ
mówimy o analizie w zakresie liniowej teorii Boussinesqa, dlatego możemy się posłużyć
krzywą N – S w pierwszym zakresie, kiedy jest to odcinek prosty rys. 3.
Rys. 3. Wykres próbnych obciążeń pala
Z rys. 3 widać, że gdy N < N prop , to wówczas
αq
ds
= const =
h
dN

1 + κ ⋅ πrE
r

(40)
Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala...
89
Z zależności (40) możemy obliczyć α i wykorzystać ją do zmiany wymiarów pala. Jeżeli po
testach okazuje się, że pal ma za małą nośność i wydłużamy go oraz zmieniamy jego średnicę
wówczas bez potrzeby nowych testów możemy określić związek S = S(N) w postaci
S1 =
αq ⋅ N
(41)

h
1 + κ ⋅ 1 π ⋅ r1 ⋅ E
r1 

Dla tych samych obciążeń N osiadanie obu pali zachowa poniższą proporcję
h

1 + κ ⋅  ⋅ r
S1 
r
=
S 
h 
1 + κ ⋅ 1  ⋅ r1
r1 

(42)
4. Przykład obliczeniowy
Jako przykład obliczeniowy do analizy przyjęto pal o długości h =10 i średnicy 2r = 0,3m.
Moduł ściśliwości gruntu przyjęto E = 30 MPa oraz ponadto ν =0,25. W pierwszej kolejności
oszacowano l ze wzoru (21). Otrzymano
l
3
 2 ,10 
=
⋅ ln
 = 5,87
r 2(1 + 0 ,25)  0 ,15 
Doświadczenie testów statycznych wskazuje, iż parametry α q oraz ατ przyjmują zwykle
wartości α q = 0,4 ; ατ = 1,2 . Wartość α q = 0,4 wynika z faktu, że obliczając osiadanie
podstawy pala przyjęliśmy całkowanie od zera do nieskończoności. W praktyce obliczanie
osiadania kończymy na granicy strefy aktywnej i w związku z tym jest ona mniejsza. Po
podstawieniu do wzoru (38) otrzymamy
1 0 ,4
1
1
⋅
⋅
=
5,87 1,2 1 + 0,2 22
Załóżmy, że taką wartość otrzymaliśmy z testów terenowych wówczas osiadanie pala
wyniesie
κ=
S =
αq ⋅ N
 m  1  m 
 MN  = 14 2  MN  ⋅ N
1 10 

⋅
1 +
π ⋅ 0 ,15 ⋅ 30
 22 0 ,15 
Dla N = 2MN otrzymamy S = 1,40cm
Jeżeli można dopuścić większe osiadanie to pal możemy skrócić np. do 8m. Wówczas
otrzymamy zgodnie ze wzorem (42) następujące osiadania:
Zygmunt Meyer
90

1 +
S1 
=
S 
1 +

1
8 
⋅
 ⋅ 0 ,15
22 0 ,15 
= 0 ,85
1 101 
⋅
 ⋅ 0 ,15
22 0 ,15 
Dla tego samego obciążenia 2MN osiadanie wynosi S = 1,64cm.
5. Wnioski
1. W pracy przedstawiono analizę formowania się naprężeń na pobocznicy i w podstawie
pala w przypadku, gdy na pal działa siła osiowa przyłożona w głowicy. Analizę
przeprowadzono przy założeniu liniowej teorii Boussinesqa.
2. Uzyskane wyniki można odnosić do próbnych statycznych obciążeń pali, w części
gdzie pierwszy odcinek krzywej osiadania jest odcinkiem prostym. W praktyce
zwykle dopuszczalne obciążenie pala wywołują osiadania w tej strefie.
3. Analiza wskazuje, że pomiędzy naprężeniami na pobocznicy pala, a naprężeniami w
podstawie zachodzi liniowa zależność. Współczynnik proporcjonalności zależy od
wymiarów pala, współczynnika Poissona gruntu oraz współczynników α q oraz ατ ,
które uwzględniają lokalne warunki współpracy pala z gruntem.
4. Uzyskane zależności mogą mieć zastosowanie przy wymiarowaniu pali na podstawie
próbnych obciążeń.
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
Cichy L., Rybak J., Tkaczyński G: Badanie nośności pali prefabrykowanych.
Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne, str. 30-32, 2009.
Cruz N., Pinto P., Viana de Fonceca A., Andrae R: Pile Bearing Capacity of the new
Bridge over Zambezi River (Mozambique). Predictions and performance of static
load best results. 11th Baltic Sea Geotechnical Conference, Geotechnics in Martime
Engineering, Gdańsk, pp. 35-41, 2008.
Dundulis K., Żarżojus G.: Ewaluation of the Pile Foundation Bearing Capacity.
11th Baltic Sea Geotechnical Conference, Geotechnics in Martime Engineering,
Gdańsk, pp. 55-60, 2008.
England M.: Pile Settlement Behavior: an Accurate Model. Application of stress
wave theory to piles. pp. 91-96, Rotterdam-Balkena, 1992.
Fleming W.G.K.: A new Method for Single Pile Settlement Prediction and Analysis.
Geotechnique 42, No.3, pp. 411-425, 1992.
Gwizdała K., Kowalski J.R.: Prefabrykowane pale wbijane, Wyd. Politechniki
Gdańskiej, 2005.
Gwizdała K., Tejchman A., Blockus M.: Kontrolne badania dynamiczne pali
prefabrykowanych w czasie ich wykonawstwa. XXII Konferencja NaukowoTechniczne Awarie Budowlane, Szczecin-Międzyzdroje, 2005.
Gwizdała K. , Dyka L.: Analityczna metoda prognozowania krzywej osiadanie pala
pojedynczego; Inżyniera i Budownictwo nr 12/2001.
Analiza naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala...
[9]
[10]
[11]
[12]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
91
Gwizdała K., Stęczniewski M., Dyka I.: Wykorzystanie sondowań statycznych do
obliczania nośności i osiadań pali. Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne, str. 6268, 2009.
Krasiński A., Cichy M. (2008): The Improvement of Axial Bearing Capacity of Open
end Pipe Piles. 11th Baltic Sea Geotechnical Conference, Geotechnics in Martime
Engineering, Gdańsk, pp. 511-518.
Meyer Z., Kowalów M. (2009) : Wykorzystanie testu Osterberga do statycznych
obciążeń próbnych pali. XXIV Konferencja Naukowo-Techniczna Awarie
Budowlane, Szczecin-Międzyzdroje.
Osterberg J.O.: Recent Advances in Load testing Driven Piles and Drilled Shafts
Using Osterberg Load Cell Method. American Society of Civil Engineering,
Chicago 1994.
Pieczyrak J., Bzówka J.: Próbne obciążenie pali badanych w dużym zakresie
obciążenia. Konferencja „Problemy geotechniczne i środowiskowe z
uwzględnieniem podłoży ekspansywnych”, Bydgoszcz, 2009.
Rogowski R., Franczak P.: Zastosowanie pali FDP w budownictwie mostowym.
Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne, str. 54-57, 2009.
Rychlewski P.: Badanie pali testowych. Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne,
str. 72-74, 2009.
Tumosa K., Stragys V.: Test Results of Bored Piles. 11th Baltic Sea Geotechnical
Conference, Geotechnics in Martime Engineering, Gdańsk, pp. 99-105, 2008.
Schmertmann J., Hayes J.; The Osterberg Cell and Bored Pile Testing a Symbiosis,
Proceedings at the Third Annual Geotechnical Engineering Conference, Cairo
University, Cairo-Egypt 1997.
Wiłun Z.: Zarys geotechniki. WKŁ,. Warszawa, 2001.
Normy:
1. PN-83/B-02482: Fundamenty budowlane. Nośność pali i fundamentów palowych.
2. PN-81/B-03020: Grunty budowlane. Posadowienie bezpośrednie budowli. Obliczenia
statyczne i projektowanie.
Streszczenie
W pracy przedstawiono analizę formowania się naprężeń na pobocznicy i w podstawie pala.
Zagadnieniem, które wiąże się z przedstawioną analizą jest wymiarowanie kolumn
wykonywanych w gruncie. Zbadano jak naprężenia na pobocznicy wpływają na osiadanie
pojedynczej kolumny czy pala. Analizę przeprowadzono przy założeniu liniowej teorii
Boussinesqa.