zginane pręty z warstwą piezoelektryczną

ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ – ZESZYT 11/2011
Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach
ZGINANE PRĘTY Z WARSTWĄ PIEZOELEKTRYCZNĄ
Joachim RZEPKA
Politechnika Opolska, Opole
1. Wstęp
W pracy będzie analizowane zginanie prętów z warstwą piezoelektryczną. Poprzez
porównanie zginanego pręta warstwowego (z czujnikami piezoelektrycznymi) z prętem
jednorodnym zostaną wyznaczone zastępcze funkcje materiałowe. Otrzymamy również
związek między wartością lokalnego parametru uszkodzenia a wartością globalnego
parametru uszkodzenia.
2. Zginanie pręta warstwowego oraz pręta jednorodnego (przypadek sprzężony)
Rozważania prowadzące do oceny uszkodzeń z twierdzenia o wzajemności dotyczą
ośrodków jednorodnych. Jeżeli rozważania te mają dotyczyć zadań technicznych to należy
podać sposób uśredniania od zadań niejednorodnych opisujących lokalne uszkodzenia do
ekwiwalentnych jednorodnych. Przeanalizujemy w tym celu zginanie pręta warstwowego z
czujnikami piezoelektrycznymi oraz porównawczo – piezoelektrycznego pręta
jednorodnego.
Rys. 1. Pręt warstwowy piezoelektryczny
Fig. 1. Layered piezoelectric rod
W pręcie warstwowym problem opisuje układ równań fizycznych
α
σ ijα = E ijkl
(1 − λ )ε klα + hijkα E kα
α = 1, 2, K , n .
(1)
146
A w szczególności
e
σ 11(1) = E1111
ε 11 + h311 E3
σ
(2)
11
D3 = h311ε 11 + g 33 E3
– piezowarstwa,
= E1111 (1 − λ )ε 11 - warstwa uszkodzona,
(2)
(3)
σ (3)11 = E1111 ε 11 - rdzeń nieuszkodzony,
(4)
ε 11 = χx3 .
(5)
oraz geometrycznych
Równania te dotyczą piezoelektrycznej warstwy oraz konstrukcji, w której wystąpiły
uszkodzenia λ . Moment zginający M w pręcie warstwowym określa relacja [1]:
M =
∑ ∫σ
α
α
11
α
e
x3 dF α ≡ E1111 (1 − λ ) χ ( x3 ) 2 d F2 + ( E1111
χ x3 − h311 E3 ) x3 dF1 +
Fα
+
∫
∫
∫
F2
F1
e
(6)
E1111ε 11 x3 dF3
F3
stąd
∧
∧
e
e
M = χE1111 I 3 + χ ( E1111 (1 − λ ) I 0 + E1111
I ) − h311
E3 S ,
gdzie: I 0 =
∫x
3
F
2
2
dF2 , Iˆ =
∫x
F
1
2
3
dF1 , I 3 =
∫x
F
3
2
3
dF3 , Sˆ =
∫
x3 dF2 .
Fα
Rys. 2. Rozkład odkształceń i naprężeń w przypadku zginania pręta warstwowego
Fig. 2. Distribution of strains and stresses in the case of bending the layered rod
(7)
147
W analogicznym jednorodnym pręcie piezoelektrycznym zachodzi
σ 11 = E1111' (1 − λ' )ε11 − h311' E3 ,
(8)
stąd moment Mc wynosi
'
'
M c = σ 11 x3 d F = ( E1111
(1 − λ' ) χ ' ( x3 )2 − h311
E3 x3 ) dF ,
∫
∫
F
M = χ (E
c
'
'
1111
F
I (1 − λ ) − h
'
'
'
311
E3 S ' ,
∫
∫
F
F
I ' = ( x3 ) 2 dF , S ' = x3 dF .
gdzie
(9)
Z przyrównania (7) i (9) dla M =Mc otrzymamy
∧
e
e
'
'
χE1111 I 3 + χ [ E1111 (1 − λ ) I 0 + E1111
Iˆ] − h311
E3 S = χ ' ( E1111
I ' (1 − λ' ) − h311
E3 S '
(10)
Na początku procesu λ = λ' = 0, co dla χ = χ ' prowadzi do równości
∧
∧
e
e
e
'
E1111 I 3 + E1111 I 0 + E1111
I = E1111
I ' → E1111
= [( I ' ) −1 ( E1111 I 3 + E1111 I 0 + E1111
I )] ,
∧
∧
e
'
'
e
h311
E3 S = h311
E3 S ' → h311
= ( S ' ) −1 h311
S,
S ' > S C → h '311 < h e 311 , stąd
(11)
'
h 311
<1.
h c 311
W dalszych rozważaniach pomijamy składnik momentu zginającego dla warstwy
piezoelektrycznej
'
h311 E3 S ≈ 0 , h e 311 E3 Sˆ ≈ 0 .
(12)
'
'
Z otrzymanych relacji wyznaczamy zastępcze funkcje materiałowe E1111
i h311
w pręcie
jednorodnym, które analizowano w pracy. Istnieje też szansa na wyznaczenie parametru
uszkodzenia λ .
Porównując momenty M = Mc i krzywizny χ = χ ' dla λ ≠ 0 otrzymamy
∧
e
'
E1111 I 3 + E1111 (1 − λ ) I 0 + E1111
I = E1111
(1−λ' ) I ' .
(13)
Stąd
λ=
E e1111 Iˆ + E '1111 (1 − λ' ) I ' I 3
+ +1.
E1111 I 0
I0
(14)
148
Otrzymano więc współzależność parametrów uszkodzenia pręta zginanej konstrukcji λ od
uszkodzenia λ' ekwiwalentnego pręta jednorodnego analizowanego w pracy.
W ten sposób rozważania prowadzone dla ośrodków jednorodnych można wykorzystać
w analizie układów: konstrukcja – czujnik piezoelektryczny.
3. Indukcja elektryczna w zginanym pręcie warstwowym i jednorodnym
Podobne porównania przeprowadzimy dla wzoru na indukcję Di w pręcie z warstwą
piezoelektryczną oraz pręcie jednorodnym (por. rys. 2). Zachodzi
Di = −hijk (1 − λ' )ε jk + g ij E j ,
'
D3
= −h
(1)
'
311
(15)
(1 − λ )ε11
'
(16)
oraz
ε11 = χx3 , Di ( 2 ) = 0 , Di (3) = 0 .
(17)
Wartość uśredniona
Di =
1
F
∑ ∫D
α
i
dF α = hi11 (1 − λ' ) χ x3 dF 1 ,
∫
'
1 Fα
(18)
F1
stąd
Di = hi11 (1 − λ' ) χ
'
2S
, gdzie S = ∫ x3 dF 1 .
F
F1
(19)
W przypadku zastępczego pręta jednorodnego zachodzi
Di = − hi11 (1 − λc )ε 11 , ε11 = χx3 .
c
c
(20)
Stąd po uśrednieniu otrzymamy
FDi = −hi11 (1 − λc ) χ x3 dF ,
c
c
∫
(21)
F
czyli
Di = −hi11 (1 − λc ) χ
c
c
1
2S c .
F
Zakładając równość Di = Di
otrzymamy współzależność
a uśrednionymi własnościami materiału
c
hi11 (1 − λ' ) χ
'
(22)
między rzeczywistymi
2S
2S c
c
'
c
= hi11 (1 − λc ) χ
→ hi11 (1 − λ' ) S = hi11 (1 − λc ) S c .
F
F
(23)
149
W pręcie bez uszkodzeń λ' = λc = 0 , stąd
hi11 = hi11
'
c
Sc
S
(24)
S
.
Sc
(25)
lub
hi11 = hi11
c
'
Natomiast współzależność lokalnego parametru uszkodzenia λ' od globalnego λc wynosi
λ' =
− hi11 (1 − λc ) S c
+1.
'
hi11 S
c
(26)
Możemy sporządzić wykresy zależności lokalnego parametru uszkodzenia
funkcji materiałowych w piezoelektrykach
λ' = −α n
1
γ
+ 1,
λ'
od ilorazu
(27)
gdzie
α n = {(1 − λc )
'
h
Sc
}n , γ = i11c .
S
hi11
(28)
Rys. 3. Wykres zależności lokalnego parametru uszkodzenia λ' od ilorazu stałej
piezoelektrycznej lokalnej do stałej piezoelektrycznej globalnej
Fig. 3. Graph of the local damage parameter λ' of the piezoelectric constant ratio of local to
global piezoelectric constant
150
Rozważania tu podane pozwalają przenosić wyniki uzyskane dla jednorodnych
zagadnień piezoelektryki na zagadnienia techniczne, gdzie uszkodzenia są zlokalizowane w
określonych warstwach przekroju
Literatura
[1] Kubik J.: Mechanika konstrukcji warstwowych, Wydawnictwo TiT, Opole, 1993.
[2] Kubik J., Perkowski Z.: Narastanie uszkodzeń w materiałach porowatych, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Opolskiej, Opole, 2005.
[3] Nowacki W.: Efekty elektromagnetyczne w stałych ciałach odkształcalnych, PWN,
Warszawa, 1983.
BENDING OF BARS WITH PIEZOELECTRIC LAYER
Summary
In the paper – bending of bars with piezoelectric layer – is analyzed. It were calculated
equivalent material function as a result of comparison of bending bar with piezoelectric
sensors to homogeneous bar. It was received correlation between local value of damage
parameter and global value of damage parameter.