Rozwiązania zadań z kolokwium 3 Zad.1 Adam i Ewa losują

Rozwiązania zadań z kolokwium 3
Zad.1 Adam i Ewa losują niezależnie dwie liczby: Adam ze zbioru {2, 4, 6, 8, 10} a
Ewa ze zbioru {3, 4, 5, 6, 11}. Niech X oznacza sumę liczb Adama i Ewy, a Y mniejszą z
tych dwóch liczb. Wyznaczyć rozkłady X i Y oraz ich wartości oczekiwane.
Rozwiązanie: Rozważam a ∈ {2, 4, 6, 8, 10}, e ∈
Y = min{a, e}. Konstruuję tabelkę dla rozkładu X:
e\ a 2 4 6 8
3
5 7 9 11
4
6 8 10 12
5
7 9 11 13
6
8 10 12 14
11 13 15 17 19
Zatem rozkład X
1
P (X = 5) = 25
2
P (X = 9) = 25
3
P (X = 13) = 25
1
P (X = 17) = 25
Wówczas
EX = 5 ·
13 ·
ma postać:
1
P (X = 6) = 25
2
P (X = 10) = 25
2
P (X = 14) = 25
1
P (X = 19) = 25
P (X
P (X
P (X
P (X
{3, 4, 5, 6, 11}. Wtedy X = a + e,
10
13
14
15
16
21
1
2
= 7) = 25
P (X = 8) = 25
2
2
= 11) = 25
P (X = 12) = 25
2
1
= 15) = 25 P (X = 16) = 25
1
= 21) = 25
.
1
1
2
2
2
2
2
2
+6·
+7·
+8·
+9·
+ 10 ·
+ 11 ·
+ 12 ·
25
25
25
25
25
25
25
25
3
2
2
1
1
1
1
+ 14 ·
+ 15 ·
+ 16 ·
+ 17 ·
+ 19 ·
+ 21 ·
= 11, 8.
25
25
25
25
25
25
25
Konstruuję tabelkę dla rozkładu Y :
e\ a 2
3 2
4 2
5 2
6 2
11 2
Zatem rozkład Y ma postać:
5
P (Y = 2) = 25
P (Y = 3) =
4
P (Y = 6) = 25 P (Y = 8) =
Wówczas
EY = 2 ·
4
25
1
25
4
3
4
4
4
4
6
3
4
5
6
6
8 10
3 3
4 4
5 5
6 6
8 10
7
P (Y = 4) = 25
P (Y = 5) =
1
P (Y = 10) = 25 .
3
25
5
4
7
3
4
1
1
+3·
+4·
+5·
+6·
+8·
+ 10 ·
= 4, 28.
25
25
25
25
25
25
25
Zad.2 Zmienna losowa X ma rokład wykładniczy z parametrem λ = 2. Znaleźć
rozkład zmiennej losowej Y = 3X 2 + 2 oraz jej wartość oczekiwaną.
Rozwiązanie: Gęstość zmiennej losowej X ma postać
f (t) =

0,
2e−2t ,
t¬0
t > 0,
zatem dystrybuanta FX ma postać


0,
FX (t) = ∫ t −2s


2e ds,
0

0,
t<0
=
t ­ 0.
1 − e−2t ,
t<0
t ­ 0.
Szukam dystrybuanty Y = 3X 2 + 2.
FY (t) = P (Y ¬ t) = P (3X 2 + 2 ¬ t) = P (X 2 ¬
=

0,
( √
√
)
t<2
, t­2
P −
¬X¬

0,
)
( √
=  (√ t−2 )
FX
− FX − t−2 ,
=
t−2
3
3

0,
FX
(√
t−2
3
)
t−2
3
t<2
t­2
3

0,
t−2
)
3
t<2
t<2
√ t−2
=
−2
3 ,
, t ­ 2 1 − e
t ­ 2.
Zatem gęstośc rozkładu Y ma postać


0, √
g(t) = FY′ (t) = e−2 t−2
3

 √
,
∫
EY =
∞
−∞
t > 2.
t−2
3
3
Wówczas
t¬2
∫
+∞
xg(x)dx =
2
e−2
√ x−2
3
x √
dx.
3 x−2
3
Dalej nalezy przecałkować tę całkę przez części i policzyć w odpowiednich granicach
korzystając z reguły de l’Hospitala. Jest to wykonalne, ale czasochłonne. Dlatego proponuję dwie alternatywne metody:
Metoda 1. Zastosowanie następującego twierdzenia (powinno być na wykładzie lub
można je znaleźć w książce prof. Ombacha ”Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa”,
Tw. 4.1.8):
Twierdzenie. Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenia probabilistyczną, X : Ω → Rn
wektorem losowym o rozkładzie ciągłym z gęstością f . Niech ϕ : Rn → R będzie funkcja
borelowską. Wtedy
∫
E(ϕ(X)) =
Rn
ϕ(x)f (x)dx.
W naszym przypadku ϕ(x) = 3x2 + 2, zatem
∫
EY = E(ϕ(X)) =
∫
R
∞
=6
∫
∞
(3x2 + 2)f (x)dx =
(3x2 + 2)2e−2x dx =
0
2 −2x
xe
∫
dx + 4
0
0
∞
7
e−2x dx = .
2
Metoda 2. Wykorzystamy tutaj liniowość wartości oczekiwanej oraz znajomość wzorów na wariancję i wartość oczekiwaną dla rozkładu wykładniczego z parametrem λ > 0.
Z liniowości
E(X 2 + 2) = 3E(X 2 ) + 2.
2
Z drugiej strony
( )2
1
1
+
λ2
λ
E(X 2 ) = D2 (X) + (E(X))2 =
Stąd EY =
3
2
=
1 1
1
+ = .
4 4
2
+ 2 = 27 .
Zad.3 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na odcinku
[0, 2]. Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z = max(X, Y ).
Rozwiązanie: Gęstości obu zmiennych X oraz Y wyrażają się wzorem
f (t) =

1,
t ∈ [0, 2]
t ̸∈ [0, 2].
2
0,
Wówczas dystrybuanta zmiennych X i Y ma postać
∫
FX (x) = FY (x) =



0,
x
−∞
f (t)dt =
1
x,
2


1,
x<0
x ∈ [0, 2] ,
x>2
zatem
FZ (x) = P (max(X, Y ) ¬ x) = P (X ¬ x)P (Y ¬ x) = (FX (x)) =
2
Stąd gęstość nowego rozkładu ma postać
g(x) = FZ′ (x) =
Zatem
∫
EZ =
2
0,
∫
+∞
−∞

 1 x,
xg(x)dx =
0
3
2
x ∈ [0, 2]
x ̸∈ [0, 2].
1 2 4
1
x xdx = x3 = .
2
6 0 3



0,
1 2
x,
4


1,
x<0
x ∈ [0, 2]
x > 2.