EbcbVZ TYaP]^bNUT fiYLY]ZabNS

Marcin Studniarski
http://math.uni.lodz.pl/ marstud/
[email protected]
Ryzyko inwestycji …nansowych
(semestr letni 2014/15)
1
1.1
Koncepcje i rodzaje ryzyka
Dwie koncepcje ryzyka
1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagroz·enie; moz·liwość straty,
szkody, nieosiagni
¾ ecia
¾ zamierzonego celu dzia÷
ania.
2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagroz·enie, ale jednocześnie
szansa; moz·liwość uzyskania efektu róz·niacego
¾
sie¾ od zamierzonego celu
(efekt ten moz·e być gorszy lub lepszy od oczekiwanego).
1.2
Rodzaje ryzyka
1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach …nansowych i towarowych (koncepcja neutralna).
2. Ryzyko kredytowe - wynika z moz·liwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osobe¾ lub instytucje,
¾ której udzielono kredytu.
3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikajacej
¾ z nieprawid÷
owo dzia÷
ajacych
¾
procesów wewnetrznych,
¾
ludzi i systemów informatycznych (koncepcja negatywna).
4. Ryzyko p÷
ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p÷
ynności …nansowej
podmiotu gospodarczego (p÷
ynność oznacza zdolność podmiotu do regulowania zobowiazań
¾
w terminie) (koncepcja neutralna lub negatywna).
5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych majacych
¾
wp÷
yw na sytuacje¾ danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neutralna).
6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia÷
alności gospodarczej przez podmiot (koncepcja neutralna lub negatywna).
7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wystapienia
¾
wydarzeń losowych majacych
¾
wp÷
yw
na sytuacje¾ podmiotu gospodarczego (np. powódź, poz·ar, napad na bank)
(koncepcja negatywna).
1.3
Podzia÷ryzyka rynkowego
1. Ryzyko kursu walutowego
2. Ryzyko stopy procentowej
3. Ryzyko cen akcji
4. Ryzyko cen towarów (takz·e nieruchomości)
1.4
Podzia÷ryzyka kredytowego
1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga¾
strone¾ p÷
atności wynikajacych
¾
z kontraktu (koncepcja negatywna).
2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - moz·liwość zmiany wiarygodności
kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).
2
Przestrzeń probabilistyczna
Niech bedzie
¾
dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nalez·acym
¾
do tzw. klasy zdarzeń F ,
gdzie F
2 . Zak÷
adamy, z·e F jest -cia÷
em podzbiorów , tzn. spe÷
nia
nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
S1. F =
6 ;.
S2. Jez·eli A 2 F , to
nA 2 F .
S3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to
S1
i=1 Ai 2 F .
Z powyz·szych warunków wynika, z·e do F nalez·a¾ zdarzenia:
pewne) i ; (zdarzenie niemoz·liwe).
(zdarzenie
Najmniejsze -cia÷
o zawierajace
¾ wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy
cia÷
em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn).
-
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna¾ funkcje¾ P : F ! R spe÷
niajac
¾ a¾
warunki:
A1. P (A)
0 dla kaz·dego A 2 F ,
A2. P ( ) = 1,
A3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \ Aj = ; dla i 6= j , to
0
P@
1
[
i=1
1
AiA =
1
X
i=1
P (Ai):
(1)
Przestrzenia¾ probabilistyczna¾ nazywamy trójke¾ ( ; F ; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia÷
em podzbiorów , a P jest prawdopodobieństwem
określonym na F .
W÷
asności prawdopodobieństwa. Jez·eli ( ; F ; P ) jest przestrzenia¾ probabilistyczna¾ i zbiory A; B; A1; :::; An nalez·a¾ do F , to spe÷
nione sa¾ poniz·sze
warunki:
W1. P (;) = 0.
W2. Jez·eli Ai \ Aj = ; dla i 6= j , to P
W3. P ( nA) = 1
W4. Jez·eli A
Sn
Pn
A
=
i=1 i
i=1 P (Ai).
P (A).
B , to P (BnA) = P (B )
P (A).
W5. Jez·eli A
W6. P (A)
B , to P (A)
P (B ).
1.
W7. P (A [ B ) = P (A) + P (B )
W8. Jeśli
P (A \ B ).
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to
X
!2
P (f!g) = 1:
(2)
Zadanie 1. Eksperci wskazali na 5 moz·liwych stanów gospodarki w ciagu
¾
najbliz·szego roku oraz na prawdopodobieństwa ich wystapienia:
¾
stan gospodarki
duz·y rozwój
niewielki rozwój
stagnacja
niewielka recesja
duz·a recesja
skrót
DRO
NRO
STA
NRE
DRE
prawdopodobieństwo
0; 1
0; 25
0; 2
0; 35
0; 1
Zde…niować przestrzeń probabilistyczna¾ tak, aby zdarzeniami elementarnymi
by÷
y stany gospodarki, a ich prawdopodobieństwami liczby wymienione w powyz·szej tabeli. Wykazać, z·e przestrzeń ta spe÷
nia warunki (A1)–(A3). Zde…niować
zdarzenia: “rozwój” i “brak rozwoju” oraz obliczyć ich prawdopodobieństwa.
3
Zmienne losowe
Niech ( ; F ; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna.
¾ Zmienna¾ losowa¾ (wektorem losowym) o wartościach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rn
takie, z·e dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X 1(A) nalez·y do
F.
Zadanie 2. Wykazać, z·e X jest zmienna¾ losowa¾ wtedy i tylko wtedy, gdy dla
kaz·dego uk÷
adu liczb 1; :::; n 2 R mamy
X 1(( 1; 1]
:::
( 1; n]) 2 F :
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to kaz·da funkcja X :
! Rn jest zmienna¾ losowa.
¾
Rozk÷
adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :
wamy funkcje¾ PX : B(Rn) ! R dana¾ wzorem
PX (B ) := P (X 1(B ))
! Rn nazy-
dla B 2 B(Rn):
(3)
Mówimy, z·e zmienna losowa X ma rozk÷
ad dyskretny, jez·eli istnieje taki zbiór
przeliczalny S Rn, z·e PX (S ) = 1.
Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2 , to moz·na przyjać
¾ S :=
X ( ) (zbiór skończony) i wtedy
PX (S ) = PX (X ( )) = P (X 1(X ( ))) = P ( ) = 1:
Zatem kaz·da zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk÷
ad dyskretny.
3.1
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷
adzie dyskretnym
Wartościa¾ oczekiwana¾ (lubśrednia)
¾ zmiennej losowej X : ! R o rozk÷
adzie
dyskretnym, przyjmujacej
¾ skończenie wiele wartości, nazywamy liczbe¾
EX :=
X
xi P ( X = xi ) ;
(4)
i2I
gdzie X ( ) = fxigi2I , I – skończony zbiór indeksów, a P (X = xi) jest
skróconym zapisem wyraz·enia P (f! 2 : X (! ) = xig).
Wartościa¾ oczekiwana¾ wektora losowego X = (X1; :::; Xn) : ! Rn, gdzie
wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuja¾ skończenie wiele wartości, nazywamy
wektor
EX := (EX1; :::; EXn):
(5)
3.2
Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym
W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :
! R mówimy, z·e ma ona
wartość oczekiwana,
¾ jez·eli jest ca÷
kowalna, tzn.
Z
jXj dP < 1:
Wówczas wartościa¾ oczekiwana¾ zmiennej losowej X nazywamy liczbe¾
EX :=
Z
XdP:
(6)
De…nicja (6) jest uogólnieniem de…nicji (4). W ogólnym przypadku do zde…niowania wartości oczekiwanej wektora losowego uz·ywamy wzoru (5) przy za÷
oz·eniu, z·e wszystkie wspó÷
rzedne
¾
maja¾ wartość oczekiwana.
¾
Ze wzoru (5) i z podstawowych w÷
asności ca÷
ki wynika nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie.
Twierdzenie 1. Niech X i Y bed
¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto´sciach
w R. Za÷
ó·
zmy, ·
ze istnieja¾ warto´sci oczekiwane EX i EY . Wówczas:
(a) Je´sli X
(b) jEXj
0, to EX
0.
E jXj.
(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto´s´c oczekiwana aX + bY i
E (aX + bY ) = aEX + bEY .
(7)
4
Prognozowanie stopy zysku z inwestycji
Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawowa¾ miara¾ określajac
¾ a¾
efektywność inwestycji. Określamy ja¾ wzorem
R :=
Kk Kp
;
Kp
(8)
gdzie:
Kp > 0 – kapita÷poczatkowy
¾
(zainwestowany na poczatku
¾
procesu inwestycji),
Kk – kapita÷końcowy (posiadany na końcu inwestycji).
Stope¾ zysku R podaje sie¾ zwykle w procentach.
Przekszta÷
cajac
¾ wzór (8), otrzymujemy wzór na kapita÷końcowy:
Kk = Kp(1 + R):
4.1
(9)
Metoda 1 – na podstawie danych z przesz÷
ości
W metodzie tej wykorzystuje sie¾ dane z pewnej ilości okresów poprzedzajacych
¾
okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona
wzorem
Pi Pi 1 + Di
Ri =
;
(10)
Pi 1
gdzie Pi, Pi 1 oznaczaja¾ wartości akcji odpowiednio w okresach i, i
– dywidende¾ wyp÷
acana¾ w okresie i.
1, a Di
Wzór (10) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (8), gdzie kapita÷
poczatkowy
¾
Kp przyjmujemy jako równy Pi 1, a kapita÷końcowy Kk – jako
równy Pi + Di. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla
prognozowania stopy zysku w nadchodzacym
¾
okresie (o tej samej d÷
ugości)
moz·emy uz·yć średniej arytmetycznej
n
1X
R=
Ri :
n i=1
(11)
4.2
Metoda 2 – wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku
Korzystajac
¾ z analiz ekspertów dotyczacych
¾
sytuacji danej …rmy oraz ca÷
ej
gospodarki, moz·na próbować ocenić moz·liwe stopy zysku w róz·nych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wystapienia.
¾
Wówczas do prognozowania
przysz÷
ej stopy zysku uz·ywamy oczekiwanej stopy zysku. Metode¾ te¾ nazywamy
prognozowaniem ekspertowym.
Oczekiwana¾ stopa¾ zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczbe¾
ER :=
n
X
piRi;
(12)
i=1
gdzie Ri – stopa zysku wystepuj
¾ aca
¾ w i-tej sytuacji, pi – prawdopodobieństwo
wystapienia
¾
i-tej sytuacji, n – liczba moz·liwych róz·nych scenariuszy rozwoju.
5
Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej
losowej
h
i
2
EX ) < 1,
Niech X : ! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa.
¾ Jeśli E (X
liczbe¾ nazywamy wariancja¾ zmiennej losowej X i oznaczamy
Var X =
D2X
h
:= E (X
Wariancje¾ moz·na inaczej zapisać nastepuj
¾ aco:
¾
Var X = E (X 2)
Dowód (14). Var X := E [(X
E (X 2) (EX )2.
i
2
EX ) :
(EX )2:
EX )2] = E [X 2
to te¾
(13)
(14)
2XEX + (EX )2] =
Ze wzorów (13) i (4) wynika, z·e jeśli X przyjmuje skończona¾ ilość wartości xi,
i 2 I , to
Var X =
X
P (X = xi)(xi
i2I
EX )2:
(15)
Twierdzenie 2. Je´sli X jest zmienna¾ losowa,¾ dla której E (X 2) < 1, to
istnieje Var X i spe÷
nia warunki
(a) Var X
0.
(b) Var( X ) = 2 Var X
( 2 R).
(c) Var(X + ) = Var(X ) ( 2 R).
(d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷
a z prawdopodobie´nstwem 1.
Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z
wariancji:
p
(16)
X = DX = Var X:
6
Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna)
Ryzyko inwestycji …nansowej oznacza niepewność wystapienia
¾
oczekiwanej
sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono takz·e skale¾ zróz·nicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych.
Miarami ryzyka zwiazanego
¾
z inwestowaniem w papiery wartościowe sa¾ wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.
6.1
Prognozowanie ekspertowe
W przypadku prognozowania ekspertowego wariancje¾ papieru wartościowego
de…niujemy nastepuj
¾ aco:
¾
V :=
n
X
i=1
pi(Ri
ER)2;
(17)
gdzie Ri – stopa zysku wystepuj
¾ aca
¾ w i-tej sytuacji, pi – prawdopodobieństwo
wystapienia
¾
i-tej sytuacji, ER – oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana
wzorem (12).
Im mniejsza wartość V , tym mniejsze ryzyko osiagni
¾ ecia
¾ oczekiwanej stopy
zysku. Najmniejsza¾ moz·liwa¾ do osiagni
¾ ecia
¾ wartościa¾ jest 0. Wystepuje
¾
ona
wtedy, gdy wszystkie moz·liwe scenariusze rozwoju charakteryzuja¾ sie¾ jednakowa¾
stopa¾ zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta÷
ym oprocentowaniu.
6.2
Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych
stóp zysku
Zak÷
ada sie,
¾ z·e rozk÷
ad przysz÷
ych stóp zysku bedzie
¾
sie¾ charakteryzowa÷takim
samym ryzykiem, jakie wystepowa÷
¾
o w dotychczasowych notowaniach. Wariancje¾ dotychczasowych stóp zysku oblicza sie¾ wed÷
ug wzoru
n
1X
V :=
(Ri
n i=1
R )2 ;
(18)
gdzie n – liczba okresów, z których pochodza¾ dane, Ri – stopy zysku uzyskane
w kolejnych okresach, R –średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (11).
Poniewaz· nie sa¾ określone prawdopodobieństwa wystapienia
¾
poszczególnych
stóp zysku Ri, przyjmuje sie,
¾ z·e sa¾ one jednakowe i wynosza¾ 1=n. Wówczas
ER = R zgodnie z wzorem (12), a zatem (18) jest szczególnym przypadkiem
(17), gdzie pi = 1=n dla i = 1; :::; m.
W przypadku ma÷
ej liczby danych (n
zysku stosuje sie¾ wyraz·enie
V^ :=
1
n
30) do prognozowania wariancji stopy
n
X
1 i=1
(Ri
R )2 :
(19)
Sens uz·ycia tego wzoru wynika z faktu, z·e V^ jest tzw. estymatorem nieobcia¾·
zonym wariancji, co jest wyjaśnione dok÷
adniej w moich materia÷
ach z analizy
portfelowej (dostepnych
¾
na stronie internetowej).
W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy
p zysku przyjmujemy pierp
wiastek z odpowiedniego wyraz·enia, tzn. V lub V^ .
7
Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna)
Jeśli ryzyko rozwaz·ane jest w kategoriach zagroz·enia, to pod uwage¾ bierze
sie¾ tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast
wariancji rozwaz·a sie¾ semiwariancje¾ stopy zysku określona¾ nastepuj
¾ aco:
¾
SV :=
n
X
pid2i ;
(20)
i=1
gdzie
di :=
(
Ri
0;
ER; gdy Ri
gdy Ri
ER < 0;
ER 0:
(21)
Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe
stopy zysku:
p
s := SV :
(22)
8
Niezalez·ność zmiennych losowych
Zmienne losowe X1; :::; Xn o wartościach w R, określone na zbiorze , gdzie
( ; F ; P ) jest przestrzenia¾ probabilistyczna,
¾ nazywamy niezalez·nymi, jez·eli
dla dowolnych zbiorów B1; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równość
P (X1 2 B1; :::; Xn 2 Bn) = P (X1 2 B1) ::: P (Xn 2 Bn):
(23)
W powyz·szym wzorze wyraz·enie po lewej jest skróconym zapisem wyraz·enia
P f! 2
: X1(! ) 2 B1 ^ ::: ^ Xn(! ) 2 Bng;
podobna uwaga dotyczy wyraz·eń po prawej stronie.
Twierdzenie 3. Je·
zeli zmienne losowe X1; :::; Xn sa¾niezale·
zne i maja¾warto´s´c
Q
oczekiwana,¾ to istnieje warto´s´c oczekiwana iloczynu n
i=1 Xi i zachodzi równo´s´c
0
E@
n
Y
i=1
1
XiA =
n
Y
i=1
EXi:
(24)
Twierdzenie 4. Przy za÷
o·
zeniach Twierdzenia 3 zachodzi równo´s´c
0
Var @
n
X
i=1
1
XiA =
n
X
i=1
Var Xi:
(25)
9
Kowariancja i wspó÷
czynnik korelacji zmiennych
losowych
Kowariancja¾ ca÷
kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷
niajacych
¾
warunek
E jXY j < 1, nazywamy liczbe¾
Cov(X; Y ) := E [(X
EX ) (Y
EY )] :
(26)
Z powyz·szej de…nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy
Cov(X; Y ) = E [XY
= E (XY )
= E (XY )
(EX )Y
X (EY ) + EX EY ]
2EX EY + E (EX EY )
EX EY;
(27)
gdzie ostatnia równość wynika z faktu, z·e wartość oczekiwana zmiennej losowej
o sta÷
ej wartości jest równa tej sta÷
ej.
Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi;
w przeciwnym przypadku – skorelowanymi.
Korzystajac
¾ z nierówności Schwarza dla ca÷
ek, moz·na wykazać nastepuj
¾ ac
¾ a¾
nierówność:
p
jCov(X; Y )j
Var X Var Y ;
(28)
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem
1 zmienne losowe X i Y zwiazane
¾
sa¾ zalez·nościa¾ liniowa,
¾ tzn. istnieja¾ takie
liczby a, b 2 R, z·e
(29)
P fY = aX + bg = 1:
Wspó÷
czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbe¾
(X; Y ) :=
Cov(X; Y )
X Y
=p
Cov(X; Y )
Var X Var Y
:
(30)
Z nierówności (28) wynika, z·e j (X; Y )j
1, a równość zachodzi tylko w
przypadku liniowej zalez·ności miedzy
¾
zmiennymi X i Y .
Uwaga. Z Twierdzenia 3 i z równości (27) wynika, z·e jeśli zmienne losowe X
i Y sa¾ niezalez·ne i maja¾ wartość oczekiwana,
¾ to sa¾ nieskorelowane.
Zadanie 3. Podać przyk÷
ad zmiennych losowych X , Y zalez·nych i nieskorelowanych.
Za÷
óz·my teraz, z·e zmienne losowe X i Y przyjmuja¾ skończenie wiele wartości i
z·e dany jest rozk÷
ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ),
tzn. dane sa¾ skończone ciagi
¾ liczbowe x1; :::; xn i y1; :::; yn oraz ciag
¾ liczb dodatnich p1; :::; pn takie, z·e
n
X
i=1
pi = 1 oraz P (X = xi; Y = yi) = pi, i = 1; :::; n:
(31)
Wówczas, korzystajac
¾ z wzoru (4) na wartość oczekiwana,
¾ moz·emy zapisać
wzór (26) w postaci
Cov(X; Y ) =
n
X
i=1
10
pi (xi
EX ) (yi
EY ) :
(32)
Korelacja papierów wartościowych
Rozwaz·my teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y sa¾ odpowiednio
stopy zysku RA i RB akcji A i B . Niech A i B oznaczaja¾ odpowiednio
odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B . W przypadku akcji za÷
oz·enie
ich dodatniości jest na ogó÷spe÷
nione.
W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru
(32), otrzymujemy nastepuj
¾ ac
¾ a¾ de…nicje:
¾
Kowariancja¾ akcji (ogólniej: inwestycji …nansowych) A i B nazywamy liczbe¾
Cov(RA; RB ) :=
n
X
i=1
pi RA;i
ERA
RB;i
ERB ;
gdzie:
RA;i – stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B ),
pi – prawdopodobieństwo wystapienia
¾
i-tej sytuacji,
n – ilość moz·liwych sytuacji.
(33)
Wspó÷
czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji …nansowych) A i B
nazywamy liczbe¾
A;B
:
=
Cov(RA; RB )
= qP
n
A B
Pn
i=1 pi RA;i
i=1 pi(RA;i
gdzie:
ERA
RB;i
ERB
qP
n p (R
ERA)2
i=1 i B;i
ERB )2
RA;i – stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B ),
pi – prawdopodobieństwo wystapienia
¾
i-tej sytuacji,
n – ilość moz·liwych sytuacji.
; (34)
Jeśli korelacje¾ określa sie¾ na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku
(RA;i; RB;i), i = 1; :::; n, to wzory określajace
¾ kowariancje¾ i wspó÷
czynnik
korelacji przyjmuja¾ postać
n
1X
Cov(RA; RB ) :=
RA;i
n i=1
~A
R
RB;i
~B ;
R
(35)
~ A, R
~ B –średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości RA;i, RB;i (i =
gdzie R
1; :::; n),
A;B
:
=
Cov(RA; RB )
A B
Pn
~ A RB;i R
~B
R
i=1 RA;i
qP
= qP
:
n (R
n
~ A )2
~ B )2
R
R
i=1 A;i
i=1 (RB;i
(36)
W przypadku ma÷
ej liczby danych, wspó÷
czynnik 1=n wystepuj
¾ acy
¾ w (35) i
(niejawnie) w (36) moz·e być zastapiony
¾
przez 1=(n 1), podobnie jak przy
obliczaniu wariancji akcji.
Mówimy, z·e akcje (inwestycje …nansowe) A i B sa¾
(a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0,
(b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0,
(c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0,
(d) doskonale (dok÷
adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1,
(e) doskonale (dok÷
adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B =
1.
Uwaga. Wspó÷
czynnik korelacji jest miara¾ zalez·ności liniowej (por. wzór (29)),
tj. miara¾ skupiania sie¾ punktów (RA;i; RB;i) (w uk÷
adzie wspó÷
rzednych
¾
na
p÷
aszczyźnie) wokó÷linii prostej.
Zadanie 4. Dane sa¾ dwie akcje A i B o oczekiwanych stopach zysku odpowiednio ERA = 10% i ERB = 18% oraz odchyleniach standardowych odpowiednio
czynnik korelacji akcji A i B wynosi 0,1.
A = 15% i B = 30%. Wspó÷
Wyznaczyć udzia÷
y u dla A oraz 1 u dla B , które de…niuja¾ portfel z÷
oz·ony z
A i B o najmniejszym moz·liwym odchyleniu standardowym. Ile wynosi wartość
tego odchylenia standardowego? Jaka jest oczekiwana stopa zysku z tego portfela?
11
Wariancja sumy zmiennych losowych
Dotychczas podaliśmy wzór na wariancje¾ sumy zmiennych losowych jedynie w
przypadku zmiennych losowych niezalez·nych (wzór (25)). Obecnie podamy
wzór dla przypadku ogólnego.
Twierdzenie 5. Je·
zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maja¾ wariancje,¾ to istnieje
P
te·
z wariancja sumy n
i=1 Xi i zachodzi równo´s´c
0
Var @
n
X
i=1
1
XiA =
n
X
i=1
Var Xi + 2
X
Cov(Xi; Xj ):
(37)
1 i<j n
Wniosek. Je·
zeli zmienne losowe X1; :::; Xn maja¾wariancje¾i sa¾parami nieskorelowane, to zachodzi równo´s´c (25).
12
Portfel wielu akcji
Oznaczmy:
m – liczba …rm, których akcje sa¾ w portfelu (ponumerowanych od 1 do m),
nj – ilość j -tych akcji znajdujacych
¾
sie¾ w portfelu.
Zak÷
adamy, z·e nj (j = 1; :::; m) sa¾ liczbami nieujemnymi. Aby portfel by÷
niepusty, trzeba za÷
oz·yć, z·e nj > 0 dla pewnego j . Liczby nj wyznaczaja¾
sk÷
ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk÷
ad procentowy (wartościowy)
portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j -tych akcji w portfelu do ÷
acznej
¾
wartości wszystkich akcji znajdujacych
¾
sie¾ w tym portfelu.
W celu wyznaczenia sk÷
adu procentowego oznaczmy:
pj – cena rynkowa j -tej akcji (pj > 0).
Wówczas udzia÷procentowy (w sensie wartości) j -tej akcji w portfelu określa
liczba
nj pj
, j = 1; :::; m:
(38)
uj := Pm
n
p
i=1 i i
Uwaga. ×atwo sprawdzić, z·e
uj
0; j = 1; :::; m;
m
X
j=1
(tzw. równanie budz·etowe).
uj = 1
(39)
Zbiór
Pm :=
8
<
u=
:
(u1; :::; um) 2 Rm
: ui
0, i = 1; :::; m,
m
X
uj = 1
j=1
9
=
;
(40)
nazywamy zbiorem portfeli m-sk÷
adnikowych. Wspó÷
rzedna
¾
uj wektora u oznacza udzia÷j -tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór Pm jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho÷
kach (0; ::; 0; 1i; 0; :::; 0), i = 1; :::; m,
gdzie 1i oznacza jedynke¾ na i-tym miejscu.
Zadanie 5. Wykazać, z·e zbiór Pm jest wypuk÷
y, tzn. wraz z dowolnymi dwoma
punktami zawiera odcinek je ÷
acz
¾ acy.
¾
Dla dowolnego portfela u 2 Pm przyjmujemy nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenia:
Rj – stopa zysku z inwestycji w j -te papiery wartościowe,
R = (R1; :::; Rm) – wektor (losowy) stóp zysku,
= ( 1; :::; m) – wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie
(i = 1; :::; m),
i
:= E (Ri)
Kp – kapita÷poczatkowy
¾
inwestora,
Kp;j := uj Kp – cześć
¾ kapita÷
u poczatkowego
¾
zainwestowana w j -te papiery
wartościowe,
Kk – kapita÷końcowy inwestora,
Kk;j – kapita÷końcowy w j -tych papierach wartościowych.
Ze wzoru (9) otrzymujemy Kk;j = Kp;j (1 + Rj ), j = 1; :::; m.
Stope¾ zysku portfela u de…niujemy, zgodnie z wzorem (8), jako zmienna¾
losowa¾ o wartościach rzeczywistych:
R(u) :=
Kk Kp
:
Kp
(41)
W dalszym ciagu
¾ symbolem hx; yi bedziemy
¾
oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni
Rm :
hx; yi :=
m
X
xiyi dla x = (x1; :::; xm), y = (y1; :::; ym):
(42)
i=1
Twierdzenie 6. Zachodzi równo´s´c
R(u) = hu; Ri :
(43)
Dowód.
Pm
Pm
K
Kk Kp
j=1 k;j
j=1 Kp;j
R ( u) =
=
Pm
Kp
j=1 Kp;j
Pm
Pm
Pm
j=1 Kp;j (1 + Rj )
j=1 Kp;j
j=1 Kp;j Rj
=
= Pm
Pm
j=1 Kp;j
j=1 Kp;j
P
m
Kp m
X
j=1 uj Rj
uj Rj = hu; Ri .
=
=
Pm
Kp j=1 uj
j=1
Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem
0
ER(u) = E @
m
X
j=1
1
uj Rj A =
m
X
j=1
uj j = hu; i :
(44)
Zadanie 6. Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M :
Pm ! R+ R określone wzorem
M (u) := ( (u); ER(u)):
(45)
Zbiorem moz·liwości nazywamy zbiór wartości odwzorowania M :
M (Pm) = f( (u); ER(u)) : u 2 Pmg:
(46)
Pokazać na przyk÷
adzie, z·e zbiór moz·liwości moz·e nie być zbiorem wypuk÷
ym
w R2 .
13
Macierz kowariancji wektora losowego
Niech X : ! Rm bedzie
¾
wektorem losowym. Jeśli istnieja¾ wariancje Var Xj ,
j = 1; :::; m, to macierz
C := [cij ]m
i;j=1 , gdzie cij = Cov(Xi; Xj );
(47)
nazywamy macierza¾ kowariancji wektora losowego X = (X1; :::; Xm). Istnienie kowariancji Cov(Xi; Xj ) dla dowolnej pary (i; j ) wynika z przyjetego
¾
za÷
oz·enia i ze wzoru (28).
Twierdzenie 7. Macierz kowariancji ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷
asno´sci:
(a) jest symetryczna, tzn. cij = cji dla dowolnej pary (i; j ),
(b) jest dodatnio określona, tzn.
uCuT
=
m
X
uiuj cij
i;j=1
0 dla ka·
zdego u 2 Rm:
(48)
Dowód. (a) wynika ze wzoru (26).
Pm
(b) Rozwaz·my zmienna¾ losowa¾ Y := i=1 uiXi. Jeśli EXi =
P
1; :::; m), to EY = m
i=1 ui i oraz
20
12 3
m
h
i
X
6
A 7
ui(Xi
)
0 Var Y = E (Y
EY )2 = E 4@
5
i
i=1
i
(i =
2
=E4
m
X
uiuj (Xi
i)(Xj
i;j=1
=
m
X
j)
3
5=
m
X
i;j=1
h
uiuj E (Xi
i)(Xj
uiuj Cov(Xi; Xj ) = uCuT .
j)
i
(49)
i;j=1
Stosujac
¾ cześć
¾ (b) powyz·szego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej
wzorem (43) (gdzie u 2 Rm
+ ), otrzymujemy
Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 Pm jest dana wzorem
Var R(u) = uCuT ;
gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R1; :::; Rm).
(50)
Zadanie 7. Dane sa¾ trzy akcje, których stopy zysku sa¾ równe odpowiednio
R1, R2 i R3. Macierz kowariancji wektora stóp zysku R jest nastepuj
¾ aca:
¾
2
2 1 0
3
6
7
4 1 2 1 5
0 1 2
Znaleźć portfel o minimalnej wariancji stopy zysku (czyli o minimalnym ryzyku).
Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe
(u) =
q
Var R(u):
(51)
Mówimy, z·e macierz C jest ściśle dodatnio określona, jez·eli
uCuT > 0 dla kaz·dego u 2 Rmnf0g:
(52)
Twierdzenie 8. Macierz
dodatnio okre´slona wtedy
nie wszystkie równe zeru,
dopodobie´nstwem jeden.
kowariancji C wektora losowego X nie jest ´sci´sle
i tylko wtedy, gdy istnieja¾ takie liczby u1; :::; um
P
z·e zmienna losowa m
a z prawi=1 uiXi jest sta÷
Dowód. Zaprzeczenie warunku (52) oznacza, z·e istnieje taki wektor u 6= 0, z·e
uCuT = 0. Na mocy (49) jest to równowaz·ne warunkowi
20
m
6@ X
E4
uiXi
i=1
12 3
m
X
7
ui i A 5 = 0 :
i=1
(53)
Wiadomo, z·e wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru
wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństPm
wem 1. Zatem warunek (53) oznacza, z·e i=1 uiXi jest z prawdopodobieństPm
wem 1 równa sta÷
ej i=1 ui i.
Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest´sci´sle dodatnio okre´slona wtedy i tylko
wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych Xi zale·
zy (z prawdopodobie´nstwem
jeden) w sposób liniowy od pozosta÷
ych zmiennych losowych.
Dowód. Na mocy Twierdzenia 8 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona
P
, 9u 6= 0, m
z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewna¾
i=1 uiXi =
sta÷
a.
¾ Wybierajac
¾ spośród liczb ui jedna¾ róz·na¾ od zera (oznaczmy ja¾ us),
otrzymamy równowaz·ny warunek (takz·e z prawdopodobieństwem 1)
0
1 @
Xs =
us
X
i6=s
1
uiXi + A .
Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2
Pm sytuacja opisana w powyz·szym wniosku oznacza, z·e jeden z papierów
wartościowych znajdujacych
¾
sie¾ w portfelu moz·na usunać,
¾ zastepuj
¾ ac
¾ go kombinacja¾ pozosta÷
ych papierów wartościowych.
14
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta¾ zmiennej losowej X :
[0; 1] określona¾ wzorem
! R nazywamy funkcje¾ F : R !
F (t) := P (X
t):
(54)
Twierdzenie 9. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷
asno´sci:
(a) F jest niemalejaca.
¾
(b) F jest prawostronnie ciag÷
¾ a.
(c) limt! 1 F (t) = 0, limt!+1 F (t) = 1.
Zadanie 8. Udowodnić Twierdzenie 9.
Twierdzenie 10. Je·
zeli funkcja F : R ! [0; 1] spe÷
nia warunki (a)–(c)
Twierdzenia 9, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk÷
ad jest
wyznaczony jednoznacznie.
Zadanie 9. Udowodnić Twierdzenie 10.
Twierdzenie 11.
ka·
zdego t 2 R,
Je·
zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X , to dla
P (X < t) = F (t ) := lim F (s):
s!t
(55)
Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t ) wynika z monotoniczności funkcji
F . Korzystajac
¾ ze znanej w÷
asności, z·e prawdopodobieństwo sumy wstepu¾
jacego
¾
ciagu
¾ zdarzeń jest równe granicy ich prawdopodobieństw, otrzymujemy
0
1
[
X
P (X < t) = P @
n=1
= lim F t
n!1
t
1
1 A
= lim P X
n!1
n
1
= F (t ):
n
t
1
n
(56)
Niech X = (X1; :::; Xn) :
! Rn bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ n-wymiarowa¾
(wektorem losowym). Rozk÷
ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest
zde…niowany ogólnie wzorem (3). Rozk÷
ad ten nazywamy rozk÷
adem ÷
acznym
¾
wektora losowego X . Gdy znamy rozk÷
ad ÷
aczny,
¾
to znamy takz·e rozk÷
ad kaz·dej
wspó÷
rzednej:
¾
P (Xj 2 B ) = P (X1 2 R; :::; Xj 1 2 R; Xj 2 B; Xj+1 2 R; :::; Xn 2 R):
(57)
Rozk÷
ady (57) nazywamy rozk÷
adami brzegowymi wektora losowego X .
Dystrybuanta¾ wektora losowego X nazywamy funkcje¾ F : Rn ! [0; 1]
określona¾ wzorem
F (t1; :::; tn) := P (X1
t1; :::; Xn
tn):
(58)
Dystrybuantami brzegowymi F1; :::; Fn nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X1; :::; Xn.
15
Transformata dystrybuantowa i jej w÷
asności
Niech ( ; F ; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna,
¾ X : ! R – zmienna¾
losowa¾ o dystrybuancie F , zaś V : ! (0; 1) – zmienna¾ losowa¾ o rozk÷
adzie
jednostajnym (V s U (0; 1)), niezalez·na¾ od X . De…niujemy zmody…kowana¾
dystrybuante¾ F^ : R2 ! R wzorem
F^ (x; ) := P (X < x) + P (X = x):
De…niujemy takz·e (uogólniona)
¾ transformate¾ dystrybuantowa¾ U :
bed
¾ ac
¾ a¾ nowa¾ zmienna¾ losowa,
¾ nastepuj
¾ aco:
¾
U := F^ (X; V ):
Zadanie 10. Wykazać, z·e jeśli dystrybuanta F jest ciag÷
¾ a, to F^ (x; )
oraz U = F (X ) s U (0; 1).
(59)
! R,
(60)
F ( x)
Uwaga. Ta ostatnia w÷
asność zachodzi tez· w ogólnym przypadku dla zmiennej
losowej U określonej wzorem (60).
Twierdzenie 12.
U = F (X ) + V (F (X )
F (X )):
(61)
Dowód. Korzystajac
¾ z (60) i (59), a nastepnie
¾
z (55), otrzymujemy dla dowolnego ! 2 ,
U (! ) = F^ (X (! ); V (! )) = P (X < X (! )) + V (! )P (X = X (! ))
= F (X (! ) ) + V (! )[P (X
X (! ))
= F (X (! ) ) + V (! )[F (X (! ))
P (X < X (! ))]
F (X (! ) )]:
Uogólniona¾ funkcje¾ odwrotna¾ do dystrybuanty F de…niujemy nastepuj
¾ aco:
¾
F
Dla
tzn.
(u) := inf fx 2 R : F (x)
2 (0; 1) niech q (X ) oznacza dolny
q (X ) := sup fx : P (X
ug ;
u 2 (0; 1):
(62)
-kwantyl zmiennej losowej X ,
(63)
x) < g :
Twierdzenie 13. Je·
zeli P (X = q (X )) = 0, to P (X
q (X )) = .
Dowód. Z za÷
oz·enia i z (55) mamy
0 = P (X = q (X )) = P (X
= F (q (X ))
F (q (X ) );
q (X ))
P (X < q (X ))
(64)
zatem dystrybuanta F jest lewostronnie ciag÷
¾ a w punkcie q (X ). Z wzorów
(54) i (63) wynika, z·e
q (X ) = sup fx : F (x) < g :
Stad
¾ dla dowolnego t > q (X ) mamy F (t)
Stwierdzenia 8(b),
F (q (X )) = F (q (X )+)
(65)
, a zatem, na podstawie
:
(66)
Ponadto z de…nicji kresu górnego i ze Stwierdzenia 8(a) wynika, z·e F (s) <
dla dowolnego s < q (X ). Stad
¾ i z lewostronnej ciag÷
¾ ości F w punkcie q (X )
, co w po÷
aczeniu
¾
z (66) daje teze¾ Twierdzenia 13.
wynika, z·e F (q (X ))
Twierdzenie 14. Niech U bedzie
¾
transformata¾ dystrybuantowa¾ okre´slona¾
wzorem (60). Wówczas
(a) U s U (0; 1),
(b) X = F
(U ) z prawdopodobie´nstwem 1.
16
Kopu÷
y i twierdzenie Sklara
De…nicja. Funkcje¾ C : [0; 1]n ! [0; 1] nazywamy kopu÷
a,
¾ jez·eli jest ona
dystrybuanta¾ pewnego wektora losowego U = (U1; :::; Un) :
! [0; 1]n
takiego, ze zmienne losowe Ui (i = 1; :::; n) maja¾ rozk÷
ad jednostajny.
Kopu÷
a spe÷
nia zatem warunek
C (u1; :::; un) = P (U1
u1; :::; Un
un ):
(67)
Twierdzenie 15. Funkcja C : [0; 1]n ! [0; 1] jest kopu÷
a¾wtedy i tylko wtedy,
gdy posiada nastepuj
¾ ace
¾ w÷
asno´sci:
1) C (u1; :::; un) jest niemalejaca
¾ wzgledem
¾
ka·
zdej zmiennej ui;
2) C (1; :::; 1; ui; 1; :::; 1) = ui dla wszystkich i 2 f1; :::; ng, ui 2 [0; 1];
3) Dla wszystkich (a1; :::; an); (b1; :::; bn) 2 [0; 1]n takich, ·
ze ai
1; :::; n), zachodzi nierówno´s´c
2
X
i1 =1
2
X
( 1)i1+:::+in C (u1;i1 ; :::; un;in )
in=1
gdzie uj;1 = aj , uj;2 = bj dla j 2 f1; :::; ng.
0;
bi (i =
(68)
Warunek (68) dla n = 2 moz·na zapisać w postaci
C (b1; b2)
C (b1; a2)
C (a1; b2) + C (a1; a2)
0:
(69)
Warunek ten oznacza, z·e prawdopodobieństwo P (Ui 2 [ai; bi], i = 1; 2)
jest zawsze nieujemne, tzn. kopu÷
a nie moz·e przypisywać ujemnej wartości
prawdopodobieństwa zdarzeniu, z·e wartości wektora losowego U lez·a¾ w danym
prostokacie
¾ o bokach równoleg÷
ych do osi wspó÷
rzednych.
¾
Istotnie, mamy
P (a1 U1 b1; a2 U2 b2)
= P (U1 b1; U2 b2) P (U1 b1; U2 a2)
P (U1 a1; U2 b2) + P (U1 a1; U2 a2)
= C (b1; b2) C (b1; a2) C (a1; b2) + C (a1; a2);
przy czym z ciag÷
¾ ości dystrybuanty rozk÷
adu jednostajnego wynika, z·e moz·emy
wszedzie
¾
pisać nierówności “ ”.
Przyk÷
ad 1. Funkcja C (u1; u2) := u1u2 jest kopu÷
a.
¾
Zadanie 11. Wykazać, z·e funkcja C (u1; u2) := minfu1; u2g jest kopu÷
a.
¾
Zadanie 12. Wykazać, z·e funkcja C (u1; u2) := maxfu1 + u2
kopu÷
a.
¾
1; 0g jest
Zadanie 13. Wykazać, z·e dla kaz·dej kopu÷
y C (u1; :::; ud) spe÷
nione sa¾ nierówności
max
8
d
<X
ui + 1
:
i=1
d; 0
9
=
;
C (u1; :::; ud)
minfu1; :::; udg:
Twierdzenie 16 (Sklara). Niech F : Rn ! [0; 1] bedzie
¾
dystrybuanta¾ nwymiarowa¾ o dystrybuantach brzegowych F1; :::; Fn. Wówczas istnieje kopu÷
a
C : [0; 1]n ! [0; 1] taka, ·
ze
F (x) = C (F1(x1); :::; Fn(xn));
8x = (x1; :::; xn) 2 Rn:
(70)
Dowód. Niech X = (X1; :::; Xn) : ! Rn bedzie
¾
wektorem losowym o dystrybuancie F , zaś V : ! (0; 1) – zmienna¾ losowa¾ o rozk÷
adzie jednostajnym
(V s U (0; 1)), niezalez·na¾ od X . Oznaczmy przez Ui := F^i(Xi; V ), i =
1; :::; n, transformaty dystrybuantowe określone dla poszczególnych wspó÷
rzed¾
nych wektora X (por. wzory (59) i (60)). Na mocy Twierdzenia 14 mamy
Ui s U (0; 1) oraz Xi = Fi (Ui) z prawdopodobieństwem 1, dla kaz·dego
i 2 f1; :::; ng. Stad
¾
F ( x) = P ( X
x) = P (Fi (Ui)
xi; i = 1; :::; n):
(71)
Fi(xi); i = 1; :::; n):
(72)
Wykaz·emy teraz, z·e
P (Fi (Ui)
xi; i = 1; :::; n) = P (Ui
Istotnie, dla ustalonego i 2 f1; :::; ng oraz ! 2
xi. Stad
¾ i z de…nicji Fi (por. wzór (62))
inf ft 2 R : Fi(t)
Ui(! )g
za÷
óz·my, z·e Fi (Ui(! ))
xi :
(73)
Z warunku (73) wynika, z·e dla kaz·dego y > xi istnieje takie z 2 [xi; y ), z·e
Fi(z ) Ui(! ). Stad
¾ i z prawostronnej ciag÷
¾ ości dystrybuanty otrzymujemy
Fi(xi) = Fi(xi+)
Ui(! ):
Z drugiej strony, jeśli Ui(! )
Fi(xi), to xi jest elementem zbioru, którego
kres dolny jest rozwaz·any w (73). Zatem zachodzi nierówność (73), czyli
Fi (Ui(! )) xi, co kończy dowód równości (72).
Oznaczmy przez C dystrybuante¾ wektora losowego U = (U1; :::; Un). Podstawiajac
¾ ui = Fi(xi) do (67), otrzymujemy
C (F1(x1); :::; Fn(xn)) = P (Ui
Fi(xi); i = 1; :::; n):
(74)
Z równości (71), (72) i (74) wynika (70).
Uwaga. Waz·na¾ w÷
asnościa¾ kopu÷
y jest jej niezmienniczość wzgledem
¾
dowolnej
funkcji T : R ! R, która jest ściśle rosnaca,
¾ tzn. spe÷
nia warunek
(x < y ) ) (T (x) < T (y )):
(75)
Niezmienniczość oznacza, z·e kopu÷
a jest ta sama niezalez·nie od tego, czy rozpatrujemy zmienne losowe X1; :::; Xn, czy tez· T (X1); :::; T (Xn). W szczególności kopu÷
a nie zmieni sie,
¾ jez·eli zamiast zmiennych losowych Xi bedziemy
¾
rozpatrywać ich standaryzowane wersje
Xi E (Xi)
Zi =
:
(76)
Var Xi
Ilustracja¾ tego faktu bedzie
¾
przyk÷
ad kopu÷
y Gaussa przedstawiony poniz·ej.
W÷
asność niezmienniczości kopu÷
y zachodzi nawet przy ogólniejszych za÷
oz·eniach, co pokazuje Twierdzenie 17 poniz·ej. Do jego dowodu potrzebne bed
¾ a¾
pewne w÷
asności, które podamy najpierw w zadaniach.
Zadanie 14. Udowodnić nastepuj
¾ ace
¾ w÷
asności:
(i) Jez·eli X jest zmienna¾ losowa,
¾ a T : R ! R jest funkcja¾ rosnac
¾ a,
¾ tzn.
spe÷
nia warunek
( x < y ) ) ( T ( x)
T (y ));
to fX
xg
P (T (X )
fT (X )
T (x)g oraz
T (x)) = P (X
x) + P (T (X ) = T (x), X > x):
(ii) Jez·eli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X , to P (F (X )
P (X x).
Zadanie 15. Wykazać, z·e jeśli funkcja T : R ! R jest rosnaca,
¾ to
(i) T
jest funkcja¾ rosnac
¾ a¾ i lewostronnie ciag÷
¾ a.
¾
(ii) T jest ciag÷
¾ a wtedy i tylko wtedy, gdy T
jest ściśle rosnaca.
¾
(iii) T jest ściśle rosnaca
¾ wtedy i tylko wtedy, gdy T
jest ciag÷
¾ a.
(77)
F (x)) =
Zadanie 16. Przy za÷
oz·eniach Zadania 15, za÷
óz·my dodatkowo, z·e T
1. Wykazać, z·e
(i) Jeśli T jest prawostronnie ciag÷
¾ a, to T (x)
T ( y ) x.
(ii) T
(T (x))
(iii) T (T
(y ))
y wtedy i tylko wtedy, gdy
x.
y.
(iv) Jeśli T jest ściśle rosnaca,
¾ to T
(v) Jeśli T jest ciag÷
¾ a, to T (T
(y ))
(T (x)) = x.
y.
(y ) <
De…nicja. Jez·eli wektor losowy X = (X1; :::; Xn) posiada ÷
aczn
¾ a¾ dystrybuante¾ F i ciag÷
¾ e dystrybuanty brzegowe F1; :::; Fn, wówczas kopu÷
a¾ X (lub
kopu÷
a¾ F ) nazywamy dystrybuante¾ C wektora losowego (F1(X1); :::; Fn(Xn)).
Twierdzenie 17. Niech X = (X1; :::; Xn) bedzie
¾
wektorem losowym o
ciag÷
¾ ych dystrybuantach brzegowych F1; :::; Fn i kopule C . Niech T1; :::; Tn
bed
¾ a¾funkcjami´sci´sle rosnacymi.
¾
Wówczas C jest tak·
ze kopu÷
a¾wektora losowego
(T1(X1); :::; Tn(Xn)).
Dowód. Wykaz·emy najpierw, z·e zmienna losowa Ti(Xi) ma ciag÷
¾ a¾ dystrybuante¾ F~i(y ) := Fi(Ti (y )). W tym celu zauwaz·my, z·e z de…nicji F~i i z
Zadania 16(iv) wynikaja¾ równości
F~i(y ) = P (Xi
Ti (y )) = P (Ti (Ti(Xi))
Ti (y )):
(78)
Na podstawie Zadania 15(i) Ti jest funkcja¾ rosnac
¾ a¾ (ale niekoniecznie ściśle
rosnac
¾ a).
¾ Zatem moz·emy wykorzystać Zadanie 14(i), dokonujac
¾ w nim nastepu¾
jacych
¾
podstawień:
T
Ti , X
Ti(Xi), x
y:
Wówczas z wzorów (77) i (78) (uwzgledniaj
¾
ac
¾ takz·e równość Ti (Ti(Xi)) =
Xi), otrzymamy
F~i(y ) = P (Ti(Xi)
y ) + P (Xi = Ti (y ), Ti(Xi) > y ):
(79)
Zadanie 17. Wykazać, korzystajac
¾ z ciag÷
¾ ości Fi, z·e drugi sk÷
adnik po prawej
stronie wzoru (79) jest równy zeru.
Dowód - c.d. Z powyz·szego zadania i z (79) wynika, z·e F~i jest dystrybuanta¾
¾ e
zmiennej losowej Ti(Xi). Funkcja F~i jest ciag÷
¾ a, poniewaz· Fi i Ti sa¾ ciag÷
(ta druga na podstawie Zadania 15(iii).
Poniewaz· C jest kopu÷
a¾ X , wiec
¾ moz·emy napisać
C (u1; :::; un) = P (F1(X1) u1; :::; Fn(Xn) un)
= P (F~1(T1(X1)) u1; :::; F~n(Tn(Xn))
un); (80)
gdzie druga równość wynika stad,
¾ z·e F~i(Ti(x)) = Fi(Ti (Ti(x))) = Fi(x) na
podstawie Zadania 16(iv). Z (80) i z de…nicji kopu÷
y wektora losowego wynika,
z·e C jest kopu÷
a¾ wektora losowego (T1(X1); :::; Tn(Xn)).
16.1
Kopu÷
a Gaussa
W zastosowaniach …nansowych czesto
¾ zak÷
ada sie,
¾ z·e zmienne losowe tworzace
¾
pewien wektor losowy posiadaja¾ rozk÷
ady normalne. Wówczas ÷
aczny
¾
rozk÷
ad
prawdopodobieństwa wektora losowego nazywamy wielowymiarowym rozk÷
adem normalnym. Ścis÷
a de…nicja jest nastepuj
¾ aca:
¾ rozk÷
ad prawdopodobieństwa
wektora losowego Y = (Y1; :::; Yn) nazywa sie¾ wielowymiarowym rozk÷
adem
normalnym, jez·eli dla dowolnych liczb rzeczywistych a1; :::; an kombinacja liniowa a1Y1 + ::: + anYn jest zmienna¾ losowa¾ o rozk÷
adzie normalnym.
Za÷
óz·my, z·e macierz kowariancji wektora losowego Y jest nieosobliwa. Wówczas funkcja gestości
¾
wielowymiarowego rozk÷
adu normalnego wektora Y jest
dana wzorem
1 (x
1 (x
T
1
)
)
fY (x1; :::; xn) = q
e 2
;
(81)
j j (2 )n
gdzie j j jest wyznacznikiem macierzy , a = ( 1; :::; n) jest wektorem
wartości oczekiwanych wektora losowego Y . Fakt, z·e Y ma wielowymiarowy
rozk÷
ad normalny o parametrach i , zapisujemy nastepuj
¾ aco:
¾
Y
N ( ; ):
(82)
Niech Y spe÷
nia warunek (82) i niech X = (X1; :::; Xn) bedzie
¾
takz·e wektorem losowym takim, z·e kaz·da wspó÷
rzedna
¾
wektora X jest standaryzowana¾
transformacja¾ odpowiedniej wspó÷
rzednej
¾
wektora Y , tzn.
Xi = Ti(Yi) :=
Yi
E (Yi)
;
Var Yi
(83)
gdzie
Ti(t) :=
t
E (Yi)
Var Yi
(84)
jest funkcja¾ liniowa¾ ścisle rosnac
¾ a.
¾ Zatem na mocy Twierdzenia 17 kopu÷
y
wektorów losowych X i Y pokrywaja¾ sie.
¾
Kopu÷
e¾ Gaussa de…niujemy jako kopu÷
e¾ wektora X , to znaczy
C N (u1; :::; un)
:
= P ( (X1) u1; :::; (Xn)
1 (u ); :::; X
= P (X1
n
1
=
(
1 (u
1 ); :::;
1 (u
un )
1 (u
n))
(85)
n));
gdzie oznacza kaz·da¾ z jednakowych dystrybuant (standaryzowanego rozk÷
adu
normalnego) zmiennych losowych Xi, a
oznacza ÷
aczn
¾ a¾ dystrybuante¾ wektora losowego X . Poniewaz· C N jest takz·e kopu÷
a¾ Y , wiec
¾
C N (u1; :::; un) = F (F1 1(u1); :::; Fn 1(un))
= P (F1(Y1) u1; :::; Fn(Yn)
un ) ;
(86)
gdzie Fi oznacza dystrybuante¾ (rozk÷
adu normalnego) zmiennej losowej Yi, a
F –÷
aczn
¾ a¾ dystrybuante¾ wektora losowego Y .
17
Ryzyko kredytowe
Ryzyko kredytowe bedziemy
¾
rozpatrywać w ramach koncepcji negatywnej, tzn.
jako ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorce¾ (osobe¾ lub
instytucje).
¾ Dla banku udzielajacego
¾
wielu kredytów istotna jest takz·e ocena
ryzyka jednoczesnego wystapienia
¾
wielu przypadków niewyp÷
acalności klientów
oraz badanie zalez·ności miedzy
¾
tymi zdarzeniami losowymi.
17.1
Przypadek pojedynczego kredytobiorcy
Podstawowa¾ zmienna¾ losowa,
¾ która¾ tutaj rozwaz·amy, jest strata, oznaczana
przez L (od ang. loss). Jest ona dana wzorem
L := EAD SEV
Y;
(87)
gdzie:
EAD (exposure at default) – maksymalna wartość, jaka moz·e być utracona
w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorce.
¾ Jest to
wartość ustalona, a wiec
¾ nie jest zmienna¾ losowa.
¾
SEV (severity ) – zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje
ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia
niedotrzymania warunków.
Y – zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy
kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienna¾ Y
nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków.
Ponadto de…niujemy:
LGD (loss given default) – strata (jako procent wartości EAD) w przypadku
niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza
sie¾ z wzoru
LGD = E (SEV ):
(88)
P D (probability of default) – prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków.
Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyraz·a sie¾
wzorem
EY = 1 P D + 0 (1
P D) = P D:
(89)
Za÷
óz·my, z·e bank udzieli÷kredytu w wysokości K jednostek pieniedzy
¾
na okres
1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwote¾
EAD = K (1 + R):
(90)
Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jaka¾ bank moz·e stracić w przypadku
niedotrzymania warunków. W praktyce w wiekszości
¾
przypadków bankowi udaje
sie¾ odzyskać cześć
¾ tej kwoty. Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako
EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank po roku
wynosi zatem
K (1 + R)(1 P D) + K (1 + R)(1 LGD)P D
= K (1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]:
(91)
Przyjmuje sie,
¾ z·e wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od
ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free
rate), oznaczanej Rf :
K (1 + R)[(1
P D) + (1
LGD)P D] = K (1 + Rf ):
(92)
Z równości (92) moz·na otrzymać dwa inne wzory, podane w poniz·szych zadaniach
Zadanie 18. Udowodnić wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability ) – jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków umowy wynikajace
¾ z przyjetego
¾
modelu:
PD =
1
1+Rf
1+R
LGD
:
(93)
Zadanie 19. Udowodnić wzór na spread kredytowy (credit spread), czyli
róz·nice¾ miedzy
¾
stopa¾ procentowa¾ uwzgledniaj
¾
ac
¾ a¾ ryzyko a stopa¾ wolna¾ od
ryzyka:
LGD P D
R Rf = (1 + Rf )
:
(94)
1 LGD P D
Oczekiwana¾ strata¾ (expected loss) nazywamy wartość oczekiwana¾ straty (87).
Zak÷
adajac
¾ niezalez·ność zmiennych losowych SEV i Y , otrzymujemy na mocy
Twierdzenia 3 oraz (88) i (89)
EL = E (EAD SEV Y ) = EAD E (SEV ) E (Y )
= EAD LGD P D:
(95)
Nieoczekiwana¾ strata¾ (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe
straty (87)
q
q
p
L = Var L = Var(EAD SEV Y ) = EAD Var(SEV Y ): (96)
Dla uzyskania bardziej przydatnego w praktyce wzoru na
poniz·szego twierdzenia.
L
skorzystamy z
Twierdzenie 18. Niech X i Y bed
¾ a¾zmiennymi losowymi o warto´sciach rzeczywistych, o dystrybuantach odpowiednio FX i FY . Wówczas:
(a) X i Y sa¾ niezale·
zne wtedy i tylko wtedy, gdy
F(X;Y )(s; t) = FX (s)FY (t);
8s; t 2 R;
(97)
gdzie F(X;Y ) oznacza dystrybuante¾ wektora losowego (X; Y ).
(b) Je·
zeli X i Y sa¾ niezale·
zne, to X 2 i Y 2 sa¾ te·
z niezale·
zne.
Dowód (b). Sprawdzimy, z·e X 2 i Y 2 spe÷
niaja¾ warunek (97). Dla dowolnych
s; t 0 mamy
h p p i
h p p i
2
2
F(X 2;Y 2)(s; t) = P X
s; Y
t =P X2
s; s ; Y 2
t; t :
(98)
h p p i
p p
Poniewaz· przedzia÷
y[
s; s] i
t; t sa¾ zbiorami borelowskimi, wiec
¾ z
niezalez·ności X i Y (por. wzór (23)) otrzymujemy
h p p i
h p p i
P X2
s; s ; Y 2
t; t
h p p i
h p p i
= P X2
s; s P Y 2
t; t
= P X2
s P Y2
t = FX 2 (s)FY 2 (t):
(99)
Z (98) i (99) wynika (97) dla nieujemnych s; t. Jeśli przynajmniej jedna z liczb
s; t jest ujemna, to po obu stronach równości (97) mamy zera.
Twierdzenie 19. Je·
zeli zmienne losowe SEV i Y sa¾ niezale·
zne, to
L
q
= EAD Var(SEV )P D + LGD2P D(1
P D ):
(100)
Dowód. Obliczymy najpierw wariancje¾ iloczynu SEV Y . Korzystajac
¾ kolejno
ze wzorów (14) i (24), otrzymujemy
Var (SEV
Y ) = E (SEV
Y )2
= E SEV 2 Y 2
(E (SEV
Y ))2
(E (SEV ) EY )2 :
(101)
Teraz do pierwszego sk÷
adnika zastosujemy wzór (24) (moz·e on być uz·yty, bo
na mocy Stwierdzenia 15(b) SEV 2 i Y 2 sa¾ niezalez·ne), a do drugiego sk÷
adnika
– wzory (88) i (89):
E SEV 2 Y 2
Poniewaz· Y 2
(E (SEV ) EY )2 = E SEV 2
E Y2
LGD2P D2:
(102)
Y , wiec
¾ E Y 2 = EY = P D. Zatem prawa¾ strone¾ (102)
moz·emy przekszta÷
cić nastepuj
¾ aco:
¾
E SEV 2
E Y2
= E SEV 2 P D
=
h
h
E SEV 2
= E SEV 2
LGD2P D2 = E SEV 2 P D
LGD2P D + LGD2P D
LGD2P D2
LGD2P D2
i
2
LGD P D + LGD2P D(1 P D)
i
2
(E (SEV )) P D + LGD2P D(1 P D)
= Var(SEV )P D + LGD2P D(1
Z równości (96) i (101)–(103) wynika (100).
P D ):
(103)
17.2
Portfel wielu kredytów
Bedziemy
¾
teraz rozwaz·ać ryzyko portfela P z÷
oz·onego z m kredytów. Podstawowa¾ zmienna¾ ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela LP określona
wzorem
LP :=
m
X
i=1
Li =
m
X
EADi SEVi Yi;
(104)
i=1
gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycza¾ i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (95),
E (LP ) =
m
X
i=1
E (Li) =
m
X
EADi LGDi P Di;
(105)
i=1
przy za÷
oz·eniu, z·e dla kaz·dego i zmienne losowe SEVi i Yi sa¾ niezalez·ne.
Nieoczekiwana¾ strata¾ z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (LP )
straty z portfela.
Twierdzenie 20.
v
u m
u X
(LP ) = u
EADi EADj Cov SEVi Yi; SEVj Yj :
t
i;j=1
(106)
Dowód. Wykonujac
¾ analogiczne przekszta÷
cenia jak w (49), otrzymamy
0
Var(LP ) = Var @
=
m
X
m
X
i=1
1
EADi SEVi YiA
EADi EADj Cov SEVi Yi; SEVj Yj :(107)
i;j=1
Stad
¾ i z (16) wynika (106).
Twierdzenie 21. Za÷
ó·
zmy, ·
ze poziom straty w przypadku niedotrzymania
warunków jest sta÷
y i jest taki sam dla wszystkich sk÷
adników portfela:
SEVi
LGDi = LGD;
8i 2 f1; :::; mg:
(108)
Wówczas
v
u m
q
u X
u
(LP ) = t
EADi EADj LGD2 ij P Di(1
i;j=1
P Di)P Dj (1
P Dj );
(109)
gdzie
ij
:=
SEVi Yi; SEVj Yj = (Yi; Yj ):
(110)
Dowód. Dla kaz·dego i mamy na mocy po÷
aczonych
¾
równości (101) i (102)
oraz za÷
oz·enia (108)
Var (SEVi Yi) = E SEVi2
E Yi2
= E LGD2 P Di
= LGD2P Di
LGD2P Di2
LGD2P Di2
LGD2P Di2
= LGD2P Di(1
(111)
P Di):
Z równości (30) i (111) wynika, z·e
Cov SEVi Yi; SEVj Yj
=
=
Stad
¾ i z (106) wynika (109).
ij
r
Var (SEVi Yi) Var SEVj Yj
LGD2
ij
q
P Di(1
P Di)P Dj (1
P Dj ):
18
Modele portfeli kredytowych
Rozwaz·my portfel z÷
oz·ony z m kredytów dla ustalonego horyzontu czasowego
T . Niech S = (S1; :::; Sm) bedzie
¾
wektorem losowym takim, z·e wspó÷
rzedna
¾
Si przyjmuje wartości ze zbioru f0; 1; :::; N g. Wartości te reprezentuja¾ stany
zwiazane
¾
z ocena¾ danego kredytobiorcy przez bank, przy czym 0 oznacza
niewyp÷
acalność (niedotrzymanie warunków umowy), a liczby dodatnie sa¾ rosna¾
cymi klasami wiarygodności kredytowej. Zak÷
ada sie,
¾ z·e w momencie poczatkowym
¾
t = 0 kaz·dy d÷
uz·nik jest w jakimś stanie róz·nym od zera.
W przypadku, gdy interesuje nas tylko dotrzymanie lub niedotrzymanie warunków,
rozwaz·amy wektor losowy Y = (Y1; :::; Ym), gdzie Yi jest wskaźnikiem niedotrzymania warunków dla i-tego d÷
uz·nika. Zwiazek
¾
pomiedzy
¾
zmiennymi losowymi
Yi i Si jest nastepuj
¾ acy:
¾
Yi =
(
1; jeśli Si = 0;
0; jeśli Si > 0:
(112)
Ilość niewyp÷
acalnych d÷
uz·ników w momencie t = T jest dana jako zmienna
losowa
M :=
m
X
i=1
Yi:
(113)
18.1
Modele ukrytej zmiennej
Niech X = (X1; :::; Xm) bedzie
¾
wektorem losowym o ciag÷
¾ ych dystrybuantach
brzegowych Fi(x) = P (Xi x). Dla i 2 f1; :::; mg niech
i =1
1 = Di 1 < D0i < ::: < Dn
bedzie
¾
ciagiem
¾
tzw. poziomów odciecia.
¾
Przyjmijmy, z·e
Si = j
,
Xi 2 (Dji 1; Dji ];
Wówczas model Xi; Dji
(114)
j 2 f0; :::; ng; i 2 f1; :::; mg: (115)
1 j n 1 i m
nazywamy modelem ukrytej zmi-
ennej dla wektora stanów S .
Xi i D0i moz·na interpretować jako wartości odpowiednio aktywów i zobowiazań
¾
d÷
uz·nika i w czasie T . Niewyp÷
acalność nastepuje,
¾
gdy pierwsza z tych wartości
spada poniz·ej drugiej.
Okazuje sie,
¾ z·e róz·ne modele ukrytej zmiennej moga¾ prowadzić do tego samego
rozk÷
adu wektora losowego S . To sugeruje nastepuj
¾ ac
¾ a¾ de…nicje¾ równowaz·ności modeli:
Niech
Xi; Dji
1 j n 1 i m
i
~i
~ i; D
X
j
1 j n 1 i m
(116)
bed
¾ a¾ modelami ukrytej zmiennej dla wektorów stanów odpowiednio S i S~.
Modele te nazywamy równowaz·nymi, jez·eli S S~ (tzn. S i S~ maja¾ te same
rozk÷
ady prawdopodobieństwa).
Twierdzenie 22. Niech (116) bedzie
¾
para¾ modeli ukrytej zmiennej, dla wektorów stanów odpowiednio S i S~, spe÷
niajacych
¾
warunki:
(a) Dystrybuanty brzegowe wektorów losowych S i S~ pokrywaja¾ sie,¾ tzn.
P Xi
~i
Dji = P X
~i ;
D
j
j 2 f0; :::; ng; i 2 f1; :::; mg:
~ maja¾ te¾ sama¾ kopu÷
(b) Wektory losowe X i X
e¾ C .
Wówczas modele (116) sa¾ równowa·
zne.
(Dowód podany na wyk÷
adzie.)
(117)
18.2
Modele wymienne
Wektor losowy S :
! Rm nazywamy wymiennym, jez·eli
(S (1); :::; S (m))
(118)
dla dowolnej permutacji ( (1); :::; (m)) liczb (1; :::; m). Model portfela
kredytów nazywamy wymiennym, jez·eli jego wektor stanów S jest wymienny.
(S1; :::; Sm)
Dla modelu wymiennego, dla dowolnego k 2 f1; :::; m 1g, wszystkie moz·liwe
k-wymiarowe dystrybuanty brzegowe, których jest m
k , sa¾ identyczne. Moz·na
wiec
¾ wprowadzić nastepuj
¾ ace
¾ uproszczone oznaczenia dla prawdopodobieństw
niedotrzymania i ÷
acznych
¾
prawdopodobieństw niedotrzymania:
k
:= P (Yi1 = 1; ::; Yik = 1);
f1; :::; mg; k 2 f1; :::; mg;
(119)
i 2 f1; :::; mg:
(120)
fi1; :::; ik g
:= 1 = P (Yi = 1);
Twierdzenie 23. Dla modelu wymiennego portfela kredytów zachodza¾nastepu¾
jace
¾ równo´sci:
(a) E (Yi) = E (Yi2) = P (Yi = 1) =
dla dowolnego i.
(b) E (YiYj ) = P (Yi = 1; Yj = 1) = 2 dla i 6= j .
(c) Cov(Yi; Yj ) = 2
(d) (Yi; Yj ) =
2
2
2
2
dla i 6= j .
dla i 6= j .
(e) Dla dowolnego k 2 f1; :::; mg,
m
P (M = k ) =
P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0)
k
m
Xk
m!
=
( 1)i
(121)
k+i:
i!k!(m k i)!
i=0
Zadanie 20. Udowodnić Twierdzenie 23(a)–(d).
19
Miary ryzyka
Dana jest przestrzeń probabilistyczna ( ; F ; P ) oraz horyzont czasowy T >
0. Oznaczmy przez L0( ; F ; P ) przestrzeń liniowa¾ wszystkich zmiennych
losowych X : ! R (dok÷
adniej, elementami tej przestrzeni sa¾ klasy równowaz·ności funkcji mierzalnych, tzn. utoz·samia sie¾ funkcje, które róz·nia¾ sie¾ z prawdopodobieństwem zero). Rozwaz·amy pewien podzbiór M
L0( ; F ; P ).
Zak÷
ada sie,
¾ z·e zbiór M jest stoz·kiem wypuk÷
ym, tzn. spe÷
nia warunki:
(X; Y 2 M) ) (X + Y 2 M);
(122)
(X 2 M;
(123)
> 0) ) ( X 2 M):
Jako miary ryzyka rozwaz·a sie¾ funkcje : M ! R spe÷
niajace
¾ pewne dodatkowe warunki. W zastosowaniach
moz·e być ustalonym zbiorem scenariuszy rozwoju, a X – wartościa¾ portfela inwestycyjnego w momencie T w zalez·ności od zrealizowanego scenariusza (rozwaz·amy wartości zdyskontowane na
okres biez·acy).
¾
Wówczas liczbe¾ (X ) moz·na interpretować jako zabezpieczenie
kapita÷
owe inwestycji, tzn. (X ) jest minimalna¾ wielkościa¾ kapita÷
u, która, jeśli
ja¾ dodamy do wartości portfela i zainwestujemy w sposób pozbawiony ryzyka,
czyni inwestycje¾ akceptowalna.
¾
Odwzorowanie
: M !R nazywamy miara¾ ryzyka (risk measure), jez·eli
spe÷
nia nastepuj
¾ ace
¾ dwa warunki dla dowolnych X; Y 2 M:
(a) monotoniczność (monotonicity )
jez·eli X
Y , to (X )
(124)
(Y );
(b) niezmienniczość wzgledem
¾
translacji (translation invariance):
jez·eli m 2 R, to (X + m) = (X )
m:
(125)
Znaczenie …nansowe monotoniczności jest nastepuj
¾ ace:
¾ jeśli portfel Y ma wiek¾
sza¾ wartość od portfela X dla wszystkich moz·liwych scenariuszy, to ryzyko
portfela X jest wieksze
¾
niz· ryzyko portfela Y .
Niezmienniczość wzgledem
¾
translacji ma nastepuj
¾ ac
¾ a¾ interpretacje.
¾ Za÷
óz·my,
z·e (X ) jest kapita÷
em ekonomicznym wymaganym w banku dla zabezpieczenia nieo-czekiwanych strat w przypadku ryzyka kredytowego. Wówczas,
jeśli pozbawiona ryzyka suma pieniedzy
¾
m zostanie dodana do inwestycji X , to
wymagany kapita÷ (X ) moz·na pomniejszyć o m. W szczególności, z wzoru
(125) wynika, z·e
(X + (X )) = (X )
( X ) = 0:
(126)
Miare¾ ryzyka nazywamy wypuk÷
a¾ miara¾ ryzyka (convex risk measure), jeśli
spe÷
nia warunek
( X +(1
)Y )
(X )+(1
) (Y ), 8X; Y 2 X ,
2 [0; 1]: (127)
Znaczenie praktyczne warunku wypuk÷
ości jest takie, z·e dywersy…kacja inwestycji …nansowej nie powoduje wzrostu ryzyka. Jeśli np. X i Y sa¾ wartościami
dwóch pojedynczych akcji, to X + (1
)Y jest wartościa¾ portfela z÷
oz·onego
z tych akcji o udzia÷
ach odpowiednio i (1
). Wówczas ryzyko portfela
( X + (1
)Y ) nie moz·e być wieksze
¾
niz· odpowiednia kombinacja ryzyk
(X ) i (Y ).
Warunkiem s÷
abszym od wypuk÷
ości jest quasi-wypuk÷
ość (quasi-convexity ):
( X + (1
)Y )
maxf (X ); (Y )g, 8X; Y 2 X ,
2 [0; 1]; (128)
która zapewnia jedynie, z·e ryzyko portfela z÷
oz·onego np. z dwóch akcji nie
przekroczy wiekszego
¾
spośród ryzyk tych akcji.
Wypuk÷
a¾ miare¾ ryzyka nazywamy spójna¾ miara¾ ryzyka (coherent risk measure), jez·eli spe÷
nia warunek dodatniej jednorodności:
jez·eli
0, to ( X ) =
(X ):
(129)
Zadanie 21. Wykazać, z·e przy za÷
oz·eniu dodatniej jednorodności wypuk÷
ość
miary ryzyka jest równowaz·na subaddytywności, tj. warunkowi:
(X + Y )
(X ) + (Y ):
(130)
Subaddytywność jest w÷
asnościa,
¾ która umoz·liwia decentralizacje¾ zarzadzania
¾
ryzykiem: np. jeśli poszczególne sk÷
adniki portfela inwestycyjnego sa¾ zarzadzane
¾
przez róz·ne oddzia÷
y tego samego banku, to mamy gwarancje,
¾ z·e ryzyko ca÷
ego
portfela nie przekroczy sumy ryzyk poszczególnych sk÷
adników.
20
Kwantyle
Niech X :
! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ i niech
nazywamy -kwantylem zmiennej losowej X jez·eli
P (X < q )
P (X
2 (0; 1). Liczbe¾ q 2 R
q ):
(131)
Przy pomocy dystrybuanty F zmiennej losowej X warunek (131) moz·na zapisać
nastepuj
¾ aco:
¾
F (q )
F (q ):
(132)
Dolnym i górnym -kwantylem zmiennej losowej X nazywamy odpowiednio
liczby q (X ) i q +(X ) określone wzorami:
q (X ) := inf fx 2 R : P (X
x)
g = sup fx 2 R : P (X
q +(X ) := inf fx 2 R : P (X
x) > g = sup fx 2 R : P (X
x) < g ;
(133)
x)
g:
(134)
W dalszym ciagu
¾ bedziemy
¾
pomijać (X ) przy symbolach kwantyli, jeśli nie
bedzie
¾
watpliwości,
¾
o jaka¾ zmienna¾ losowa¾ chodzi.
Uwaga. Drugie równości we wzorach (133) i (134) wynikaja¾ z faktu, z·e oba
rozwaz·ane zbiory sa¾ niepuste i w sumie daja¾ zbiór R.
Zadanie 22. Wykaza´c, ·
ze dla ustalonej liczby 2 (0; 1), zbiór wszystkich kwantyli zmiennej losowej X jest przedzia÷
em domknietym
¾
[q ; q +]. Przedzia÷
ten sk÷
ada sie¾z jednego punktu dla wszystkich liczb poza zbiorem co najwy·
zej
przeliczalnym.
Zadanie 23. Wykaza´c, ·
ze równo´s´c q = q + zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy P (X
x) =
dla co najwy·
zej jednej warto´sci x. W przypadku, gdy
q < q +, mamy
fx : P (X
x) = g =
(
[q ; q +); gdy P (X = q +) > 0;
[q ; q +]; gdy P (X = q +) = 0:
(135)
21
Wartość zagroz·ona
Dla zmiennej losowej X :
! R na przestrzeni probabilistycznej ( ; F ; P )
de…niujemy wartość zagroz·ona¾ (value at risk) na poziomie 2 (0; 1) nastepu¾
jaco:
¾
VaR (X ) := inf fm 2 R : P (X + m < 0)
g:
(136)
Interpretacja tego wzoru jest nastepuj
¾ aca:
¾
jez·eli X jest wartościa¾ portfela inwestycyjnego, a
ma÷
a¾ liczba,
¾ to VaR (X ) jest najmniejsza¾ wielkościa¾ dodatkowego kapita÷
u, jaki musimy przyjać
¾ jako zabezpieczenie tego portfela, aby
mieć zagwarantowane z prawdopodobieństwem 1
, z·e pozostaniemy z nieujemnym kapita÷
em (tzn. strata z portfela, równa X , nie przekroczy m).
Liczbe¾ nazywamy poziomem tolerancji, a liczbe¾ 1
poziomem ufności.
Inaczej mówiac,
¾ VaR jest to najmniejsza strata wartości taka, z·e prawdopodobieństwo jej przekroczenia w danym okresie jest nie wieksze
¾
niz· zadany poziom
tolerancji .
Twierdzenie 24. Dla dowolnej zmiennej losowej X i liczby
chodzi równo´s´c
VaR (X ) = q1
2 (0; 1) za-
(137)
( X ):
Dowód. Z de…nicji VaR (wzór (136)) otrzymujemy
VaR (X ) = inf fm 2 R : P (X + m < 0)
= inf fm 2 R : 1
P (X + m < 0)
= inf fm 2 R : P (X + m
= inf fm 2 R : P ( X
0)
m)
1
1
g
1
g
g
g = q1
( X ):
Przyk÷
ad 1. (przybliz·one wyznaczanie VaR na podstawie danych historycznych).
Za÷
óz·my, z·e inwestor posiada 20 000 $ zainwestowane w fundusz indeksu S&P
500, zatem jego zyski bed
¾ a¾ zyskami tego funduszu. Potrzebne jest oszacowanie
VaR dla okresu 24 godzin i poziomu ufności 95% (tzn. dla = 0; 05). Do
oszacowania VaR uz·yto 1000 codziennych notowań stopy zysku indeksu S&P
500 dla okresu kończacego
¾
sie¾ 4.03.2003 r. Poniewaz· 5% z liczby 1000 wynosi
50, wiec
¾ do przybliz·enia liczby VaR0;05 moz·e pos÷
uz·yć 50-ta od do÷
u dzienna
stopa zysku, która wynosi 0; 0227. Inaczej mówiac,
¾ dzienna stopa zysku
0; 0227 lub mniejsza wystapi÷
¾ a w 5% przypadków w danych historycznych,
zatem moz·emy oszacować, z·e jest szansa 5% na zysk tej wielkości lub mniejszy
w ciagu
¾ nastepnej
¾
doby. Zysk o stopie 0; 0227 z kapita÷
u 20 000 $ daje ujemny
dochód 454 $, zatem oszacowana wartość zagroz·ona wynosi VaR0;05 = 454
$.
Ogólnie, VaR przybliz·a sie¾ poprzez dolny -kwantyl z próby danych historycznych. Za÷
óz·my, z·e próba ta sk÷
ada sie¾ z n notowań stóp zysku R1; :::; Rn.
Niech k bedzie
¾
liczba¾ n zaokraglon
¾
a¾ do najbliz·szej liczby naturalnej. Uporzad¾
kujmy liczby R1; :::; Rn w kolejności rosnacej:
¾
R1:n
R2:n
:::
Rn:n:
(138)
Wówczas dolnym -kwantylem z próby (R1; :::; Rn) nazywamy k-ty najmniejszy zysk, czyli Rk:n. Liczbe¾ te¾ nazywamy takz·e statystyka¾ porzadkow
¾
a¾
k-tego rzedu
¾ z próby (R1; :::; Rn) i oznaczamy R(k). Wówczas, jeśli S jest
zainwestowanym kapita÷
em poczatkowym,
¾
to
VaR =
S R(k):
(139)
Zadanie 24. Wykaza´c, ·
ze VaR jest dodatnio jednorodna¾miara¾ryzyka na M.
Uwaga. VaR nie jest jednak subaddytywna, a zatem nie jest spójna¾ miara¾
ryzyka, co pokazuje poniz·szy przyk÷
ad.
Przyk÷
ad 2. Dwie korporacje C1 i C2 sprzedaja¾ obligacje. Dla kaz·dej z tych korporacji prawdopodobieństwo jej bankructwa w rozpatrywanym okresie wynosi
0; 04. Bankructwo jednej korporacji jest niezalez·ne od bankructwa drugiej.
Stopa zysku z inwestycji w obligacje korporacji Ci wynosi
Ri =
(
0;
gdy Ci nie zbankrutuje,
1; gdy Ci zbankrutuje.
W drugim przypadku tracimy ca÷
a¾ zainwestowana¾ kwote¾ (jest to model uproszczony, nie uwzgledniaj
¾
acy
¾ dochodu z odsetek z obligacji). Niech Y bedzie
¾
zmienna¾ losowa,
¾ której wartościa¾ jest liczba korporacji, które zbankrutowa÷
yw
rozwaz·anym okresie.
Dla wyznaczenia rozk÷
adu tej zmiennej pos÷
uz·ymy sie¾ schematem Bernoulliego
przy n = 2 (liczba prób) z prawdopodobieństwami „sukcesu” (bankructwo)
p = 0; 04 i „poraz·ki” (brak bankructwa) q = 0; 96:
2
P (Y = 0) =
(0; 04)0(0; 96)2 = 0; 9216;
0
2
P (Y = 1) =
(0; 04)1(0; 96)1 = 0; 0768;
1
2
P (Y = 2) =
(0; 04)2(0; 96)0 = 0; 0016:
2
Niech Pi bedzie
¾
portfelem obligacji korporacji Ci o wartości poczatkowej
¾
1000
$ (i = 1; 2). Za÷
óz·my, z·e wymagany poziom tolerancji wynosi = 0; 05.
Wówczas
VaR (P1 + P2) = 1000;
(140)
poniewaz· prawdopodobieństwo bankructwa obu korporacji jest mniejsze od
a prawdopodobieństwo przetrwania przynajmniej jednej z nich wynosi
,
P (Y = 0) + P (Y = 1) = 0; 9216 + 0; 0768 = 0; 9984
i jest wieksze
¾
od 1
. W drugim przypadku wystarczy oczywiście zabezpieczenie w wysokości 1000 $. Natomiast
VaR (Pi) = 0, i = 1; 2;
(141)
poniewaz· prawdopodobieństwo bankructwa pojedynczej korporacji jest mniejsze
od . Z równości (140) i (141) otrzymujemy
VaR (P1 + P2) > VaR (P1) + VaR (P2);
co dowodzi, ze funkcja VaR nie jest subaddytywna.
Brak subaddytywności jest istotna¾ wada¾ wartości zagroz·onej jako miary
ryzyka. Wed÷
ug tej miary dywersy…kacja portfela powieksza
¾
ryzyko, co jest
niezgodne ze wskazaniami innych miar ryzyka (wariancja, odchylenie standardowe) oraz z danymi empirycznymi. Pomimo tej wady wartość zagroz·ona jest
nadal stosowana w wielu sytuacjach.
22
Warunkowa wartość oczekiwana
Niech ( ; F ; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna.
¾ Dla dowolnego A 2 F
takiego, z·e P (A) > 0, zde…niujmy funkcje¾ PA : F ! R wzorem
P (B \ A)
:
PA(B ) := P (Bj A) =
P (A)
(142)
Zadanie 25. Wykaza´c, ·
ze PA jest rozk÷
adem prawdopodobie´nstwa na
spe÷
nia aksjomaty (A1)–(A3) de…nicji prawdopodobie´nstwa.
, tzn.
Dla dowolnej zmiennej losowej X :
! R posiadajacej
¾ wartość oczekiwana¾
de…niujemy jej warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ pod warunkiem zajścia
zdarzenia A nastepuj
¾ aco:
¾
E (Xj A) :=
Z
XdPA:
(143)
Wzór podany w poniz·szym twierdzeniu oznacza, z·e E (Xj A) jest średnia¾
wartościa¾ zmiennej losowej X na zbiorze A.
Twierdzenie 25. Je·
zeli P (A) > 0 i X jest zmienna¾ losowa¾ o sko´nczonej
warto´sci oczekiwanej, to
Z
1
XdP:
E (Xj A) =
P (A) A
(144)
Zde…niujemy teraz warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ wzgledem
¾
-cia÷
a generowanego
przez co najwyz·ej przeliczalna¾ liczbe¾ zdarzeń. Do tego potrzebne nam bedzie
¾
nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F , symbol 1A oznacza
zmienna¾ losowa¾ określona¾ nastepuj
¾ aco:
¾
1A(! ) :=
(
1 dla ! 2 A;
0 dla ! 2 nA:
(145)
S
Niech
= i2I Ai, gdzie I jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, zaś
zdarzenia Ai o dodatnim prawdopodobieństwie stanowia¾ rozbicie przestrzeni .
Niech G = (Ai; i 2 I ) bedzie
¾
najmniejszym -cia÷
em zawierajacym
¾
zbiory Ai.
Dla dowolnej zmiennej losowej X :
! R posiadajacej
¾ wartość oczekiwana¾
de…niujemy jej warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ pod warunkiem -cia÷
aG
jako zmienna¾ losowa¾ E (Xj G ) : ! R zde…niowana¾ wzorem
E (Xj G ) (! ) :=
X
i2I
E (Xj Ai) 1Ai (! );
!2
:
(146)
Twierdzenie 26. Warunkowa warto´s´c oczekiwana E (Xj G ) posiada nastepu¾
jace
¾ w÷
asno´sci:
(a) E (Xj G ) jest mierzalna wzgledem
¾
-cia÷
a G.
(b) Je·
zeli B 2 G , to
Z
B
XdP =
Z
B
E (Xj G ) dP:
(147)
Powyz·sze twierdzenie umoz·liwia uogólnienie de…nicji warunkowej wartości oczekiwanej na przypadek dowolnego -cia÷
a G . Warunkowa¾ wartościa¾ oczekiwana¾
zmiennej losowej X pod warunkiem -cia÷
a G nazywamy dowolna¾ zmienna¾
losowa¾ E (Xj G ) spe÷
niajac
¾ a¾ warunki (a) i (b) Twierdzenia 26.
Twierdzenie 27. Niech G bedzie
¾
dowolnym -cia÷
em zawartym w F i niech
X : ! R bedzie
¾
zmienna¾losowa¾posiadajac
¾ a¾warto´s´c oczekiwana.¾ Wówczas:
(a) Istnieje warunkowa warto´s´c oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest ona
wyznaczona jednoznacznie z dok÷
adno´scia¾ do zdarze´n o prawdopodobie´nstwie
zero: je·
zeli Y1 i Y2 sa¾ takimi warto´sciami oczekiwanymi dla X , to P (Y1 6=
Y2) = 0.
(b) Zachodzi równo´s´c
EX = E (E (Xj G )):
(148)
Jez·eli X : ! R jest zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾ wartość oczekiwana,
¾ aY :
! Rn –dowolnym wektorem losowym, to moz·emy zde…niować warunkowa¾
wartość oczekiwana¾ zmiennej losowej X przy warunku zmiennej losowej
Y:
E (Xj Y ) := E (Xj (Y )) ;
(149)
gdzie (Y ) oznacza najmniejsze -cia÷
o, przy którym zmienna losowa Y jest
mierzalna. Wówczas z wzoru (148) otrzymujemy
EX = E (E (Xj Y )):
(150)
Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego -cia÷
aG
F , prawdopodobieństwem warunkowym B wzgledem
¾
G nazywamy zmienna¾ losowa¾ P (Bj G )
określona¾ wzorem
P (Bj G ) := E (1B j G ) :
(151)
Analogicznie do (149), określamy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B wzgledem
¾
zmiennej losowej Y :
P (Bj Y ) := P (Bj (Y )) = E (1B j (Y )) :
(152)
Funkcje¾ h : Rn ! Rm nazywamy borelowska,
¾ jez·eli h 1(B ) 2 B(Rn) dla
kaz·dego B 2 B(Rm).
Twierdzenie 28. Je·
zeli X : ! R jest zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾ warto´s´c
oczekiwana,¾ a Y : ! Rn –dowolnym wektorem losowym, to istnieje funkcja
borelowska h : Rn ! R taka, ·
ze
E (Xj Y ) = h(Y ):
(153)
23
Konstrukcja spójnej miary ryzyka
Dla dowolnej zmiennej losowej X : ! R o skończonej wartości oczekiwanej
i dowolnej liczby
2 (0; 1), de…niujemy dolna¾ i górna¾ ogonowa¾ wartość
oczekiwana¾ (lower and upper tail conditional expectation) na poziomie
odpowiednio wzorami
TCE (X ) : =
TCE+(X ) : =
E (Xj X
E (Xj X
;
(154)
q+ :
(155)
q
Uwagi. (a) Znak minus wystepuj
¾ acy
¾ w powyz·szych wzorach wynika z faktu, z·e
w zastosowaniach ogonowa wartość oczekiwana jest miara¾ straty, która przyjmuje wartość dodatnia,
¾ gdy wartość portfela X jest ujemna.
(b) Moz·na wykazać, z·e z·adna z wielkości q , q +, TCE , TCE+ nie de…niuje w ogólnym przypadku subaddytywnej miary ryzyka.
Zajmiemy sie¾ teraz konstrukcja¾ spójnej miary ryzyka, spe÷
niajacej
¾ w szczególności warunek subaddytywności. Zauwaz·my, z·e jez·eli
= A% 2 (0; 1),
to miara VaR odpowiada na pytanie, jaka jest minimalna strata ponoszona
w A% najgorszych przypadków. Bardziej sensowne by÷
oby zadanie pytania,
jaka jest oczekiwana strata ponoszona w tych A% przypadków. Dla uzyskania przybliz·onej odpowiedzi rozwaz·my, dla dostatecznie duz·ej liczby n, wektor (X1; ::; Xn) z÷
oz·ony z n realizacji zmiennej losowej X . Podobnie jak w
przyk÷
adzie 1, sortujemy wartości Xi w kolejności rosnacej
¾
X1:n
X2:n
:::
Xn:n;
(156)
po czym przybliz·amy ilość najgorszych wartości (stanowiac
¾ a¾ A% wszystkich
wartości) za pomoca¾ liczby
k := maxfl : l
n , l 2 Ng:
(157)
Moz·na tez· uz·yć innego sposobu zaokraglenia
¾
n do liczby naturalnej. Naturalnym estymatorem oczekiwanej straty w A% najgorszych przypadków jest
średnia arytmetyczna strat ponoszonych w tych przypadkach:
ESn (X )
:=
k
1X
Xi:n:
k i=1
(158)
Liczbe¾ (158) nazywamy oczekiwanym niedoborem (expected shortfall) z
próby (X1; ::; Xn). Poniz·sze stwierdzenie pokazuje, z·e funkcja ESn jest subaddytywna.
Twierdzenie 29. Dla dowolnych liczb n 2 N i
losowych X; Y zachodzi nierówno´s´c
ESn (X + Y )
(Dowód pomijamy.)
2 (0; 1) oraz zmiennych
ESn (X ) + ESn (Y ):
(159)
Dla dowolnego wyraz·enia logicznego p wprowadźmy oznaczenie
[p] :=
(
1; jeśli p jest prawdziwe,
0; jeśli p jest fa÷
szywe.
(160)
Wówczas wzór (158) moz·emy przekszta÷
cić nastepuj
¾ aco:
¾
ESn (X )
=
0
=
n
X
1@
Xi:n [Xi:n
k i=1
k
1X
Xi:n =
k i=1
Xk:n]
n
X
n
1X
Xi:n [i
k i=1
Xi:n ([Xi:n
k]
Xk:n]
[i
i=1
Zadanie 26. Wykaza´c, ·
ze
[Xi:n
Xk:n]
[i
k] =
(
1; je´sli i > k i Xi:n = Xk:n;
0; w przeciwnym przypadku.
1
k])A :
(161)
Stad
¾ i z (161) otrzymujemy
ESn (X ) =
=
0
0
n
X
1@
Xi [Xi
k i=1
n
n @1 X
Xi [Xi
k n i=1
Xk:n]
Xk:n]
Xk:n
0
Xk:n @
n
X
([Xi:n
i=1
n
X
1
[Xi
n i=1
Xk:n]
Xk:n]
1
[i
11
k])A
k AA
:
n
(162)
Ostatnie przedstawienie ESn sugeruje nastepuj
¾ ac
¾ a¾ de…nicje.
¾ Oczekiwanym
niedoborem na poziomie 2 (0; 1) nazywamy liczbe¾
ES (X ) :=
1
h
E X X
q+
i
q+ P X
q+
:
(163)
Twierdzenie 30. Je·
zeli zmienna losowa X ma ciag÷
¾ a¾ dystrybuante,¾ to
ES (X ) = TCE+(X ):
(164)
Dowód. Jeśli dystrybuanta F zmiennej losowej X jest ciag÷
¾ a, to na mocy
warunku (132) mamy P (X q ) = F (q ) = dla kaz·dego -kwantyla q . W
szczególności q + jest -kwantylem na mocy Zadania 22, zatem P X q + =
. Uwzgledniaj
¾
ac
¾ te¾ równość, a nastepnie
¾
Twierdzenie 25, otrzymujemy
ES (X ) =
=
1
P X
q+
Z
1
h
E X X
fX q + g
XdP =
Twierdzenie 31. Niech X :
warto´s´c oczekiwana.¾ Wówczas
ES (X ) =
1
( E ( X [X
q+
i
=
E (Xj X
1
Z
+
fX q g
XdP
q + = TCE+(X ):
! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾
q ]) + q (
P (X
q ))) ;
8q 2 [q ; q +]:
(165)
Twierdzenie 32. Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y takich, ·
ze
E (X ) < 1 i E (Y ) < 1, zachodzi nierówno´s´c
ES (X + Y )
dla ka·
zdego
ES (X ) + ES (Y );
(166)
2 (0; 1].
Oznaczmy Z := X + Y . W dowodzie Tw. 32 skorzystamy z poniz·szych zadań.
Potrzebne bedzie
¾
takz·e nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenie dla dowolnej zmiennej losowej
X : ! R i dowolnego x 2 R:
X ( ) ( x)
:=
8
< [X
: [X
x ];
jez·eli P (X = x) = 0;
P (X x)
x] + P (X=x) [X = x]; jez·eli P (X = x) > 0:
Zadanie 27. Wykaza´c, ·
ze
E X ( ) q (X )
= :
Zadanie 28. Wykaza´c, ·
ze
X ( ) q (X ) 2 [0; 1]:
Zadanie 29. Wykaza´c, ·
ze
(a) Je·
zeli X > q (X ), to Z ( ) q (Z )
X ( ) q (X ) .
(b) Je·
zeli X < q (X ), to Z ( ) q (Z )
X ( ) q (X ) .
Zadanie 30. Wykaza´c, ·
ze
ES (X ) =
1
E X X ( ) q (X )
:
Dowód Twierdzenia 32. Z Zadania 14 otrzymujemy
(ES (X ) + ES (Y ) ES (Z ))
= E (Z Z ( ) q (Z )
X X ( ) q (X )
= E (X (Z ( ) q (Z )
+ E (Y (Z ( ) q (Z )
Y
Y ( ) q (Y ) )
X ( ) q (X ) ))
Y ( ) q (Y ) )):
(167)
Teraz, rozwaz·ajac
¾ kolejno przypadki: (a) X > q (X ), (b) X < q (X ), (c)
X = q (X ), i korzystajac
¾ z Zadania 29, sprawdzamy, z·e
E (X (Z ( ) q (Z )
X ( ) q (X ) )
(168)
Podobna nierówność zachodzi, jeśli w (168) zastapimy
¾
X przez Y . Stad,
¾ z
(167) oraz z Zadania 27 zastosowanego do zmiennych losowych X , Y i Z ,
otrzymujemy
(ES (X ) + ES (Y )
X ( ) q (X ) ))
ES (Z ))
skad
¾ wynika nierówność (166).
q (X )E (Z ( ) q (Z )
q (X )(
) + q (Y )(
) = 0;
24
Modele mieszaniny dla portfeli kredytów
Zmienna¾ losowa¾ Bernoulliego z parametrem p 2 [0; 1] nazywamy zmienna¾
losowa¾ X : ! f0; 1g o rozk÷
adzie
P (X = x) = px(1
p)1 x;
x 2 f0; 1g:
(169)
Rozwaz·amy portfel m kredytów dla ustalonego horyzontu czasowego T .
Modelem mieszaniny nazywamy model, w którym zak÷
ada sie,
¾ z·e prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków przez pojedynczego d÷
uz·nika zalez·y od pewnego skończonego zbioru (zwykle ma÷
o licznego) czynników ekonomicznych.
Przy ustalonych wartościach tych czynników wskaźniki niedotrzymania dla róz·nych
d÷
uz·ników sa¾ niezalez·nymi zmiennymi losowymi.
Za÷
óz·my, z·e dana jest liczba naturalna r < m oraz wektory losowe:
= ( 1; :::;
r)
– wektor czynników ekonomicznych,
Y = (Y1; :::; Ym) – wektor wskaźników niedotrzymania dla poszczególnych
d÷
uz·ników.
Powyz·szy model nazywamy modelem mieszaniny Bernoulliego, jez·eli istnieja¾
takie funkcje borelowskie Qi : Rr ! [0; 1], i = 1; :::; m, z·e przy warunku
wektor losowy Y jest wektorem niezalez·nych zmiennych losowych Bernoulliego
z parametrami
P (Yi = 1j
) = Qi ( ) :
(170)
Z warunków (169) i (170) wynika, z·e
P (Yi = yij
) = Qi ( )yi (1
Qi ( ))1 yi ;
yi 2 f0; 1g; i = 1; :::; m:
(171)
Dla dowolnego wektora y = (y1; :::; ym) 2 f0; 1gm, wyraz·enie P (Y = yj
obliczamy zgodnie z (152) i (149):
P (Y = yj
) = E ([Y = y ]j ( )) = E ([Y = y ]j
):
)
(172)
Na mocy Twierdzenia 4 istnieje funkcja borelowska h : Rr ! R taka, z·e
E ([Y = y ]j ) = h( ). Funkcje¾ h moz·na wyznaczyć efektywnie, korzystajac
¾
z równości (171). Istotnie, poniewaz· zmienne losowe Yi sa¾ niezalez·ne przy
warunku , wiec
¾
h( ) = P (Y = yj
)=
m
Y
i=1
P (Yi = yij
)=
m
Y
Qi ( )yi (1 Qi ( ))1 yi :
i=1
(173)
24.1
Wymienne modele mieszaniny
Model mieszaniny Bernoulliego nazywamy wymiennym, jez·eli wszystkie funkcje
Qi sa¾ identyczne. Wówczas wektor losowy Y jest wymienny. Dla analizy
takiego modelu wygodnie jest wprowadzić zmienna¾ losowa¾ Z := Q1( ). Wzór
(173) moz·na wtedy uprościć do postaci
P (Y = yj
)=Z
Pm
i=1 yi (1
Z )m
gdzie funkcja g : R ! R spe÷
nia warunek h = g
Pm
i=1 yi
Q1.
=: g (Z );
(174)
Z punktu widzenia zastosowań waz·ne jest wyznaczenie rozk÷
adu prawdopodobieństwa zmiennej losowej M określajacej
¾ ilość d÷
uz·ników, którzy nie dotrzymali
warunków. Do tego celu potrzebny nam bedzie
¾
wzór na prawdopodobieństwo
bezwarunkowe P (Y = y ). Korzystajac
¾ z wzorów (150), (172) i (174), otrzymujemy
P (Y = y ) = E ([Y = y ]) = E (E ([Y = y ]j
= E (P (Y = yj
)) = E (g (Z )) :
Dalej skorzystamy z nastepuj
¾ acego
¾
twierdzenia:
))
(175)
Twierdzenie 33. Niech X : ! Rn bedzie
¾
zmienna¾ losowa,¾ a ' : Rn ! R
– funkcja¾ borelowska.¾ Wówczas
E ('(X )) =
Z
Rn
(176)
'(x)PX (dx);
gdzie PX : B(Rn) ! R jest rozk÷
adem prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej
X okre´slonym wzorem (3). Równo´s´c (176) nale·
zy rozumie´c tak, ·
ze je·
zeli ca÷
ka
po jednej stronie istnieje, to istnieje tak·
ze ca÷
ka po drugiej stronie i sa¾ one
równe.
Z powyz·szego twierdzenia i z wzorów (175) i (174) otrzymujemy
P (Y = y ) = E (g (Z )) =
=
Z 1 Pm
0
u
Z 1
0
i=1 yi (1
g (u)PZ (du)
u) m
Pm
i=1 yi P
Z (du):
(177)
Twierdzenie 34. Rozk÷
ad prawdopodobie´nstwa liczby niewyp÷
acalnych d÷
u·
zników w wymiennym modelu mieszaniny Bernoulliego wyra·
za sie¾ wzorem
m
P (M = k ) =
k
Z 1
0
uk (1
u)m k PZ (du):
(178)
Dowód. Skorzystamy najpierw z pierwszej cześci
¾ wzoru (121):
m
P (M = k ) =
P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0): (179)
k
Nastepnie,
¾
podstawiajac
¾ y = (11; :::; 1k ; 0k+1; :::; 0m) (gdzie dolny indeks
oznacza pozycje¾ cyfry) do wzoru (177), otrzymujemy
P (Y1 = 1; :::; Yk = 1; Yk+1 = 0; :::; Ym = 0) =
Z równości (179) i (180) wynika (178).
Z 1
0
uk (1
u)m k PZ (du):
(180)
Za÷
óz·my teraz, z·e dana jest liczba naturalna r < m oraz wektory losowe:
= ( 1; :::;
r)
– wektor czynników ekonomicznych,
Y~ = (Y~1; :::; Y~m) –wektor wskaźników stanu dla poszczególnych d÷
uz·ników.
Wskaźnik stanu Y~i 2 f0; 1; 2; :::g podaje liczbe¾ zdarzeń niedotrzymania umowy
dla i-tego d÷
uz·nika. Dopuszczamy tutaj moz·liwość wystapienia
¾
takiego zdarzenia
wiecej
¾ niz· raz, chociaz· jest to na ogó÷ma÷
o prawdopodobne.
Powyz·szy model nazywamy modelem mieszaniny Poissona, jez·eli istnieja¾
takie funkcje i : Rr ! (0; 1), i = 1; :::; m, z·e przy warunku
wektor
losowy Y~ jest wektorem niezalez·nych zmiennych losowych o rozk÷
adzie Poissona
z parametrami i( ), tzn.
k
(
(
))
i
e
P (Y~i = kj ) =
k!
i(
), i
= 1; :::; m:
(181)
25
Model CreditRisk+ – informacje ogólne
Model CreditRisk+ jest szczególnym przypadkiem modelu mieszaniny Poissona, w którym zak÷
ada sie,
¾ z·e ( 1; :::; r ) jest wektorem losowym niezalez·nych czynników ryzyka (czynników ekonomicznych lub sektorów, w których
dzia÷
aja¾ d÷
uz·nicy) o rozk÷
adzie gamma, zaś (wi;1; :::; wi;r ) jest wektorem nieujemnych wag poszczególnych czynników dla i-tego d÷
uz·nika, spe÷
niajacych
¾
warunki
0
wi;k
1,
r
X
wi;j
1:
(182)
j=1
Pr
j=1 wi;j oznacza
Dodatkowo oznaczmy 0 := 1 i przyjmijmy, z·e wi;0 := 1
udzia÷ryzyka specy…cznego dla i-tego d÷
uz·nika (niezalez·nego od pozosta÷
ych
czynników ryzyka). Jako wektor w modelu mieszaniny Poissona przyjmujemy
= ( 0;
1 ; :::;
r ):
(183)
Oznaczmy przez wi rozszerzony wektor wag
wi = (wi;0; wi;1; :::; wi;r );
(184)
spe÷
niajacy
¾ warunek
r
X
wi;j = 1:
(185)
j=0
Zak÷
adamy dalej, z·e funkcje i maja¾ postać
i(
gdzie ki > 0 sa¾ sta÷
ymi.
) = kiwi T ; i = 1; :::; m;
(186)
Dla wyskalowania modelu dzieli sie¾ d÷
uz·ników na klasy ratingowe, dla których
zak÷
ada sie,
¾ z·e wartość oczekiwana parametru i( ) jest sta÷
a:
(187)
E ( i( )) = cg(i);
gdzie cg(i) jest sta÷
a¾ liczba¾ dla ca÷
ej grupy g (i), do której nalez·y d÷
uz·nik i.
Rozk÷
adem gamma z parametrami
;
:=
( )
x
,
1 exp(
gdzie
( ) :=
Z 1
0
nazywamy rozk÷
ad o gestości
¾
x)1(0;1)(x),
t
1 exp( t)dt:
;
> 0;
(188)
(189)
Zadanie 31. Wykazać, z·e jeśli zmienna losowa X ma rozk÷
ad gamma z parametrami , , to EX = = , V arX = = 2.
W modelu CreditRisk+ zak÷
ada sie,
¾ z·e czynniki ryzyka j , sa¾ zmiennymi
losowymi o rozk÷
adzie gamma z parametrami j , j , gdzie j = j = j 2
dla pewnego j > 0 (j = 1; :::; r). Z przyjetych
¾
wartości parametrów oraz z
Zadania 17 wynika, z·e E j = 1 oraz Var j = 2j . Równość E j = 1 jest
oczywista. Stad
¾ i z (186) otrzymujemy
E ( i( )) = kiE (wi T ) = ki, i = 1; :::; m:
(190)
P (Yi = 1) = P (Y~i > 0) = E (P (Y~i > 0j ));
(191)
W modelu tym prawdopodobieństwo niedotrzymania umowy przez i-tego d÷
uz·nika
jest dane wzorem
gdzie druga¾ równość dowodzi sie¾ analogicznie do wzoru (175).
Poniewaz· i ma przy warunku
wynika, z·e
rozk÷
ad Poissona, wiec
¾ z wzorów (181) i (186)
E (P (Y~i > 0j )) = E (1 P (Y~i = 0j )) = E (1
ki E (w i T ) = ki :
exp( kiwi T ))
(192)
Powyz·sza aproksymacja jest sensowna, gdyz· ki jest zwykle ma÷
a¾ liczba.
¾ Zatem ki jest w przybliz·eniu równe prawdopodobieństwu niewyp÷
acalności i-tego
d÷
uz·nika.
26
Funkcje tworzace
¾
Funkcja¾ tworzac
¾ a¾ ciagu
¾ liczbowego (pj )1
j=0 nazywamy funkcje¾
G(s) =
1
X
j=0
pj sj , s 2 ( a; a);
(193)
jeśli tylko powyz·szy szereg potegowy
¾
jest zbiez·ny w przedziale ( a; a) dla
pewnego a > 0.
Za÷
óz·my teraz, z·e X : ! R jest zmienna¾ losowa¾ o wartościach ca÷
kowitych
nieujemnych i o rozk÷
adzie prawdopodobieństwa
P (X = j ) = pj , j = 0; 1; :::
(194)
Wówczas funkcje¾ (193) nazywamy funkcja¾ tworzaca
¾ zmiennej losowej X i
oznaczamy GX .
Zadanie 32. Wykazać, z·e jez·eli szereg (193) jest bezwzglednie
¾
zbiez·ny w
punkcie s, to
GX (s) = E (sX ):
Zadanie 33. Wykazać, z·e wartość GX (s) jest dobrze określona dla jsj
(195)
1.
Twierdzenie 35. Rozk÷
ad prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej o warto´sciach
ca÷
kowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcje¾tworzac
¾ a¾
za pomoca¾ wzoru
(n)
GX (0)
pn =
:
n!
Dowód. Dla jsj
G0X (s)
(196)
1 obliczmy dwie pierwsze pochodne funkcji tworzacej:
¾
=
1
X
jpj sj 1,
G00X (s)
=
1
X
j (j
1)pj sj 2:
j=2
j=1
Stad
¾ moz·na zaobserwować ogólna¾ prawid÷
owość
(n)
GX (s)
1
X
j!
=
pj sj n:
n)!
j=n (j
Podstawiajac
¾ w powyz·szym wzorze s = 0, otrzymujemy (196).
Twierdzenie 36. Niech X i Y bed
¾ a¾niezale·
znymi zmiennymi losowymi. Wówczas
GX+Y = GX GY .
(197)
Szkic dowodu. Poniewaz· X i Y sa¾ niezalez·ne, wiec
¾ takz·e sX i sY sa¾ niezalez·ne. Stad,
¾ z (195) i z Twierdzenia 3 otrzymujemy
GX+Y (s) = E (sX+Y ) = E (sX ) E (sY ) = GX (s) GY (s).
27
Model CreditRisk+ dla sta÷
ych prawdopodobieństw niewyp÷
acalności d÷
uz·ników
Poniz·ej wyznaczymy funkcje¾ tworzac
¾ a¾ oraz rozk÷
ad prawdopodobieństwa liczby
niewyp÷
acalnych d÷
uz·ników w modelu CreditRisk+ w przypadku, gdy prawdopodobieństwa niewyp÷
acalności poszczególnych d÷
uz·ników sa¾ sta÷
e.
Rozwaz·amy portfel z÷
oz·ony z m kredytów. Oznaczajac
¾ pojedynczego d÷
uz·nika
przez A, bedziemy
¾
oznaczać przez pA prawdopodobieństwo niewyp÷
acalności
d÷
uz·nika A w momencie T . Liczba niewyp÷
acalnych d÷
uz·ników w momencie T
jest dana jako zmienna losowa
M :=
m
X
A=1
YA:
(198)
Funkcja tworzaca
¾ zmiennej losowej M ma postać
GM (z ) =
1
X
P (M = n)z n:
(199)
n=0
Dla pojedynczego d÷
uz·nika A zmienna losowa YA przyjmuje tylko dwie wartości:
0 (wyp÷
acalność) i 1 (niewyp÷
acalność). Dlatego funkcja tworzaca
¾ tej zmiennej
losowej jest dana wzorem
GYA (z ) = P (YA = 0)z 0 + P (YA = 1)z 1 = 1
1):
(200)
Zak÷
adamy, z·e zdarzenia niewyp÷
acalności róz·nych d÷
uz·ników sa¾ niezalez·ne. Wtedy na mocy Twierdzenia 15 funkcja tworzaca
¾ dla ca÷
ego portfela jest iloczynem
funkcji tworzacych
¾
dla poszczególnych d÷
uz·ników:
GM (z ) =
m
Y
A=1
GYA (z ) =
m
Y
A=1
pA + pAz = 1 + pA(z
(1 + pA(z
1)) :
(201)
Logarytmujac
¾ równanie (201), otrzymujemy
ln GM (z ) =
m
X
ln (1 + pA(z
(202)
1)) :
A=1
Za÷
oz·my nastepnie,
¾
z·e prawdopodobieństwa niewyp÷
acalności indywidualnych
d÷
uz·ników sa¾ jednostajnie ma÷
e, tzn. istnieje taka ma÷
a liczba > 0, z·e
pA
dla kaz·dego A. Wówczas sensowna jest aproksymacja
ln (1 + pA(z
1))
pA(z
(203)
1):
Stad,
¾ biorac
¾ wartości funkcji wyk÷
adniczej od obu stron (202), otrzymujemy
GM (z )
0
exp @
m
X
pA(z
A=1
gdzie
:=
m
X
A=1
1
1)A = exp ( (z
pA:
1)) ;
(204)
(205)
Wykaz·emy, z·e
jest wartościa¾ oczekiwana¾ liczby przypadków niewyp÷
acalności w ca÷
ym portfelu. Istotnie, wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania
warunków wyraz·a sie¾ wzorem
E (YA) = 1 pA + 0 (1
(206)
pA) = pA:
Stad
¾ i z (198) mamy
E (M ) =
m
X
A=1
E (YA) =
m
X
(207)
pA = :
A=1
Aby wyznaczyć rozk÷
ad prawdopodobieństwa liczby niewyp÷
acalnych d÷
uz·ników,
skorzystamy z rozwiniecia
¾ funkcji wyk÷
adniczej w szereg:
GM (z )
exp ( (z
1)) = exp(
) exp( z ) =
1
X
exp(
n=0
n!
) n n
z :
(208)
Porównujac
¾ (208) z ogólna¾ posatcia¾ funkcji tworzacej
¾ (199), dostajemy nastepu¾
jace
¾ przybliz·enie szukanego rozk÷
adu prawdopodobieństwa:
P (M = n)
) n
exp(
n!
:
(209)