20.11.

Rachunek kwantyfikatorów
1
Formy zdaniowe
Forma zdaniowa ϕ(x) określona w zbiorze X to wyrażenie, które
jest zdaniem, jeśli za x wstawimy dowolny element zbioru X.
Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).
2
Przykłady.
• ϕ(x) = „ x2 < 1” , gdzie x ∈ R,
ϕ(x) jest zdaniem:
– prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),
– fałszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞);
• ϕ(x) = „ x2 > 0” , gdzie x ∈ R,
ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;
3
• ϕ(n) = „ n | 6” (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1,
ϕ(n) jest zdaniem:
– prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6
– fałszywym dla pozostałych n;
• ϕ(n) = „ n = n + 1” , gdzie n ∈ Z,
ϕ(n) jest zdaniem fałszywym dla każdego n ∈ Z.
4
Uwaga. Forma zdaniowa określona w zbiorze X pozwala każdemu elementowi tego zbioru przyporządkować zdanie. Możemy
więc ją nazwać funkcją zdaniową.
Pytanie. Co jest dziedziną, a co zbiorem wartości tej funkcji?
5
Kwantyfikatory
Jeśli ϕ(x) jest formą zdaniową określoną w zbiorze X, to możemy
rozważyć następujące dwa zdania.
1. Zdanie
„Dla każdego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x)”,
które zapisujemy symbolicznie
∀x∈X ϕ(x).
Zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest
zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X.
6
2. Zdanie
„Istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x)”,
które zapisujemy
∃x∈X ϕ(x).
Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy ϕ(x) jest
zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.
7
Przykłady:
• ∀x∈R x2 < 1 – zdanie fałszywe,
∃x∈R x2 < 1 – zdanie prawdziwe,
• ∀x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe,
∃x∈R x2 > 0 – zdanie prawdziwe,
8
• ∀n∈N1 n | 6 – zdanie fałszywe,
∃n∈N1 n | 6 – zdanie prawdziwe,
• ∀n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe,
∃n∈Z n = n + 1 – zdanie fałszywe.
9
Zauważmy, że:
– jeśli ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to
zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) są prawdziwe,
– jeśli ϕ(x) jest zdaniem fałszywym dla wszystkich x ∈ X, to
zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) są fałszywe,
– jeśli
zbioru
zdanie
we.
ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów
X, a fałszywym dla innych elementów tego zbioru, to
∀x∈X ϕ(x) jest fałszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi-
10
Zbiorem spełniania formy zdaniowej ϕ(x), określonej w zbiorze
X, nazywamy zbiór wszystkich elementów x ∈ X, dla których
ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym.
Zauważmy, że:
– zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiorem spełniania formy ϕ(x) jest cały zbiór X,
– zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
spełniania formy ϕ(x) jest niepusty.
Pytanie. Jak należy określić wartość logiczną zdań ∀x∈X ϕ(x) i
∃x∈X ϕ(x) w przypadku, gdy X jest zbiorem pustym?
11
Symbol „ ∀” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, a symbol „ ∃”
nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym.
∀ – for All
∃ – Exists
Jeśli zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno określony, to
zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) możemy pisać: ∀x ϕ(x), ∃x ϕ(x).
12
W matematyce elementarnej popularne są polskie symbole kwantyfikatorów:
V
– kwantyfikator ogólny (zamiast ∀),
W
– kwantyfikator szczegółowy (zamiast ∃).
Kwantyfikatory te są uogólnieniami spójników logicznych, gdyż
w przypadku zbioru skończonego X mamy:
^
ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn),
x∈{x1 ,...,xn }
_
ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∨ · · · ∨ ϕ(xn).
x∈{x1 ,...,xn }
13
Formy zdaniowe wielu zmiennych
Możemy rozważać formy zdaniowe większej liczby zmiennych, np.
ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X.
Przykłady:
• „ x < y”, gdzie x, y ∈ N;
• „ x · y = 0”, gdzie x ∈ Z, y ∈ R;
• „ A ∈ k”, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych;
• „Punkt A leży między punktami B i C”.
14
Rozważmy formę zdaniową ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X.
Zdanie
∀x∈X ∀y∈X ϕ(x, y)
oznacza, że dla każdego x ∈ X zachodzi to, że dla każdego y ∈ X
zachodzi ϕ(x, y). Prościej:
„dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y)”,
co zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora:
∀x,y∈X ϕ(x, y).
15
Zdanie
∃x∈X ∃y∈X ϕ(x, y)
oznacza, że istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, że
zachodzi ϕ(x, y). Prościej:
„istnieją x, y ∈ X takie, że ϕ(x, y)”,
co też zapisujemy używając jednego symbolu kwantyfikatora:
∃x,y∈X ϕ(x, y).
16
Niech teraz ϕ(x1, . . . , xn) będzie formą zdaniową zmiennych x1,
. . . , xn, gdzie x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.
Zdanie
„Dla dowolnych x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn (zachodzi) ϕ(x1, . . . , xn)”
zapisujemy
∀x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).
Zdanie
„Istnieją x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn takie, że ϕ(x1, . . . , xn)”,
zapisujemy
∃x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).
17
Przykład.
fałszywe:
Które z następujących zdań są prawdziwe, a które
∀x,y∈Z x < y,
∀x,y∈R x · y = y · x,
∃x∈N ∃y∈Z x < y?
18
Niech ϕ(x, y) będzie formą zdaniową zmiennych x ∈ X, y ∈ Y .
Zdanie
∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)
oznacza, że istnieje x ∈ X takie, że ϕ(x, y) zachodzi dla każdego
y ∈Y.
Zdanie
∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)
oznacza, że dla każdego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , że zachodzi
ϕ(x, y).
To nie jest to samo!
19
Przykład.
fałszywe:
Które z następujących zdań są prawdziwe, a które
∀x∈Z ∃y∈Z x < y,
∃x∈Z ∀y∈Z x < y,
∃x∈Z ∀y∈Z x · y = 0?
20
Ćwiczenie. Utwórz kilka ciekawych zdań z użyciem kwantyfikatorów ∀, ∃ i form zdaniowych:
x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1,
gdzie x, y przebiegają zbiory: N, N1, Z, Q, R.
Określ prawdziwość utworzonych zdań.
21
Jeśli ϕ(x, y) jest formą zdaniową zmiennych x, y, gdzie x ∈ X,
y ∈ Y , to
∀y∈Y ϕ(x, y) i ∃y∈Y ϕ(x, y)
są formami zdaniowymi zmiennej x. Mówimy, że w tych wyrażeniach x jest zmienną wolną, a y jest zmienną związaną.
Natomiast w wyrażeniach
∀x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y), ∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y),
∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y) i ∃x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)
zmienne x i y są obie zmiennymi związanymi.
22
Przykład.
x ∈ Z:
Rozważmy następujące funkcje zdaniowe zmiennej
1) ∀y∈N x < y;
3) ∀y∈R x · y = 0;
2) ∃y∈N x < y;
4) ∃y∈Z x · y = 1.
Dla jakich wartości x ∈ Z są to zdania prawdziwe?
23
Odpowiedź:
1) dla wszystkich x < 0,
2) dla wszystkich x ∈ Z,
3) dla x = 0,
4) dla x ∈ {1, −1}.
24
Przykłady użycia kwantyfikatorów
• a ∈ Z, a jest liczbą parzystą:
∃k∈Z a = 2k.
• a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b:
∃k∈Z a = k · b.
• p ∈ N1, p jest liczbą pierwszą:
(p 6= 1) ∧ ∀a∈N1 (a | p ⇒ a = 1 ∨ a = p).
25
• b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A:
∀a∈A a 6 b.
• Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi
istnieje liczba wymierna:
∀x∈R ∀y∈R (x 6= y ⇒ ∃w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))).
• Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (xn) są dodatnie:
∃N ∀n>N xn > 0.
• Zasada indukcji matematycznej:
(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀n∈N T (n).
26
Prawa rachunku kwantyfikatorów
Prawo rachunku kwantyfikatorów to wyrażenie utworzone poprawnie z symboli kwantyfikatorów, funkcji zdaniowych i spójników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej
funkcji zdaniowej i dowolnych wartości zmiennych.
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
∼ (∀x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃x∈X (∼ ϕ(x)),
∼ (∃x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀x∈X (∼ ϕ(x)).
27
Przykłady:
• Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:
∼ (∀a∈A a 6 b) ⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b) ⇔ ∃a∈A a > b.
• W zbiorze N nie ma liczby największej:
∼ (∃m∈N ∀n∈N m > n) ⇔ ∀m∈N ∼ (∀n∈N m > n)
⇔ ∀m∈N ∃n∈N ∼ (m > n) ⇔ ∀m∈N ∃n∈N m < n.
28
Inne ważne prawa rachunku kwantyfikatorów:
(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)),
(∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y)).
Dla danego elementu x0 ∈ X mamy prawa:
(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ ϕ(x0),
ϕ(x0) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)).
29
Algebra logiki
30
W zbiorze {0, 1} określamy działania dwuargumentowe ∨, ·, +,
| oraz działanie jednoargumentowe ( )0. Działanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a działanie x | y nazywamy kreską
Sheffera.
x x0
0 1
1 0
x
0
0
1
1
y x∨y x·y x+y x|y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
31
Przykłady: 00 = 1, 1 · 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1, 1 | 1 = 0,
((0·1) | (1∨0))0 +(10 ∨0)0 = (0 | 1)0 +(0∨0)0 = 10 +00 = 0+1 = 1.
Pytanie. Ile wynosi x, jeśli:
a) x | y = 0 dla pewnego y ∈ {0, 1},
b) x | y = 1 dla dowolnego y ∈ {0, 1}?
Uwaga. Związek symboli działań ∨, ·, 0 ze spójnikami logicznymi ∨, ∧, ∼. Dla dowolnych zdań złożonych P i Q zachodzą
następujące równości:
v(P ∨ Q) = v(P ) ∨ v(Q), v(P ∧ Q) = v(P ) · v(Q), v(∼ P ) = v(P )0.
32
Zadanie. Wyraź:
a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji,
b) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji,
c) kreskę Sheffera za pomocą alternatywy i negacji,
d) kreskę Sheffera za pomocą koniunkcji i negacji,
e) negację, alternatywę oraz koniunkcję za pomocą kreski Sheffera.
33
Dwójkowy system liczenia – przypomnienie
zapisy dziesiętne 0 1 2 3
4
5
6
7
8
9
zapisy dwójkowe 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
zapisy dziesiętne
10
11
12
13
14
15
16
zapisy dwójkowe 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
34
W zapisie dziesiętnym liczby 2016 cyfrą tysięcy jest 2, cyfrą setek
jest 0, cyfrą dziesiątek jest 1, a cyfrą jedności jest 6. Możemy to
przedstawić następująco:
(2016)10 = 2·1000+0·100+1·10+6·1 = 2·103+0·102+1·101+6·100.
Podobnie tworzymy zapis dwójkowy, np.:
(11010)2 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 24 + 23 + 21 =
= 16 + 8 + 2 = 26.
35
Jeśli chcemy znaleźć zapis dwójkowy danej liczby, to wystarczy
ją przedstawić w postaci sumy różnych potęg dwójki, np.:
345 = 256 + 89 = 256 + 64 + 25 = 256 + 64 + 16 + 9 =
= 256 + 64 + 16 + 8 + 1 = 28 + 26 + 24 + 23 + 20 =
= 1 · 28 + 0 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 =
= (101011001)2.
Jest też inny sposób, polegający na wyznaczeniu cyfr zapisu
dwójkowego od końca.
36
Zadania.
1) Jaka liczba ma zapis dwójkowy postaci (11111001001)2?
2) Przedstaw liczbę 543 w zapisie dwójkowym.
3) Dodaj pisemnie w zapisie dwójkowym liczby 110101 i 10111.
37
Funkcje algebry logiki
Algebra logiki zajmuje się funkcjami, których argumenty i wartości należą do zbioru {0, 1}. Są 4 funkcje jednej zmiennej, 16
funkcji dwóch zmiennych, 256 funkcji trzech zmiennych i tak
dalej. Funkcje te najprościej przestawić za pomocą tabelek.
38
Funkcje jednej zmiennej.
x B01(x) B11(x) B21(x) B31(x)
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Widzimy, że dla każdego x ∈ {0, 1} zachodzą równości:
B01(x) = 0, B11(x) = x, B21(x) = x0, B31(x) = 1.
39
Funkcje dwu zmiennych.
x
0
0
1
1
y B02(x, y) B12(x, y) B22(x, y) B32(x, y) B42(x, y) B52(x, y) . . .
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
x
0
0
1
1
2 (x, y) . . . B 2 (x, y) B 2 (x, y)
y . . . B10
14
15
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
40
Możemy zauważyć, że dowolnych x, y ∈ {0, 1}:
2 (x, y) = 1, B 2 (x, y) = x, B 2 (x, y) = y,
B02(x, y) = 0, B15
3
5
2 (x, y) = x | y.
B12(x, y) = x·y, B62(x, y) = x+y, B72(x, y) = x∨y, B14
41
Numeracja powyższych funkcji jest związana z zapisami dwójko2 , to (gdy je
wymi. Kolumny wartości funkcji B02, B12, B22, . . . , B15
zapiszemy poziomo) odpowiednio 0000, 0001, 0010, . . . , 1111,
czyli zapisy dwójkowe liczb 0, 1, 2, . . . , 15. Dopuszczamy zapisy
liczb zaczynające się od zer, więc każda liczba od 0 do 15 ma
czterocyfrowy zapis dwójkowy.
2 to 1010, gdyż
Na przykład kolumna wartości funkcji B10
10 = 8 + 2 = 23 + 21 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = (1010)2.
2 , gdyż
Z kolei funkcja, której kolumną wartości jest 1101, to B13
(1101)2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 4 + 1 = 13.
42
Funkcje trzech zmiennych.
Mamy 8 możliwych układów argumentów (x, y, z), więc każdą
funkcję zero-jedynkowa zmiennych x, y, z możemy określić przez
jej ośmiocyfrową kolumnę wartości, która jest zapisem dwójkowym pewnej liczby n ∈ {0, 1, 2, . . . , 255}. Wówczas tę funkcję
oznaczamy symbolem Bn3(x, y, z).
43
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
B03 (x, y, z) B13 (x, y, z) . . .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 (x, y, z) . . .
B100
0
1
1
0
0
1
0
0
3 (x, y, z) . . .
B170
1
0
1
0
1
0
1
0
Numerem funkcji w ostatniej kolumnie jest 255, gdyż
8
(11111111
|
{z
})2 = (100000000
|
{z
})2 − 1 = 2 − 1 = 255.
8
8
44
3 (x, y, z)
B255
1
1
1
1
1
1
1
1
Przykłady.
3 (x, y, z) to 01100100, ponie• Kolumna wartości funkcji B100
waż
100 = 64+32+4 = 26+25+22 = (1100100)2 = (01100100)2.
3 , ponieważ
• Funkcją o kolumnie wartości 10101010 jest B170
(10101010)2 = 27 + 25 + 23 + 21 = 128 + 32 + 8 + 2 = 170.
3 (x, y, z).
Zadanie. Narysuj tabelkę wartości funkcji B200
Pytanie. Ile jest funkcji zero-jedynkowych k zmiennych?
45
Formy normalne alternatywno – koniunkcyjne
Cztery funkcje zero-jedynkowe dwóch zmiennych przyjmują wartość 1 dla dokładnie jednego układu argumentów. Są to koniunkcje, których pierwszym czynnikiem jest x lub x0, a drugim czynnikiem jest y lub y 0 (jeśli rozważamy funkcje zmiennych x i y).
Takie funkcje nazywamy iloczynami minimalnymi.
x
0
0
1
1
y x0 · y 0 x0 · y x · y 0 x · y
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
46
Jeśli funkcja dwóch zmiennych nie jest ani funkcją zerową, ani
iloczynem minimalnym, to przyjmuje wartość 1 dla dwóch, trzech
lub czterech układów argumentów. Taką funkcję możemy przedstawić w postaci alternatywy odpowiednio dwóch, trzech lub
czterech iloczynów minimalnych, na przykład:
x ∨ y = (x0 · y) ∨ (x · y 0) ∨ (x · y),
x + y = (x0 · y) ∨ (x · y 0),
x | y = (x0 · y 0) ∨ (x0 · y) ∨ (x · y 0).
Przedstawienie funkcji w postaci alternatywy iloczynów minimalnych nazywamy formą normalną alternatywno – koniunkcyjną.
47