Podstawy ekonometrii (zadania 1) – mgr inż. Tomasz Owczarek 1

Podstawy ekonometrii (zadania 1) – mgr inż. Tomasz Owczarek
Przykład Współczynniki korelacji zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśniającymi X1 i X2 wynoszą
odpowiednio 0,7 i 0,8. Współczynnik korelacji między zmiennymi X1 i X2 wynosi natomiast 0,6.
a) Zbuduj macierz i wektor korelacji oraz macierz rozszerzoną.
b) Oblicz współczynnik determinacji i współczynnik korelacji wielorakiej R zmiennej objaśnianej ze
zmiennymi objaśniającymi.
Rozwiązanie
ad a) Wprowadzamy odpowiednie oznaczenia:
• współczynnik korelacji zmiennej objaśnianej ze zmienną objaśniającą : 0,7
• współczynnik korelacji zmiennej objaśnianej ze zmienną objaśniającą : 0,8
• współczynnik korelacji zmiennej objaśniającej ze zmienną objaśniającą : 0,6
Macierz korelacji:
1 1 0,6
1
0,6 1
Wektor korelacji:
0,7
0,8
Macierz rozszerzona:
1 1 0,7 0,8
1 0,7 1 0,6
1
0,8 0,6 1
ad b) Współczynnik determinacji obliczamy ze wzoru:
1 (1)
Natomiast współczynnik korelacji wielorakiej to pierwiastek współczynnika determinacji:
Aby skorzystać ze wzoru (1) należy obliczyć wyznacznik macierzy korelacji, czyli , oraz wyznacznik
macierzy rozszerzonej .
• Po pierwsze, obliczamy wyznacznik macierzy korelacji:
1 · 1 · 1 0,6 1 0,36 , !
• Po drugie, obliczamy wyznacznik macierzy rozszerzonej (przypomnieć sobie metodę Sarrusa obliczania
wyznacznika macierzy o wymiarach 3 na 3):
1 " · · " · · · 1 " 0,7 · 0,6 · 0,8 " 0,8 · 0,7 · 0,6 0,8 0,6 0,7 1 " 0,336 " 0,336 0,64 0,36 0,49 1,672 1,49 , &'(
Ostatecznie, współczynnik determinacji wynosi:
1 ),*
),+,
1 0,2844 , -&.
Czyli model w 71% tłumaczy zmienną endogeniczną.
Natomiast współczynnik korelacji wielorakiej wynosi:
0,7156 , '!.0
1
Podstawy ekonometrii (zadania 1) – mgr inż. Tomasz Owczarek
Zadanie 1. Na podstawie danych dotyczących wyników egzaminów końcowych (Y [w punktach]) oraz ilorazu
inteligencji (X) i liczby godzin tygodniowo poświęcanych na naukę (Z) wybranej grupy młodzieży:
Numer
Y
X
Z
1
83
112
9
2
77
115
6
3
95
129
14
4
49
103
4
5
63
117
8
6
80
115
12
7
91
124
10
8
79
113
9
9
36
106
5
10
58
114
7
11
93
136
8
12
84
127
3
a) określić, która z badanych cech wykazuje największą zmienność (odp. zmienna Z – jej współczynnik
zmienności wynosi 38,74%),
b) obliczyć współczynniki korelacji pomiędzy cechami: X i Y, X i Z oraz Y i Z (odp. 12 0,7943,
14 0,5688, 24 0,3398),
c) określić która z cech wpływa silniej na wyniki egzaminu: iloraz inteligencji czy czas pracy (odp. iloraz
inteligencji, ponieważ współczynnik 12 jest większy niż 14 ).
Zadanie 2. W fabryce zbadano, jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od czasu
nieprzerwanej pracy:
Czas pracy w godz.
Wydajność w szt./godz
1
19
2
22
3
19
Obliczyć współczynnik korelacji Pearsona. Odp. 0,888.
4
17
5
15
6
13
7
14
Zadanie 3. Zbadano zależność między liczbą reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV a
wysokością obrotów (w mln zł):
Liczba reklam
Wielkość obrotów
3
115
5
133
4
142
5
150
6
148
7
151
Czy informacje potwierdzają istnienie zależności między liczbą reklam a wielkością obrotów? Jaka jest siła
tej zależności? Odp. współczynnik korelacji wynosi 0,7949, istnieje więc silna zależność między liczbą
reklam a wielkością obrotów..
Zadanie 4. Współczynniki korelacji zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśniającymi X1 i X2 wynoszą
odpowiednio 0,56 i 0,79. Współczynnik korelacji między zmiennymi X1 i X2 wynosi natomiast 0,49.
a) Zbuduj macierz i wektor korelacji oraz macierz rozszerzoną.
b) Oblicz współczynnik determinacji i współczynnik korelacji wielorakiej R zmiennej objaśnianej ze
zmiennymi objaśniającymi. (odp. 0,6634)
Zadanie 5. Współczynniki korelacji zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśniającymi X1 i X2 wynoszą
odpowiednio 0,75 i 0,55. Współczynnik korelacji między zmiennymi X1 i X2 wynosi natomiast 0,71.
a) Zbuduj macierz i wektor korelacji oraz macierz rozszerzoną.
b) Oblicz współczynnik determinacji i współczynnik korelacji wielorakiej R zmiennej objaśnianej ze
zmiennymi objaśniającymi. (odp. 0,5631)
2