PRZEDMOWA

PRZEDMOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
SYSTEM OZNACZEŃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1. WPROWADZENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Komputer w rozwiązywaniu zadań inżynierskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo-technicznych . . . . . . . . 16
1.3. Modelowanie matematyczne w pracy inżyniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Modelowanie matematyczne w projektowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Modelowanie matematyczne w pomiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3. Zastosowanie komputera do modelowania matematycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Algorytm numeryczny i formy jego zapisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5. Dokładność obliczeń inżynierskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1. Identyfikacja problematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2. Reprezentacja liczb i zaokrąglanie wyników obliczeń w komputerze . . . . . . . . . . 26
1.5.3. Ogólny model przenoszenia błędów w algorytmie numerycznym . . . . . . . . . . . . . 28
1.6. Złożoność obliczeń inżynierskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. PODSTAWOWE METODY ANALIZY DOKŁADNOŚCI ALGORYTMÓW NUMERYCZNYCH.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1. Liniowy model przenoszenia błędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Przenoszenie błędów danych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Współczynniki przenoszenia błędów danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Uwarunkowanie numeryczne zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Przenoszenie błędów zaokrągleń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1. Współczynniki przenoszenia błędów zaokrągleń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2. Numeryczna poprawność algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Analiza dokładności algorytmów za pomocą komputera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5. Pozanumeryczne zastosowania metod analizy dokładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. ELEMENTY ANALIZY ALGORYTMÓW ITERACYJNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Informacje wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Algorytmy iteracyjne jednoargumentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Algorytmy iteracyjne wieloargumentowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Analiza algorytmów iteracyjnych wspomagana komputerem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Pozanumeryczne zastosowania metod analizy algorytmów iteracyjnych . . . . . . . . . . . . . 62
3
4. ROZWIĄZYWANIE LINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Normy wektorów i macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Uwarunkowanie zadania rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Metoda eliminacji Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Metody iteracyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Metoda Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Metoda Richardsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Metoda Gaussa-Seidla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4. Metoda SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5. Porównanie zbieżności metod iteracyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
66
68
70
73
76
77
78
79
79
80
82
86
5. ROZWIĄZYWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH . . . . . . . . . . . . 87
5.1. Rozwiązywanie skalarnych równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Metoda bisekcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Metoda stycznych (Newtona) i metoda siecznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Metody wyznaczania zer wielomianów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Wielowymiarowa metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Wielowymiarowa metoda siecznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Uwagi praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
87
89
91
95
95
96
97
6. INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1. Interpolacja przy użyciu wielomianów Newtona i Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.1. Zależności ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.2. Zależności dla węzłów równoodległych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2. Interpolacja przy użyciu wielomianowych funkcji sklejanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3. Interpolacja trygonometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4. Aproksymacja średniokwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.1. Aproksymacja funkcji danej w postaci analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.2. Aproksymacja funkcji na podstawie ciągu jej dyskretnych wartości . . . . . . . . . . 113
6.5. Inne rodzaje aproksymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1. Aproksymacja jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.2. Aproksymacja funkcjami nieliniowymi względem parametrów . . . . . . . . . . . . . . 119
7. CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI – METODY KLASYCZNE . . . . . . . . 122
7.1. Całkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.1. Proste kwadratury interpolacyjne Newtona-Cotesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.2. Złożone kwadratury interpolacyjne Newtona-Cotesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.1.3. Kwadratury interpolacyjne Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.4. Przyspieszanie zbieżności kwadratur metodą ekstrapolacji Richardsona . . . . . . . 138
7.1.5. Obliczanie całek z osobliwościami i całek niewłaściwych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2. Całkowanie funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4
7.3. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.1. Formuły różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.2. Różniczkowanie formuł interpolacyjnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.3. Zwiększanie dokładności różniczkowania metodą ekstrapolacji Richardsona . . . 151
7.3.4. Różniczkowanie formuł aproksymacji wygładzającej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8. CAŁKOWANIE FUNKCJI – METODA MONTE CARLO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.1. Wprowadzenie do metody Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2. Metody estymacji wartości oczekiwanej zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3. Proste metody Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.3.1. Wariant podstawowy w wersji ogólnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.3.2. Wariant podstawowy w wersji „orzeł-reszka”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4. Złożone metody Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.4.1. Metoda losowania ważonego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.4.2. Metoda zmiennej kontrolnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4.3. Metoda oparta na obniżaniu krotności całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.4.4. Metoda losowania warstwowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.5. Metody generacji zmiennych losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.5.1. Generatory liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym . . . . . . . . . . . . . 170
8.5.2 Generatory liczb pseudolosowych o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa . 171
9. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH . . . . . . . . . . . . 174
9.1. Podstawowe własności metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych . . 177
9.2. Metody jednokrokowe typu Rungego-Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.1. Konstrukcja i własności metod jednokrokowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2.2. Wybór kroku całkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.3. Metody wielokrokowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.3.1. Konstrukcja i własności metod wielokrokowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.3.2. Stabilność numeryczna metod wielokrokowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3.3. Schemat predyktor–korektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3.4. Wybór kroku całkowania i rzędu metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3.5. Rozwiązywanie układów równań różniczkowo-algebraicznych . . . . . . . . . . . . . 210
DODATEK: PROGRAMY W JĘZYKU MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Programy do rozdziału 4
Programy do rozdziału 5
Programy do rozdziału 6
Programy do rozdziału 7
Programy do rozdziału 8
Programy do rozdziału 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
SKOROWIDZ RZECZOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5