wersja do druku (plik PDF)

5
01
rw
ca
2
ze
Notatki do wykładu
z1
0c
Geometria Algebraiczna
ers
ja
ws
tęp
na
Instytut Matematyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
semestr letni 2015
Sławomir Cynk
Instytut Matematyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
e-mail: [email protected]
http://sc.im.uj.edu.pl/alggeom
5
01
Rozmaitości quasi–rzutowe
1. Rozmaitości afiniczne
k
k będzie ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym, symbolem An oznaczać będziemy przestrzeń afiniczną
ze
Niech
n
.
rw
ca
2
ROZDZIAŁ I
k
A
0c
Niech T ⊂ [X1 , . . . , Xn ] będzie dowolnym podzbiorem. Oznaczmy przez V (T ) zbiór zer T czyli zbiór V (T ) :=
{P ∈ n : f (P ) = 0 dla każdego f ∈ T }.
A
Dla dowolnego podzbioru Y ⊂ n oznaczmy przez I(Y ) zbiór wielomianów znikających na Y czyli I(Y ) := {f ∈
[X1 , . . . , Xn ] : f |Y = 0}. Łatwo zauważyć, że dla dowolnego Y zbiór I(Y ) jest ideałem radykalnym pierścienia
wielomianów [X1 , . . . , Xn ] zwanym ideałem zbioru Y .
k
Propozycja I.1.
z1
k
k
I(Y ) jest ideałem radykalnym pierścienia wielomianów [X1 , . . . , Xn ] zwanym ideałem zbioru Y ,
Jeśli T1 ⊂ T2 są podzbiorami [X1 , . . . , Xn ] to V (T1 ) ⊃ V (T2 ),
Jeśli Y1 ⊂ Y2 są podzbiorami n to I(Y1 ) ⊃ I(Y2 ),
Dla dowolnych podzbiorów T1 , T2 ⊂ [X1 , . . . , Xn ] zachodzi V (T1 T2 ) = V (T1 ) ∪ V (T2 ),
S
T
Dla dowolnej rodziny Tα podzbiorów [X1 , . . . , Xn ] zachodzi V ( α Tα ) = α V (Tα ),
Dla dowolnych podzbiorów Y1 , Y2 ⊂ n zachodzi I(Y1 ∪ Y2 ) = I(Y1 ) ∩ I(Y2 ),
Dla dowolnego podzbioru T ⊂ [X1 , . . . , Xn ] zachodzi V (T ) = V (I) = V (Rad I), gdzie I jest ideałem
pierścienia [X1 , . . . , Xn ] generowanym przez T ,
(h) Dla dowolnego podzbioru Y ⊂ n zachodzi I(V (I(Y ))) = I(Y ),
(i) Dla dowolnego podzbioru T ⊂ [X1 , . . . , Xn ] zachodzi V (I(V (T ))) = V (T ).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
k
k
k
A
na
k
A
k
ws
tęp
A
k
Definicja I.1. Podzbiorem algebraicznym An nazywamy dowolny podzbiór postaci V (T ) dla T ⊂ k[X1 , . . . , Xn ].
Wniosek I.2. Dla dowolnego podzbioru algebraicznego V ⊂ An zachodzi V (I(V )) = V .
Jeżeli V1 i V2 są podzbiorami algebraicznymi An to V1 = V2 wtedy i tylko wtedy gdy I(V1 ) = I(V2 ).
Z Propozycji I.1 natychmiast wynika
Propozycja I.3. Suma dwóch podzbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym. Przecięcie dowolnej rodziny
zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym. Zbiór pusty oraz n są zbiorami algebraicznymi.
ja
A
An taka, że zbiorami domkniętymi są dokładnie podzbiory algebraiczne.
Definicja I.2. Topologią Zariskiego w An nazywamy topologię złożoną z dopełnień wszystkich zbiorów algebraicznych w An .
Definicja I.3. Podzbiór algebraiczny V przestrzeni afinicznej An nazywamy nierozkładalnym jeżeli dla dowolnych
ers
Istnieje jedyna topologia w
podzbiorów algebraicznych V1 i V2 takich, że V = V1 ∪ V2 mamy V1 = V lub V2 = V .
1
5
01
1. Rozmaitości afiniczne
2
An jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy gdy ideał I(V ) jest pierwszy.
rw
ca
2
Propozycja I.4. Podzbiór algebraiczny V ⊂
k
Dowód. Załóżmy, że zbiór V jest nierozkładalny i niech f, g ∈ [X1 , . . . , Xn ] takie, że f g ∈ I(V ). Wtedy
V = (V ∩ V (f )) ∪ (V ∩ V (g)). Z nierozkładalności V otrzymujemy V = V ∩ V (f ) lub V = V ∩ V (g). W pierwszym
przypadku mamy V ⊂ V (f ), a więc f = 0 na V czyli f ∈ I(V ). Podobnie w drugim przypadku g ∈ I(V ) co dowodzi,
że ideał I(V ) jest pierwszy.
Na odwrót załóżmy, że ideał I(V ) jest pierwszy i niech V = V1 ∪ V2 . Jeżeli V1 6= V to I(V1 ) 6= I(V ) czyli istnieje
f ∈ I(V1 ) \ I(V ). Podobnie jeśli V2 6= V to istnieje g ∈ I(V2 ) \ I(V ). Ale wtedy f g ∈ I(V ), sprzeczność.
Przykład I.1.
A
A
A
A
0c
A
A
ze
(i) Jedynymi podzbiorami algebraicznym 1 są: ∅, 1 oraz zbiory skończone,
(ii) Jedynymi podzbiorami algebraicznym nierozkładalnymi 1 są: ∅, {P }, 1 ,
(iii) Jedynymi podzbiorami algebraicznym nierozkładalnymi 2 są: ∅, {P }, 1 oraz krzywe płaskie nierozkładalne, czyli zbiory postaci {x : f (x) = 0}, gdzie f jest wielomianem nierozkładalnym, różnym od stałej.
Wniosek I.5. Istnieje odwracająca inkluzje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między ideałami radykalnymi
pierścienia [X1 , . . . , Xn ] a podzbiorami algebraicznymi n , przy czym ideałom pierwszym odpowiadają podzbiory
nierozkładalne.
k
A
A
z1
Twierdzenie I.6. Podzbiór algebraiczny V ⊂ n posiada jedyne (z dokładnością do kolejności składników) przedstawienie w postaci V = V1 ∪ · · · ∪ Vs , gdzie Vi są zbiorami algebraicznymi nierozkładalnymi takimi, że Vi 6⊂ Vj dla
i 6= j.
na
Dowód. Twierdzenie wynika natychmiast z twierdzenia o rozkładzie prymarnym oraz obserwacji, że w rozkładzie
prymarnym ideału radykalnego występują jedynie ideały pierwsze.
Podamy bezpośredni dowód tego faktu.
ws
tęp
Jednoznaczność. Pokażemy, że jeżeli V = V1 ∪ · · · ∪ Vs jest dowolnym rozkładem zbioru V na sumę podzbiorów
algebraicznych nierozkładalnych to dla dowolnego podzbioru nierozkładalnego W ⊂ V istnieje i = 1, . . . , s takie, że
W ⊂ Vi . Mamy bowiem W = (W ∩ V1 ) ∪ · · · ∪ (W ∩ Vs ) stąd W ⊂ Vs lub W ⊂ V1 ∪ · · · ∪ Vs−1 . Powtarzając to
rozumowanie znajdujemy i takie, że W ⊂ Vi . Stąd składnikami dowolnego rozkładu spełniającego warunki twierdzenia
są maksymalne podzbiory nierozkładalne zawarte w V .
A
Istnienie. Niech F będzie rodziną wszystkich podzbiorów algebraicznych n nie posiadających żądanego przedstawienia. Gdyby w rodzinie F istniał element minimalny (ze względu na inkluzję) V to mielibyśmy V = V1 ∪ V2 , zbiory
Vi byłyby właściwymi podzbiorami V , a więc nie mogłyby należeć do F. Stąd też oba zbiory byłyby sumami skończonymi podzbiorów nierozkładalnych, a zatem ich suma po wyrzuceniu elementów zbędnych dałaby żądany rozkład.
Zatem nie istnieje minimalny element rodziny F, stąd znajdziemy ściśle malejący ciąg nieskończony Vn elementów tej
rodziny. Wtedy I(Vn ) będzie ściśle rosnącym ciągiem ideałów pierścienia [X1 , . . . , Xn ], sprzeczność z twierdzeniem
Hilberta o bazie.
ja
k
Uwaga. Topologia Zariskiego na rozmaitości jest noetherowska to znaczy spełnia następujące równoważne warunki
ers
(i) Każdy zstępujący łańcuch podzbiorów domkniętych stabilizuje się, to znaczy, jeśli F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fj ⊃
. . . jest zstępującym ciągiem podzbiorów domkniętych to istnieje j0 ∈
takie, że Fj = Fj0 dla każdego
j ­ j0 ,
(ii) Każda niepusta rodzina podzbiorów domkniętych posiada element minimalny.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
N
5
01
Rozdział I. Rozmaitości quasi–rzutowe
rw
ca
2
3
Definicja I.4. Składniki rozkładu z tezy poprzedniego twierdzenia nazywamy składowymi nierozkładalnymi zbioru
V.
Wniosek I.7. Składowymi nierozkładalnymi zbioru algebraicznego V ⊂
kładalne. Odpowiadają one minimalnym ideałom pierwszym I(V ).
Definicja I.5. Rozmaitością afiniczną nad ciałem
nicznej n ( ).
A k
An są jego maksymalne podzbiory nieroz-
k nazywamy nierozkładalny podzbiór algebraiczny przestrzeni afi-
A
Przykład I.2. Przestrzeń afiniczna n jest rozmaitością afiniczną. Ogólniej dowolna podprzestrzeń afiniczna przestrzeni n jest jej podzbiorem algebraicznym nierozkładalnym.
Definicja I.6. Topologią Zariskiego na rozmaitości afinicznej V ⊂
logię Zariskiego na n .
A
An nazywamy topologię indukowaną przez topo-
ze
A
Podzbiór otwarty rozmaitości afinicznej nazywamy rozmaitością quasi–afiniczną.
k
k
Uwaga.
k
An (pierścieniem funkcji regularnych)
0c
Definicja I.7. Pierścieniem współrzędnych podzbioru algebraicznego V ⊂
nazywamy pierścień ilorazowy
[V ] := [X1 , . . . , Xn ]/I(V ).
k
k
k
z1
• Pierścień [V ] jest kanonicznie izomorficzny z pierścieniem {f |V : f ∈ [X1 , . . . , Xn ]}, dlatego w przyszłości pierścienie te będziemy utożsamiać.
• Pierścień [V ] jest skończenie generowaną –algebrą bez elementów nilpotentnych,
• Algebra [V ] jest całkowita wtedy i tylko wtedy gdy V jest nierozkładalny,
• Dowolna skończenie generowana –algebra bez elementów nilpotentnych ( –algebra afiniczna) jest pierścieniem pewnej rozmaitości afinicznej.
k
k
k
na
k
Dla ideału I pierścienia [V ] określamy zbiór V (I) := {P ∈ V : f (P ) = 0 dla każdego P ∈ I}. Podobnie dla
podzbioru Y ⊂ V określamy I(Y ) := {f ∈ [V ] : f |Y = 0} Operacje I oraz V mają analogiczne własności jak
określone poprzednio, w szczególności zachodzi
ws
tęp
k
Twierdzenie I.8.
A
(i) V (I) jest podzbiorem algebraicznym zbioru V , tzn. podzbiorem algebraicznym n zawartym w V ,
(ii) I(Y ) jest ideałem radykalnym pierścienia [V ],
(iii) Istnieje odwracająca inkluzje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między ideałami radykalnymi pierścienia [V ] a podzbiorami algebraicznymi V , przy czym ideałom pierwszym odpowiadają podzbiory nierozkładalne.
k
k
Niech V ⊂
An, W ⊂ Am będą rozmaitościami afinicznymi.
Definicja I.8. Odwzorowanie F : V −−−−→ W nazywamy morfizmem rozmaitości afinicznych jeżeli jest zacieśnieniem odwzorowania wielomianowego F̃ : n −−−−→ m , gdzie F̃ = (F̃1 , . . . , F̃m ), F̃j ∈ [X1 , . . . , Xn ].
ja
A
A
k
ers
Definicja I.9. Izomorfizmem rozmaitości afinicznych nazywamy morfizm, który jest bijektywny i odwrotny do niego
też jest morfizmem.
Przykład I.3. Przykłady morfizmów
• odwzorowani liniowe
An −−−−→ Am,
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
A
A
A
A1
A1 3 t 7→ (t, t2) ∈ C,
• “parametryzacja” paraboli Neila C := {(x, y) ∈ A2 : y 2 − xx = 0}:
A1 3 t 7→ (t2, t3) ∈ C,
– w szczególności rzutowanie n+m −−−−→ n ,
• izomorfizm paraboli C := {(x, y) ∈ 2 : y − x2 = 0} i prostej
odwzorowanie odwrotne nie jest morfizmem.
rw
ca
2
2. Rozmaitości rzutowe
4
k
Propozycja I.9. Odwzorowanie F : V −−−−→ W jest morfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego φ ∈ [W ] jest
φ ◦ F ∈ [V ].
k
k
k
k
A
k
ze
Dowód. Niech πi : W 3 (x1 , . . . , xm ) 7→ xi ∈ . Ponieważ πi ∈ [W ], więc πi ◦ F ∈ [V ]. Zatem istnieje
F̃i : n −−−−→ , takie że F̃i |V = πi ◦ F , w konsekwencji F = (F̃1 , . . . , F̃m )|V .
Na mocy powyższej Propozycji dowolny morfizm rozmaitości afinicznych F : V −−−−→ W indukuje homomorfizm
–algebr afinicznych F ∗ : [W ] −−−−→ [V ].
k
k
0c
k
Twierdzenie I.10. Kategoria rozmaitości afinicznych nad ciałem
afinicznych.
k jest równoważn z kategorią całkowitych k–algebr
z1
2. Rozmaitości rzutowe
Definicja I.10. Pierścieniem z (nieujemną) gradacją nazywamy pierścień R z ciągiem podgrup Ri , i ∈
∞
L
• R=
Ri ,
Ri+j dla dowolnych i, j ∈
N.
na
•
i=0
Ri Rj ⊂
N t.że
ws
tęp
Element f ∈ R nazywamy jednorodny stopnia i jeśli f ∈ Ri . Jeśli f = f0 + · · · + fn ∈ R, fi ∈ Ri , to fi nazywamy
składową jednorodną stopnia i.
L
Modułem z gradacją nad pierścieniem z gradacją R = i Ri nazywamy moduł M z ciągiem podgrup Mi , i ∈ t.że
• M=
∞
L
Mi ,
i=0
• Ri Mj ⊂ Mi+j dla dowolnych i, j ∈
Podomoduł N modułu z gradacją M =
∞
L
N
N.
Mi nazywamy podmodułem z gradacją (jednorodnym) jeżeli N =
i=0
Mi ). W szeczególności ideał I ⊂ R nazywamy ideałem jednorodnym jeżeli I =
∞
L
∞
L
(N ∩
i=0
(I ∩ Ri ).
i=0
Przykład I.4. Każdy pierścień jest pierścieniem z trywialną gradacją.
k
k
k
ja
Pierścień wielomianów [X0 , . . . , Xn ] jest pierścieniem z gradacją
M
[X0 , . . . , Xn ] =
[X0 , . . . , Xn ]d , gdzie [X0 , . . . , Xn ]d jest grupą wielomianów jednorodnych sropnia d
d∈
N
k
ers
W pierścieniu wielomianów istnieją inne gradacje (np. zadane przez wagi).
L
Lemat I.11. Jeśli N ⊂ M jest podomodułem z gradacją modułu z gradacja, to iloraz M/N = n∈N (Mn /Nn ) jest
L
modułem z gradacją. Jeśli I ⊂ R jest ideałem jednorodnym pierścienia z gradacją, to iloraz R/I n∈N (Rn /In ) jest
R–modułem z gradacją oraz pierścieniem z gradacją.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Rozdział I. Rozmaitości quasi–rzutowe
rw
ca
2
5
Lemat I.12. Dla ideału I ⊂ R pierścienia z gradacją R następujące warunki są równoważne
•
•
•
•
I jest ideałem jednorodnym,
I jest generowany przez formy jednorodne,
jeśli f ∈ I to wszystkie składowe jednorodne f należą do I,
jeśli f ∈ I, f 6= 0, to składowa jednorodna f najwyższego stopnia należy do I.
k
P
Jeżeli F ∈ [X0 , . . . , Xn ] jest wielomianem jednorodnym, to mówimy, że f znika w punkcie [x] ∈ n jeżeli f (x) = 0,
powyższe określenie nie zależy od wyboru reprezentanta. A zatem jeżeli T ⊂ [X0 , . . . , Xn ] jest dowolnym zbiorem
wielomianów jednorodnych to możemy określić zbiór V (T ) zer elementów T czyli zbiór
k
Pn : f (x) = 0 dla każdego f ∈ T }.
ze
V (T ) := {[x] ∈
P
k
0c
Dla dowolnego podzbioru Y ⊂ n oznaczmy przez I(Y ) ideał pierścienia [X0 , . . . , Xn ] generowany przez wielomiany jednorodne znikające na Y .
Ćwiczenie 1. Sprawdzić, że
P
• I(Y ) = I( −1 (Y )),
• I(Y ) jest ideałem radykalnym jednorodnym pierścienia [X0 , . . . , Xn ].
k
z1
Pn nazywamy algebraicznym, jeżeli Y jest zbiorem zer pewnej rodziny wielomianów
Definicja I.11. Podzbiór Y ⊂
jednorodnych z [X0 , . . . , Xn ].
k
Propozycja I.13. Suma dwóch zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym, przecięcie dowolnej rodziny zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym. Cała przestrzeń oraz zbiór pusty są zbiorami algebraicznymi.
na
Pn nazywamy rodzinę dopełnień podzbiorów algebraicznych.
Podzbiór algebraiczny V przestrzeni rzutowej Pn nazywamy nierozkładalnym jeżeli dla dowolnych
Definicja I.12. Topologią Zariskiego na
ws
tęp
Definicja I.13.
podzbiorów algebraicznych V1 i V2 takich, że V = V1 ∪ V2 mamy V1 = V lub V2 = V .
Zauważmy, że zbiór zer w
nym (irrelevant).
Pn ideału maksymalnego I0 := (X0, X1, . . . , Xn) jest pusty, ideał ten nazywamy nieistot-
Twierdzenie I.14. Istnieje odwracająca inkluzje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między jednorodnymi ideałami radykalnymi pierścienia [X0 , . . . , Xn ], różnymi od I0 a podzbiorami algebraicznymi n , przy czym ideałom
pierwszym odpowiadają podzbiory nierozkładalne.
k
P
P
ja
Twierdzenie I.15. Podzbiór algebraiczny V ⊂ n posiada jedyne (z dokładnością do kolejności składników) przedstawienie w postaci V = V1 ∪ · · · ∪ Vs , gdzie Vi są zbiorami algebraicznymi nierozkładalnymi takimi, że Vi 6⊂ Vj dla
i 6= j.
ers
Twierdzenie to można udowodnić wprost – korzystając z noetherowskości topologii, ale wynika ono z jednorodnego
twierdzenia o rozkładzie prymarnym.
Propozycja I.16. Niech A będzie pierścieniem noetheorwskim z gradacją i niech M będzie A–modułem z gradacją.
Wtedy dowolny stowarzyszony ideał pierwszy p ∈ Ass(M ) jest ideałem z gradacją oraz istnieje element jednorodny
x ∈ M taki, że p = Ann(x).
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
2. Rozmaitości rzutowe
rw
ca
2
6
Dowód. Ponieważ p ∈ Ass(M ), więc istnieje x ∈ M t. że p = Ann(x), niech x = x0 + · · · + xn , xi ∈ Ai i
niech f = f0 + · · · + fm ∈ p, fi ∈ Ai . Wtedy 0 = f x = fm xn + (fm xn−1 + fm−1 xn ) + · · · + f0 x0 . Stąd fm xn = 0,
2
n
n
fm
xn−1 = −fm (fm−1 xn ) = 0 itd. W konsekwencji fm
x = 0, czyli fm
∈ p. Ale p jest pierwszy więc fn ∈ p, czyli
p jest ideałem pierwszym.
T
Ponadto p = i Ann(xi ), a ponieważ p jest pierwszy więc p = Ann(xi ) dla pewnego i.
Propozycja I.17. Radykał Rad I ideału jednorodnego I pierścienia z gradacją A jest ideałem jednorodnym.
aN
n
Z
Dowód. Niech a = a0 + · · · + an będzie elementem radykału ideału I, wtedy istnieje n ∈ + taki, że aN
0 +· · ·+
= (a0 + · · · + an )N ∈ I. Stąd aN
∈
I,
czyli
a
∈
Rad
I.
To
dowodzi,
że
Rad
I
jest
ideałem
jednorodnym.
0
0
0c
ze
Propozycja I.18. Niech P ⊂ A będzie ideałem jednorodnym pierścienia z gradacją A. Wtedy P jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych elementów jednorodnych a, b ∈ A zachodzi ab ∈ P ⇒ a ∈ P lub
b ∈ P.
Dowód. Jedna implikacja jest oczywista. Załóżmy, że dla dowolnych elementów jednorodnych a, b ∈ A zachodzi
ab ∈ P ⇒ a ∈ P lub b ∈ P . Przypuśćmy, że a, b ∈ A są elementami takimi, że ab ∈ P ale a 6∈ P, b 6∈ P . Rozważmy
rozkłąd a i b na składowe jednorodne
a = a0 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an , ak 6∈ P, ak+1 , . . . , an ∈ P
z1
b = b0 + · · · + bl + bl+1 + · · · + bm , bl 6∈ P, bl+1 , . . . , bm ∈ P
Wtedy a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) · · · + (ak−1 bl + ak bl−1 ) + ak bl = (a0 + · · · + ak )(b0 + · · · + bl ) = ab − (ak+1 + · · · +
an )(b0 + · · · + bm ) − (a0 + · · · + ak )(bl+1 + · · · + bm ) ∈ P skąd ak bl ∈ P , sprzeczność.
na
Propozycja I.19. Niech Q ⊂ A będzie ideałem jednorodnym pierścienia z gradacją A. Wtedy Q jest ideałem prymarnym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych elementów jednorodnych a, b ∈ A zachodzi ab ∈ Q ⇒ a ∈ Q lub
b ∈ Rad Q.
ws
tęp
Dowód. Jedna implikacja jest oczywista. Załóżmy, że dla dowolnych elementów jednorodnych a, b ∈ A zachodzi
ab ∈ Q ⇒ a ∈ Q lub b ∈ Rad Q. Przypuśćmy, że a, b ∈ A są elementami takimi, że ab ∈ Q ale a 6∈ Q, b 6∈ rad Q.
Rozważmy rozkład a i b na składowe jednorodne
a = a0 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an , ak 6∈ Q, ak+1 , . . . , an ∈ Q
b = b0 + · · · + bl + bl+1 + · · · + bm , bl 6∈ rad Q, bl+1 , . . . , bm ∈ rad Q
Wtedy dla dowolnego N ∈ + mamy a (b0 + · · · + bl )2N +1 − (bl+1 + · · · + bn )2N +1 = (a0 + · · · + ak + ak+1 +
+1
+1
+1
· · · + an )(b02N +1 + · · · + b2N
+ b2N
+ · · · + b2N
) ∈ Q.
n
l
l+1
Z
+1
+1
2N +1
Dla dostatecznie dużego N mamy b2N
∈ Q podczas gdy b2N
6∈ Rad Q więc (a0 +· · ·+ak )(b02N +1 +
l+1 +· · ·+bn
l
2N +1
2N +1
2N +1
· · · + bl
) = (a0 b0
+ · · · + a k bl
) ∈ Q. Sprzeczność.
ja
Niech I ⊂ A będzie ideałem pierścienia z gradacją, niech Iˆ będzie ideałem generowanym przez elementy jednorodne
ideału I, ideał Iˆ jest największym ideałem jednorodnym pierścienia A zawartym w I.
ers
Wniosek I.20. Jeśli P jest ideałem pierwszym (odp. Q ideałem prymarnym) pierścienia A to P̂ jest również ideałem
pierwszym (odp. Q̂ ideałem prymarnym).
Propozycja I.21. Niech A będzie pierścieniem noetheorwskim z gradacją i niech I ⊂ A będzie ideałem jednorodnym,
Ass(A/I) = {p1 , . . . , pn }. Wtedy istnieją jednorodne ideały prymarne q1 , . . . , qn t.że Rad qi = pi oraz I = q1 ∩
· · · ∩ qn .
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Rozdział I. Rozmaitości quasi–rzutowe
rw
ca
2
7
Dowód. Niech q̃1 , . . . , q̃n będą dowolnymi ideałami prymarnymi t.że Rad q̃i = pi oraz I = q̃1 ∩ · · · ∩ q̃n . Niech
qi = qb̃i będzie największym ideałem jednorodnym zawartym w q̃i . Ideał qi jest ideałem prymarnym oraz I ⊂ qi ⊂ q̃i
skąd I = q1 ∩ · · · ∩ qn . Oczywiście mamy ponadto Rad qi = pi .
Definicja I.14. Składniki rozkładu z tezy poprzedniego twierdzenia nazywamy składowymi nierozkładalnymi zbioru
V.
Wniosek I.22. Składowymi nierozkładalnymi zbioru algebraicznego V ⊂
kładalne.
P k
k nazywamy nierozkładalny podzbiór algebraiczny przestrzeni rzu-
Topologią Zariskiego na rozmaitości rzutowej V ⊂
na n .
P
Pn nazywamy topologię indukowaną przez topologię Zariskiego
ze
Definicja I.15. Rozmaitością rzutową nad ciałem
towej n ( ).
Pn są jego maksymalne podzbiory nieroz-
Podzbiór otwarty rozmaitości rzutowej nazywamy rozmaitością quasi–rzutową.
Pn jest algebraiczny wtedy i tylko wtedy gdy P−1(V ) ∪ {0} ⊂ An+1 jest algebraiczny.
P
Dla dowolnej hiperpowierzchni H ⊂ n dopełnienie
ficznej z n , ale izomorfizm taki nie jest kanoniczny).
P
Pn \ H ma naturalną strukturę przestrzeni afinicznej (izomor-
z1
A
0c
Propozycja I.23. Zbiór V ⊂
P
Propozycja I.24. Jeżeli V ⊂ n jest zbiorem algebraicznym, to V \ (H ∩ V ) ⊂ n \ H jest zbiorem afinicznym
algebraicznym. Jeżeli V0 ⊂ n \ H jest zbiorem afinicznym algebraicznym, to jego domknięcie V := V¯0 jest zbiorem
algebraicznym rzutowym takim, że V0 = V \ H.Jeżeli V1 jest zbiorem algebraicznym rzutowym takim, że V1 \ H = V0
oraz żadna składowa V1 nie zawiera się w H to V = V1 .
P
P
A
na
Przestrzeń rzutowa n ma pokrycie otwarte standardowymi zbiorami otwartymi Ui := {[x] : xi 6= 0} ∼
= n. Z
dokładnością do tego izomorfizmu I(V ∩ Ui ) = {f (x1 , . . . , xi , 1, xi+1 , xn ) : f ∈ I(V )} – jest to dehomogenizacja
I(V ) względem xi . Z drugiej strony n jest podzbiorem otwartym przestrzeni rzutowej ( × n ) ∼
= n . Z dokładn
n
nością do tego izomorfizmu, możemy traktować
jako podzbiór
, domknięcie zbioru afinicznego algebraicznego
n
n
V ⊂
w
nazywamy domknięciem rzutowym, zwykle oznaczać je będziemy V̂ , natomiast zbiór V∞ := V̂ \ V .
Xn
1
nazywamy zbiorem punktów w nieskończoności. Mamy I(V̂ ) := {X0deg f · f ( X
X0 , . . . , X0 ) : f ∈ I(V )}, jest to homogenizacja ideału I(V ). A zatem utożsamiając n \ n z n−1 mamy I(V̂ ) = lt(I(V )) jest ideałem generowanym
przez formy wiodące elementów I(V ).
A
P
ws
tęp
A
A
P
Pk A
P
P A P
3. Funkcje regularne i wymierne
Niech V będzie rozmaitością quasi–rzutową.
k
Definicja I.16. Funkcję f : V −−−−→ nazywamy regularną w punkcie P ∈ V jeżeli istnieje otwarte otoczenie U
punktu P oraz wielomiany jednorodne tego samego stopnia g, h ∈ [X0 , . . . , Xn ] takie, że g nie znika nigdzie na U
oraz f = hg na U . Mówimy, że f jest regularna na V jeżeli jest regularna w każdym punkcie V . Będziemy oznaczać
przez O(V ) pierścień funkcji regularnych na V .
ja
k
ers
Funkcja regularna w punkcie P ∈ V ma w tym punkcie określoną wartość.
Jeżeli P jest punktem rozmaitości quasi–rzutowej V to w zbiorze par (U, f ), gdzie U jest otoczeniem punktu P w V ,
f jest funkcją regularną w punkcie P wprowadzamy relację równoważności (U, f ) ∼ (U 0 , f 0 ) wtedy i tylko wtedy gdy
f = f 0 na U ∩ U 0 .
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
3. Funkcje regularne i wymierne
8
Definicja I.17. Pierścieniem lokalnym rozmaitości V w punkcie P nazywamy zbiór OV,P klas abstrakcji powyższej
relacji z naturalnymi działaniami.
Ćwiczenie 2. OV,P = lim{OU : U otoczenie P w V }.
←−
Propozycja I.25. Jeżeli V ⊂ n ⊂ n jest rozmaitością nierozkładalną afiniczną, to O(V ) ∼
= [V ].
A
P
k
k
k
G
Dowód. Iloraz H
, gdzie G, H ∈ k[X0 , . . . , Xn ] są wielomianami tego samego stopnia można utożsamiać z fg ,
gdzie g = G∗ , h = H∗ są dowolnymi wielomianami. Zatem inkluzja k[V ] ⊂ O(V ) jest oczywista. Ponadto dla
dowolnego ustalonego f ∈ O(V ) zbiór I := {h ∈ k[V ] : hf ∈ k[V ]} jest ideałem, a dla każdego p ∈ V istnieje
h ∈ I t.że h(P ) 6= 0. Zatem V (I) = ∅, w konsekwencji I(V ) = k[V ] czyli 1 ∈ I(V ), a więc f = 1 · f ∈ k[V ].
Jeżeli f ∈ OV,P to istnieje otoczenie otwarte U punktu P oraz funkcje g, h ∈ k[V ] takie, że f = hg na U . Jeżeli
g 0 , h0 ∈ k[V ] jest inną parą taką, że f = hg w otoczeniu punktu P , to gh0 − g 0 h = 0 na niepustym otwartym
podzbiorze V , i z nierozkładalności na V . Odwrotnie jeżeli g, h ∈ k[V ], h(P ) 6= 0, to hg zadaje funkcje regularną z
ze
Dla dowolnego p ∈ V pierścień lokalny OV,P rozmaitości V w punkcie P jest lokalizacją pierścienia [V ] w ideale
maksymalnym mP = I({P }) = {f ∈ [V ] : f (P ) = 0}.
0
0
0c
OV,P .
k
Definicja I.18. Jeżeli V, W są rozmaitościami quasi–rzutowymi nad , to morfizmem nazywamy odwzorowanie φ :
V −−−−→ W ciągłe i takie, że dla dowolnego podzbioru otwartego U ⊂ W i dowolnej funkcji regularnej f : U −−−−→
funkcja f ◦ φ : φ−1 (U ) −−−−→ jest regularna.
k
k
z1
Ćwiczenie 3. W przypadku rozmaitości afinicznych powyższa definicja zgadza się z poprzednią.
W zbiorze par (U, f ), gdzie U jest podzbiorem otwartym niepustym V , f jest funkcją regularną na U wprowadzamy
relację równoważności (U, f ) ∼ (U 0 , f 0 ) wtedy i tylko wtedy gdy f = f 0 na U ∩ U 0 .
k
Definicja I.19. Zbiór klas abstrakcji powyższej relacji nazywamy ciałem funkcji wymiernych (V ) na V .
k
k
Propozycja I.26. Jeżeli V jest rozmaitością afiniczną, to (V ) jest ciałem ułamków pierścienia [V ].
A
P
k
na
Propozycja I.27. Jeżeli V ⊂ n ⊂ n jest rozmaitością nierozkładalną quasi–rzutową, to ciało funkcji wymiernych
jest ciałem ułamków pierścienia lokalnego w dowolnym punkcie. Każda funkcja wymierna na V posiada przedstawienie
w postaci fg , gdzie f, g ∈ [X0 , . . . , Xn ] są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia g 6∈ I(V ).
ws
tęp
Dla ustalonych liczb
naturalnych n, d oznaczmy przez M1 , . . . , MN wszystkie jednomiany stopnia d zmiennych X0 , . . . , Xn ,
gdzie N = n+d
− 1.
n
P
Propozycja I.28. Odwzorowanie Vn,d : n 3 x 7→ (M1 (x), . . . , MN (x)) ∈
zwanym zanurzeniem d–krotnym (lub zanurzeniem Veronese).
PN −1 jest izomorfizmem na obraz
P
Dowód. Oznaczmy przez Y0 , . . . , YN −1 zmienne w N −1 . Ponieważ jednomiany X0d , . . . , Xnd nie mają wspólnego zera, więc odwzorowanie Veronese jest dobrze określone. Pokażemy, że obraz odwzorowania Vn,d jest zadany
równaniami Yi Yj − Yk Yl dla dowolnych i, j, k, l takich, że Mi Mj = Mk Ml , a więc jest zbiorem algebraicznym. Ustalmy punkt y ∈ N −1 spełniający wszystkie powyższe równania, istnieje j = 0, . . . , N − 1 takie, że yj 6= 0, niech
α ∈ n będzie wielowskaźnikiem takim, że Mj = X α . Zauważmy, że jeśli < 0αi < d dla pewnego i = 0, . . . , n, to
yk 6= 0 dla pewnego k takiego, że Mk = X β oraz βi = αi+1 . Mamy bowiem (X α )2 = (X β )(X γ ) czyli Mj2 = Mk Ml
dla pewnego k spełniającego powyższy warunek. Poprzez indukcję yk 6= 0 dla k takiego, że Mk = Xid . Niech mj
będzie wielowskaźnikiem takim, że Mmj = Xid−1 Xj , j = 0 . . . , n. Poprzez podobną do poprzedniej indukcję pokazujemy, że Vn,d (ym0 , . . . , ymn ) = y, czyli y ∈ Vn,d ( n ).
P
ja
N
Xid .
P
ers
Niech Mki =
Zbiory otwarte Wi := Vn,d ∩ {Yki 6= 0} (i = 0, . . . , n) stanowią pokrycie otwarte obrazu
Vn,d , a przeciwobraz Wi jest równy Ui więc wystarczy sprawdzić, że regularne jest odwzorowanie Vn,d : Ui 7→ Wi
jest izomorfizmem. Odwzorowanie to we współrzędnych afinicznych zadane jest przez wszystkie jednomiany stopnia
mniejszego lub równego d, a więc jest odwzorowaniem wielomianowym, a odwrotne do niego jest rzutowaniem na
współrzędne odpowiadające jednomianom stopnia jeden.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
9
P
P
rw
ca
2
P
01
Rozdział I. Rozmaitości quasi–rzutowe
Przykład I.5.
(i) Zanurzenie dwukrotne 1 jest izomorfizmem prostej rzutowej na stożkową w 2 .
(ii) Zanurzenie trzykrotne 1 jest izomorfizmem prostej na “twisted cubic”, krzywą “stopnia 3” w 3 . Krzywa ta
jest przecięciem trzech kwadryk w 3 lub kwadryki i kubiki w 3 , ale nie jest przecięciem dwóch kwadryk.
Jest pełnym przecięciem teoriomnogościowym ale nie jest pełnym przecięciem.
(iii) Ogólnie zanurzenie d–krotne 1 jest izomorfizmem na wymierną krzywą normalna stopnia d w d .
P
P
P
P
P
Definicja I.20. Rozmaitość quasi–rzutową izomorficzną z rozmaitością afiniczną nazywamy rozmaitością afiniczną.
A2 \ {0} nie jest afiniczna.
Lemat I.29. Jeżeli V ⊂ Pn jest rozmaitością rzutową, H ⊂ Pn jest hiperpowierzchnią.. Wtedy V \H jest rozmaitością
Ćwiczenie 4. Rozmaitość quasi–afiniczna
ze
afiniczną.
Dowód. Niech H = V (F ), gdzie F jest wielomianem jednorodnym stopnia d. Zanurzenie Veronese Vn,d jest
izomorfizmem V na obraz V1 , przy którym V ∩ H przechodzi na przecięcie V z hiperpłaszczyzną H1 , więc V \ H
jest izomorficzny z V1 \ H1 .
k
0c
A
Lemat I.30. Jeżeli V ⊂ n jest rozmaitością afiniczną f ∈ [V ] funkcją regularną różną od stałej. Wtedy podzbiór
otwarty V \ f −1 (0) jest izomorficzny z rozmaitością afiniczną Vf := {(x, xn+1 ) ∈ n × 1 : xn+1 f (x) − 1 = 0}.
Ponadto [Vf ] ∼
= [V ]f .
k
k
A
A
z1
1
Dowód. Odwzorowanie V 3 (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . , xn , f (x1 ,...,x
) ∈ Vf jest bijekcją regularną. Odwzoron)
wanie odwrotne jest zacieśnieniem rzutowania na pierwszych n–zmiennych.
Jest to tzw. trik Rabinovitcha w dowodzie HilbertNullstelensatz.
na
Z dwóch powyższych Lematów wynika, że topologia Zariskiego rozmaitości quasi–rzutowej ma bazę topologii złożoną
z podzbiorów otwartych afinicznych.
Twierdzenie I.31. Rozmaitości quasi–rzutowe tworzą z odwzorowaniami regularnymi kategorię.
P P
ws
tęp
Definicja I.21. Zanurzeniem Segre Sn,m : n × m −−−−→
zadane przez ((x0 : · · · : xn ), (y0 , . . . , ym )) 7→ (xi yj ) ∈ N .
P
PN , gdzie N = nm + n + m nazywamy odwzorowanie
Propozycja I.32. Odwzorowanie Sn,m jest bijekcją na podzbiór domknięty V ⊂
Zil Zkj .
PN zadany przez równania Zij Zkl =
Dla dowolnych i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m odwzorowanie Segre jest odwzorowaniem biregularnym przeprowadzającym {Xi 6= 0} × {Yj 6= 0} na V ∩ {Zij 6= 0}.
Zanurzenie Segre zadaje dwa odwzorowania π1 : V −−−−→
Pn, π2 : V −−−−→ Pm.
Propozycja I.33. Odwzorowania π1 , π2 są regularne.
ja
Trójka V, π1 , π2 spełnia własność uniwersalną produktu.
ers
Niech V, W będą rozmaitościami quasi–rzutowymi. W zbiorze par (U, f ), gdzie U jest niepustym podzbiorem otwartym f : U −−−−→ W morfizmem, wprowadzamy relację równoważności (U, f ) ∼ (U 0 , f 0 ) wtedy i tylko wtedy gdy
f = f 0 na U ∩ U 0 .
Definicja I.22. Klasy abstrakcji powyższej relacji nazywamy odwzorowaniami wymiernymi V −−−−→ W . Odwzorowanie wymierne nazywamy dominującym jeżeli obraz pewnego (a więc również każdego) reprezentanta jest gęsty
w W.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
rw
ca
2
P
01
3. Funkcje regularne i wymierne
10
Naiwna definicja odwzorowań wymiernych: odwzorowaniem wymiernym zbioru rzutowego V ⊂ n w przestrzeń
rzutową m nazywamy zacieśnienie do V odwzorowania V 3 x 7→ (f0 (x), . . . , fm (x)) ∈ m , gdzie fi są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia, z których nie wszystkie znikają na V . Dwa odwzorowania (fo , . . . , fm ) oraz
(g0 , . . . , gm ) są równe jeżeli fi gj − fj gi znika na V . Pomimo swej naturalności definicja taka ma poważne mankamenty: aa przykład trudno jest zdefiniować złożenie, dziedzinę itd. Ponadto trudno jest określić odwzorowanie wymierne
V −−−−→ W (uwaga! idPn : n −−−−→ Uo jest odwzorowaniem wymiernym, jaka jest jego dziedzina).
P
P
P
ze
Złożenie odwzorowań wymiernych nie zawsze ma sens, jeżeli f : V −−−−→ W, g : W −−−−→ Z są odwzorowaniami
wymiernymi i obraz pewnego reprezentanta f przecina dziedzinę reprezentanta g to złożenie tych reprezentantów jest
określone na niepustym zbiorze otwartym V , a więc zadaje odwzorowanie wymierne g ◦ f , nie zależy ono od wyboru
reprezentantów. Warunek ten jest oczywiście spełniony gdy f jest odwzorowaniem wymiernym dominującym. W ten
sposób dowolne odwzorowanie dominujące f : V −−−−→ W zadaje homomorfizm ciał f ∗ : (W ) −−−−→ (V ).
k
k
Twierdzenie I.34. Dla dowolnych dwóch rozmaitości quasi–rzutowych istnieje bijekcja między
(i) zbiór odwzorowań wymiernych dominujących V −−−−→ W ,
(ii) zbiór –homomorfizmów (zanurzeń) (W ) −−−−→ (V ).
k
k
0c
k
Odwzorowanie powyższe zadaje kontrawariantny izomorfizm kategorii rozmaitości quasi–rzutowych nad
waniami wymiernymi dominującymi oraz kategorii skończenie generowanych rozszerzeń ciała .
k
k z odwzoro-
z1
Propozycja I.35. Niech V, W będą rozmaitościami quasi–rzutowymi, P ∈ V, Q ∈ W – ustalonymi punktami. Wtedy
OV,P ∼
= OW,Q wtedy i tylko wtedy gdy istnieją otoczenia V0 punktu P oraz 0 punktu Q takie, że (V0 , P ) i (W0 , Q) są
izomorficzne.
na
Dowód. Bezpośrednio z definicji mamy OV,P ∼
= OV0 ,P i podobnie OW,Q ∼
= OW0 ,Q . Jeżeli więc V0 i W0 są
∼
izomorficzne to OV,P , = OW,Q .
A
A
ws
tęp
Dla dowodu przeciwnej implikacji mażemy założyć, że V ⊂ n i W ⊂ m są rozmaitościami afinicznymi. Niech
f ∗ : OW,P −−−−→ OV,Q oraz g ∗ : OV,P −−−−→ OW,Q będą wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami pierścieni
lokalnych. Niech x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym będą funkcjami współrzędnymi na V i W . Oznaczmy przez fj := f ∗ (yj ),
gi := g ∗ (xi ). Wtedy f := (f1 , . . . , fn ) : V −−−−→ W , g := (g1 , . . . , gm ) : W −−−−→ V są wzajemnie odwrotnymi
odwzorowaniami biwymiernymi, regularnymi odp. w P i Q zamieniającymi P z Q. Niech V1 , W1 będą podzbiorami
otwartymi na których określone są f i g. Wtedy V0 := V1 ∩ f −1 (W1 ), W0 := W1 ∩ g −1 (V1 ) spełniają tezę.
Analogicznie dowodzi się
ers
ja
Propozycja I.36. Rozmaitości quasi–rzutowe są biwymierne wtedy i tylko wtedy gdy zawierają izomorficzne (niepuste)
podzbiory otwarte.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Pojęcie wymiaru
1. Wymiar rozmaitości afinicznej
An nazywamy kres górny długości łańcuchów podzbiorów
ze
Definicja II.1. Wymiarem zbioru algebraicznego V ⊂
algebraicznych nierozkładalnych V
rw
ca
2
ROZDZIAŁ II
0c
dim V := max{k : ∅ $ Z0 $ Z1 $ · · · $ Zk ⊂ V, Zi nierozkładalny}.
Przykład II.1.
A
A
(1) dim( 1 ) = 1. Jedynymi podzbiorami algebraicznymi 1 są podzbiory skończone, zbiór pusty i
(2) dim(V ) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy V jest zbiorem skończonym,
(3) Jeżeli V = V1 ∪ · · · ∪ Vs to dim V = max Vi .
z1
i=1...s
A1,
Definicja II.2. Wysokością ideału pierwszego I pierścienia R nazywamy kres górny długości łańcuchów ideałów
pierwszych zawartych w I,
height(I) := sup{k : I0 $ I1 $ · · · $ Ik = I, Ii ideał pierwszy}.
Wysokością dowolnego ideału I 6= R nazywamy kres dolny wysokości dzielników pierwszych I.
na
Wymiarem Krulla dim R pierścienia R nazywamy kres górny wysokości jego ideałów pierwszych.
Uwaga. Wymiar Krulla pierścienia przemiennego jest kresem górnym długości łańcuchów ideałów pierwszych.
Wymiar Krulla jest równy kresowi górnemu wysokości minimalnych ideałów pierwszych.
ws
tęp
Jeśli (R, m) jest pierścienie lokalnym, to dim R = height(m).
Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, q ⊂ R ideałem pierwszym, to height(q) = height(qRq ) dim Rq .
Twierdzenie II.1. Jeżeli V jest zbiorem algebraicznym afinicznym to
k
dim V = dim [V ].
Propozycja II.2. Jeżeli R ⊂ S jest rozszerzeniem całkowitym pierścieni to dim R = dim S.
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenie “going–up” Cohena–Seidenberga.
k
Propozycja II.3. dim [X1 , . . . , Xn ] = n.
k
Dowód. Indukcja ze względu na n. Dla n = 1 jest to oczywiste. Załóżmy, że dim [X1 , . . . , Xn−1 ] = n − 1.
Nierówność dim [X1 , . . . , Xn ] ­ n jest oczywista. Niech I0 $ I1 $ · · · $ Ik będzie dowolnym łańcuchem ideałów
pierwszych. Możemy założyć, że I1 jest ideałem głównym geberowanym przez wielomian nierozkładalny f , dodatkowo
(po ewentualnej zmianie zmiennych) możemy przyjąć, że f jest wielomianem unormowanym względem zmiennej Xn .
Rozpatrzmy łańcuch ideałów pierwszych 0 = I1 /I1 $ I2 /I1 $ · · · $ Ik /I1 pierścienia [X1 , . . . , Xn ]/I1 . Ponadto
[X̄1 , . . . , X̄n−1 ] ⊂ [X1 , . . . , Xn ]/(f ) jest rozszerzeniem całkowitym a elementy X̄1 , . . . , X̄n−1 są algebraicznie
niezależne nad . Mamy więc k − 1 ¬ dim [X1 , . . . , Xn ]/I1 = dim [X̄1 , . . . , X̄n−1 ] = n − 1, czyli k ¬ n i
dim [X1 , . . . , Xn ] ¬ n.
ers
ja
k
k
k
k
k
k
k
k
11
01
5
Twierdzenie II.4. Jeżeli V jest rozmaitością afiniczną to
k
k
dim V = dim [V ] = tr. deg (V ).
rw
ca
2
1. Wymiar rozmaitości afinicznej
12
k[V ] jest całkowitym rozszerzeniem pierścienia
k[Z1, . . . , Zd], gdzie Z1, . . . , Zd są algebraicznie niezależnymi elementami k[V ] natomiast d = tr. deg k(V ). Wtedy
dim k[V ] = dim k[Z1 , . . . , Zd ] = d, gdyż pierścień k[Z1 , . . . , Zd ] jest izomorficzny z pierścieniem wielomianóœ d
Dowód. Na mocy Lematu Noether o normalizacji pierścień
zmiennych.
dim
An = n
ze
Wniosek II.5.
An ma wymiar n − 1 wtedy i tylko wtedy gdy jest hiperpowierzchnią, to znaczy
istnieje wielomian nierozkładalny i niestały f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] taki, że V = V (f ).
0c
Wniosek II.6. Podrozmaitość V ⊂
Dowód. Jeżeli f jest niestałym, nierozkładalnym wielomianem to (po liniowej zmianie zmiennych) możemy za-
k
łożyć, że f (X1 , . . . , Xn ) jest wielomianem unormowanym ze względu na Xn , a zatem [X1 , . . . , Xn ]/(f ) jest całko-
k
k
witym rozszerzeniem pierścienia [X1 , . . . , Xn−1 ] oraz X1 , . . . , Xn−1 są algebraicznie niezależne nad . Stąd oczy-
k
z1
wiście dim(V ) = dim [X1 , . . . , Xn ]/(f ) = n − 1.
k
Na odwrót niech V będzie zbiorem nierozkładalnym wymiaru n−1. Możemy założyć, że [X1 , . . . , Xn ]/I(V ) jest cał-
k
kowitym rozszerzeniem [X1 , . . . , Xn−1 ]. Przypuśćmy, że I(V ) zawiera dwa wielomiany nierozkładalne f, g. Wtedy
rugownik f i g (względem Xn ) jest niezerowym elementem I(V ) zależnym tylko od X1 , . . . , Xn−1 , wbrew algebraicznej niezależności X1 , . . . , Xn−1 modulo I(V ). Uzyskana sprzeczność pokazuje, że I(V ) zawiera co najwyżej jeden
na
element nierozkładalny, a ponieważ ideał I(V ) jest pierwszy jest on generowany przez wielomian nerozkładalny.
Jedna z implikacji powyższego Wniosku ma uogólnienie wynikające z następującego
Twierdzenie II.7 (Twierdzenia Krulla o ideałach głównych). Niech R będzie pierścieniem noetherowskim i niech
ws
tęp
(a) 6= R będzie ideałem głównym R. Wtedy height(P ) ¬ 1 dla dowolnego minimalnego dzielnika pierwszego ideału
(a). Jeśli a nie jest dzielnikiem zera w R to height(P ) = 1.
Lemat II.8. Pierścień lokalny noetherowski wymiaru 0 posiada własność stabilizacji zstępujących ciągów ideałów
(jest artinowski).
Dowód. Niech I1 ⊃ I2 ⊃ . . . będzie zstępjącym ciągiem ideałów pierścienia R lokalnego wymiaru 0. Ideał
m jest jedynym ideałem pierwszym pierścienia R, ponadto dla pewnego k ∈
2
k+1
ideałów R ⊃ m ⊃ m ⊃ · · · ⊃ m
l
l+1
= (0). Kolejne ilorazy m /m
N mamy mk+1 = 0. Rozważmy ciąg
są skończenie wymiarowymi przestrzeniami
wektorowymi nad R/m natomiast obraz dowolnego ideału zadaje podprzestrzenie wektorowe. A zatem istnieje N ∈
l
l+1
ja
takie, że dla n ­ N mamy In + m /m
l
= In+1 + m /m
l+1
N
.
Pozostaje więc nam pokazać, że jeśli I ⊂ J ⊂ m są ideałami takimi, że (I ∩ ml−1 ) + ml = (J ∩ ml−1 ) + ml
ers
dla l = 1, . . . , k to I = J. Oczywiście mamy I ∩ mk = J ∩ mk . Aby zakończyć dowód indukcyjny załóżmy, że
I ∩ ml = J ∩ ml . Mamy również (I ∩ ml−1 ) + ml = (J ∩ ml−1 ) + ml . Niech więc x ∈ J ∩ ml−1 ⊂ (I ∩ ml−1 ) + ml .
Niech x = y + t, gdzie y ∈ I ∩ ml−1 , t ∈ ml . Wtedy t ∈ ml ∩ (J ∩ ml−1 ) ⊂ ml−1 ∩ I. Ostatecznie x ∈ ml−1 ∩ I,
czyli ml−1 ∩ I = ml−1 ∩ J. Kontynuując indukcyjnie otrzymamy I = J.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Rozdział II. Pojęcie wymiaru
rw
ca
2
13
Dowód. Oczywiście jeśli a nie jest dzielnikiem zera, to P nie składa sie wyłącznie z dzielników zera więc nie
jest minimalnym ideałem pierwszym czyli height(P ) ­ 1, co pokazuje, że druga część wynika z pierwszej.
Zauważmy, że dla dowolnego ideału pierwszego height(p) = dim Rp ponadto przy założeniach twierdzenia pRp jest
minimalnym dzielnikiem pierwszym ideału aRp . Możemy więc założyć, że R jest pierścieniem lokalnym, m jego
ideał maksymalny jest minimalnym dzielnikiem pierwszym ideału aRp . Musimy pokazać, że dla dowolnego ideału
pierwszego q pierścienia R różnego od m zachodzi height(q) = 0.
Rozważamy ciąg q (i) := (q i Rq )r potęg “symbolicznych” ideału q i utwórzmy ciąg zstępujący ciąg ideałów
(a) + q (1) ⊃ (a) + q (2) ⊃ . . .
N
0c
ze
pierścienia lokalnego noetherowskiego R/(a) wymiaru 0, więc się stabilizuje. To znaczy dla pewnego n ∈ mamy
(a) + q (n) = a + q (n+1) . Zapiszmy element g ∈ q (n) w postaci g = ra + g 0 , dla pewnego g 0 ∈ q (n+1) . Mamy więc
ra ∈ q (n) , a 6∈ q, więc na mocy definicji potęgi symbolicznej r ∈ q (n) i ostatecznie q (n) = aq (n) + q (n+1) . Ponieważ
a ∈ m więc z Lematu Nakayamy q (n) = q (n+1) . Z definicji potęgi symbolicznej oznacza to, że q n Rq = q n+1 Rq , więc
z Lematu Nakayamy q n Rq = 0. Zatem ideał maksymalny pierścienia lokalnego Rq jest nolpotentny, więc height(q) =
dim Rq = 0.
A
k
z1
Propozycja II.9. Niech V ⊂ n będzie rozmaitością afiniczną i niech f ∈ [V ] będzie funkcją nie równą tożsamościowo zero na V . Oznaczmy przez V1 = {x ∈ V : f (x) = 0}. Wtedy albo V1 = ∅ albo każda składowa V1 ma wymiar
równy dim V − 1.
Propozycja II.10. Pierścień noetherowski wymiaru 0 spełnia warunek stabilizacji zstępujących łańcuchów
An jest rozmaitością afiniczną, f1, . . . , fk ∈ k[X1, . . . , Xn], to każda składowa nieAn : f1(x) = · · · = fk (x)) = 0} ma wymiar większy lub równy dim V − k.
Propozycja II.11. Jeżeli V ⊂
rozkładalna zbioru V ∩ {x ∈
na
Prawdziwe jest trochę mocniejsze twierdzenie
Twierdzenie II.12 (Twierdzenie Krulla o wysokości). Niech R będzie pierścieniem noetherowskim, P minimalnym
dzielnikiem pierwszym ideału generowanego przez n–elementów. Wtedy P ma wysokość co najwyżej n. Na odwrót jeśli
P ma wysokość n to jest minimalnym dzielnikiem pierwszym ideału generowanego przez n–elementów.
A
ws
tęp
Uwaga. Jeżeli V ⊂ n jest rozmaitością algebraoczną (zbiorem algebraicznym stałego wymiaru), to minimalna liczba
równań opisujących zbiór V jest większa lub równa n − dim V . Zbiór V nazywamy pełnym przecięciem teoriomnogościowym jeśli da się opisać za pomocą n − dim V równań, pełnym przecięciem jeśli ideał I(V ) jest generowany przez
n − dim V wielomianów.
Przykład II.2. Krzywa będąca obrazem odwzorowania t 7→ (t3 , t4 , t5 ) jest pełnym przecięciem teoriomnogościowym, ale nie jest pełnym przecięciem, powierzchnia będąca obrazem odwzorowania (s, t) 7→ (s2 , s3 , t2 , t3 , ts) nie jest
pełnym przecięciem teoriomnogościowym.
ja
Uwaga. Łańcuch ideałów pierwszych nazywamy wysyconym, jeśli nie zawiera się on w dłuższym łańcuchu. Można
udowodniść, że w całkowitej algebrze afinicznej każde dwa wysycone łańcuchy mają tę samą długość równą wymiarowi
Krulla. Podobnie każdy dwa wysycone łańcuchy ideałów pierwszych p = I0 $ I1 $ · · · $ Ik = q między ideałami
pierwszymi p ⊂ q mają tę samą długość równą dim(R/p) − dim(R/Q), w szczególności w całkowitej algebrze
afinicznej dla dowolnego ideału pierwszego dim(R/p) = dim(R) − height(p).
A
A
ers
Niech V ⊂ n , W ⊂ m będą podzbiorami algebraicznymi. Oznaczmy przez X1 , . . . , Xn (odp. Y1 , . . . , Ym ) zmienne w przestrzeni n (odp. m ), niech I(V ) (odp. I(W )) będzie ideałem rozmaitości V (odp. W ) w pierścieniu
]) := I(V ) [X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ] (odp. I(V
]) :=
[X1 , . . . , Xn ] (odp. [Y1 , . . . , Ym ]). Oznaczmy przez I(V
I(V ) [X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ]) rozszerzenia ideałów I(V ) i I(W ) do pierścienia [X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ].
k
k
A
k
A
k
k
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
3. Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe
14
Lemat II.13.
A
])) = V × m ,
(i) V (I(V
^)) = n × W ,
(ii) V (I(W
]) + I(W
^)) = V × W ,
(iii) V (I(V
A
Wniosek II.14. V × W jest zbiorem algebraicznym.
Propozycja II.15. Jeżeli V i W są rozmaitościami afinicznymi to V × W jest również rozmaitością afiniczną.
ze
Dowód. Musimy wykazać nierozkładalność V × W . Załóżmy, że V = Z1 ∪ Z2 . Ustalmy y ∈ W . Niech Viy :=
{x ∈ V : (x, y) ∈ Vi }. Zbiory Viy są podzbiorami algebraicznymi V oraz V1y ∪ V2y = V , więc (z nierozkładalności
V ) V1y = V lub V2y = V . Niech Wi := {y ∈ W : Viy = V . Wtedy Wi są podzbiorami algebraicznymi W takimi, że
W = W1 ∪ W2 . Z nierozkładalności W wynika, że W = W1 (wtedy Z = Z1 ) lub W = W2 (wtedy Z = Z2 ).
k
k
k
Propozycja II.16. dim(X × Y ) = dim X + dim Y .
0c
])+ I(W
^) jest ideałem radykalnym, a więc, że jest równy (V ×W ). Stąd wynika,
Uwaga. Można wykazać, że ideał I(V
że [V × W ] ∼
= [V ] ⊗k [W ].
z1
Dowód. Niech d = dim V , e = dim W . Możemy przyjąć, że k[V ] jest całkowity nad k[x1 , . . . , xd ], natomiast
k[W ] – całkowity nad k[y1, . . . , ye]. Wtedy x1, . . . , xd, y1, . . . , ye są algebraicznie niezależne, a k[V × W ] jest całkowity nad k[x1 , . . . , xd , y1 , . . . , ye ], a stąd dim(V × W ) = d + e..
Wniosek II.17. Jeżeli V, W ⊂ An są rozmaitościami afinicznymi, to każda składowa dim(V ∩W ) ma wymiar większy
lub równy dim V + dim W − n.
An × An. Wtedy (V × W ) ∩ ∆ jest izomorficzny z V ∩ W .
na
Dowód. Niech ∆ będzie przekątną w
ws
tęp
2. Wymiar rozmaitości quasi-rzutowej
Propozycja II.18. Dla dowolnej rozmaitości quasi–rzutowej V następujące liczby są równe
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
k
tr. deg (V ),
maksymalna długość łańcuchów podzbiorów algebraicznych nierozkładalnych V ,
dim O(W ) dla dowolnego podzbioru otwartego afinicznego W ⊂ V ,
dim W dla dowolnego podzbioru otwartego afinicznego W ⊂ V .
k
Definicja II.3. Wymiarem rozmaitości quasi–rzutowej V nazywamy liczbę dim V := tr. deg (V ).
ja
Wymiar rozmaitości quasi–rzutowej jest równy wymiarowi jej domknięcia (w przestrzeni rzutowej) oraz wymiarowi
dowolnego jej podzbioru otwartego.
Propozycja II.19. Dla rozmaitości rzutowej V mamy dim
ers
P
P−1(V ) = dim V + 1.
Jeżeli V, W ⊂ n są rozmaitościami rzutowymi wymiaru d, e to każda składowa V ∩ W ma wymiar większy lub równy
d + e − n, a ponadto, jeżeli d + e ­ n to V ∩ W 6= ∅.
Podzbiór algebraiczny V ⊂
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
Pn jest hiperpowierzchnią wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa V ma wymiar n − 1.
5
01
Rozdział II. Pojęcie wymiaru
rw
ca
2
15
3. Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe
A
A
Niech V ⊂ n będzie podzbiorem domkniętym, P = (a1 , . . . , an ) ∈ n ustalonym punktem. Dla dowolnej prostej
L ⊂ n , P ∈ L określamy krotność przecięcia L z V w P . Prosta L jest dana parametryzacją Å1 3 t 7→ a + tv,
gdzie v ∈ n . Niech gL,V (t) będzie największym wspólnym dzielnikiem wielomianów jednej zmiennej f (a + tv),
f ∈ I(V ).
A
k
Definicja II.4. Krotnością przecięcia V z prostą L w punkcie a nazywamy krotność wielomianu gL,V w zerze.
Prostą afiniczną L nazywamy styczną do V w punkcie a jeśli krotność przecięcia L z V jest większa od jeden.
Prostą wektorową nazywamy styczną do V w punkcie a jeśli prosta afiniczna a + L jest styczna do V w punkcie a.
k
0c
Dowolny wielomian F ∈ [X1 , . . . , Xn ] ma rozwinięcie Taylora w a,
ze
Sumę mnogościową wszystkich prostych stycznych do V w punkcie a nazywamy przestrzenią styczną do V w a i
oznaczamy Ta V .
F (X) = F0 + F1 (X − a) + F2 (X − a) + · · · + Fd (X − a)
gdzie Fi jest wielomianem jednorodnym stopnia i.
Lemat II.20.
n
X
∂F
(a)
∂Xi
z1
F1 (X) = da F :=
k=1
Formę liniową da F nazywamy różniczką wielomianu F w punkcie a.
Lemat II.21.
Wniosek II.22.
da (F G) = F (a)da (G) + G(a)da (F )
na
da (F + G) = da (F ) + da (G),
Ta V =
\
{ker(da F ) : F ∈ I(V )}.
A
ws
tęp
Wniosek II.23. Jeśli F ∈ I(V ), to da F |Ta V = 0.
Niech V ⊂ n będzie podzbiorem domkniętym, a ∈ V . Mamy dobrze określony (niezależny od wyboru reprezentanta) homomorfizm
da : [V ] 3 F 7→ dx F |Ta V ∈ (Ta V )∗ .
k
Propozycja II.24. Powyższy homomorfizm indukuje izomorfizm
ma /m2a −−−−→ (Ta V )∗ .
Dowód. Homomorfizm da jest oczywiście epimorfizmem. Dowód ker(da ) = m2a uprościmy przyjmując a =
0. Jeśli dla Ḡ ∈ m0 mamy do G|T0 V = 0, to istnieje G1 ∈ I(V ) taki, że d0 G = d0 (G1 ). Wtedy G − G1 ∈
(X1 , . . . , Xn )n , czyli Ḡ ∈ m20 .
ja
Definicja II.5. Przestrzenią styczną do rozmaitości quasi–rzutowej V w punkcie a nazywamy przestrzeń (ma /m2a )∗ .
ers
Wymiar przestrzeni stycznej Ta V nazywamy wymiarem zanurzeniowym rozmaitościi V w punkcie a
edima V = dim Ta V.
Odwzorowanie regularne F : V −−−−→ W zadaje, dla dowolnego x ∈ V odwzorowanie styczne
Ta (F ) : Ta V −−−−→ TF (a) W.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
3. Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe
16
Ćwiczenie 5. Odwzorowanie styczne pokrywa się z odwzorowaniem zadanym przy pomocy macierzy Jacobiego.
Z lematu Nakayamy wynika, że elementy f1 , . . . , fr ∈ mx generują (są minimalnym układem generatorów) wtedy i
tylko wtedy gdy ich klasy f¯1 , . . . , f¯r są generatorami (bazą) przestrzeni wektorowej mx /m2x , a zatem wymiar zanurzeniowy rozmaitości w punkcie jest równy minimalnej liczbie generatorów ideału maksymalnego. Z drugiej strony
mamy następującą charakteryzację wymiaru Krulla pierścienia lokalnego
Niech V ⊂
An będzie rozmaitością afiniczną, W ⊂ V – podrozmaitością.
Definicja II.6. Pierścieniem lokalnym V wzdłuż W nazywamy lokalizację pierścienia rozmaitości V względem ideału
zbioru W ,
OV,W := [V ]IV (W ) .
ze
k
k
0c
Pieśścień OV,W składa się z funkcji wymiernych dających się przedstawić w postaci fg , gdzie f, g ∈ [V ], g nie znika
tożsamościowo na W . W szczególnym przypadku gdy W jest punktem, są to funkcje wymierne regularne w tym
punkcie, w sytuacji ogólnej są to funkcje wymierne regularne w punkcie gererycznym rozmaitości W .
Propozycja II.25. OV,W jest pierścieniem lokalnym, jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał funkcji znikających
na W .
A
z1
Propozycja II.26. Niech W ⊂ V ⊂ n będą rozmaitościami afinicznymi. Wymiar Krulla pierścienia lokalnego
OV,W jest równy minimalnej liczbie generatorów ideału m–prymarnego.
Dowód. Oczywiście wymiar Krulla OV,W to kres górny długości łańcuchów ideałów pierwszych między I(V ) a
I(W ), więc d := dim OV,W ¬ dim V − dim W .
na
Zauważmy, że elementy gf11 , . . . , gfrr generują ideał mW prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy W jest składową zioru
V (f1 , . . . , fr ), a stąd dim W ­ dim V − r, czyli r ­ dim V − dim W ­ dim OV,W .
A
ws
tęp
Z drugiej strony istnieje hiperpowierzchnia H1 ⊂ n zawierająca W i nie zawierająca V . Podosnie znajdziemy
indukcyjnie hiperpłaszczyzny Hi , . . . , Hd takie, że dla i ¬ d, W ⊂ Hi oraz Hi nie zawiera żadnej składowej
V ∩ H1 ∩ · · · ∩ Hi−1 . Wtedy hi = H̄i ∈ OV,W /(h1 , . . . , hi−1 ) nie jest dzielnikiem zera, więc każda dzielnik pierwszy
ideału OV,W /(h1 , . . . , hd ) ma wymiar zero, czyli ideał (h1 , . . . , hd ) jest m–prymarny,
Wniosek II.27. dim OV,W = dim V − dim W
Wniosek II.28. Dla dowolnego P ∈ V mamy edimP ­ dimP V .
Definicja II.7. Mówimy, że rozmaitość jest regularna (gładka, nieosobliwa) w punkcie P jeżeli dim TP V = dim V .
Zbiór punktów regularnych rozmaitości V oznaczamy RegV , jego dopełnienie (zbiór punktów osobliwych) oznaczamy
SingV .
ja
Twierdzenie II.29. Zbiór punktów gładkich rozmaitości V jest otwarty i niepusty.
k
n
o
∂fi
Dowód. Jeżeli f1 , . . . , fr ∈ [X1 , . . . , Xn ] są generatorami ideału I(V ) to Sing V = P ∈ V : rank ∂x
<
n
−
d
j
ers
jest opisany znikaniem minorów (n − d) × (n − d) macierzy Jacobiego, a zatem jest zbiorem domkniętym.
Pozostało wykazać, że Reg V jest zbiorem niepustym. Jest to oczywiste, gdy d = n. Jeżeli n < d to I(V ) zawiera
1
element niezerowy. Niech f1 ∈ I(V ) \ (0) będzie elementem najmniejszego stopnia. Zauważmy, że ∂f
∂xi 6= 0 dla
∂f1
pewnego i. Gdyby dla każdego i było ∂xi = 0 to wielomian f1 zawierałby zmienne wyłącznie w potęgach będących
wielokrotnościami charakterystyki p. A zatem z algebraicznej domkniętości ciała istniałby wielomian g1 taki, że
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
k
5
01
Rozdział II. Pojęcie wymiaru
zmiennych możemy założyć, że
∂f1
∂x1
k
1
p
rw
ca
2
f1 = (g1 )p , skąd g1 ∈ I(V ) oraz deg g1 =
17
deg f1 < deg f1 , sprzeczność. Zmieniając ewentualnie kolejność
6= 0, a ponieważ deg
∂f1
∂x1
< deg f1 , więc
∂f1
∂x1
6∈ I(V ).
Jeżeli d − 1 < n, to x̄2 , . . . , x̄n ∈ [V ] są algebraicznie zależne, a więc I(V ) zawiera wielomian niezerowy zależny
∂f2
6= 0 oraz
wyłącznie od x2 , . . . , xn . Zmieniając ewentualnie kolejność zmiennych x2 , . . . , xn możemy założyć, że ∂x
2
∂f2
∂x2 6∈ I(V ). Postępując indukcyjnie znajdziemy wielomiany fi (xi , . . . , xn ) ∈ I(V ), dla i = 1, . . . , n − d taki, że
∂fi
∂fi
∂xi 6∈ I(V ), a stąd zbiór {P ∈ V : ∂xi 6= 0 dla i = 1, . . . , n − d} jest niepustym podzbiorem Reg V
k
k
k
Uwaga. W dowodzie zamiast założenia, że ciało jest algebraicznie domknięte, wystarczy że char = 0 lub char = p
oraz p = . Ciało spełniające powyższy warunek nazywamy doskonałym.
k
k
k
k
k
k
( = R/m) algebraicznie niezależnymi nad .
k
k
ze
Propozycja II.30. Niech (R, m) będzie pierścieniem regularnym, u1 , . . . , ud minimalnym układem generatorów ide∞
L
ału m, d = dim R. Wtedy elementy ū1 , . . . , ūd są generatorami –algebry z gradacją grm (R) :=
mn /mn+1
0c
Dowód. Określamy suriekcję –algebr z gradacją f : [X1 , . . . , Xd ] −−−−→
∞
L
n=o
mn /mn+1 warunkiem f (Xi ) =
n=o
ui + m2 . Musimy wykazać, że f jest monomorfizmem. Jeżeli f nie jest monomorfizmem to istnieje wielomian jednorodny w1 ∈ ker(f ). Można znaleźć wielomiany jednorodne w2 , . . . , wd takie, że algebra [X1 , . . . , Xn ] jest całkowita
nad [w1 , . . . , wd ]. Zastępując wi ich potęgami możemy przyjąć, że wi mają ten sam stopień p. Dla dostatecznie dużego
k istnieją wielomiany jednorodne gij := gij (w1 , . . . , wd ) takie, że
z1
k
xkj + gk−1,j xjk−1 + · · · + g0,j = 0,
k
j = 1, . . . , d.
2
Wielomiany w2 , . . . , wd mają stopień p i f (Xi ) = ui + m , zatem f (w2 ), . . . , f (wd ) ∈ mp /mp+1 i istnieją elementy
v2 , . . . , vd ∈ mp takie, że f (wj ) = vj + mp+1 , j = 2, . . . , d. Oznaczmy J = (v2 , . . . , vd ), ,ponieważ wielomian gij
ma stopień k − i ­ 1, więc f (gij (w1 , . . . , wd )Xji ) = gij (0, v2 , . . . , vd )uij + mk+1 ∈ (J + mk+1 )/mk+1 .
ws
tęp
na
Stąd i z poprzednio wypisanych relacji całkowitej zależności ukj ∈ J +mk+1 , j = 1, 2, . . . , d. Niech n ­ dk, wówczas
αd
αd
α1
k+1
1
jednomian uα
)mn−k ⊂
1 ·· · ··ud stopnia n zawiera co najmniej jeden wykładnik ­ k, a stąd u1 ·· · ··ud ∈ (J +m
J + mn+1 , więc w rezultacie mn ⊂ J + mn+1 dla dostatecznie dużych n. Dlatego m((J + mn )/J) = (mJ + mn+1 +
J)/J = (J + mn+1 )/J ⊃ (J + mn )/J i z lematu Nakayamy J + mn = J. Wobec tego mn ⊂ J ⊂ mp ; ideał J jest
więc m–prymarny i ma (d − 1) generatorów. Sprzeczność z twierdzeniem Krulla o wymiarze.
k
k
Wniosek II.31. Jeżeli R jest lokalną -algebrą to u1 , . . . , ud są algebraicznie niezależne nad ciałem .
Wniosek II.32. Jeżeli f (X1 , . . . , Xd ) jest wielomianem jednorodnym stopnia s o współczynnikach z pierścienia R i
f (u1 , . . . , ud ) ∈ ms+1 to wszystkie współczynniki wielomianu f należą do m.
Wniosek II.33. Pierścień regularny nie ma dzielników zera.
Definicja II.8. Algebrę grm (R) nazywamy algebrą z gradacją pierścienia lokalnego R.
Uwaga. Dla dowolnej rozmaitości afinicznej pierścień grmP (OV,P ) jest pierścieniem stożka stycznego do V w punkcie x.
ers
ja
Niech P będzie punktem rozmaitości quasi–rzutowej V , u1 , . . . ud minimalnym układem generatorów ideału maksymalnego pierścienia OV,P
P∞
Definicja II.9. Szereg formalny Φ =
k=0 Φk , gdzie Φk jest wielomianem jednorodnym stopnia k, nazywamy
szeregiem Taylora funkcji f ∈ OV,P jeżeli dla dowolnego m ­ 0 mamy
f−
m
X
Φ(u1 , . . . , ud ) ∈ mm+1
.
P
k=0
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
3. Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe
18
Propozycja II.34. Dowolna funkcja f ∈ OV,P posiada szereg Taylora. Jeżeli rozmaitość V jest regularna w P to
szereg Taylora funkcji jest wyznaczony jednoznacznie.
A
k
Dowód. Niech V ⊂ n . Funkcja ma przedstawienie lokalnie jako hg , g, h ∈ [V ], h(P ) 6= 0. Niech F, G ∈
F
[X1 . . . , Xn ] takie, że f = F |V, g = G|V . Wtedy G
∈ [[X1 , . . . , Xn ]]. Korzystając z tego, że ū1 , . . . , ūd generują
mP /m2P , zastępujemy w kolejnych potęgach funkcje xi = Xi |V przez uj .
Pm
Przypuśćmy że P jest punktem nieosobliwym, a Φ szeregiem Taylora funkcji 0, to znaczy 0 Φ(k)(u1 , . . . , ud ) ∈
mm+1
. Ponieważ Φk (u1 , . . . , ud ) ∈ mk+1
⇒ Φk = 0 (Lemat), więc Φ = 0.
P
P
k
k
ze
Niech P będzie punktem regularnym rozmaitości V . Ponieważ suma (odp. iloczyn) szeregów Taylora dwóch funkcji
jest szeregiem Taylora ich sumy (odp. iloczynu) otrzymujemy homomorfizm OV,P −−−−→ [[X1 , . . . , Xd ]] ponieważ
∩k mkP = {0}, więc jest to monomorfizm. Pierścień lokalny w punkcie gładkim zanurza się w pierścień szeregów
formalnych dimP V zmiennych.
k
0c
Twierdzenie II.35. Pierścień lokalny regularny (R, m) jest całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków K.
Dowód. Niech rs ∈ K będzie elementem całkowitym na R, pokażemy, że dla dowolnego n ∈
R, b ∈ mn takie, że r = as + b. Dowód indukcją na n. Dla n = 0 oczywiste.
N istnieją a ∈
z1
Jeżeli r = as + b to sb = rs − a jest całkowity nad R, a więc istnieją d, c1 , c2 , · · · ∈ R takie, że d · bk = ck · sk .
Oznaczmy przez G : R −−−−→ grm(R) odwzorowanie zadane przez G(x) = x + mk+1 dla x ∈ mk \ mk+1 . Z
poprzedniej Propozycji wynika., że G(xy) = G(x)G(y) (jeśli R nie jest pierścieniem regularnym to mamy jedynie
G(xy) = G(x)G(y) lub G(x)G(y) = 0). A zatem G(d)(G(b))k = G(ck )(G(s))k . Ponieważ równość zachodzi w
pierścieniu faktorialnym więc G(s)|G(b), a zatem znajdziemy element a0 ∈ R taki, że G(b) = G(a0 )G(s), czyli
b − a0 s ∈ mn+1 .
T
Mamy więc r ∈
(sR + mn ) = sR, to znaczy rs ∈ R.
N
na
n∈
ws
tęp
Uwaga. Na ogół twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Jeżeli V = V (x2 + y 2 + z 2 ) ⊂
jest normalny ale nie regularny.
Propozycja II.36. Jeżeli V ⊂
k
A2, P = (0, 0, 0) to OV,P
An jest rozmaitością afiniczną to następujące warunki są równoważne
(1) [V ] jest pierścieniem normalnym,
(2) dla dowolnej podrozmaitości W ⊂ V pierścień OV,W jest normalny,
(3) dla dowolnego punktu P ∈ V pierścień OV,P jest normalny.
Definicja II.10. Rozmaitość quasi-rzutowa V jest normalna wtedy i tylko wtedy dla dowolnego punktu P ∈ V pierścień OV,P jest normalny.
ja
Propozycja II.37. Rozmaitość quasi-rzutowa regularna jest normalna.
Twierdzenie II.38. Jeżeli P jest punktem regularnym rozmaitości V to pierścień OV,P jest faktorialny
ers
Dowolna funkcja regularna f ∈ OV,a zadaje formę liniową
da f : Ta V (ma /m2a )∗ 3 φ −−−−→ φ((f − f (a)) + m2a ) ∈
k
(“formę różniczkową”). Zatem jeżeli a ∈ Reg V, d = dim V to f1 , . . . , fd ∈ ma generują ma wtedy i tylko wtedy
gdy da f1 , . . . , da fd są liniowo niezależne.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Rozdział II. Pojęcie wymiaru
rw
ca
2
k
19
Lemat II.39. Jeżeli f1 , . . . , fn−d ∈ [X1 , . . . , Xn ] są takie, że fi (a) = 0 oraz da f1 , . . . , da fn−d są liniowo niezależne, to zbiór V = V (f1 , . . . , fn−d ) jest nieosobliwy w punkcie a oraz (f1 , . . . , fn−d )OAn ,a = I(V )OAn ,a .
Mówimy, że funkcje f1 , . . . , fn−d generują I(V ) lokalnie w punkcie a jeżeli (f1 , . . . , fn−d )OAn ,a = I(V )OAn ,a .
ze
Dowód. Niech I 0 = (f1 , . . . , fn−d )OAn ,P . Wtedy OAn /I 0 jest pierścieniem regularnym, gdyż jego ideał maksymalny jest generowany przez d elementów (wystarczy wziąć g1 , . . . , gd ∈ mP takie, że dP g1 , . . . , dP gd , dP f1 , . . . , dP fn−d
są liniowo niezależne, bo wtedy f1 , . . . , fn−d , g1 , . . . , gd generują ideał maksymalny OAn ,P ). Ponadto na mocy tw.
Krulla dim OAn ,P /I 0 = d. Niech I := I(V )OAn ,P . Ponieważ I 0 ⊂ I, więc OAn ,P /I jest homomorficznym obrazem pierścienia OAn ,P /I 0 , a ponieważ oba te pierścienie mają ten sam wymiar d oraz OAn ,P /I 0 jest pierścieniem
całkowitym, więc I = I 0 .
A
Dowód. (⇐) wynika z poprzedniego Lematu.
k
0c
Wniosek II.40. Jeżeli V ⊂ n jest podrozmaitością afiniczną, P ∈ Reg V , d = dim V to f1 , . . . , fn−d ∈ I(V )
generują I(V ) · OV,P wtedy i tylko wtedy gdy dp f1 , . . . , dp fn−d są liniowo niezależne.
Propozycja II.41. Niech W ⊂ V ⊂
wtedy i tylko wtedy gdy W 6⊂ Sing V
z1
(⇒) Niech g1 , . . . , gd ∈ [X1 , . . . , Xn ] będą takie, że g1 |V, . . . , gd |V generują ideał maksymalny pierścienia OV,P .
Wtedy g1 , . . . , gd , f1 , . . . , fn−d generują ideał maksymalny pierścienia OAn ,P czyli dP g1 , . . . , dP gd , dP f1 , . . . , dP fn−d
są liniowo niezależne.
An będą rozmaitościami afinicznymi. Pierścień lokalny OV,W jest regularny
ws
tęp
na
Dowód. Jeżeli W 6⊂ Sing V to istnieje punt P ∈ Reg V ∩ Reg W . Oznaczmy d = dim V , e = dim W .
Ponieważ dim TP V = d więc istnieją f1 , . . . , fn−d ∈ I(V ) takie, że dP f1 , . . . , dP fn−d są liniowo niezależne, a stąd
f1 , . . . , fn−d generują I(V ) lokalnie w P . Ponieważ I(V ) ⊂ I(W ), więc fi ∈ I(W ), czyli znajdziemy g1 , . . . , gd−e
takie, że dP f1 , . . . , dP fn−d , dP g1 , . . . , dP gd−e są liniowo niezależne, czyli f1 , . . . , fn−d , g1 , . . . , gd−e generują I(W )
lokalnie w P . Stąd g1 , . . . , gd−e generują ideał maksymalny pierścienia OV,W , a ponieważ dim OV,W = dim OV −
dim OW = d − e, więc OV,W jest pierścieniem regularnym.
Jeżeli OV,W jest pierścieniem regularnym, to istnieją g1 , . . . , gd−e , które generują ideał maksymalny pierścienia OV,W ,
a zatem istnieje punkt P ∈ Reg W taki, że g1 , . . . , gd−e generują ideał I(W )OV,P . Niech h1 , . . . , he ∈ [X1 , . . . , Xn ]
będą takie, że (h1 |W ), . . . , he |W generują ideał maksymalny pierścienia OW,P . Wtedy g1 , . . . , gd−e , h1 , . . . , he generują ideał maksymalny pierścienia OV,P , a zatem P ∈ Reg V .
k
Twierdzenie II.42. Niech (R, m) będzie pierścieniem lokalnym wymiaru 1. Wtedy następujące warunki są równoważne
ers
ja
(1) pierścień R jest regularny,
(2) ideał maksymalny m jest główny,
(3) ideał maksymalny m jest główny, a każdy element x ∈ R \ {0} jest postaci e · xk0 , gdzie x0 jest generatorem
m, a e jest jednością pierścienia R,
(4) ideał maksymalny m jest główny, a każdy ideał właściwy pierścienia R jest postaci mk ,
(5) pierścień R jest dziedziną ideałów głównych,
(6) pierścień R jest faktorialny,
(7) pierścień R jest normalny.
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
3. Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe
20
Dowód. Udowodnimy jedynie (7) ⇒ (2), reszta jest prosta. Jeżeli a ∈ m \ {0} to rad(a) = m, więc mk+1 ⊂ (a)
dla pewnego k. Jeśli m 6= (a) to możemy przyjąć, że mk 6⊂ (a). Niech b ∈ mk \ (a), wtedy oczywiście b 6∈ (a) taki, że
mb ⊂ (a). Określamy moduł m−1 := {a ∈ K : ma ⊂ R}. Oczywiście m ⊂ m−1 m ⊂ R oraz mm−1 jest ideałem,
więc mm−1 = m lub mm−1 = R.
Gdyby mm−1 = m, to dla x ∈ m−1 mielibyśmy mx ⊂ m, więc x jest całkowity nad R, a stąd x ∈ R. Zatem
m−1 = R, w szczególności ponieważ ab ∈ m−1 (bo mb ⊂ a), więc ab ∈ R i b ∈ (a), sprzeczność.
Zatem mm−1 = R, a więc istnieje r ∈ m−1 taki, że rm 6⊂ m, skąd rm = R i w konsekwencji m = 1r R czyli m jest
ideałem głównym.
Wniosek II.43. Jeżeli V jest rozmaitością afiniczną normalną, to dim Sing V ¬ dim V − 2.
ze
Rozmaitość normalna jest regularna w kowymiarze jeden.
Propozycja II.44. Niech V będzie gładką rozmaitością quasi-rzutową, f : V −−−−→
Zbiór punktów, w których f nie jest regularne jest domknięty kowymiaru 2 w V .
Pn odwzorowaniem wymiernym.
0c
Dowód. Ponieważ problem jest lokalny możemy przyjąć, że zbiór V jest afiniczny. Wtedy zbiór punktów nieokreśloności jest przecięciem zbiorów postaci V (f0 , . . . , fn ), gdzie fi ∈ [V ] a (f0 , . . . , fn ) jest reprezentantem odwzorowania f . Przypuśćmy, że zbiór ten zawiera składową nierozkładalną U kowymiaru 1, wtedy pierścień OV,U jest lokalnym pierścieniem regularnym wymiaru 1. Niech g będzie generatorem ideału maksymalnego, wtedy istnieje k ∈ ,
że wszystkie fi dzielą się przez g k , ale nie wszystkie przez g k+1 , przyjmijmy, że g k+1 - f0 . Stąd gi := gfki ∈ OV,U oraz
g0 nie należy do ideału maksymalnego. Oznacza to, że istnieje P ∈ U taki, że gi ∈ OV,P oraz g0 (P ) 6= 0. Ale wtedy
(g0 , . . . , gn ) jest reprezentantem regularnym f , a więc odwzorowanie f jest określone w P , sprzeczność.
k
z1
Z
Wniosek II.45. Dowolne odwzorowanie wymierne krzywej gładkiej w przestrzeń rzutową jest regularne.
Przykład II.3. Odwzorowanie
ne na 2 \ {0}.
C
C2 3 (z1, z2) 7→ (z1 : z2) ∈ P1 jest odwzorowaniem wymiernym, które jest regular-
na
Wniosek II.46. Jeżeli dwie gładkie krzywe rzutowe są biwymierne to są izomorficzne.
Definicja II.11. Odwzorowanie dominujące rozmaitości afinicznych f : V −−−−→ W nazywamy skończonym jeżeli
f ∗ [W ] −−−−→ [V ] jest rozszerzeniem całkowitym.
k
k
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
ws
tęp
Twierdzenie II.47. Jeżeli f : V −−−−→ W jest odwzorowaniem regularnym skończonym rozmaitości afinicznych to
f jest suriekcją,
f jest odwzorowaniem domkniętym,
dim Z = dim f (Z) dla dowolnej podrozmaitości Z ⊂ V ,
∀y ∈ W #f −1 (y) < ∞.
k
k
Dowód. (i) Niech y ∈ W , my ⊂ [W ] będzie ideałem maksymalnym funkcji znikających w y. Oczywiście
f ∗ my jest ideałem maksymalnym pierścienia f ∗ [W ], a więc z twierdzenia going–up istnieje ideał maksymalny m
pierścienia [V ] taki, że f ∗ my = m ∩ f ∗ [W ]. Wtedy m jest ideałem funkcji na V znikających w pewnym punkcie
x ∈ V . Gdyby f (x) 6= y to istniałaby funkcja g ∈ [W ] taka, że g(f (x)) = 0 oraz g(y) 6= 0. Funkcja g ◦ f ∈ [V ]
oraz g ◦ f ∈ m, g ◦ f ∈ f ∗ [W ], skąd f ∗ (g) = g ◦ f ∈ f ∗ my czyli g ∈ my . Sprzeczność.
k
k
k
k
k
k
ja
(ii) Jeżeli Z ⊂ V jest podzbiorem algebraicznym nierozkładalnym to f |Z : z −−−−→ f (Z). Odwzorowanie to jest
oczywiście skończone (zależność całkowita [V ] nad f ∗ [W ] zacieśnia się do zależności całkowitej [f (Z)] nad
f ∗ [Z]). Zatem na mocy (i) odwzorowanie to jest suriektywne czyli f (Z) = f (Z).
k
k
k
ers
(iii) Oczywiste.
(iv) Gdyby f −1 (y) był nieskończony to zawierałby składową Z dodatniego wymiaru, a wtedy dim f (Z) = dim{y} =
0, sprzeczność z (iii).
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
Rozdział II. Pojęcie wymiaru
rw
ca
2
21
Twierdzenie II.48. Niech F : V −−−−→ W będzie odwzorowaniem dominującym rozmaitości quasi–rzutowych.
(i) Dla dowolnego y ∈ W i dowolnej składowej F włókna f −1 (y) zachodzi dim F ­ dim V − dim W .
(ii) Istnieje niepusty podzbiór otwarty U ⊂ W taki, że dim f −1 (y) = dim V − dim W . dla y ∈ U .
Dowód. (i) Niech n = dim V, m = dim W . Niech y ∈ W , jeśli y 6∈ f (V ), to twierdzenie jest pusto spełnione,
przyjmijmy więc, że y ∈ f (V ). Niech W0 będzie otoczeniem afinicznym y w W . Wtedy f −1 (W0 ) jest podzbiorem
otwartym w V . Istnieje podzbiór afiniczny V0 ⊂ f −1 (W0 ) taki, że dim(V0 ∩ F ) = dim F . Skoro y ∈ W0 punkt
rozmaitości afinicznej wymiaru m to istnieją g1 , . . . , gm ∈ O(W0 ) takie, że {y} jest składową zbioru g1 = · · · =
gm = 0. Wtedy F jest składową zbioru g1 ◦ f = · · · = gm ◦ f = 0, a zatem dim F ­ n − m.
k
k
A
(ii) Podobnie jak w poprzednim dowodzie znajdziemy funkcje vm+1 , . . . , vn ∈ [V ] oraz funkcję F ∈ [W × n−m ]
takie, że odwzorowanie f˜ = (f, vm+1 , . . . , vn )|VF : VF −−−−→ (W × n−m )F jest skończone. Istnieje niepusty
podzbiór otwarty U ⊂ W oraz punkt p ∈ n−m taki, że U × {p} ⊂ (W × n ). Niech y ∈ U . Ponieważ f −1 (y) ∩
{vm+1 = pm+1 , . . . , vn = pn } = f˜−1 (y, p), więc f −1 (y) jest niepusty oraz dim f −1 (y) ¬ n − m.
ze
A
A
0c
A
Wniosek II.49. Zbiór Vk = {x ∈ V : dim f −1 (f (x)) ­ k} jest domknięty w V .
Jeżeli f jest suriekcją, to zbiór Wk = {y ∈ W : dim f −1 (y) ­ k} jest domknięty w W .
z1
Twierdzenie II.50. Jeżeli V jest rozmaitością rzutową, W rozmaitością quasi-rzutową to odwzorowanie p : V ×
W −−−−→ W jest domknięte.
Wniosek II.51. Jeżeli f : V −−−−→ W jest odwzorowaniem regularnym, V jest rozmaitością rzutową to f jest
odwzorowaniem domkniętym.
na
Wniosek II.52. Jeżeli V jest rozmaitością rzutową, to każda funkcja regularna na V jest stała.
P
Dowód. Niech φ ∈ O(V ). Ponieważ φ : V −−−−→ 1 jest odwzorowaniem regularnym, więc φ(V ) jest podzbiorem domkniętym 1 zawartym w 1 , a więc jest punktem.
P
A
ws
tęp
Wniosek II.53. Jeżeli V jest rozmaitością rzutową,W jest rozmaitością afiniczną, to dowolne odwzorowanie regularne
f : V −−−−→ W jest stałe.
A
Dowód. Niech W ⊂ n , wtedy f = (f1 , . . . , fn ), gdzie fi jest funkcją regularną na V . Stąd wszystkie funkcje
fi są stałe, a zatem również odwzorowanie f jest stałe.
Twierdzenie II.54. Niech f : V −−−−→ W będzie odwzorowaniem skończonym rozmaitości quasi–rzutowych, W
rozmaitość normalna. Wtedy dla dowolnego y ∈ W mamy #f −1 (y) ¬ [ (V ) : f ∗ (W )]s oraz istnieje niepusty
podzbiór otwarty U ⊂ V taki, że #f −1 (y) = [ (V ) : f ∗ (W )]s dla y ∈ U .
k
k
ers
ja
k
k
Wersja wstępna z dnia: 10 czerwca 2015
5
01
rw
ca
2
Literatura
ze
I. Algebra
[A-D] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley Publ. Comp. 1969.
[K]
E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, 1985.
0c
[M] H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press 1986.
[Z-S] O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, Vol. I, II, Springer–Verlag 1975–76.
II. Geometria algebraiczna
J. Harris, Algebraic Geometry, Springer–Verlag 1992.
z1
[H]
[HA] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer–Verlag 1977.
[MU] D. Mumford, The Red Book of varieties and Schemes, Lecture Notes in Math. 1358, Springer–Verlag 1988.
[1] M. Reid, Undergraduate algebraic geometry. LMS Student Texts, 12. Cambridge University Press, Cambridge,
1988.
na
I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer–Verlag 1974.
ers
ja
ws
tęp
[S]
22
5
01
Rozmaitości quasi–rzutowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ze
Rozdział I.
rw
ca
2
Spis treści
1
Rozmaitości afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Rozmaitości rzutowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.
Funkcje regularne i wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział II.
0c
1.
7
Pojęcie wymiaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Wymiar rozmaitości afinicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.
Wymiar rozmaitości quasi-rzutowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.
Przestrzeń styczna, punkty gładkie i osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
z1
1.
ers
ja
ws
tęp
na
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
23