Siła działająca na przewodnik z prądem Jak wiadomo, siła

Siła działająca na przewodnik z prądem
Jak wiadomo, siła działająca na ładunek poruszający się z prędkością w polu elektromagnetycznym to:
ale warto znać wzór w sytuacji, gdy nie ma pola , a ładunek płynie w przewodniku.
Prąd w przewodniku to z definicji
Prędkość ładunku w przewodniku to (też z definicji):
( to „mały” element długości przewodnika)
Jak się to podstawi do wzoru na siłę działającą na ten mały element, wyjdzie:
Czyli siła działająca na cały przewodnik to:
Całka wygląda trudno, ale można założyć, że:
- prąd nie zależy od tego, w którym fragmencie przewodu jesteśmy, wtedy
- Kąt między przewodnikiem a polem jest stały, pole też jest stałe, wtedy
- Kąt jest równy 90 stopni, wtedy
(szkolny wzór)
Jeśli np. na olimpiadzie pojawi się prąd, który płynie nie w liniowym przewodzie, tylko np. po powierzchni, nie
ma się co załamywać – rozumowanie jest bardzo podobne:
Załóżmy, że mamy powierzchnię, naładowaną z gęstością , poruszającą się z prędkością . Wtedy „mały”
element tej powierzchni
zawiera ładunek
, czyli siła działająca na tę małą powierzchnię to:
Zauważ, że nieważne, czy to powierzchnia się porusza, czy tylko ładunek w niej zawarty. Można zdefiniować
„prąd powierzchniowy”
Jak on ma się do prądu ? To po prostu prąd płynący przez pewien pasek o
szerokości :
(a kierunek jest taki jak kierunek przepływu prądu). Wtedy
czyli po wycałkowaniu
Analogicznie jak mam objętościową gęstość ładunku , poruszającą się z prędkością , to siła działająca na
mały element objętości
to
itd.
Na zajęciach chciałem pokazać, dlaczego indukcyjność wzajemna pętli 1 względem pętli 2 jest równa
indukcyjności pętli 2 względem pętli 1. Okazało się to trudniejsze niż myślałem: w Resnicku nie ma dowodu
(patrz strona 277, trzeci tom), a w innych książkach dowód jest dość skomplikowany. Na szczęście jest…
Twierdzenie o wzajemności
W dowolnym, liniowym obwodzie prąd I płynący w gałęzi A związany z napięciem E w gałęzi B jest taki sam,
jaki byłby prąd w gałęzi B związany z napięciem E w gałęzi A.
Teraz czas na omówienie twierdzenia słowo po słowie: liniowy oznacza, że wszystko spełnia „rozszerzone”
prawo Ohma (tzn wszystko daje się sprowadzić do cewek, kondensatorów i oporników) – takie rzeczy jak
diody czy tranzystory odpadają. Gałąź obwodu to po prostu fragment bez rozgałęzień. Prąd „związany” z
napięciem oznacza, że jest spowodowany wyłącznie tym napięciem (albo odwrotnie, że napięcie E to siła
elektromotoryczna wywołana wyłącznie przepływem prądu I). To ważne w przypadku, gdy jest wiele źródeł
prądu i napięcia: wtedy w danej gałęzi obwodu płynie prąd „pochodzący” z wielu źródeł – my rozpatrujemy
tylko część związaną z napięciem E (tzn gdyby usunąć napięcie E, ta część prądu by zniknęła). Analogicznie
napięcie „związane” z prądem I to ta część napięcia w gałęzi, która zniknęłaby, gdyby usunąć prąd I. Gdy
mamy tylko jedno źródło prądu/napięcia, nie musimy pamiętać, o którą „część” prądu/napięcia chodzi. Teraz
kluczowe: co to znaczy „jest taki sam”? Załóżmy, że prąd I w gałęzi A wywołuje w gałęzi B siłę
elektromotoryczną E. Wtedy, gdyby prąd I nie płynął w gałęzi A, tylko w gałęzi B, to wtedy w gałęzi A
pojawiłaby się dodatkowa siła elektromotoryczna E. Tak samo gdy w gałęzi A jest napięcie E, wywołujące w
gałęzi B prąd I, to po wyłączeniu tego napięcia (wtedy prąd płynący w gałęzi B zmniejszy się o I) i włączeniu
go w gałęzi B, w gałęzi A popłynie dodatkowy prąd I. Na koniec dwie uwagi: trzeba pamiętać, aby zachować
„biegunowość”, tzn. zamieniając prąd z napięciem ich „kierunek” powinien być po zmianie taki sam (obrazek).
Poza tym taka „zamiana” mówi nam coś tylko o wzajemnym wpływie gałęzi A i B – cała reszta układu po
takiej zamianie pewnie zmieni swoje prądy/napięcia. Aha, i twierdzenie jest prawdziwe tylko w 3 przypadkach:
1) prąd stały 2) prąd wykładniczo zanikający 3) prąd sinusoidalnie zmienny (czyli wszystkie „policzalne”)
gałąź A
gałąź B
Reszta
układu
gałąź A
gałąź B
Reszta
układu
Obrazek ogólny:
Widać, że jak źródło E w gałęzi A „pcha” w górę, wywołując w gałęzi B prąd I płynący w dół, to po zamianie
prąd I w gałęzi A będzie płynął w górę (w tę samą stronę, co wcześniej E), a napięcie w gałęzi B będzie w dół.
Konkretny przykład, kiedy tw. o wzajemności się przydaje:
A tutaj NIE WOLNO zamieniać, bo dioda nie jest liniowa:
Teraz czas wykorzystać to twierdzenie w praktyce!
Indukcyjność wzajemna
Mamy 2 pętle (albo cewki, nieważne), które będą odpowiadać gałęziom A i B. W jednej (powiedzmy A) płynie
prąd I, wywołujący w drugiej (B) siłę elektromotoryczną E. Z prawa Faradaya mamy:
Teraz przypomnę definicję indukcyjności: strumień pola magnetycznego jest proporcjonalny do prądu.
Indukcyjność to współczynnik proporcjonalności między strumieniem a prądem:
My będziemy się zajmować indukcyjnością wzajemną, czyli gdy strumień w pętli A pochodzi od prądu w pętli
B, zapisujemy
, i odwrotnie, gdy prąd płynie w pętli A:
Indukcyjność nie zależy od
czasu, więc łącząc prawo Faradaya z definicją indukcyjności wzajemnej dostajemy:
Ten wzór jest zawsze prawdziwy, niezależnie od tego, jak prąd I zmienia się w czasie. Dlatego rozważmy
przypadek szczególny: prąd wykładniczo zanikający! Wtedy można zastosować tw. o wzajemności! Policzmy
pochodną:
zatem pochodna:
Widzimy, że dla wykładniczego zaniku
Czyli w tym przypadku:
faktycznie zależy (i to liniowo, czyli tak
jak funkcja liniowa) od prądu, a nie od pochodnej prądu! Skoro napięcie
w pętli B zależy od prądu
płynącego w pętli A, to zgodnie z tw. o wzajemności jest ono równe napięciu
w pętli A, gdy prąd płynie w
pętli B! Ale napięcie
także można policzyć z prawa Faradaya i definicji indukcji wzajemnej:
I teraz przyrównuję to do
Mnożę stronami przez :
I tego właśnie mieliśmy dowieść, hurra, fanfary! PS. dowiedliśmy tego tylko dla wykładniczego
zaniku. Ale skądinąd wiemy, że współczynnik indukcyjności wzajemnej nie zależy od sposobu, w jaki I
zmienia się w czasie, więc skoro
dla wykładniczego zaniku, to zawsze będą równe.
Bibliografia
https://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/reciproc.htm
http://www.elearning08.republika.pl/prezentacja/Prezentacja6.pps
http://siwon.cba.pl/ois/w3.pdf
http://scienceworld.wolfram.com/physics/Inductance.html
R.K. Verma, Text Book Of Magnetism, strona 35
„Podstawy Elektrodynamiki” Griffithsa