MMT-08 Analiza wielokryterialna
Transkrypt
MMT-08 Analiza wielokryterialna
2012-05-06 ANALIZA WIELOKRYTERIALNA Dział Badań Operacyjnych zajmujący się oceną możliwych wariantów (decyzji) w przypadku gdy występuje więcej niż jedno kryterium oceny D – zbiór rozwiązań (decyzji) dopuszczalnych x – rozwiązanie dopuszczalne fk – funkcja celu związana z k-tym kryterium cząstkowym Znaleźć taką decyzję dopuszczalną x*∈D, że fk(x*)=max {fk(x): x∈D}, k=1, …, K czy istnieje ??? Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 Jak porównywać kryteria ilościowe i jakościowe? Jaka jest wrażliwość decydenta na różnice wartości kryteriów? Czy dla wszystkich kryteriów istnieje taka sama wartość progowa dla zmiany preferencji decydenta? Czy w ocenie zróżnicowania jest pełna symetria? 1 2012-05-06 Brak symetrii oznacza istnienie dwóch różnych progów rozróżnialności. Sformułowanie progów rozróżnialności: – decyzja x1 jest lepsza od decyzji x2 w sensie określonego kryterium, gdy wartość tego kryterium jest większa o p%, – decyzja x3 jest gorsza od decyzji x2 (w sensie tego samego kryterium), gdy wartość kryterium jest mniejsza o q%. Rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto nazywamy takie rozwiązanie x′ ∈ D, że nie istnieje żadne inne rozwiązanie x ∈ D dające poprawę wartości chociaż jednej funkcji celu, nie powodując pogorszenia wartości innych funkcji celu. Rozwiązanie optymalne w sensie Pareto nazywane jest również rozwiązaniem sprawnym lub efektywnym. Dla dwóch kryteriów K1 i K2 oraz dla dwóch dowolnych decyzji x1 i x2: ◦ kryteria są zgodne jeśli ∀x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≤ K 2 ( x2 ) ◦ kryteria są niezgodne jeśli ∃x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≥ K 2 ( x2 ) ◦ kryteria są przeciwstawne jeśli ∀x1 , x2 ∈ D : K1 ( x1 ) ≤ K1 ( x2 ) ⇒ K 2 ( x1 ) ≥ K 2 ( x2 ) Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 Astra jest zdominowane przez Focus 2 2012-05-06 Funkcja określona na kryteriach cząstkowych, podająca użyteczność poszczególnych decyzji dla decydenta Metakryterium Metoda leksykograficzna Metoda dystansowa Dwureferencyjna procedura interaktywna Ranking Capelanda u ( x) = u[ f1 ( x), f 2 ( x),K , f s ( x)] Najprostsze metakryterium – suma ważona s u ( x) = ∑ wk ⋅ f k ( x) k =1 Rozwiązanie zadania polega na znalezieniu w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych decyzji najlepszej w sensie metakryterium u(x). Decyzja ta jest poszukiwaną decyzją kompromisową. Ujednolicenie typu kryteriów (np. tylko maksymalizacja) Konieczność znajomości wartości ekstremalnych Sprowadzenie wartości do przedziału [0,1], np. knorm = k − k min k max − k min knorm = Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 k max − k Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 k max − k min Cena 0.625 1 0 0,125 0,313 0,563 0 3 2012-05-06 Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 Serwis 0,67 0,67 1 0,67 0,33 0,67 1 Zadanie pomocnicze Lk max{ f k ( x) : x ∈ Dk } gdzie Dk = D, dla k = 1 Dk = {x : x ∈ Dk −1 ∧ f k −1 ( x) ≥ M k −1 − d k −1 ⋅ t k −1}, k = 2, K s M k −1 = max{ f k −1 ( x) : x ∈ Dk −1 }, mk −1 = min{ f k −1 ( x) : x ∈ Dk −1}, t k −1 = M k −1 − mk −1 Uporządkowanie wszystkich kryteriów malejąco od najważniejszego. Przy wyznaczaniu rozwiązania kompromisowego, nie można przekroczyć ustalonego odstępstwa od maksymalnych wartości poszczególnych kryteriów. Wyznaczanie decyzji kompromisowej polega na rozwiązaniu ciągu zadań pomocniczych Lk, (k= 1,...,s ). Rozwiązanie końcowego zadania Ls, wyznacza decyzję kompromisową zadania wielokryterialnego. Punkt z* nazywamy punktem idealnym w przestrzeni wyników, natomiast punkt x* punktem idealnym w przestrzeni rozwiązań gdy: zk* = f k ( x* ) = max{ f k ( x) : x ∈ D} dla k = 1,K , s Jeśli x* należy do D, to jest ono rozwiązaniem optymalnym Jeśli x* nie należy do D (lub nie istnieje), to szukamy takiego punktu x’ aby odpowiadający mu punkt z’ leżał jak najbliżej punktu idealnego z* 4 2012-05-06 Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 z * = [39, bdb,10, bdb,300] Uszeregowanie wariantów na podstawie punktów rankingowych Wariant uzyskuje jeden punkt za zdominowanie jednego z pozostałych wariantów. Zdominowanie takie zachodzi, gdy dany wariant ma od drugiego lepsze oceny ze względu na większą liczbę kryteriów. Określenie punktu najgorszego (przez decydenta) i wyznaczenie punktu idealnego Wyznaczenie rozwiązania próbnego ze zbioru rozwiązań sprawnych Wyrażenie preferencji decydenta co do dalszego poszukiwania – ustalenie, które kryteria mają zostać polepszone, a które można pogorszyć Ponowne ustalenie punktów odniesienia Żądając poprawienia kryterium decydent musi zaakceptować pogorszenie innego, ale nie poniżej punktu najgorszego Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Ford Fabia Focus Cena 45 39 55 53 50 46 55 Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8,5 10 9 9 Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik 200 150 250 300 250 250 300 Panda>Seicento Panda<Astra Panda<>Megane Panda>Toledo … 5