10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY

10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODYNAMIKI.
10.10. Podstawy hydrodynamiki.
Podstawowe pojęcia z hydrostatyki
F
S
Ciśnienie: p =
N

 m 2 = Pa 


jednostka praktyczna (atmosfera fizyczna):
1atm = 1,033
Ciśnienie hydrostatyczne:
kG
≈ 101325Pa
cm 2
p h = ρ ⋅ g ⋅ h gdzie h – wysokość słupa cieczy znajdującego się
nad danym elementem cieczy.
Prawo Pascala:
Dla cieczy jednorodnej ( taka sama gęstość w całej objętości cieczy),
ciśnienie wywierane na ciecz (gaz) zamkniętą w naczyniu jest przenoszone bez zmiany
wartości na każdy element tej cieczy (gazu) i ścianki naczynia.
Prawo obowiązuje zarówno dla cieczy idealnej (nieściśliwej), jak i rzeczywistej (ściśliwej). W
pierwszym przypadku zmiana ciśnienia przenoszona jest natychmiast, a w drugim – rozchodzi
się wewnątrz cieczy jako fala o prędkości równej
prędkości dźwięku w tej cieczy.
Zastosowanie: np. prasa hydrauliczna;
Prawo Archimedesa: Każde ciało zanurzone w
cieczy (lub gazie) doznaje działania siły wyporu skierowanej pionowo do góry, równej co do
wartości ciężarowi wypartej cieczy (gazu).
Fw = ρcieczy⋅ g ⋅ V gdzie V – objętość zanurzonej
części ciała.
Hydrodynamika.
Opis ruchu cieczy (przepływu) poprzez podanie w chwili t jej gęstości ρ(x, y, z, t) oraz
prędkości V(x, y, z, t) w punkcie P(x, y, z).
Przepływ
r
– laminarny (ustalony): V ( x, y, z ) = const w czasie,
r
- wirowy: gdy istnieje wypadkowa prędkość kątowa ω cząsteczek cieczy,
- ściśliwy: gdy gęstość cieczy ρ ≠ const,
-
lepki: jest to odpowiednik tarcia dla ciał stałych.
Linia prądu cieczy - tor cząsteczki między dwoma punktami (Rys. a). Jest ona w każdym
punkcie styczna do wektora prędkości cząsteczki cieczy.
Struga cieczy - zbiór sąsiadujących linii prądu (Rys. b) . Powierzchnia ograniczająca strugę
jest utworzona z linii prądu ⇒ ciecz nie może przepływać przez te powierzchnię.
Założenie: ρ = const
Przez powierzchnię S1 w czasie ∆t przepłynie z szybkością v1 masa m1 cieczy
m1 =ρ⋅ S1⋅v1⋅ ∆t
analogicznie przez S2:
m2 = ρ⋅ S2⋅v2⋅ ∆t
Z prawa zachowania masy wynika, że: m1 = m2
a więc
S1⋅ v1 = S2⋅ v2
co oznacza że
S ⋅ v = const -Prawo ciągłości strugi cieczy.
Przy przepływie laminarnym, natężenie przepływu danej strugi cieczy jest dla niej stałe.
Jeżeli w strudze istnieją „dopływy” lub „odpływy” i gdy gęstość ρ ≠ const to i tak prawo
zachowania masy jest spełnione i wówczas równanie ciągłości ma postać:
δ (ρ ⋅ vx ) δ (ρ ⋅ v y ) δ (ρ ⋅ vz )
+
+
+
δ
x
δ
y
δ
z
144444
42444444
3
wyplyw masy z elem.objet .
jednostke objetosci
δρ
δt
{
= Sp
szybkosc wzrostu masy
jednostke objetosci
gdzie Sp jest szybkością dopływu ze źródła (Sp > 0) lub szybkością odpływu (Sp < 0).
Gdy Sp = 0 ⇔ brak źródeł lub odpływów.
Ważny wniosek: gdy ρ = const, wówczas S1⋅ v1 = S2⋅ v2
co oznacza, że w poziomej strudze
ciśnienie jest wyższe tam, gdzie prędkość jest mała – przykładem jest tłum przechodzący
przez ciasne drzwi.
Prawo Bernoulliego.
Struga cieczy o zmiennym przekroju przepływa z wysokości h1 do h2.
W czasie ∆t, w przekroju S1 cząsteczki przemieszczają się o ∆l1 = v1⋅∆t, a w przekroju S2 o
odcinek ∆l2 = v2⋅∆t.
Siły powierzchniowe działające na
powierzchnie S1 i S2 są równe:
F1 = p1⋅ S1 oraz
F2 = p2⋅ S2
Ruch cząsteczek cieczy wynika z
wykonania pracy przez siły F1 i F2 oraz z
pracy wykonanej przez siły grawitacji –
przeniesienia masy z poziomu h1 na h2.
Wpow= p1⋅ S1⋅ ∆l1 – p2⋅ S2⋅ ∆l2 = p1⋅ S1⋅ v1⋅ ∆t – p2⋅ S2⋅ v2⋅ ∆t
(znak „-„ wynika ze zwrotu p2)
Wgraw= S1⋅ ∆l1⋅ ρ⋅ (h1 – h2) = S1⋅ v1⋅ ∆t⋅ ρ⋅ g⋅ (h1 – h2)
zatem
Wcałk = Wpow + Wgraw = ∆Ek
gdzie
∆E k =
(
)
(
m 2
ρ ⋅ ∆t
v 2 − v12 =
S 2 ⋅ v 23 − S1 ⋅ v13
2
2
)
Łącząc te równania otrzymujemy
p1 S1v1 ∆t − p 2 S 2 v 2 ∆t + S1v1 ∆tρg ( h1 − h2 ) =
ρ∆t
2
(S v
3
2 2
− S1 v13
)
korzystając z prawa ciągłości cieczy można to równanie zapisać:
p1 + ρ ⋅ g ⋅ h1 +
ρv12
2
= p 2 + ρ ⋅ g ⋅ h2 +
ρv 22
2
= const
Jest to prawo Bernouliego: Suma trzech ciśnień – zewnętrznego (p), hydrostatycznego (ρgh) i
hydrodynamicznego (
ρ ⋅ v2
2
) jest dla danej strugi stała.
W przypadku strugi poziomej (przykład ciasnych drzwi) h1 = h2 wiec równanie
Bernoulliego jest:
p1 +
ρ ⋅ v12
2
= p2 +
ρ ⋅ v 22
2
jeżeli więc p1 > p2 to wówczas v1 < v2.
Jeżeli dla danej strugi przekrój poprzeczny ma w pewnym miejscu większą powierzchnię, to
panuje tam większe ciśnienie niż w miejscu gdzie przekrój poprzeczny jest mniejszy.
Jest to tzw. paradoks hydrodynamiczny.
Przykłady zastosowania prawa ciągłości i prawa Bernoulliego.
Skrzydło samolotowe:
Siła nośna powstaje nad skrzydłem gdy strugi powietrza są zagęszczone nad skrzydłem, a
rozrzedzone – pod nim. Jak widać na rysunku, cząsteczki
powietrza (lub cieczy) mając do przebycia większą drogę
nad skrzydłem, mają tam większą szybkość niż pod
skrzydłem, a zatem ....
Wypływ cieczy przez otwór w naczyniu:
Założenie: pole przekroju tego otworu ma przekrój
znacznie mniejszy od przekroju naczynia.
Z prawa ciągłości ⇒ szybkość wypływu z otworu
jest znacznie większa od szybkości obniżania się
poziomu cieczy, a więc prawo Bernoulliego ma
postać:
Stąd
v = 2 g (h1 − h2 ) = 2 gh
ρ ⋅ g ⋅ h1 = ρ ⋅ g ⋅ h2 +
jest to prawo Torricellego.
Strzykawka:
Działamy siłą F na tłok strzykawki o
powierzchni S1. Wówczas równanie
Bernoulliego ma postać:
F ρv12 ρv 22
+
=
S1
2
2
gdzie v1 jest szybkością przesuwu
tłoka strzykawki.
Z prawa ciągłości:
v1 =
S2
S1
v
ostatecznie v =
Rozpylacz:
Duża prędkość gazy u wylotu rurki oznacza małe ciśnienie p
gazu w tym miejscu i to p < patm
Powoduje to ruch cieczy ku górze.
(
2 FS1
ρ S12 − S 22
)
ρv 2
2
Rurka Pitot:
Strumień gazu (cieczy) poruszający się z
szybkością v trafiając na rurkę Pitot
wpada częściowo do rurki b i tam już nie
porusza się sprężając się do ciśnienia pb.
W punktach a zewnętrznej obudowy
ciśnienie gazu pa, jak i jego szybkość są
takie same jak dla strugi swobodnej.
Równanie Bernoulliego można zapisać:
pa +
ρg v2
2
= pb
gdzie ρg jest gęstością gazu i pb > pa
lub:
p a + ρ c gh = p b
gdzie ρc jest gęstością cieczy w manometrze.
Z tych równań otrzymujemy:
v=
2 ρ c gh
ρg