Struktury Algebraiczne - Polsko

Algebra
Struktury Algebraiczne
Alexander Denisjuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Struktury Algebraiczne
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Działania binarne a struktury algebraiczne
• X × X → X,
(x, y) 7→ x · y , lub xy
• Działanie przemienne, jeżeli ∀x, y ∈ X ⇒ xy = yx (cz˛este
oznaczenie: x + y )
• Działanie łaczne,
˛
jeżeli ∀x, y, z ∈ X ⇒ (xy)z = x(yz)
• Element neutralny ∃1 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 1 · x = x · 1 = x
◦ Wzglednie
˛
∃0 ∈ X, ∀x ∈ X ⇒ 0 + x = x + 0 = x
• Element x ∈ X odwracalny, jeżeli
∃x−1 ∈ X ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1
◦ Wzglednie
˛
∃(−x) ∈ X ⇒ (−x) + x = x + (−x) = 0
• Dzielenie x/y = xy −1
◦ Odejmowanie x − y = x + (−y)
Algebra – p. 3
Potegi
˛
Definicja 1. Niech n
∈ Z.
xn =
Definicja 2. Niech n
n razy
1,



(x−1 )(−n) ,
n=0
n<0
∈ Z.


x + x + ·{z
· · + x + x} n > 0

|


nx =
Twierdzenie 3.


x
· x ·{z
· · x · x} n > 0

|


n razy
0,




−(−n)x,
n=0
n<0
• xn xm = xm+n
• (xn )m = xmn
Algebra – p. 4
Grupa
• Zbior C z określonym na nim działaniem binarnym nazywa
Definicja 4.
sie˛ grupa,
˛ jeżeli działanie jest łaczne,
˛
istnieje element neutralny oraz
każdy element jest odwracalny:
◦ ∀x, y, z ∈ G ⇒ (xy)z = x(yz)
◦ ∃1 ∈ G, ∀x ∈ G ⇒ 1 · x = x · 1 = x
◦ ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G ⇒ x · x−1 = x−1 · x = 1
• Jeżeli działanie jest przemiennym, to grupa nazywa sie przemienna˛ lub
abelewa˛
Algebra – p. 5
Przykłady
• Z, +; nZ, +
• Zn , dodawanie reszt
• R, mnożenie
• Wielomiany: W, +
• Wn , +
• Rn , +
• Macierze: m × m Mmn , +
• Nieosobliwe macierze kwadratowe: GLn (R), mnożenie
macierzy
• Permutacje: Sn , mnożenie permutacji
• Grupa symetrij figury geometrycznej, złożenie symetrij
Algebra – p. 6
Grupa cykliczna
Definicja 5. Grupa G nazywa sie˛ cykliczna,
˛ jeżeli ∃a
tworzacy
˛ ), taki że ∀x ∈ G∃n ∈ Z, ⇒ x = an
Przykład 6.
∈ G (element
• Z
• { −1, 1 }, mnożenie
• Grupa obrotów pieciok
˛
atu
˛ foremnego
• Grupa obrotów kwadratu
Algebra – p. 7
Podgrupy
Definicja 7.
• G1 ⊂ G nazywa sie˛ podgrupa,˛ jeżeli G1 jest grupa˛
• G1 ⊂ G jest podgrupa˛ ⇐⇒ (∀x, y ∈ G1 ⇒ xy −1 ∈ G1 )
• Rz˛edem grupy nazywamy ilość jej elementów
• Rz˛edem elementu x nazywamy majmniejsza˛ dodatnia˛ liczbe˛ naturalna˛
n, taka˛ że xn = 1
Twierdzenie 8 (Lagrange). Dla skończonej grupy rzad
˛ podgrupy jest
podzielnikiem rz˛edu grupy
Algebra – p. 8
Przykłady podgrup
• Macierze kwadratowe o wyznaczniku ±1:
SLn (R) ⊂ GLn (R)
• Macierze kwadratowe o wyznaczniku 1: SOn (R) ⊂ GLn (R)
• Parzyste permutacje
• Symetrie figury geometrycznej zachowujace
˛ orientacje˛
Algebra – p. 9
Grupy izomorfne
Definicja 9.
Algebra – p. 10
Pierścień
Algebra – p. 11
Homomorfizmy pierścieni
Algebra – p. 12
Arytmetyka modularna
Algebra – p. 13
Ciało
Algebra – p. 14