1 Ćwiczenie laboratoryjne L3, L4 Temat: Wybrane rozkłady

Ćwiczenie laboratoryjne L3, L4
Temat:
Wybrane rozkłady zmiennej losowej stosowane w analizach niezawodności.
Ocena typu i parametrów rozkładu zmiennej losowej trwałości metodą siatki
funkcyjnej
Zakres ćwiczenia i analiz:
1. Zapoznanie się z typami rozkładów zmiennej losowej dostępnymi w EXCELu. W załączniku do opisu pakietu znajdują się postaci funkcyjne i wartości
charakterystyczne tych rozkładów. Uwzględnić ważniejsze w praktyce ocen
niezawodności rozkłady zmiennej losowej X (wykładniczy, Weibulla,
normalny i logarytmiczny), a także wartość oczekiwaną E(X) i wariancję V(X).
Porównać postaci funkcyjne z załącznika z ich odpowiednikami omawianymi
podczas wykładu (w tym przypadku zmienna losowa dotyczy trwałości T).
2. Przeanalizować jakościowo dla przykładowych rozkładów zmiennej losowej
czy występuje zgodność w charakterze przebiegu funkcji gęstości f(x),
intensywności uszkodzeń λ(t) i niezawodności R(t) podanych podczas wykładu
z odpowiednimi wykresami uzyskanymi za pomocą programu EXCEL.
Zwrócić szczególną uwagę na rozkłady: wykładniczy, Weibulla, normalny,
logarytmiczny. W sprawozdaniu opisać charakter ewentualnych rozbieżności
w kształcie funkcji gęstości f(t) i intensywności uszkodzeń λ(t) (wykresy z
wykładu i z programu EXCEL).
Zbadać funkcję gęstości (density function), funkcję intensywności uszkodzeń
(hazard function) i funkcję niezawodności (survivol function) dla rozkładu
Weibulla, dla co najmniej trzech par parametrów w jednym układzie
współrzędnych. Przyjąć współczynniki α = 0.1 oraz β = 0.5, następnie
powtórzyć całość dla α = 0.2 i β = 0.8.
3. Zobrazować i wydrukować funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu
logarytmo-normalnego, dla przyjętych danych empirycznych na podstawie
wzorów zamieszczonych w załączniku do instrukcji.
Obliczyć:
•
•
•
•
•
•
Wartość oczekiwaną
Wariancję
Medianę
Wartość modalną
Kwantyle (dolny i górny)
Współczynnik błędu.
1
4. Zapoznanie się z strukturą i funkcjami programu komputerowego ADUN4 do
oceny typu i parametrów rozkładu zmiennej losowej trwałości obiektów
metodą siatki funkcyjnej (program znajduje się w katalogu ADUN)
Wykorzystać w tym celu instrukcję pomocniczą z opisem metody i
podstawowymi funkcjami tego programu oraz pliki *.dat ze zbiorami danych,
dostępne w katalogu ADUN (wynotować je wraz z ścieżkami dostępu przed
uruchomieniem programu). Analizę rozpoczyna się przez wybór rozkładu
określonego typu, a następnie przeprowadza się obserwację punktów na
siatce wybranego rozkładu. Punkty te odpowiadają konkretnej dystrybuancie
empirycznej dla „załadowanych” danych lub danych wprowadzonych przez
użytkownika. Po naciśnięciu klawisza funkcyjnego F10, program wyznacza
parametry prostej aproksymującej i wykreśla ją na ekranie graficznym. Ekran
ten można wydrukować.
Uwagi:
(1) Oryginalna wersja programu adun4.exe opracowana została dla
środowiska DOS i nie działa czasami prawidłowo przy pewnym
skonfigurowaniu sprzętu komputerowego. Obie te wersje mają szereg zalet
względem wersji pierwotnej, ale też i pewne wady. W przypadku korzystania
z wersji adun_op.exe sygnalizowany jest często niepotrzebnie błąd przy
ręcznym wprowadzaniu nowego zbioru danych. Niedogodność tę można
pokonać, zapamiętując wprowadzone dane (mimo sygnalizowanego błędu) w
pliku o przyjętej nazwie z przedłużeniem *.dat, a następnie wczytując ten plik,
po czym możliwa jest korekta tych danych.
(2) Drukowanie ekranu graficznego następuje po naciśnięciu klawisza PrtScr.
Korzystając z systemu operacyjnego DOS należy zainicjować przed
uruchomieniem programu ADUN4 plik grafics.com, znajdujący się
w katalogu DOS. W programie adun4_la.exe występuje dodatkowo opcja
drukowania, uruchamiana klawiszami Alt_P, o czym użytkownik jest
informowany w dolnej części ekranu graficznego, zawierającego siatkę.
(3) Program ADUN4 w wersji podstawowej napisany w języku PASCAL, nie
jest programem profesjonalnym. Jest on stosunkowo wrażliwy na działania
użytkownika nie przewidziane przez programistę, czego skutkiem może być
"zawieszenie się" programu lub niekontrolowane zakończenie działania
programu z przejściem do systemu operacyjnego DOS, a czasami "twarde"
zawieszanie się programu. Część z tych niedogodności udało się
wyeliminować wspomnianym studentom w ulepszonych funkcjonalnie
wersjach programu (studenci ci nie zmienili części numerycznej i
podstawowej części algorytmicznej ADUN4). Należy zatem zachować umiar
w eksperymentowaniu z tym programem.
2
Wprowadzenie zbioru danych o czasach uszkodzeń elementów i przeprowadzanie
analiz
Przyjąć jako pierwszy zestaw danych Ai, i=NPL. Wprowadzony zbiór danych
o nadanej nazwie, np. dane_a1.dat jest zapamiętywany katalogu, np. c:\adun\, w
którym znajdują się pliki programu *.exe opisane powyżej. Należy przeprowadzić
następnie analizę, jaki rozkład najbardziej odpowiada wprowadzonym danym.
Wydrukować ekrany graficzne, zawierające punkty dystrybuanty empirycznej i
prostą aproksymującą, zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów, dla dwóch
najbardziej odpowiednich typów rozkładów (o najlepszej optycznej zgodności
punktów dystrybuanty empirycznej względem prostej aproksymującej).
Po przeprowadzeniu badań dla wszystkich typów rozkładów, dostępnych w
programie ADUN, wydrukować tablicę wyników, zawierającą wyznaczone
parametry rozkładów. W razie potrzeby dokonać podziału wprowadzonego
zbioru danych na dwa podzbiory (przesuwając w odpowiednie miejsce znacznik
podziału zbioru danych) i dokonać stosownej analizy wyników dla tych
podzbiorów, a także wydrukować odpowiedni ekran graficzny i parametry
rozkładów.
Załącznik do ćwiczenia L3, L4
Zależności dla rozkładu logarytmo-normalnego
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa z parametrami µ i σ
f ( x) =
 (ln x − µ ) 2 
exp  −
, 0< x ≤∞
2σ 2 
2π σx

(1)
Θ = E ( X ) = exp[ µ + 0.5σ 2 ]
(2)
1
Wartości charakterystyczne:
- wartość oczekiwana
-wariancja
- mediana
-wartość modalna
)[
(
]
V ( X ) = exp 2 µ + σ 2 exp(σ 2 ) − 1
(3)
x0.5 = exp[ µ ]
(4)
[
x M = exp µ − σ 2
]
(5)
3
Ze wzorów powyższych wynika, że:
x M < x0.5 < E ( X )
(6)
Kwantyle xd (d=5%) i x g (g=95%) można obliczyć ze wzorów:
xd = exp[ µ − 1645
. σ]
(7)
x g = exp[ µ + 1645
. σ]
(8)
x0.5 = xd x g
(9)
Wykazać, że:
Współczynnik błędu definiuje się jako:
WBx =
xg
x0.5
=
xd
x0.5
(10)
Jeżeli znane są chwile uszkodzeń wszystkich elementów w obserwowanej próbce,
oszacowania parametrów rozkładu logarytmo – normalnego oblicza się ze
wzorów:
µ=
1 n
∑ ln t (i )
n i =1
n
σ=
∑ (ln t
i =1
(i )
(11)
− µ)2
n −1
(12)
4