opracowała Jowita Malecka

opracowała
Jowita Malecka
JeŜeli chcecie nauczyć się pływać, to trzeba, Ŝebyście weszli do wody.
JeŜeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywać zadania,
to trzeba, Ŝebyście je rozwiązywali. George Polya
W zadaniach z problematyką wieku często występują
pewne zaleŜności, które wiąŜą ze sobą wiek bohaterów zadań
w przeszłości z wiekiem teraźniejszym, przyszłym lub innym
okresem w czasie przeszłym. Czasami sformułowania są bardzo
pomysłowe, ale równieŜ złoŜone, tak Ŝe ich zrozumienie
i przetworzenie sprawia uczniom problemy. Dlatego teŜ
niejednokrotnie warto zamiast tradycyjnej analizy zastosować
metody graficzne czy teŜ zapisać wprowadzone niewiadome
w tabeli. Pozwoli to na lepsze zrozumienie podanych zaleŜności,
na prawidłowy zapis wieku w poszczególnych okresach czasu,
na utworzenie właściwego układu równań, a często takŜe na
szybkie i proste rozwiązanie zadania.
Warto zwrócić uwagę na dwa oczywiste fakty:
☻ RóŜnica
wieku między
niezmienna w czasie.
poszczególnymi
osobami
jest
☻ Mimo naszych subiektywnych odczuć czas płynie jednakowo
dla kaŜdego z nas.
Często te proste stwierdzenia są podstawą do wykorzystania
w zadaniach, takŜe w tych o pogmatwanej treści.
A zatem zapraszam do „pływania róŜnymi stylami”.
ZADANIE 1
Agata ma teraz 13 lat, Ania 4 lata. Ile lat będzie miała Ania, gdy Agata będzie
od niej 2 razy starsza?
Przykładowe sposoby rozwiązania
x -wiek Ani w pewnej chwili w przyszłości ( w latach)
2x - wiek Agaty w tej samej chwili w przyszłości (w latach)
obecnie Ania ma 4 lata, a Agata 13
Sposób I
Porównujemy, ile lat upłynie od chwili obecnej do pewnej chwili w przyszłości.
Na tej podstawie układamy równanie:
2x -13 = x - 4
Sposób II
Porównujemy róŜnicę wieku między dziewczynkami i od razu otrzymujemy rozwiązanie:
9=x
Sposób III
Na zdrowy rozsądek:
Skoro róŜnica lat między dziewczynkami wynosi 9 lat, to Ŝeby Agata miała dwa razy więcej lat,
to Ania musi mieć 9 lat.
Odpowiedź: Ania będzie miała 9 lat.
ZADANIE 2
Marcin, Basia i Jagoda są rodzeństwem. Cztery lata temu mieli razem 12 lat. Pięć lat
temu Marcin miał tyle lat, ile Basia będzie miała za dwa lata. Trzy lata temu Jagoda była
dwa razy starsza od Basi. Ile lat ma kaŜde dziecko?
Przykładowy sposób rozwiązania
Stworzymy tabelkę, która ułatwi zapisanie zaleŜności występujących w zadaniu.
Wygodnie jest rozpocząć od zapisania ostatniej z podanych informacji, co pozwoli zredukować ilość niewiadomych.
Jagoda
Basia
Marcin
za 2 lata
2x+5
x+5
y+5
obecnie
2x+3
x+3
y+3
3 lata temu
2x
x
y
4 lata temu
2x-1
x-1
y-1
5 lata temu
2x-2
x-2
y-2
Łatwo ułoŜyć układ równań:
x + 5 = y − 2

(2 x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) = 12
Rozwiązaniem układu jest para liczb:
x = 2

y = 9
Odpowiedź: Jagoda ma 7 lat, Basia 5,a Marcin 12.
ZADANIE 3
Na pytanie siostrzeńca o swój wiek wujek powiedział: „JeŜeli do połowy mojego
wieku dodasz 7, to poznasz mój wiek sprzed 13 lat.” Ile lat ma wujek?
Przykładowy sposób rozwiązania
Wiek wujka zinterpretujemy jako długość odcinka
AB .
Punkt S jest środkiem tego odcinka. Z treści zadania od punktu S odkładamy 7 jednostek ( SD = 7 ),
a wówczas do punktu B brakuje 13 jednostek ( DB = 13 ).
Zatem AB = 2·20 = 40
Odpowiedź:
Wujek ma 40 lat.
ZADANIE 4
Arkadiusz i Stanisław mają łącznie 110 lat. Stanisław urodził się, gdy Arkadiusz
miał tyle lat, ile miał Stanisław, kiedy Arkadiusz miał 28 lat. W jakim wieku jest
kaŜdy z panów?
Przykładowe sposoby rozwiązania
Sposób I
W celu zilustrowania podanych w treści
zadania informacji i zaleŜności między nimi
wykorzystamy graf. Będą w nim występować 3
chwile z Ŝycia obu panów: urodzenie się
Stanisława, pewna data w przeszłości oraz dzień
dzisiejszy. Lewa kolumna zawiera informacje
dotyczące
Arkadiusza,
natomiast
prawa
dotyczące Stanisława. ZaleŜności między nimi są
przedstawione graficznie w postaci strzałki, zaś
strzałki pionowe symbolizują upływ czasu.
Po uzupełnieniu grafu moŜna stworzyć układ
równań:
2 x = 28

(28 + y ) + ( x + y ) = 110
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb:
 x = 14

 y = 34
Czyli 2x +y = 62 oraz x + y = 48.
Odpowiedź:
Obecnie Pan Stanisław ma 48 lat, a pan
Arkadiusz 62.
suma lat obu panów
wiek Arkadiusza obecnie
110
wiek Stanisława obecnie
28+y
x+y
+y
+y
wiek Stanisława kiedyś
wiek Arkadiusza kiedyś
28
+x
wiek Arkadiusza w chwili
urodzin Stanisława
x
x
=
+x
urodził się Stanisław
Sposób II
Wykorzystamy oś czasu dla zilustrowania wieku obu panów
x
teraz
28
Oś wieku Arkadiusza
t (w latach)
y
x
Oś wieku Stanisława
t (w latach)
Urodził się
Stanisław
Tak jak poprzednio moŜemy napisać układ równań, na przykład taki :
2 x = 28
 x = 14
⇔

(2 x + y ) + ( x + y ) = 110
 y = 34
lub
od razu stwierdzić, Ŝe róŜnica wieku wynosi 14 lat, a wówczas 2s + 14 = 110, gdzie s oznacza wiek Stanisława.
Rozwiązaniem równania jest s = 48.
Sposób III
Oznaczmy:
r − róŜnica wieku między panami;
x − wiek Arkadiusza (obecnie);
x − r − wiek Stanisława (obecnie).
Stanisław urodził się, gdy Arkadiusz miał r lat, czyli tyle miał Stanisław, gdy Arkadiusz miał 28 lat.
Zatem moŜemy zapisać układ równań:
 x + ( x − r ) = 110

r = 28 − r
Stąd: r = 14
 x = 62
Odpowiedź: Obecnie Pan Stanisław ma 48 lat, a pan Arkadiusz 62.
ZADANIE 5
Dziadek Ignacy ma dwoje wnucząt Jasia i Małgosię. Suma lat całej trójki wynosi 85. Małgosia jest o 5
lat młodsza od Jasia. Dziadek natomiast ma 6 razy więcej lat niŜ miał Jasiu wtedy, kiedy dziadek miał
tyle, ile Jasiu będzie mieć za 40 lat. Oblicz w jakim wieku jest kaŜdy z nich?
suma lat
85
wiek Małgosi
obecnie
x-5
Rozpoczniemy od wprowadzenia
oznaczeń wieku Jasia w chwili obecnej
(x) i w przeszłości (y), a następnie na
dorysowaniu strzałek i określeniu
związków
wynikających
z
treści
zadania. Następnie moŜemy uzupełnić
graf uŜywając wprowadzonych juŜ
niewiadomych.
MoŜemy porównać upływ czasu od
chwili w przeszłości do teraźniejszości.
Zatem mamy układ równań:
Rozwiązaniem jest para liczb:
wiek Jasia
obecnie
x
wiek dziadka
obecnie
6y
·6
wiek dziadka
kiedyś
x+40
wiek Jasia kiedyś
y
=
Wiek Jasia
za 40 lat
x+40
( x − 5) + x + 6 y = 85

 x − y = 6 y − ( x + 40)
 x = 15

 y = 10
Odpowiedź: Dziadek Ignacy ma 60 lat, a jego wnuczęta:
Jasiu 15, a Małgosia 10.
Zadania dodatkowe
1.
Ojciec Jakuba miał 40 lat, kiedy Jakub miał 12 lat, a 2 lata temu był od Jakuba 2 razy
starszy. Ile lat ma teraz Jakub?
2.
Za pięć lat córka będzie 4 razy młodsza od mamy, a za dziesięć lat mama będzie 3
razy starsza od córki. Ile lat ma teraz kaŜda z nich?
3.
Paweł mówi do Piotra: Mam trzy razy więcej lat niŜ ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem
tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieć łącznie 112 lat.
Ile lat ma Piotr?
4.
Dziadek i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle, ile babcia miała
wtedy, kiedy on miał tyle, ile ona ma teraz. Po ile lat mają?
5.
Stefan i Marian mają razem 82 lata. Urodziny Mariana były wtedy, gdy Stefan miał
tyle lat, ile Marian miał lat, kiedy Stefan miał liczbę lat równą pewnej parzystej liczbie
pierwszej podniesionej do kwadratu i pomnoŜonej przez 10. Ile lat ma Stefan, a ile
Marian?
Literatura
1. Białach W., „Dziadek i babcia”, Matematyka 8/2008;
2. Bobiński Z., Nodzyński P., Uscki M., Koło matematyczne w szkole podstawowej,
Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2008;
3. Zadania z turniejów matematycznych o puchar Dyrektora I LO im. Stanisława
Dubois w Koszalinie; Fermat F.U., Koszalin 2001;
4. śurek A., Jędrzejewicz P., Zbiór zadań dla kółek matematycznych w szkole
podstawowej, GWO, Gdańsk 2005.